C1 Nota de Aula 10 - 2023_2

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 10: Derivada de uma função, Continuidade, Derivabilidade e Derivada das Funções 
Elementares.
Objetivos da Aula
� De�nir a derivada de uma função;
� Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade;
� Apresentar a derivada das funções elementares.
1 Função Derivada
Quando uma função f é derivável em todos os pontos do seu domínio, D, dizemos que é derivável em
D. Dito isso, considere uma função f : D → R derivável em D. Podemos agora, de�nir uma nova função,
que será denotada por f ′, chamada função derivada de f ou derivada da função f , essa nova função
associa cada ponto x ∈ D à derivada da função f aplicada em x, ou seja,
f ′ : D → R
x 7→ f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Agora, quando falarmos em determinar a derivada de uma função f , estamos nos referindo a determinar
a função derivada de f . Vendo de uma outra forma, estamos calculando a derivada para todo x no domínio
de f .
Exemplo 1. Considere a função f(x) = c, com c uma constante. Mostre que f ′(x) = 0, para todo x ∈ R.
Solução: Pela de�nição de derivada, temos que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0
h
= 0.
�
Exemplo 2. Seja g(x) = x5. Mostre que g′(x) = 5x4, para todo x ∈ R.
Solução: Usando a de�nição de derivada, se p ∈ R, então
g′(x) = lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p
= lim
x→p
x5 − p5
x− p
= lim
x→p
���
�(x− p)(x4 + px3 + p2x2 + p3x+ p4)
���x− p
= lim
x→p
x4 + px3 + p2x2 + p3x+ p4 = p4 + pp3 + p2p2 + p3p+ p4
= 5p4
Como p ∈ R, podemos substituir p por x, e obter que g′(x) = 5x4.
�
1
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1.1 Derivadas de Ordens Superiores
Suponha f : D → R derivável em D. Anteriormente de�nimos a função derivada de f e a mesma coisa
pode ser feita para f ′ : D → R, ou seja, podemos de�nir a função segunda derivada de f , denotada por
f ′′, como sendo uma função de D em R que é a derivada da função derivada. De outra forma, f ′′ = (f ′)′
e pela notação de Leibniz,
f ′′(x) =
d2f
dx2
(x) =
d
dx
(
df
dx
)
(x).
Vejamos um exemplo.
Exemplo 3. Seja f(x) = x3 − x. Encontre f ′′(x).
Solução: Por de�nição, a função f ′′ é a derivada da função f ′. Como f ′(x) = 3x2− 1 (veri�que!), então
por de�nição,
f ′′(x) = lim
h→0
f ′(x+ h)− f ′(x)
h
= lim
h→0
[3(x+ h)2 − 1]− [3x2 − 1]
h
= lim
h→0
��3x2 + 6xh+ 3h2 − �1−��3x2 + �1
h
= lim
h→0
�h(6x+ 3h)
�h
= 6x+ 3 · 0 = 6x.
�
Analogamente, podemos de�nir a terceira derivada de uma função f como sendo a derivada da função
segunda derivada de f :
f ′′′(x) =
d3f
dx3
=
d
dx
(
d2f
dx2
)
.
Generalizando, podemos de�nir a derivada de ordem n como sendo a derivada da função derivada de
ordem n− 1 de f . Desse modo,
f (n)(x) =
dnf
dxn
=
d
dx
(
dn−1f
dxn−1
)
, n = 1, 2, 3, . . .
2 Derivabilidade e Continuidade
Derivabilidade e Continuidade são características desejáveis ao estudarmos uma determinada função. O
seguinte teorema relaciona essas duas propriedades.
Teorema 1. Se f é derivável em p ∈ R então f é contínua em p.
Se quisermos saber quando uma função é derivável, o teorema não nos ajuda muito, pois supõe que a
função já é derivável. Contudo, observando o enunciado do teorema, notamos que ele pode ser reescrito da
seguinte forma:
Se f NÃO for contínua então f NÃO é derivável.
Essa versão do teorema acima é chamada contrapositiva da a�rmação e é equivalente ao próprio teorema.
Dessa forma, ainda não conseguimos dizer com precisão se uma função é derivável, porém podemos saber
quando ela não é, basta mostrar que ela não é contínua.
Por exemplo, considere a função
f(x) =
{
2− x se x < 2
−2x+ 1 se x ≥ 2 .
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Queremos saber se essa função é derivável em p = 2. Para isso, vamos tentar veri�car se ela não é.
Utilizando o teorema anterior, temos de veri�car a continuidade de f em p = 2. Se f não for contínua em
p = 2 então ela não é derivável em p = 2, do contrário não podemos usar o resultado dessa seção. Mas
note que
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(−2x+ 1) = −2.2 + 1 = −3
e
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
2− x = 2− 2 = 0.
Logo, o limite lim
x→2
f(x) não existe. Dessa forma, a função f não é contínua em p = 2 e, portanto, não
é derivável. Isso também pode ser visto através do grá�co da função f :
Figura 1: Exemplo de uma função descontínua em x = 2 e, portanto, não derivável em x = 2.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 4. Considere as seguintes funções. Veri�que se elas são contínuas no ponto p = 1. Elas são
deriváveis em p = 1?
(a)
g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
;
(b)
f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2x− 1 se x > 1 .
Solução:
(a) Veri�caremos primeiramente se g é contínua em p = 1. Note que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2 = 2
e que
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 = 12 = 1.
Como lim
x→1+
f(x) 6= lim
x→1−
f(x) então lim
x→1
f(x) não existe. Assim, a função g não é contínua em
p = 1. Pelo teorema anterior, f não é derivável em p = 1.
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(b) Vamos veri�car primeiramente a continuidade da função f . Para isso, calculamos o seguinte limite:
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 = 12 = 1
e
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(2x− 1) = 2.1− 1 = 1.
Logo, lim
x→1
f(x) = 1 = f(1). Portanto, f é contínua em p = 1, o que não nos permite utilizar o
resultado dessa seção. Sendo assim, vamos ter de calcular a derivada de f em p = 1. Dessa forma,
note que
f(x)− f(1)
x− 1
=
 x
2 − 1
x− 1
se x < 1
2 se x > 1
.
Logo,
lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1−
x2 − 1
x− 1
= lim
x→1−
���
�(x− 1)(x+ 1)
���x− 1
= lim
x→1−
x+ 1 = 1 + 1 = 2
lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1+
2 = 2.
Então
lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
= 2,
ou seja, f é derivável em p = 1 e f ′(1) = 2.
�
Observação 1. A recíproca do teorema 1 não é verdadeira. Um exemplo é a função
h(x) =
{
x2 se x ≤ 1
1 se x > 1
Deixamos a cargo do aluno veri�car que essa função é contínua em 1, mas não é derivável em 1. Observando
o grá�co dessa função,
Figura 2: Contraexemplo do Teorema 1.
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Notamos que em x = 1 a função apresenta um �bico�. Esse fato é um critério para determinarmos
geometricamente os pontos do domínio em que uma função não é derivável. Portanto, nos pontos do
domínio onde o grá�co da função possui �bicos� são pontos em que a função não é derivável. Um outro
exemplo que será deixado como exercício é veri�car que a função f(x) = |x| é contínua em 0, mas não é
derivável em 0.
Exemplo 5. Dados o seguinte grá�co e os pontos considerados, determine em que pontos a função não é
diferenciável e justi�que.
Solução: Note que a função descrita no grá�co acima não é diferenciável no ponto de abscissa x = −1,
pois é descontínua; e também nos pontos de abscissas x = 1, 5 e x = 3 pois nos mesmos a função apresenta
um �bico�.
�
3 Derivada de Funções Elementares
Nessa seção abordaremos as primeiras regras de derivação que serão úteis para o nosso estudo de
derivadas.
Proposição 1. Seja r ∈ R. A derivada da função potência f(x) = xr é
df
dx
(x) = rxr−1.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 6. Determine a derivada das seguintes funções:
(i) f(x) = x7;
(ii) g(x) =
1
x3
;
(iii) h(x) = 5
√
x;
(iv) p(x) =
7
√
x3.
Solução: Utilizaremos a proposição anterior.
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(i) f ′(x) = 7x7−1 = 7x6.
(ii) Utilizando as propriedades das potências:
g′(x) =
(
1
x3
)′
=
(
x−3
)′
= −3x−3−1 = − 3
x4
.
(iii) Utilizando a propriedade dos expoentes racionais, obtemos que:
dh
dx
(x) =
(
5
√
x
)′
=
(
x
1
5
)′
=
1
5
x
1
5
−1 =
1
5
x−
4
5 =
1
5
(
1
x
) 4
5
=
1
5
1
x
4
5
=
1
5
5
√
x4
.
(iv) Fazendo como anteriormente, temos que:
dp
dx
(x) =
(
7
√
x3
)′
=
(
x
3
7
)′
=
3
7
x
3
7
−1 =
3
7
x−
4
7 =
3
7
(
1
x
) 4
7
=
3
7
1
x
4
7
=
3
7
7
√
x4
.
�
A próxima proposição nos dá a derivada de mais duas funções úteis em nossos cálculos.
Proposição 2. Se x ∈ R, então,
(sen x)′ = cos x e (cosx)′ = − sen x
Demonstração: Basta utilizar a de�nição de função derivada. Seja f(x) = sen x, e p ∈ R qualquer.
Então
f ′(x) = lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p
= lim
x→p
sen x− sen p
x− p
= lim
x→p
2 sen
(x−p
2
)
cos
(x+p
2
)
x− p
= lim
x→p
sen
(x−p
2
)
cos
(x+p
2
)
x−p
2
= lim
x→p
sen
(x−p
2
)
x−p
2
lim
x→p
cos
(
x+ p
2
)
= 1 · cos
(
�2p
�2
)
= cos p.
Como p ∈ R então, podemos escrever
(sen x)′ = cos x.
Analogamente, podemos mostrar a segunda igualdade.
�
Proposição 3. Seja f(x) = ex então f ′(x) = ex.
Demonstração: Note que
f ′(x) = lim
h→0
ex+h − ex
h
= lim
h→0
ex(eh − 1)
h
= ex lim
h→0
eh − 1
h
.
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Utilizando o Limite Fundamental Exponencial, obtemos que
lim
h→0
eh − 1
h
= 1.
Portanto,
f ′(x) = ex.1 = ex.
�
De forma análoga, podemos mostrar também que
(lnx)′ =
1
x
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 2.8, 3.1 e 3.3 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das seções 2.8 e 3.1 do livro texto.
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