C1 Nota de Aula 30 - 2023_2

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 30: Volume.
Objetivos da Aula
� Calcular o volume de sólidos de revolução utilizando o método dos discos;
� Calcular o volume de sólidos de revolução utilizando a técnica das cascas cilíndricas.
1 Volume por discos.
Suponha que desejemos calcular o volume de um sólido. A seção transversal do sólido em cada ponto x
no intervalo [a, b] é uma região R(x) de área A(x). Se A for uma função contínua de x , podemos usá-la
para de�nir e calcular o volume do sólido como uma integral, da maneira a seguir.
Dividimos [a, b] em subintervalos de comprimento ∆x e fatiamos o sólido por planos perpendiculares ao
eixo x nos pontos de partição (x∗i ). A i-ésima fatia, que está entre os planos xi−1 e xi, tem aproximadamente
o mesmo volume que o cilindro (não necessariamente de base circular) compreendido entre os dois planos
com base na região R(x).
O volume do cilindro é Vi = A(xi)×∆x. A soma∑
Vi =
∑
A(xi)×∆x
é uma aproximação do volume do sólido. Isso é uma soma de Riemann para A(x) em [a, b]. Espera-se
que as aproximações melhorem à medida que o comprimento de cada subintervalo tenda a zero, portanto,
de�nimos a integral que é o limite dessas somas como o volume do sólido.
De�nição 1 (Volume). Seja S um sólido que está entre x = a e x = b. Se a área da seção transversal de
S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contínua, então o
volume V é
V = lim
n→∞
∞∑
i=1
A(x∗i )∆x =
∫ b
a
A(x) dx.
Para calcularmos o volume, procedemos da seguinte maneira:
1. Esboce o sólido e uma seção transversal.
2. Encontre uma fórmula para A(x).
1
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3. Encontre os limites de integração.
4. Integre A(x) para encontrar o volume.
Exemplo 1. Mostre que o volume de uma esfera de raio r é
4
3
πr3.
Solução: O sólido que queremos calcular o volume é:
Se colocarmos a esfera de modo que o seu centro se encontre na origem, então o plano Px intercepta
a esfera em um círculo cujo raio é y =
√
r2 − x2. Portanto, a área da seção transversal é
A = πy2 = π(r2 − x2).
Usando a de�nição de volume com a = −r e b = r, temos
V =
∫ r
−r
π(r2 − x2) dx
= 2π
∫ r
−r
(r2 − x2) dx
= 2π
[
r2x− x
3
3
]r
0
= 2π
(
r3 − r
3
3
)
=
4
3
πr3.
�
Exemplo 2. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva
y =
√
x de 0 a 1.
Solução: O sólido que queremos calcular o volume é dado abaixo:
Quando fatiamos pelo ponto x, obtemos um disco com raio
√
x. A área da seção transversal é
A(x) = π(
√
x)2 = πx.
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O sólido encontra-se entre 0 e 1, logo seu volume será
V =
∫ 1
0
πx dx = π
[
x2
2
]1
0
=
π
2
.
�
Exemplo 3. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y = x3, y = 8 e
x = 0 em torno do eixo y.
Solução: O sólido que queremos calcular o volume é dado abaixo:
Como a região é rotacionada em torno do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo
y e, portanto, integrar em relação a y. Se fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio
x, onde x = 3
√
y. Então a área da seção transversal é
A(y) = πx2 = π( 3
√
y)2 = πy2/3.
Como o sólido encontra-se entre y = 0 e y = 8, seu volume é
V =
∫ 8
0
πy2/3 dy = π
[
3
5
y5/3
]8
0
=
96π
5
.
�
Exemplo 4. A região R, delimitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada ao redor do eixo x. Encontre o
volume do sólido resultante.
Solução: O sólido que queremos calcular o volume é dado abaixo:
As curvas se interceptam em (0, 0) e (1, 1). A seção transversal perpendicular ao eixo x tem o formato
de uma coroa (ou arruela, anel) com raio interno x2 e raio externo x, de modo que calculamos a área da
seção transversal subtraindo a área do círculo interno da área do círculo externo
A(x) = πx2 − π(x2)2 = π(x2 − x4).
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Portanto,
V =
∫ 1
0
π(x2 − x4) dx = π
[
x3
3
− x
5
5
]1
0
=
2π
15
.
�
Exemplo 5. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do exemplo anterior em torno da
reta y = 2.
Solução: O sólido obtido é:
Novamente a seção transversal é uma arruela, mas desta vez o raio interno é 2 − x e o raio externo é
2− x2. Assim,
V = π
∫ 1
0
[
(2− x2)2 − (2− x)2
]
dx = π
∫ 1
0
(x4 − 5x2 + 4x) dx = 8π
15
.
�
Exemplo 6. Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado L e cuja altura seja h.
Solução: Vamos colocar a origem no vértice da pirâmide e o eixo x ao longo do seu eixo central.
Qualquer plano Px que passa por x e é perpendicular ao eixo x intercepta a pirâmide em um quadrado
com lado de comprimento s. Podemos expressar s em termos de x observando que, por semelhança de
triângulos,
x
h
=
s/2
L/2
=
s
L
.
de modo que s = Lx/h. Portanto, a área da seção transversal é
A(x) = s2 =
L2
h2
x2.
A pirâmide está entre 0 e h. Logo,
V =
∫ h
0
L2
h2
x2 dx =
[
L2
h2
.
x3
3
]h
0
=
L2h
3
.
�
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2 Volume por Casca Cilíndrica
Considere f uma função contínua e positiva, S a superfície dada por:
S = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
e R o sólido de revolução obtido pela rotação de S em torno do eixo y, cujo volume V se quer calcular.
1. Divide-se o intervalo [a, b] em n subintervalos com extremidades x0, x1, ..., xn e com larguras iguais a
∆x =
b− a
n
;
2. Seja Si o retângulo de base ∆x e altura f(xi), onde
xi =
xi−1 + xi
2
é o ponto médio do intervalo [xi−1, xi] e Ri o sólido obtido pela rotação de Si em torno do eixo y;
O sólido Ri é chamado casca cilíndrica - dois cilindros concêntricos com mesma altura - com volume
dado por
VRi = πx
2
i f(xi)− πx2i−1f(xi) = πf(xi)(x2i − x2i−1) = 2πxif(xi)∆x.
Assim,
V ≈
n∑
i=1
2πxif(xi)∆x.
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Quanto menor for ∆x→ 0, melhor é a aproximação, então de�nimos:
V = lim
x→∞
n∑
i=1
2πxif(xi)∆x =
∫ b
a
2πxf(x) dx.
De�nição 2. O volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região sob a curva y = f(x)
de a até b, é:
V =
∫ b
a
2πxf(x) dx,
onde 0 ≤ a < b.
A melhor maneira de se lembrar desta de�nição é pensar em uma casca típica, cortada e achatada como
na �gura abaixo.
Com raio x, circunferência 2πx, altura f(x), e espessura ∆x ou dx:
V =
∫ b
a
2πx︸︷︷︸
Circunferência
f(x)︸︷︷︸
Altura
dx︸︷︷︸
Espessura
.
Exemplo 7. Determine o volume de sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região
S = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2x+ 1}.
Solução: Gra�camente, a superfície é:
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Usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido é:
V =
∫ b
a
2πxf(x) dx
=
∫ 3
1
2πx(2x+ 1) dx
=
∫ 3
1
2π(2x2 + x) dx
= 2π
[
2x3
3
+
x2
2
]3
1
=
128π
3
.
�
Exemplo 8. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por
y = 0, y = 2x2 − x3, x = 0 e x = 2.
Solução: Gra�camente, a superfície é:
Usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido é
V =
∫ b
a
2πxf(x) dx
=
∫ 2
0
2πx(2x2 − x3) dx
=
∫ 2
0
2π(2x3 − x4) dx
= 2π
[
x4
2
− x
5
5
]2
0
=
16π
5
.
�
Exemplo 9. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os
pares (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ 4, x ≥ 0.
Solução: Gra�camente, a superfície é:
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Usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido é
V =
∫ b
a
2πxf(x) dx
=
∫ 2
0
2πx(4− x2) dx
=
∫ 2
0
2π(4x− x3) dx
= 2π
[
2x2 − x
4
4
]2
0
= 8π.
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 382− 386 e 399− 407 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da página 386− 387, 402− 404 e 407− 408 do livro texto.
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