C2 Lista Semanal 2 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 2
Questão 1. Dados o ponto P e o vetor v⃗ nos ítens a seguir. Determine as equações
vetorial, paramétrica e simétrica de uma reta que passa por P e é paralela ao vetor v⃗.
a) P = (3, 2, 5) e v⃗ = 3⃗i− 2⃗j + 8k⃗.
b) P = (4,−1, 0) e v⃗ = (−2, 7,−15).
c) P = (2, 7,−4) e v⃗ = (12, 2,−6).
Solução: A equação vetorial da reta no R3 que passa por P = (x0, y0, z0) na direção
de v⃗ = (a, b, c), onde t ∈ R, é dada por
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c).
A equação paramétrica é escrita da seguinte forma
x = x0 + at;
y = y0 + bt;
z = z0 + ct.
A equação simétrica da reta é dada por
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
.
Assim,
a)
(x, y, z) = (3 + 3t, 2− 2t, 5 + 8t),
x = 3 + 3t;
y = 2− 2t;
z = 5 + 8t
e
x− 3
3
=
y − 2
−2
=
z − 5
8
.
b)
(x, y, z) = (4− 2t,−1 + 7t,−15t),
x = 4− 2t;
y = −1 + 7t;
z = −15t
e
x− 4
−2
=
y + 1
7
=
z
−15
.
.
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Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 2
c)
(x, y, z) = (2 + 12t, 7 + 2t,−4− 6t),
x = 2 + 12t;
y = 7 + 2t;
z = −4− 6t
e
x− 2
12
=
y − 7
2
=
z + 4
−6
.
.
Questão 2. Verifique se as retas a seguir são paralelas, reversas ou concorrentes.
a) r1 : L1 = (t, 6t+ 4, 2t) e r2 : L2 = (5t, 30t+ 14, 10t).
b) r1 :
x− 4
2
=
y − 6
7
=
z
3
e r2 : (3 + x) =
y − 2
4
=
−z + 1
2
.
Solução:
a) A primeira coisa a fazer é testar se as retas são paralelas. Se forem, seus vetores
diretores serão múltiplos. Os vetores diretores são:
v⃗L1 = (1, 6, 2)
e
v⃗L2 = (5, 30, 10).
Agora, vamos ver se há um k escalar que multiplicado com um dos vetores resulta
no outro.
(1, 6, 2) = k(5, 30, 10)
(1, 6, 2) = (5k, 30k, 10k).
Daí, 
1 = 5k;
6 = 30k;
2 = 10k.
Logo, k =
1
5
e concluímos que as retas L1 e L2 são paralelas.
b) Primeiro, vamos testar os vetores e verificar se são multiplos ou não. Teremos,
então
(2, 7, 3) = (1k, 4k,−2k).
Desta igualdade, temos 
2 = k;
7 = 4k;
3 = −2k.
Não há k real que satisfaça o sistema acima. Então as retas não são paralelas.
Vamos escrever na forma paramétrica as retas dadas
L1 =

x = 2t+ 4;
y = 7t+ 6;
z = 3t.
2
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e
L2 =

x = s− 3;
y = 4s+ 2;
z = −2s+ 1.
Agora é só resolver o sistema
s− 3 = 2t+ 4. (1)
4s+ 2 = 7t+ 6. (2)
−2s+ 1 = 3t. (3)
Multiplicando (1) por 2 e somando com (3), temos −5 = 7t + 8 e t = −13
7
.
Substituindo t em (2) ficamos com s = −3
2
. Testando em (1), temos
s− 3 = 2t+ 4
−3
2
− 3 = 2
(
−13
7
)
+ 4
−9
2
=
2
7
.
Como esta ultima igualdade não é verdadeira, concluímos que não há intersecção
entre as relas e já que não são paralelas, então elas são reversas.
Questão 3. Encontre uma equação vetorial para o plano que contém os 3 pontos:
a) A = (2, 3, 4), B = (1, 5,−2) e C = (1, 6, 3)
b) A = (−1,−3,−1), B = (−2,−4,−1) e C = (3, 6,−1)
Solução: A equação de um plano vetorial π é dada por
π : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + tu⃗+ sv⃗,
onde u⃗ e v⃗ são vetores diretores do plano. Já a equação cartesiana é dada por
(a, b, c) · [(x.y, z)− (x0, y0, z0)] = 0
onde, v⃗ = (a, b, c) é um vetor normal ao plano e (x0, y0, z0) é um ponto que pertence
a ele.
a) Uma equação vetorial será
(x, y, z) = (2, 3, 4) + t(−1, 3,−1) + s(−1, 2,−6).
Temos que A⃗C = (−1, 3,−1) e A⃗B = (−1, 2,−6). Um vetor normal ao plano,
será A⃗C × A⃗B = (−16,−5, 1) e usaremos A para compor a equação cartesiana.
Logo,
(−16,−5, 1) · [(x.y, z)− (2, 3, 4)] = 0.
b) Uma equação vetorial será
(x, y, z) = (−1,−3,−1) + t(−1,−1, 0) + s(4, 9, 0).
Temos que A⃗C = (4, 9, 0) e A⃗B = (−1,−1, 0). Um vetor normal ao plano, será
A⃗C × A⃗B = (0, 0, 5) e usaremos A para compor a equação a equação cartesiana.
Logo,
(0, 0, 5) · [(x.y, z)− (−1, 3,−1)] = 0.
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Cálculo II Lista de Exercícios 2
Questão 4. Dados os dois vetores A⃗ =
(
4
9
,
7
9
,−4
9
)
e B⃗ =
(
− 2
3
,
2
3
,
1
3
)
e sendo θ
o ângulo entre A⃗ e B⃗, ache o sen(θ) de duas maneiras:
a) Usando o produto vetorial.
Solução: Sabe-se que: ||A⃗ × B⃗|| = ||A⃗|| · ||B⃗|| · sen(θ). Então basta encontrar
||A⃗× B⃗||, ||A⃗|| e ||B⃗||:
A⃗× B⃗ =
∣∣∣∣∣∣
ı̂ ȷ̂ k̂
4/9 7/9 −4/9
−2/3 2/3 1/3
∣∣∣∣∣∣
A⃗×B⃗ =
(
7
9
· 1
3
−
(
2
3
·−4
9
))
ı̂−
(
4
9
· 1
3
−
(
− 4
9
·−2
3
))
ȷ̂+
(
4
9
· 2
3
−
(
7
9
·−2
3
))
k̂
A⃗× B⃗ =
(
15
27
,− 4
27
,
22
27
)
||A⃗× B⃗|| =
√(
15
27
)2
+
(
− 4
27
)2
+
(
22
27
)2
=
√
725
27
||A⃗|| =
√(
4
9
)2
+
(
7
9
)2
+
(
− 4
9
)2
= 1
||B⃗|| =
√(
− 2
3
)2
+
(
2
3
)2
+
(
1
3
)2
= 1
Logo:
sen(θ) =
||A⃗× B⃗||
||A⃗|| · ||B⃗||
=
√
725
27
= 0, 99725.
b) Usando o produto escalar e sua identidade trigonométrica.
Solução: Sabe-se que A⃗ · B⃗ = ||A⃗|| · ||B⃗|| · cos(θ). Então basta encontrar A⃗ · B⃗,
||A⃗||, ||B⃗|| e usar a relação sen(θ) =
√
1− cos2(θ):
A⃗ · B⃗ =
(
4
9
· −2
3
)
+
(
7
9
· 2
3
)
+
(
− 4
9
· 1
3
)
=
2
27
||A⃗|| =
√(
4
9
)2
+
(
7
9
)2
+
(
−4
9
)2
= 1
||B⃗|| =
√(
− 2
3
)2
+
(
2
3
)2
+
(
1
3
)2
= 1
cos(θ) =
A⃗ · B⃗
||A⃗|| · ||B⃗||
=
2
27
Logo:
sen(θ) =
√
1−
(
2
27
)2
= 0, 99725.
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Questão 5. Sejam u⃗ = (4, 5, 0), v⃗ = (3,−2, 1) e w⃗ = (1, 1,−1), vetores que determi-
nam as arestas de um determinado tetraedro. Além disso, considere v⃗ e w⃗ coplanares
formando a base do tetraedro. Determine os valores da área da base e do volume desse
tetraedro.
Solução: A área da base pode ser determinada como : Ab =
||v⃗ × w⃗||
2
. Então basta
encontrar: ||v⃗ × w⃗||.
v⃗ × w⃗ =
∣∣∣∣∣∣
ı̂ ȷ̂ k̂
3 −2 1
1 1 −1
∣∣∣∣∣∣
v⃗ × w⃗ = (−2 · −1− (1 · 1))̂ı− (3 · −1− (1 · 1))ȷ̂+ (3 · 1− (−2 · 1))k̂ = (1, 4, 5)
||v⃗ × w⃗|| =
√
12 + 42 + 52 =
√
42
Logo:
Ab =
||v⃗ × w⃗||
2
=
√
42
2
.
O volume do tetraedro pode ser determinado como: V =
u⃗ · (v⃗ × w⃗)
6
. Então basta
encontrar: u⃗ · (v⃗ × w⃗).
u⃗ · (v⃗ × w⃗) =
∣∣∣∣∣∣
4 5 0
3 −2 1
1 1 −1
∣∣∣∣∣∣
u⃗ · (v⃗× w⃗) = 4 · (−2 · −1− (1 · 1))− 5 · (3 · −1− (1 · 1)) + 0 · (3 · 1− (−2 · 1)) = 24
Logo:
V =
u⃗ · (v⃗ × w⃗)
6
= 4.
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