C1 Lista Semanal 8 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 8
Questão 1. Dada a função f(x) = x2 · cos(x
2
). Encontre a aproximação linear de
f(x) em torno de x = π e x = 2π.
Solução: Usando a regra da cadeia e do produto, temos que
f ′(x) = 2x · cos
(x
2
)
−
x2 · sen(π
2
)
2
.
Assim,
f ′(π) = −π
2
2
.
Lembre que a aproximação linear em torno de um ponto x0 é dada por L(x) =
f(x0) + f
′(x0)(x− x0). Portanto, a aproximação linear em torno de π é
L(x) =
π3
2
− π
2 · x
2
.
Por outro lado, veja que
f ′(2π) = −4π.
Logo, a aproximação linear em torno de 2π é
L(x) = 4π2 − 4π · x.
Questão 2. Utilize aproximações lineares locais para encontrar aproximações dos
seguintes valores:
a) y =
√
38. b) y = ln(0, 9). c) y = cosh(1
4
).
Dica: Para usar aproximação linear precisamos definir uma função onde os itens
acima pertençam ao conjunto imagem.
Solução:
a) Veja que podemos usar f(x) =
√
x pois
√
38 é imagem de x = 38 que pertence
ao domínio da função. Note também que a uma raiz conhecida mais próxima é√
36 = 6, logo, faremos uma aproximação linear em torno de x = 36.
Como
f ′(x) =
1
2
√
x
⇒ f ′(36) = 1
12
,
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 8
então
L(x) =
x
12
+ 3.
Assim,
√
38 ≈ L(38) = 38 + 36
12
=
37
6
⇒
√
38 ≈ 6, 16.
b) Podemos utilizar a função f(x) = ln(x) pois 0, 9 > 0 pertence ao seu domínio.
Perceba que 0, 9 está próximo de 1 e sabemos que ln(1) = 0.
Como
f ′(x) =
1
x
⇒ f ′(1) = 1,
então
L(x) = x− 1.
Assim
ln(0, 9) ≈ L(0, 9) ⇒ ln(0, 9) ≈ −0, 10.
c) Podemos definir a função f(x) = cosh(x) pois
1
4
∈ Df . Como
1
4
está próximo de
0, podemos trabalhar a aproximação linear em torno de x = 0, pois sabemos que
cosh(0) = 1.
Como
f ′(x) = senh(x) ⇒ f ′(0) = 0
então
L(x) = 1.
Assim
cosh
(
1
4
)
≈ L
(
1
4
)
⇒ cosh
(
1
4
)
≈ 1.
Perceba que para qualquer x suficientemente próximo de zero, temos f(x) ≈ 1.
Questão 3. Verifique os itens abaixo, indique a indeterminação e utilize a regra de
L’Hospital, quando possível, para determinar os limites.
a) lim
x→3
x4 − 3x3 + 2x− 6
x2 + 3x− 18
. b) lim
x→0−
1
x
− 1
cos(x+ π
2
)
. c) lim
x→+∞
ln(x)
5− 2x
.
Solução:
2
Cálculo I Lista de Exercícios 8
a) Veja que se substituirmos 3 na função dada obteremos uma indeterminação do tipo
0
0
, logo, podemos aplicar L’Hospital.
lim
x→3
x4 − 3x3 + 2x− 6
x2 + 3x− 18
= lim
x→3
4x3 − 9x2 + 2
2x+ 3
=
29
9
.
b) Ao substituirmos x por valores próximos de zero pela esquerda obtemos
lim
x→0−
1
x
− 1
cos(x+ π
2
)
= −∞.
Assim, não podemos aplicar a regra de L’Hospital. No entanto, perceba que
1
x
− 1
cos(x+ π
2
)
=
cos(x+ π
2
)− x
x · cos(x+ π
2
)
.
Assim
lim
x→0−
1
x
− 1
cos(x+ π
2
)
= lim
x→0−
cos(x+ π
2
)− x
x · cos(x+ π
2
)
=
0
0
.
Desta forma podemos aplicar a regra de L’Hospital, portanto
lim
x→0−
cos(x+ π
2
)− x
x · cos(x+ π
2
)
= lim
x→0−
− sen(x+ π
2
)− 1
cos(x+ π
2
)− x · sen(x+ π
2
)
= −∞.
c) Quando tendemos x para +∞ obtemos uma indeterminação do tipo +∞
−∞
, o que
nos permite aplicar a regra de L’Hospital. Portanto
lim
x→+∞
ln(x)
5− 2x
= lim
x→+∞
1
x
−2
= 0.
Questão 4. Uma viga com 30m de comprimento está apoiada em uma parede e o
seu topo está se deslocando para baixo a uma velocidade de 0, 5m/s. Qual será a taxa
de variação da medida do ângulo agudo formado pela viga e pelo chão quando o topo
da viga estiver a 18m do chão? Forneça a resposta com precisão de 4 casas decimais.
Solução: Fazendo um esboço do problema, podemos chegar a seguinte relação:
tg(θ) =
h√
302 − h2
.
Agora, derivando de ambos lados em relação ao tempo t
d
dt
(tg(θ)) =
d
dt
(
h√
302 − h2
)
sec2(θ) · dθ
dt
=
dh
dt
·
√
302 − h2 − h · −2h
2
√
302 − h2
· dh
dt
302 − h2
.
3
Cálculo I Lista de Exercícios 8
Sabe-se que h = 18,
dh
dt
= −0, 5 e sec(θ) = 30√
302 − 182
. Dessa forma, pode-se
calcular
dθ
dt
quando h = 18 substituindo esses valores na expressão acima, assim
(
30√
302 − 182
)2
· dθ
dt
=
−0, 5 ·
√
302 − 182 − 18 · −2 · 18
2
√
302 − 182
· (−0, 5)
302 − 182
dθ
dt
= −0, 0208rad/s.
Solução 2:
sen(θ) =
h
30
d
dt
(sen(θ)) =
d
dt
(
h
30
)
cos(θ) · dθ
dt
=
1
30
· dh
dt
Sabendo que θ = arcsen
(
h
30
)
e
dh
dt
= −0, 5. Quando h = 18 o valor do ângulo θ
será: θ = arcsen
(
18
30
)
= 0, 6435. Portanto, basta substituir os valores de θ e
dh
dt
,
assim
cos(0, 6435) · dθ
dt
=
1
30
· (−0, 5)
dθ
dt
= −0, 0208 rad/s.
Questão 5. A medida da resistência elétrica R de um fio é proporcional à medida
L de seu comprimento e inversamente proporcional ao quadrado da medida x de seu
diâmetro. Suponha que a resistência de um fio de um determinado comprimento seja
calculada a partir da medida de seu diâmetro, com um erro possível de 2%. Ache o
erro percentual possível no cálculo do valor da resistência.
Solução: Sabe-se que a resistência pode ser escrita como
R = k
L
x2
.
Calculando a derivada de R em relação a x
R′ = −2kL
x3
.
Calculando a diferencial
∆R = −2kL
x3
· 0, 02x = −0, 04kL
x2
.
O erro será dado por
Erro =
−0, 04kL
x2
kL
x2
Erro = −0, 04.
4
Cálculo I Lista de Exercícios 8
Portanto, o possível erro percentual no cálculo do valor da resistência será de 4%.
Questão extra: Um triângulo retângulo variável ABC no plano XOY tem o
ângulo reto no vértice B, o vértice A fixo na origem e o terceiro C obrigado a per-
manecer sobre a parábola y = 1 + 7
36
x2. O ponto B parte do ponto (0,1) em t = 0
e se desloca no semieixo positivo OY com velocidade constante de 2m/s. Com que
rapidez varia a área do triângulo em t = 7
2
s? (Todas variáveis estão no S.I)
Solução: A área do triângulo formada pelos vértices ABC será dada por
A =
xy
2
.
Podemos colocar x em função de y
y = 1 +
7x2
36
x =
√
36(y − 1)
7
.
A função A(y) =
y · x(y)
2
será
A(y) =
y
√
36(y − 1)
7
2
.
Derivando em relação a t de ambos os lados
d
dt
(A(y)) =
d
dt
(
y
2
·
√
36(y − 1)
7
)
dA
dy
· dy
dt
=
1
2
· dy
dt
·
√
36(y − 1)
7
+
y
2
· 1
2
√
36(y − 1)
7
· 36
7
· dy
dt
.
Sabe-se que
dy
dt
= 2 e y = 1 + 2t. Quando t =
7
2
, y = 8. Para encontrar dA
dt
∣∣
t= 7
2
,
basta encontrar dA
dy
∣∣∣
y=8
. Diante disso,
(
dA
dy
∣∣∣∣
y=8
)
· 2 = 1
2
· 2 ·
√
36(8− 1)
7
+
8
2
· 36
2 ·
√
36(8− 1)
7
· 36
7
· 2
dA
dy
∣∣∣∣
y=8
=
33
7
Sabendo que:
dA
dt
∣∣∣∣
t= 7
2
=
dA
dy
∣∣∣∣
y=8
· dy
dt
∣∣∣∣
t= 7
2
.
Então:
dA
dt
∣∣∣∣
t= 7
2
=
33
7
· 2 = 66
7
m2/s .
5
Cálculo I Lista de Exercícios 8
Solução 2:
A(t) =
y(t)
√
36(y(t)− 1)
7
2
.
Substituindo y = 1 + 2t na equação acima, tem-se
A(t) =
(1 + 2t)
√
36(1 + 2t− 1)
7
2
= 3(1 + 2t)
√
2t
7
Derivando A(t) em relação a t
A′(t) = 6 ·
√
2t
7
+ 3(1 + 2t)
1
2 ·
√
2t
7
· 2
7
= 6 ·
√
2t
7
+
3 + 6t
7 ·
√
2t
7
Substituindo t =
7
2
, tem-se
A′
(
7
2
)
= 6 ·
√
2
7
· 7
2
+
3 + 6 · 7
2
7 ·
√
2
7
· 7
2
=
66
7
m2/s
6