Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-301-303

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝐹𝐸
𝐴𝐸
=
𝐵𝑀
𝐴𝑀
 
 Como 𝐹𝐸 = 𝑥, vem: 
𝑥
√3 −
𝑥
2
=
3
√3
= √3 ⇒ 𝑥 =
6
2 + √3
 
 Por fim: 
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 4 ∙
6
2 + √3
 
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 2𝜋 
 A razão entre eles: 
2𝜋 ∙ (
2 + √3
24
) =
𝜋(2 + √3)
12
=
𝜋√3(2√3 + 3)
36
 
Gabarito: “d”. 
143. (CN/2019) 
Observe a figura a seguir. 
 
Nela, o arco AC, de centro em B, mede 90°. M é ponto médio do diâmetro AB do semicírculo em 
preto. Essa figura representa o ponto de partida de um desenhista gráfico para a construção do 
logotipo de uma empresa. As áreas das partes clara e escura somadas são iguais a 𝟒𝝅. Após análise, 
ele resolve escurecer 30% da área clara e apronta o logotipo. Nessas novas condições é correto 
afirmar que a porcentagem da área da parte clara sobre a área total será igual a: 
a) 25% 
b) 30% 
c) 32% 
d) 35% 
e) 40% 
Comentários 
 
 
 
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 Para resolver essa questão devemos pensar de maneira bem simples para não fazer muitas 
contas. Veja que a área total equivale a um quarto da área de uma circunferência de raio, digamos, 
𝑟. 
Ou seja: 
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
1
4
(𝜋𝑟2) =
𝜋𝑟2
4
 
 A área escura é um semicírculo de raio 𝑟/2, uma vez que 𝑀 é ponto médio. Disso, temos 
que a área da parte escura é: 
𝐵 = á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎 =
1
2
(𝜋 (
𝑟
2
)
2
) =
𝜋𝑟2
8
 
A área clara inicial é, portanto: 
𝐶 = á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑟𝑎 =
𝜋𝑟2
4
−
𝜋𝑟2
8
=
𝜋𝑟2
8
 
Após a redução, a área clara que sobra é: 
0,7 ∙ 𝐶 =
0,7𝜋𝑟2
8
 
 Por fim, a porcentagem é: 
0,7𝐶
𝐴
=
0,7𝜋𝑟2
8
∙
4
𝜋𝑟2
=
0,7
2
= 0,35 = 35% 
Gabarito: “d”. 
144. (CN/2019) 
Seja ABCD um quadrado de lado 1 e centro em ‘O. Considere a circunferência de centro em ‘O e raio 
𝟑/𝟕. A área 'S' da região externa ao círculo considerado e interna ao quadrado é tal que: 
a) 𝟎 ≤ 𝑺 < 𝟎, 𝟒 
b) 𝟎, 𝟒 ≤ 𝑺 < 𝟎, 𝟖 
c) 𝟎, 𝟖 ≤ 𝑺 < 𝟎, 𝟗 
d) 𝟎, 𝟗 ≤ 𝑺 < 𝟏 
e) 𝟏 ≤ 𝑺 < 𝟏, 𝟐 
Comentários 
 A maior circunferência que pode ser inscrita nesse quadrado possui raio 1/2, que é tal que: 
1
2
>
3
7
 
 Disso, concluímos que a circunferência fornecida estará completamente no interior do 
quadrado, de modo que a área 𝑆 é dada por: 
 
 
 
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𝑆 = 1 −
9𝜋
49
 
 Usando que 𝜋 ≈ 3,14, podemos fazer uma estimativa simples dessa área, pois: 
9 ∙ 3,14 = 28,26 
 Além disso: 
28,26
49
≈ 0,57 
 Do que segue que: 
𝑆 ≈ 1 − 0,57 = 0,43 
Gabarito: “b”. 
145. (CN/2019) 
O perímetro do triângulo ABC mede x unidades. O triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC e 
sua área é 36 vezes a área do triângulo ABC. Nessas condições, é correto afirmar que o perímetro 
do triângulo DEF é igual a: 
a) 2x 
b) 3x 
c) 6x 
d) 9x 
e) 10x 
Comentários 
 Seja 𝑘 a razão de semelhança entre os triângulos de modo que: 
𝐷𝐸
𝐴𝐵
=
𝐸𝐹
𝐵𝐶
=
𝐹𝐷
𝐶𝐴
= 𝑘 
 A área é o produto da base pela altura. Dessa forma, seja ℎ a altura do Δ𝐴𝐵𝐶, de modo 
que a área de Δ𝐴𝐵𝐶: 
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ 
 De forma que, pela semelhança de triângulos, temos que: 
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 Δ𝐷𝐸𝐹 = 𝐷𝐸 ∙ ℎ = 𝑘𝐴𝐵 ∙ 𝑘ℎ = 𝑘2𝐴𝐵 ∙ ℎ 
 Do enunciado, temos que a área do triângulo Δ𝐷𝐸𝐹 é 36 vezes a área do Δ𝐴𝐵𝐶, de modo 
que: 
𝑘2 = 36 ⇒ 𝑘 = 6 
 O perímetro do Δ𝐴𝐵𝐶 é: 
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 𝑥