C1 Nota de Aula 31 - 2023_2

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 31: Comprimento de Arco, Trabalho e Pressão e Força Hidrostática.
Objetivos da Aula
� De�nir comprimento de arco;
� De�nir o trabalho realizado por uma força variável;
� De�nir pressão e força exercidas por um �uido.
1 Comprimento de Arco
Suponha que tenhamos uma curva C de�nida pela equação y = f(x), onde f tem derivada contínua,
como ilustrado abaixo:
Se a curva fosse poligonal, poderíamos calcular seu comprimento somando os comprimentos dos seg-
mentos que a formam, mas no caso acima, não podemos proceder dessa forma. Como sabemos calcular
o comprimento de poligonais, então podemos aproximar a curva por uma poligonal e assim, teríamos uma
aproximação para o comprimento da curva. Sendo assim, subdividimos o intervalo [a, b] em n subinter-
valos de comprimento ∆x com extremidades a = x0, x1, ..., xn = b e tomamos os pontos Pi = (xi, yi),
i = 1, 2, ..., n. Ao ligar os pontos P1, P2, ..., Pn obtemos uma poligonal como abaixo:
Sabendo que a distância entre os pontos Pi−1 = (xi−1, yi−1) e Pi = (xi, yi) é dada por
|Pi−1Pi| =
√
(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2,
então o comprimento da poligonal é dado por
Li =
n∑
i=1
|Pi−1Pi|,
1
Universidade Federal do Pará
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que é uma aproximação para o comprimento L da curva. Aumentando a quantidade de segmentos que
compõem a poligonal, temos uma aproximação cada vez melhor para o valor de L. Desse modo, podemos
de�nir
L = lim
n→+∞
n∑
i=1
|Pi−1Pi|.
Agora, sabemos que ∆x = xi − xi−1 e tomando ∆y = yi − yi−1, temos que
|Pi−1Pi| =
√
(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2 =
√
(∆x)2 + (∆y)2.
Pelo Teorema do Valor Médio para a função f no subintervalo [xi−1, xi], descobrimos que existe um
número ci ∈ (xi−1, xi) tal que
f(xi)− f(xi−1) = f ′(ci)(xi − xi−1)
yi − yi−1 = f ′(ci)(xi − xi−1)
∆y = f ′(ci)∆x.
Logo,
|Pi−1Pi| =
√
(∆x)2 + (∆y)2
=
√
(∆x)2 + [f ′(ci)]2(∆x)2
= ∆x
√
1 + [f ′(ci)]2.
Logo, o comprimento da curva y = f(x) pode ser de�nido por
L = lim
n→+∞
n∑
i=1
√
1 + [f ′(ci)]2∆x =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx.
Esta integral existe desde que f ′ seja contínua em [a, b].
De�nição 1 (Comprimento de Arco). Se f ′ for contínua em [a, b], então o comprimento da curva y = f(x),
a ≤ x ≤ b é
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx.
Se usarmos a notação de Leibniz para as derivadas, podemos escrever a fórmula do comprimento de
arco da seguinte forma
L =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx.
Exemplo 1. Encontre o comprimento de arco da curva y = 2x+ 1, com 1 ≤ x ≤ 4.
Solução: Temos que
L =
∫ 4
1
√
1 + 22 dx = L =
∫ 4
1
√
5 dx = 3
√
5.
�
Exemplo 2. Encontre o comprimento de arco da curva, y = x2, com 0 ≤ x ≤ 4.
Solução: Temos que
L =
∫ 4
0
√
1 + 4x2 dx =
∫ 4
0
√
1 + (2x)2 dx
Fazendo 2x = tg(u), temos que dx =
sec2(u)
2
du. Assim,∫ √
1 + 4x2 dx =
∫ √
1 + (tg(u))2 · sec
2 u
2
=
1
2
∫
sec3(u) du =
1
4
(sec(u)tg(u) + ln | sec(u) + tg(u)|).
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Segue que∫ √
1 + 4x2 dx =
1
4
(sec(u)tg(u) + ln | sec(u) + tg(u)|) = 1
4
(2x
√
1 + 4x2 + ln(
√
1 + 4x2) + 2x) + C.
Portanto, ∫ 4
0
√
1 + 4x2 dx =
[
1
4
(2x
√
1 + 4x2 + ln(
√
1 + 4x2) + 2x)
]4
0
≈ 16, 82.
�
Exemplo 3. Encontre o comprimento de arco da curva, y = ln(sec(x)), com 0 ≤ x ≤ π
4
.
Solução: Temos que
L =
∫ π
4
0
√
1 + tg2(x) dx =
∫ π
4
0
sec(x) dx = [ln | sec(x) + tg(x)|]
π
4
0 = ln(
√
2 + 1).
�
2 Trabalho
Considere um corpo rígido sobre o qual atua uma força ~F , sendo o movimento da partícula retilíneo e
no sentido da força:
Quando aumentamos a velocidade do corpo aplicando uma força sobre ele, podemos dizer que transfe-
rimos energia para o corpo. Sendo assim, trabalho W é a energia transferida de um objeto para outro por
meio de uma força. Quando a energia é transferida para o objeto, o trabalho é positivo (W > 0). Quando
a energia é transferida do objeto, o trabalho é negativo (W < 0). Logo, realizar trabalho signi�ca transferir
energia.
Se a força ~F que atua sobre o corpo é constante, o módulo do trabalho é obtido pelo produto escalar
W = ~F · ~d
W = F d cos θ,
sendo F o módulo do vetor força, d o módulo do vetor deslocamento e θ o ângulo entre os vetores. Porém,
como estamos considerando que eles têm a mesma direção e sentido, obtemos
W = F d.
Se a força é medida em Newtons (N) e o deslocamento em metros (m), então a unidade do trabalho é
newton-metro (N m), que é também chamada de Joule (J).
Exemplo 4. Aplica-se uma força horizontal constante de 40 N para empurrar uma caixa pesada por uma
distância de 5 m. Qual o trabalho realizado?
Solução: Temos que
W = F d = 40 · 5 = 200 J.
�
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Considere agora uma partícula que se move ao longo de uma reta sob a ação da força variável e contínua
F (x). Queremos determinar o trabalho realizado por esta força para deslocar a partícula de um ponto x = a
ao ponto x = b.
Como a força é variável, não podemos aplicar a fórmula de trabalho dada acima. Vamos dividir o
intervalo [a, b] em n subintervalos com extremidades x0, x1, x2, ..., xn e com larguras iguais a
∆x =
b− a
n
.
Se Wi é o trabalho realizado pela força para deslocar a partícula no intervalo [xi−1, xi], então
W =
n∑
i=1
Wi.
E o problema recai em calcular uma aproximação para Wi. Para tal, escolhe-se em cada subintervalo
um ponto arbitrário,
x∗1 ∈ [x0, x1], x∗2 ∈ [x1, x2], x∗3 ∈ [x2, x3], ..., x∗n ∈ [xn−1, xn],
e assumimos que, para deslocar a partícula ao longo do intervalo [xi−1, xi], a força é constante e igual a
F (x∗i ). Assim,
Wi ≈ F (xi) ·∆x
e
W ≈
n∑
i=1
F (x∗i ) ·∆x.
Note que, quanto menor for ∆x, melhor será esta aproximação. Assim, de�ni-se
W = lim
n→∞
(
n∑
i=1
F (x∗i ).∆x
)
=
∫ b
a
F (x) dx.
Exemplo 5. Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede
F (x) =
10
(1 + x)2
N
em um ponto a x metros da origem. Calcule o trabalho realizado para mover a partícula da origem até 9
metros.
Solução: Como a força que atua sobre a partícula a x metros da origem é dada por
F (x) =
10
(1 + x)2
,
para deslocá-la do ponto x = 0 ao ponto x = 9, realiza-se o trabalho dado por
W =
∫ 9
0
10
(1 + x)2
dx =
[
− 10
(x+ 1)
]9
0
= 9 J.
�
Exemplo 6. A Lei de Hooke a�rma que a força necessária para manter uma mola esticada x unidades
além de seu comprimento natural é proporcional a x, isto é, F (x) = kx, onde k > 0 é a constante
elástica da mola. Suponha que 2J de trabalho sejam necessários para esticar uma mola de seu compri-
mento natural de 30 cm para 42 cm. Quanto trabalho é necessário para esticar a mola de 35 cm para 40 cm?
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Solução: Pela lei de Hooke, a força que atua sobre a mola é dada por F (x) = kx, onde x é o comprimento
da mola além de 0,3 m, que é seu comprimento natural. Como esta força é variável, então o trabalho
necessário para esticar a mola de 0,35 m a 0,40 m (x = 0, 05 m a x = 0, 10 m) é dado por
W =
∫ 0,10
0,05
kx dx =
[
k
2
x2
]0,10
0,05
= 375k · 10−5 J.
Resta então determinar o valor da constante k da mola. Como
2 =
∫ 0,12
0
kx dx =
[
k
2
x2
]0,12
0
⇒ k = 1
36
× 104,
temos
W = 375× 10−5 × 1
36
× 104 ≈ 1, 04 J.
�
3 Pressão e Força Hidrostática
Dentre as muitas aplicações do cálculo integral à física e à engenharia, consideramos uma aqui: a força
em função da pressão da água.
De�nição 2 (Pressão). Se uma força de módulo F for aplicada a uma superfície de área A, então de�nimos
a pressão P exercida pela força sobre a superfície como sendo
P =
F
A
.
Suponha que uma placa horizontal �na com área de A metros quadrados seja submersa em um �uído
de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade h metros abaixo da superfície do �uído.
O �uido diretamente acima da placa tem volume V = Ah, assim, sua massa é m = ρV = ρAh. A força
exercida pelo �uído na placa é, portanto,
F = mg = ρgAh,
em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim,
P =
F
A
= ρgh.
Um princípio importante da pressão de �uídos é o fatoveri�cado experimentalmente de que em qualquer
ponto no líquido a pressão é a mesma em todas as direções. Assim, a pressão em qualquer direção em uma
profundidade h em um �uido com densidade de massa ρ é dada por
P = ρgh.
Isso nos ajuda a determinar a força hidrostática contra uma placa vertical, parede ou barragem em um
�uido. Este não é um problema simples, porque a pressão não é constante, mas aumenta de acordo com a
profundidade.
Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um �uido de densidade ρ, e que a
parte submersa da superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para
a ≤ x ≤ b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x.
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A ideia básica para resolver este problema é dividir a superfície em faixas horizontais, cujas áreas possam
ser aproximadas por áreas de retângulos. Essas aproximações de áreas, nos permitirão criar uma soma de
Riemann que aproxime a pressão total na superfície. Tomando um limite das somas de Riemann, obteremos
uma integral para F .
De�nição 3. Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um �uido com densidade
ρ, e que a parte submersa da superfície se estenda de x = a até x = b ao longo do eixo x cujo sentido
positivo seja para baixo. Para a ≤ x ≤ b, suponha que w(x) seja a extensão da superfície e que h(x) seja
a profundidade do ponto x. De�nimos, então, a força do �uido sobre a superfície por
F =
∫ b
a
ρgh(x)w(x) dx.
Exemplo 7. A face de um dique é um retângulo vertical com altura de 100 pés e extensão de 200 pés.
Encontre a força total que o �uido exerce sobre a face, quando a superfície da água está no nível do topo
do dique. Considere o peso especí�co do �uido igual a 62, 4 lb/pé3.
Solução: Introduzimos um eixo x com origem na superfície da água, conforme mostra a �gura abaixo:
Em um ponto x sobre esse eixo, a extensão do dique é de w(x) = 200 pés e a profundidade h(x) = x
pés. Assim,
F =
∫ 100
0
200.62, 4.x dx
= 12480
∫ 100
0
x dx
= 12480
[
x2
2
]100
0
= 62.400.000 lb.
�
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Exemplo 8. Uma placa com o formato de triângulo isósceles, com base de 10 pés e altura 4 pés, é imersa
verticalmente em óleo de máquina, conforme mostra a �gura a seguir. Encontre a força F que o �uido
exerce sobre a superfície da placa se a densidade de peso (peso especí�co) do óleo for 30 lb/pé3.
Solução: Vamos introduzir um eixo x, conforme mostra a �gura abaixo.
Por semelhança de triângulos, a extensão da placa, em pés, a uma profundidade h(x) = x + 3 pés,
satisfaz
w(x)
10
=
x
4
⇒ w(x) = 5
2
x.
Assim,
F =
∫ 4
0
30.(3 + x).
(
5
2
x
)
dx
= 75
∫ 4
0
(3x+ x2) dx
= 75
[
3x2
2
+
x3
3
]4
0
= 3400 lb.
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 6.4, 8.1 e 8.2 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das seções 6.4, 8.1 e 8.2 do livro texto.
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