Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-013-015

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é um dos lados do polígono regular de 𝑛 lados. 
 Sabemos que o ângulo central é dado por: 
𝑎𝑐 =
360°
𝑛
 
 Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo 𝑂𝐴𝐻, temos: 
𝑠𝑒𝑛 (
𝑎𝑐
2
) =
𝑙𝑛
2
𝑅
⇒ 𝒍𝒏 = 𝟐𝑹𝒔𝒆𝒏 (
𝟏𝟖𝟎°
𝒏
) 
cos (
𝑎𝑐
2
) =
𝑎𝑛
𝑅
⇒ 𝒂𝒏 = 𝑹𝐜𝐨𝐬 (
𝟏𝟖𝟎°
𝒏
) 
 Podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo 𝑂𝐴𝐻 e encontrar 𝑎𝑛 em função de 
𝑙𝑛 e 𝑅: 
𝑅2 = 𝑎𝑛
2 + (
𝑙𝑛
2
)
2
⇒ 𝒂𝒏 =
𝟏
𝟐
√𝟒𝑹𝟐 − 𝒍𝒏
𝟐 
 Também é possível deduzir a fórmula do lado de um polígono regular de 2𝑛 lados em 
função do raio 𝑅 e do lado 𝑙𝑛 do polígono regular de 𝑛 lados. Veja a figura: 
 
 
 
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 𝑙𝑛 e 𝑎𝑛 é o lado e o apótema do polígono regular de 𝑛 lados, respectivamente. Note que 
Δ𝐶𝐸𝐵~Δ𝐴𝐶𝐵: 
Δ𝐶𝐸𝐵~Δ𝐴𝐶𝐵 ⇒
𝐶𝐵
𝐸𝐵
=
𝐴𝐵
𝐶𝐵
⇒
𝑙2𝑛
𝑅 − 𝑎𝑛
=
2𝑅
𝑙2𝑛
⇒ (𝑙2𝑛)
2 = 2𝑅(𝑅 − 𝑎𝑛) (𝐼) 
 Escrevendo 𝑎𝑛 em função de 𝑙𝑛 e 𝑅, temos: 
𝑎𝑛 =
1
2
√4𝑅2 − 𝑙𝑛
2 
 Substituindo em (𝐼): 
(𝑙2𝑛)
2 = 2𝑅 (𝑅 −
1
2
√4𝑅2 − 𝑙𝑛
2) 
∴ 𝒍𝟐𝒏 = √𝑹(𝟐𝑹 − √𝟒𝑹
𝟐 − 𝒍𝒏
𝟐) 
 
1.2.5. COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 Vimos que o lado de um polígono regular de 𝑛 lados é dado por: 
 
 
 
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𝑙𝑛 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
) 
 O perímetro desse polígono é igual a: 
𝑝𝑛 = 𝑛 ⋅ 2𝑅 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
) 
 Se tomarmos 𝑛 um número que tende ao infinito, o perímetro desse polígono se aproxima 
ao comprimento da circunferência circunscrita a ele. Então, aplicando o limite, temos: 
𝐶 = lim
n→∞
(2𝑅 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
)) ⇒ 𝐶 = 2𝑅 lim
n→∞
(𝑛 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
))
⏟ 
𝜋
⇒ 𝐶 = 2𝜋𝑅 
 Assim, temos que o comprimento de uma circunferência é dado por: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝑹 
 
 
 
 
 
1. 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ , 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ e 𝑫𝑬̅̅ ̅̅ são 4 lados consecutivos de um icoságono regular. Os prolongamentos dos 
lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑫𝑬̅̅ ̅̅ cortam-se em 𝑰. Calcule o ângulo 𝑩Î𝑫. 
Resolução: 
 O ângulo central do icoságono regular é dado por: