Avaliação I - ANALISE MATEMATICA

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22/06/2022 22:21 Avaliação I - Individual
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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:739730)
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Prova 50087088
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/2
Nota 8,00
Ao realizar-se uma prova matemática, é necessário ter muito claro o fato de qual modalidade de 
demonstração que será utilizada. Para tanto um conhecimento teórico de qual sistemática que cada 
método possui é fundamental. Baseado nisto, acerca da demonstração direta, assinale a alternativa 
CORRETA:
A Contradiz-se uma das hipóteses contidas na afirmação.
B É aplicado quando o resultado a ser provado envolve indexação por números naturais (índices
naturais).
C Nega-se o que deve ser provado.
D A partir das hipóteses contidas na afirmação a ser provada, utilizam-se argumentos lógicos
válidos para se chegar à tese.
Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial 
e integral, medidas, limites, séries infinitas e funções analíticas. Seu início, porém, dá-se em um 
estudo bastante elementar à nossa visão, mas que é fundamental no estudo dos conceitos 
anteriormente citados, os conjuntos numéricos. Quanto às propriedades dos conjuntos numéricos, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) Se A não foi finito, dizemos que A é infinito. 
( ) O conjunto dos números naturais N é finito. 
( ) O conjunto dos números inteiros Z não é enumerável. 
( ) Não existe bijeção entre um conjunto finito e um subconjunto próprio dele mesmo. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - V - F.
B F - F - V - V.
C V - F - F - V.
D V - V - F - F.
A indução matemática é uma técnica de demonstração válida.
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Por que isso acontece?
A
O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese é: “Três sentenças da forma P(n)
é verdadeira para todos os inteiros n positivos”. Portanto, quando desejarmos demonstrar que
alguma propriedade é válida para qualquer inteiro positivo n, podemos tentar usar a indução
matemática como técnica de demonstração.
B
O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese é: “Duas sentenças da forma P(n)
é verdadeira para todos os inteiros n positivos”. Portanto, quando desejarmos demonstrar que
alguma propriedade é válida para qualquer inteiro positivo n, podemos tentar usar a indução
matemática como técnica de demonstração.
C
O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese é: “Uma sentença da forma P(n)
é verdadeira para todos os inteiros n positivos”. Portanto, quando desejarmos demonstrar que
alguma propriedade é válida para qualquer inteiro positivo n, podemos tentar usar a indução
matemática como técnica de demonstração.
D
O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese é: “Quatro sentenças da forma
P(n) é verdadeira para todos os inteiros n positivos”. Portanto, quando desejarmos demonstrar
que alguma propriedade é válida para qualquer inteiro positivo n, podemos tentar usar a indução
matemática como técnica de demonstração.
Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da 
matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado 
nestes casos, assinale a alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da demonstração 
por absurdo:
A Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
B Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
C Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
D Teorema de Tales.
Sejam m, n e p três números naturais. Se m.n = m.p, pela lei do corte, temos:
A m > n.
B m = p.
C m < n. 
D m = n. 
Quando conhecemos as propriedades de um conjunto X, por muitas das vezes, podemos aferir 
condições existentes para quaisquer subconjuntos não-vazios de X. Pois os subconjuntos carregam as 
propriedades e características do conjunto em que estão contidos. Sobre as propriedades que qualquer 
subconjunto X não-vazio dos naturais possuem, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para 
as falsas: 
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( ) X é infinito. 
( ) X é limitado. 
( ) X possui elemento neutro. 
( ) X possui um maior elemento. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - F - V - V.
C F - F - V - V.
D V - V - F - F.
Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir: 
I- Prova por Absurdo. 
II- Prova Direta. 
III- Prova por Indução. 
( ) Prove que: 
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) 
i - para n = 1 
2 = 1(1+1) = 2 
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1 
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) 
( ) Prove que existem infinitos números primos. 
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número primo, o 
maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos entre si e somarmos 1 ao resultado, 
teremos um número Q, que não é divisível por nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível 
por nenhum número primo, deve ser primo também e maior que P, logo não faz sentido dizer que P é 
o maior e último número primo. Conclui-se que existem infinitos números primos. 
( ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b². 
(a + b)² = (a + b) (a + b) 
 = a(a + b) + b(a + b) 
 = a² + ab + ab + b² 
 = a² +2ab + b² 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A III - II - I.
B I - III - II.
C II - I - III.
D III - I - II.
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O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos 
números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante 
também conhecer seu significado e sua posição dentro da Matemática. Em outras palavras, entender o 
Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. O conjunto dos 
números naturais é fundamentado pelos axiomas de Peano. Sendo assim, sobre os itens que contém 
axiomas de Peano, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém. 
( ) Um número natural possui apenas um sucessor. 
( ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence a X, então 
X = N. 
( ) A função que associa dois números naturais é bijetiva. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B F - F - V - F.
C V - V - V - F.
D V - V - F - F.
Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente 
parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande 
quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem 
problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a soma de números 
naturais, analise as sentenças que são provadas matematicamente: 
I- Seja n um número natural qualquer, então a soma m + n está bem definida para todo número 
natural m. 
II- Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p). 
III- Sejam m, n, temos que m + n = m + (-n). 
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e II estão corretas.
B As sentenças I, II e IV estão corretas.
C As sentenças II e III estão corretas.
D Somente a sentença I está correta.
No que concerne aos conceitos matemáticos, temos várias questões associadas. 
Sobre a leitura emocional, assinale a alternativa CORRETA:
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A Não se limita a analisar os textos.
B É umato de comunicação, respondendo, portanto, a um projeto de quem o produz. 
C É uma primeira etapa do nosso processo de descodificação.
D Costuma ser criticada, sendo, muitas vezes, chamada de superficial. 
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