Desafio 3 - Indução - Raciocínio Lógico

Prévia do material em texto

Desafio
O princípio da indução matemática é um dos tipos de demonstração mais utilizados quando
estamos trabalhando com proposições envolvendo números inteiros positivos.
De acordo com esse princípio:
Seja P uma proposição definida sobre os inteiros n ≥ 1, tal que:
(i) P(1) é verdadeira.
(ii) P(k + 1) é verdadeira sempre que P(k) for verdadeira.
Então P é verdadeira para todo inteiro n ≥ 1.
Como é um princípio, ele é tomado como axioma, ou seja, como verdade listada no início de
uma teoria matemática.
Embora não demonstremos o princípio da indução matemática, podemos nos questionar:
Por que a indução matemática é uma técnica de demonstração válida? Justifiquei sua
resposta.
RESPOSTA:
A razão vem da propriedade da boa ordenação, que é tomada como um axioma para o
conjunto dos números inteiros positivos:
Princípio da boa ordenação: Todo subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros
positivos têm um menor elemento.
Vamos supor que saibamos que P(1) seja verdadeira e que a proposição P(k) → P (k + 1)
seja verdadeira para todos os números inteiros positivos k.
Para mostrar que P(n) deve ser verdadeira para todos os números inteiros positivos n,
assumimos que há pelo menos um número inteiro positivo para o qual P(n) seja falsa.
Esse tipo de demonstração é chamado de redução ao absurdo.
Então, o conjunto S dos números inteiros positivos para o qual P(n) seja falsa não é
vazio.
Assim, pela propriedade da boa ordenação, S tem pelo menos um elemento, que será
indicado por m.
Sabemos que m não pode ser 1, porque P(1) é verdadeira.
Como m é positivo e maior que 1, m – 1 é um número inteiro positivo.
Além disso, como m – 1 é menor que m, ele não está em S, assim, P(m – 1) deve ser
verdadeira.
UniCarioca | Centro Universitário Carioca
Unidade Virtual
Disciplina: Raciocínio Lógico 2024.1
Aluna: Érika Laiane Azevedo dos Santos 1° Período
Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas EAD
Matrícula: 2024100497
Como a proposição condicional P(m – 1) → P(m) também é verdadeira, é o caso de P(m)
ser verdadeira. Mas isso contradiz a escolha de m.
Assim, P (n) deve ser verdadeira para todo número inteiro positivo n.