Resistência

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Questão 1 
Para calcular as reações nos apoios de cada uma das vigas, vamos aplicar as 
equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 
∑ 𝐹𝑌 = 0 
∑ 𝑀𝑃0 = 0 
Sempre utilizaremos o sentido positivo no eixo x para a direita, no eixo y para cima e 
para o momento o sentido anti-horário como positivo. 
1- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐵𝑋 = 0 
∑ 𝑀𝐴 = 0 − 13 ∗ 2,5 ∗
13
2
+ 13𝐵𝑌 = 0 
−211,25 = −13𝐵𝑌 
𝐵𝑌 = 16,25 𝑡𝑓 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 2,5 ∗ 13 + 𝐵𝑌 = 0 
𝐴𝑌 − 32,5 + 16,25 = 0 
𝐴𝑌 = 16,25 𝑡𝑓 
2- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐵𝑋 = 0 
∑ 𝑀𝐴 = 0 − 4 ∗ 5 − 9 ∗ 2 ∗
9
2
+ 9𝐵𝑌 = 0 
−20 − 81 = −9𝐵𝑌 
𝐵𝑌 = 11,22 𝑡𝑓 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 5 − 2 ∗ 9 + 𝐵𝑌 = 0 
𝐴𝑌 − 5 − 18 + 11,22 = 0 
𝐴𝑌 = 11,78 𝑡𝑓 
3- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = 0 
∑ 𝑀𝐴 = 0 − 2 ∗ 10 − 10 ∗ 3 ∗
10
2
+ 10𝐵𝑌 = 0 
−20 − 150 = −10𝐵𝑌 
−170 = −10𝐵𝑌 
𝐵𝑌 = 17 𝑡𝑓 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 10 − 10 ∗ 3 + 𝐵𝑌 = 0 
𝐴𝑌 − 10 − 30 + 17 = 0 
𝐴𝑌 = 23 𝑡𝑓 
4- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐵𝑋 = 0 
∑ 𝑀𝐴 = 0 − 3 ∗ 10 − 6 ∗ 10 − 9 ∗ 3 ∗
9
2
+ 9𝐵𝑌 = 0 
−30 − 60 − 121,5 = −9𝐵𝑌 
−211,5 = −9𝐵𝑌 
𝐵𝑌 = 23,5 𝑡𝑓 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 10 − 10 − 9 ∗ 3 + 𝐵𝑌 = 0 
𝐴𝑌 − 20 − 27 + 23,5 = 0 
𝐴𝑌 = 23,5 𝑡𝑓 
5- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = 0 
∑ 𝑀𝐴 = 0 − 3 ∗ 6 − 7 ∗ 5 − 11 ∗ 4 ∗
11
2
+ 11𝐵𝑌 = 0 
−18 − 35 − 242 = −11𝐵𝑌 
−295 = −11𝐵𝑌 
𝐵𝑌 = 26,82 𝑡𝑓 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 6 − 5 − 4 ∗ 11 + 𝐵𝑌 = 0 
𝐴𝑌 − 11 − 44 + 26,82 = 0 
𝐴𝑌 = 28,18 𝑡𝑓 
6- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = 0 
∑ 𝑀𝐴 = 0 − 2 ∗ 10 − 5 ∗ 10 − 9 ∗ 3 ∗
9
2
+ 9𝐵𝑌 = 0 
−20 − 50 − 121,5 = −9𝐵𝑌 
−191,5 = −9𝐵𝑌 
𝐵𝑌 = 21,28 𝑡𝑓 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 10 − 10 − 9 ∗ 3 + 𝐵𝑌 = 0 
𝐴𝑌 − 20 − 27 + 21,28 = 0 
𝐴𝑌 = 25,72 𝑡𝑓 
7- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = 0 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 8 − 2 ∗ 4 = 0 
𝐴𝑌 − 8 − 8 = 0 
𝐴𝑌 = 16 𝑡𝑓 
∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐴 − 4 ∗ 2 ∗
4
2
− 4 ∗ 8 = 0 
𝑀𝐴 − 16 − 32 = 0 
𝑀𝐴 = 48 𝑡𝑓. 𝑚 
8- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = 0 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 4 − 4 − 2 ∗ 4 = 0 
𝐴𝑌 − 8 − 8 = 0 
𝐴𝑌 = 16 𝑡𝑓 
∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐴 + 2 ∗ 4 + 4 ∗ 4 + 4 ∗ 2 ∗
4
2
= 0 
𝑀𝐴 + 8 + 16 + 16 = 0 
𝑀𝐴 = −40 𝑡𝑓. 𝑚 
O sinal negativo no momento calculado acima indica que o momento está ocorrendo 
no sentido horário. 
9- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = 0 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 8 − 3 ∗ 3 = 0 
𝐴𝑌 − 8 − 9 = 0 
𝐴𝑌 = 17 𝑡𝑓 
∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐴 − 3 ∗ 8 − 3 ∗ 3 ∗
3
2
= 0 
𝑀𝐴 − 24 − 13,5 = 0 
𝑀𝐴 = 37,5 𝑡𝑓. 𝑚 
10- Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = 0 
∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐴𝑌 − 6 − 4 ∗ 9 = 0 
𝐴𝑌 − 6 − 36 = 0 
𝐴𝑌 = 42 𝑡𝑓 
∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐴 + 5 ∗ 6 + 9 ∗ 4 ∗
9
2
= 0 
𝑀𝐴 + 30 + 162 = 0 
𝑀𝐴 = −192 𝑡𝑓. 𝑚 
Questão 2 
As expressões que iremos utilizar para calcular o centroide das figuras serão: 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖𝐴𝑖
∑ 𝐴𝑖
 
�̅� =
∑ 𝑦𝑖𝐴𝑖
∑ 𝐴𝑖
 
a) Calculando o x do centro: 
�̅� =
45 ∗ 90 ∗ 50 − 40 ∗ 40 ∗ 30
90 ∗ 50 − 40 ∗ 30
 
�̅� = 46,82 
Calculando o y do centro: 
�̅� =
25 ∗ 90 ∗ 50 − 35 ∗ 40 ∗ 30
90 ∗ 50 − 40 ∗ 30
 
�̅� = 21,36 
b) Calculando o x do centro: 
�̅� =
35 ∗ 70 ∗ 20 + 30 ∗ 40 ∗ 20
70 ∗ 20 + 40 ∗ 20
 
�̅� = 33,18 
Calculando o y do centro: 
�̅� =
50 ∗ 70 ∗ 20 + 20 ∗ 40 ∗ 20
70 ∗ 20 + 40 ∗ 20
 
�̅� = 39,09 
c) Calculando o x do centro: 
�̅� =
40 ∗ 80 ∗ 60 − 25 ∗ 40 ∗ 30 − 65 ∗ 30 ∗ 30
80 ∗ 60 − 40 ∗ 30 − 30 ∗ 30
 
�̅� = 38,33 
Calculando o y do centro: 
�̅� =
30 ∗ 80 ∗ 60 − 30 ∗ 40 ∗ 30 − 45 ∗ 30 ∗ 30
80 ∗ 60 − 40 ∗ 30 − 30 ∗ 30
 
�̅� = 25 
d) Para calcular o centroide dessa figura vamos utilizar um método diferente, pois 
temos uma figura que é dada por uma função matemática, desta forma utilizaremos a 
seguinte expressão: 
�̅� =
∫ �̃�𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
 
�̅� =
∫ �̃�𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
 
Analisando nossa figura e escolhendo um elemento infinitesimal de área, temos o 
seguinte: 
�̃� = 𝑥 
�̃� = 𝑦 +
400 − 𝑦
2
= 𝑦 + 200 −
𝑦
2
 
�̃� = 200 +
𝑦
2
 
𝑑𝐴 = (400 − 𝑦)𝑑𝑥 
Calculando o centroide de x: 
�̅� =
∫ 𝑥(400 − 𝑦)𝑑𝑥
20
0
∫ (400 − 𝑦)𝑑𝑥
20
0
 
�̅� =
∫ 𝑥(400 − 𝑥2)𝑑𝑥
20
0
∫ (400 − 𝑥2)𝑑𝑥
20
0
 
�̅� =
∫ (400𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥
20
0
∫ (400 − 𝑥2)𝑑𝑥
20
0
 
�̅� =
[(200𝑥2 −
𝑥4
4 )
20
0
]
[(400𝑥 −
𝑥3
3 )
20
0
]
 
�̅� =
200 ∗ 202 −
204
4
400 ∗ 20 −
203
3
= 7,5 
Calculando o y do centroide: 
�̅� =
∫ (200 +
𝑦
2)(400 − 𝑦)𝑑𝑥
20
0
∫ (400 − 𝑦)𝑑𝑥
20
0
 
�̅� =
∫ (80000 −
𝑦2
2 )𝑑𝑥
20
0
∫ (400 − 𝑦)𝑑𝑥
20
0
 
�̅� =
∫ (80000 −
𝑥4
2 )𝑑𝑥
20
0
∫ (400 − 𝑥2)𝑑𝑥
20
0
 
�̅� =
[(80000𝑥 −
𝑥5
20)
20
0
]
[(400𝑥 −
𝑥3
3 )
20
0
]
 
�̅� =
80000 ∗ 20 −
205
20
400 ∗ 20 −
203
3
= 270 
Questão 3 
Primeiro vamos determinar a reação no apoio da esquerda (A): 
∑ 𝑀𝐵 = 0 30 ∗ 4 ∗ 2 − 4𝐴𝑌 = 0 
𝐴𝑌 = 60 𝑘𝑁 
A equação do momento fletor será: 
𝑀(𝑥) = −15𝑥2 + 60𝑥 
O momento máximo é dado em: 
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑥
= 0 
−30𝑥 + 60 = 0 
𝑥 = 2 𝑚 
Portanto, o momento máximo será: 
𝑀(2) = −15 ∗ 22 + 60 ∗ 2 
𝑀 = 60 𝑘𝑁. 𝑚 
Portanto a tensão máxima de compressão: 
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 =
𝑀𝑐
𝐼
 
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 =
60 ∗ 103 ∗ 0,05
0,08 ∗ 0,13
12
= 450 𝑀𝑝𝑎 
A tensão máxima de tração: 
𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝜎𝑡𝑟𝑎𝑐 = 450 𝑀𝑝𝑎 
Isso acontece, pois temos uma seção transversal simétrica.