Aula_00_-_Geometria_Plana_I_-_CN_2024-163-165

Prévia do material em texto

163 
Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I 
 
∴ 𝑥 =
95°
4
= 23,75° = 23° +
3
4
⋅ 60′ = 23°45′ 
Gabarito: “a”. 
41. (EEAR/2003) 
Observando as figuras abaixo, o valor, em graus, de 𝒙 – 𝒚 é 
 
a) 𝟐𝟓 
b) 𝟐𝟎 
c) 𝟏𝟓 
d) 𝟏𝟎 
Comentário: 
Passe pelo vértice do ângulo de 65° uma paralela a 𝑟, e chame-a de 𝑟1. Da mesma forma, passe 
uma paralela a 𝑟 pelo vértice de 𝑥, e chame-a de 𝑟2. Sejam 𝑎1, 𝑎2, as partes do ângulo de 65° à 
esquerda e à direita de 𝑟1, respectivamente. Da mesma forma, sejam 𝑥1, 𝑥2 as partes do ângulo 
𝑥 à esquerda e à direita de 𝑟2. Como temos retas paralelas cortadas por transversais, deduz-se 
que: 
𝑎1 é alterno interno com 30° ⇒ 𝑎1 = 30° 
𝑎2 é alterno interno com 𝑥1 ⇒ 𝑎2 = 𝑥1 
𝑥2 é alterno interno com 40° ⇒ 𝑥2 = 40° 
𝑎1 e 𝑎2 compõem o ângulo de 65° ⇒ 𝑎1 + 𝑎2 = 65° 
𝑥1 e 𝑥2 compõem o ângulo de 𝑥 ⇒ 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥 
Logo, temos que 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑎2 + 40° = (65° − 𝑎1) + 40° = (65° − 30° + 40°) 
∴ 𝑥 = 75° 
 
 
 
164 
Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I 
 
De modo geral, aplicando o mesmo procedimento, podemos concluir que a soma dos ângulos 
que “olham” para cima é igual à soma dos que “olham” para baixo. Poderíamos, assim, ter 
calculado o valor de 𝑥 de maneira mais rápida: 30° + 𝑥 = 65° + 40° ∴ 𝑥 = 75°. 
Para calcular o valor de 𝑦, percebemos primeiro que o suplementar do ângulo de 150° é um 
ângulo interno do triângulo e vale 180° − 150° = 30°. Pelo teorema do ângulo externo, temos 
que 𝑦 = 25° + 30° = 55°. 
Portanto, 
𝑥 − 𝑦 = 75° − 55° = 20° 
Gabarito: “b”. 
42. (EEAR/2003) 
Na figura, 𝒓 ∥ 𝒔 e 𝒕 ⊥ 𝒖. 
 
O valor de 𝒂 − 𝒃 é 
a) 𝟏𝟎𝟎° 
b) 𝟗𝟎° 
c) 𝟖𝟎° 
d) 𝟕𝟎° 
Comentário: 
Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑒 𝐸 os pontos de interseção dos pares de retas (𝑟, 𝑡), (𝑟, 𝑢), (𝑡, 𝑢), (𝑠, 𝑢) e (𝑠, 𝑡), 
respectivamente. Como o maior ângulo entre 𝑢 e 𝑟 vale 𝑎, temos que o menor, 𝐴�̂�𝐶, vale 180° −
𝑎. Como 𝑡 ⊥ 𝑢, temos que o ângulo 𝐴�̂�𝐵 entre as retas 𝑡 e 𝑢 vale 90°. Portanto, para que a soma 
dos ângulos internos do triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 seja de 180°, devemos ter 𝐵�̂�𝐶 = 𝑎 − 90°. Como, 𝑏, na 
figura, e 𝐵�̂�𝐶 são ângulos correspondentes, temos que 𝑏 = 𝑎 − 90°, donde 𝑎 − 𝑏 = 90°. 
Gabarito: “b”. 
 
 
 
165 
Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I 
 
43. (EEAR/2003) 
Seja 𝜶 um ângulo agudo. Se somarmos a medida de um ângulo reto à medida de 𝜶 e, em seguida, 
subtrairmos dessa soma a medida do suplemento de 𝜶, obteremos sempre a medida de um ângulo 
a) nulo, qualquer que seja a medida de 𝜶. 
b) reto, qualquer que seja a medida de 𝜶. 
c) agudo, desde que 𝟒𝟓° < 𝜶 < 𝟗𝟎°. 
d) raso, desde que 𝜶 < 𝟒𝟓°. 
Comentário: 
ângulo reto = 90° 
ângulo reto + 𝛼 = 90° + 𝛼 
suplemento de 𝛼 = 180° − 𝛼 
𝛽 ≔ ângulo reto + 𝛼 − suplemento de 𝛼 = (90° + 𝛼) − (180° − 𝛼) = 2𝛼 − 90° 
 
Se tivermos 45° < 𝛼 < 90°, então 0 < 𝛽 = 2𝛼 − 90° < 90°, isto é, obteremos um ângulo 𝛽 
agudo. 
Logo, é possível obter ângulos tanto não-nulos quanto não-rasos, variando o valor de 𝛼 no 
intervalo 45° < 𝛼 < 90°. Além disso, se 𝛼 < 45°, então 𝛽 < 0. Portanto, a alternativa “c” é a 
única correta. 
Gabarito: “c”. 
44. (EEAR/2002) 
Na figura, 𝑩𝑵 é a bissetriz do ângulo �̂� . Se �̂� = 𝟓𝟎° e �̂� = 𝟑𝟎°, então a medida 𝒙 do ângulo 𝑯�̂�𝑵 
é 
 
a) 𝟓° 
b) 𝟏𝟎°