Resistência dos Materiais Avançada

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Indaial – 2019
Resistência dos MateRiais 
avançada
Prof.ª Márcia Elisa Jacondino Pretto
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Prof.ª Márcia Elisa Jacondino Pretto
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
P942r
 Pretto, Márcia Elisa Jacondino
 Resistência dos materiais avançada. / Márcia Elisa Jacondino Pretto. 
– Indaial: UNIASSELVI, 2019.
 195 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0337-9
1. Resistência de materiais. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo Da 
Vinci.
CDD 620.112
III
apResentação
Caro acadêmico! Seja bem-vindo ao Livro Didático da disciplina 
de Resistência dos Materiais Avançada. O material está dividido em três 
unidades: Unidade 1 – Flexão; Unidade 2 – Cisalhamento, transformação de 
tensão e vasos de pressão e Unidade 3 – Deflexão em vigas e flambagem de 
colunas. 
Na Unidade 1 são apresentados os conceitos de flexão pura e as 
metodologias de cálculo das tensões e deformações tanto de vigas com 
carregamento axial em eixo de seção simétrica como de carregamento 
axial excêntrico. São apresentadas também as metodologias de flexão 
assimétrica. E, por fim, a metodologia para análise e projeto de vigas em 
flexão, desenvolvendo os diagramas de esforços solicitantes, tanto o esforço 
cortante como o momento fletor.
Na Unidade 2 aborda-se o cisalhamento em vigas, as transformações 
de tensão e os vasos de pressão. São apresentadas as metodologias de 
cálculo, inclusive do Círculo de Mohr. Nos vasos de pressão são abordadas 
as metodologias para cálculo das pressões nas superfícies internas e externas.
Por sua vez, a Unidade 3 trata do estudo de deflexão em vigas, 
das vigas estaticamente indeterminadas e da flambagem de colunas. Na 
deflexão de vigas serão abordadas as metodologias para o cálculo de vigas 
sob carregamento transversal e também as equações da linha elástica. No 
tópico das vigas estaticamente indeterminadas é apresentado o método 
da superposição. E, no último tópico, tratamos da fórmula de Euler na 
flambagem de colunas. 
Para tanto, este livro visa contribuir para sua formação acadêmica 
enquanto parte essencial da construção de um perfil profissional diferenciado, 
a fim de torná-lo conhecedor de suas responsabilidades para com a sociedade 
cada vez mais ávida por pessoas que façam a diferença.
Boa leitura e bons estudos!
Prof.ª Márcia Elisa Jacondino Pretto
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 – FLEXÃO .......................................................................................................................... 1
TÓPICO 1 – FLEXÃO PURA .................................................................................................................. 3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3
2 FLEXÃO PURA DE BARRA SIMÉTRICA ...................................................................................... 4
3 DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO PURA ............................................................................................. 6
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES ........................................................................................................... 8
5 FLEXÃO DE BARRAS CONSTITUÍDAS POR VÁRIOS MATERIAIS ..................................... 14
5.1 VIGAS DE CONCRETO ARMADO .............................................................................................. 17
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 20
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 22
TÓPICO 2 – CARGA EXCÊNTRICA ................................................................................................... 23
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 23
2 CARREGAMENTO AXIAL EXCÊNTRICO EM UM PLANO DE SIMETRIA ......................... 23
3 FLEXÃO ASSIMÉTRICA .................................................................................................................... 25
4 CASO GERAL DE CARREGAMENTO AXIAL EXCÊNTRICO ................................................. 29
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 31
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 32
TÓPICO 3 – ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO ..................................................... 35
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 35
2 DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR ............................................. 37
2.1 EXEMPLOS DE CÁLCULO............................................................................................................ 40
3 RELAÇÕES ENTRE FORÇA, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR .......................... 42
3.1 RELAÇÕES ENTRE FORÇA E FORÇA CORTANTE ................................................................ 42
3.2 RELAÇÕES ENTRE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR ........................................ 44
4 PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS EM FLEXÃO .................................................................... 47
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 49
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 51
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 52
UNIDADE 2 – CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE 
PRESSÃO ....................................................................................................................... 53
TÓPICO 1 – CISALHAMENTO EM VIGAS ...................................................................................... 55
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................55
2 FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM ELEMENTO DE VIGA .................. 57
2.1 EXEMPLOS DE CÁLCULO............................................................................................................ 60
3 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS ............................................................................... 61
3.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO MEDIA .................................................................................... 62
3.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ................................................................................ 63
4 DISCUSSÕES ADICIONAIS SOBRE DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM UMA VIGA 
RETANGULAR ESTREITA ................................................................................................................ 64
suMáRio
VIII
5 CISALHAMENTO LONGITUDINAL EM UM ELEMENTO DE VIGA DE MODO 
ARBITRÁRIO ........................................................................................................................................ 67
5.1 EXEMPLO ......................................................................................................................................... 67
6 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM BARRAS DE PAREDES FINAS ................................... 69
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 73
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 74
TÓPICO 2 – TRANSFORMAÇÃO DA TENSÃO ............................................................................. 77
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 77
2 TRANSFORMAÇÃO DO ESTADO PLANO DE TENSÃO ......................................................... 79
3 TENSÕES PRINCIPAIS ...................................................................................................................... 81
4 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA ................................................................................... 83
4.1 EXEMPLO DE CÁLCULO .............................................................................................................. 84
4.2 PROBLEMA RESOLVIDO .............................................................................................................. 86
5 CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO PLANO DE TENSÕES ............................................. 88
5.1 EXEMPLO DE CÁLCULO .............................................................................................................. 92
5.2 PROBLEMA RESOLVIDO .............................................................................................................. 94
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 96
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 97
TÓPICO 3 – VASOS DE PRESSÃO ..................................................................................................... 99
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 99
2 VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS.................................................................................. 99
3 TENSÕES NA SUPERFÍCIE EXTERNA ........................................................................................... 102
4 TENSÕES NA SUPERFÍCIE INTERNA ........................................................................................... 103
5 TENSÕES EM VASOS DE PRESSÃO CILÍNDRICOS DE PAREDES FINAS ......................... 105
5.1 TENSÃO CIRCUNFERENCIAL .................................................................................................... 107
5.2 TENSÃO LONGITUDINAL ........................................................................................................... 108
5.3 TENSÕES NA PAREDE EXTERNA DE VASOS DE PRESSÃO CILÍNDRICOS .................... 109
5.4 TENSÕES NA PAREDE INTERNA DE VASOS DE PRESSÃO CILÍNDRICOS ..................... 110
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 111
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 118
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 119
UNIDADE 3 – DEFLEXÃO DE VIGAS, VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS E 
FLAMBAGEM DE COLUNAS .................................................................................. 121
TÓPICO 1 – DEFLEXÃO DE VIGAS ................................................................................................... 123
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 123
2 DEFORMAÇÃO DE UMA VIGA SOB CARREGAMENTO TRANSVERSAL ....................... 125
3 EQUAÇÕES DA LINHA ELÁSTICA ................................................................................................ 129
3.1 EXEMPLOS DE CÁLCULO............................................................................................................ 131
4 DETERMINAÇÃO DIRETA DA LINHA ELÁSTICA COM BASE NA FORÇA 
 DISTRIBUÍDA ...................................................................................................................................... 133
4.1 EXEMPLO DE CÁLCULO .............................................................................................................. 135
5 FUNÇÕES DE DESCONTINUIDADE ............................................................................................. 136
5.1 FUNÇÕES DE MACAULAY .......................................................................................................... 137
5.2 PROBLEMA RESOLVIDO .............................................................................................................. 139
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 141
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 142
IX
TÓPICO 2 – VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS .................................................... 145
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 145
2 TIPOS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS .................................................... 145
2.1 EXEMPLOS DE CÁLCULO............................................................................................................ 150
2.2 PROBLEMA RESOLVIDO .............................................................................................................. 151
3 MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO ....................................................................................................... 154
3.1 EXEMPLO DE CÁLCULOS............................................................................................................ 155
4 APLICAÇÃO DO MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO PARA VIGAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS ........................................................................................................................... 157
4.1 EXEMPLOS DE CÁLCULO............................................................................................................ 158
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 160
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................161
UNIDADE 3 – FLAMBAGEM DE COLUNAS ................................................................................... 163
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 163
2 ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS ................................................................................................ 164
3 FÓRMULA DE EULER ........................................................................................................................ 167
3.1 EXEMPLOS DE CÁLCULO............................................................................................................ 169
4 FÓRMULA DE EULER PARA DIFERENTES APOIOS ................................................................ 171
4.1 COLUNA ENGASTADA NA BASE E LIVRE NO TOPO.......................................................... 171
4.2 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIOS .......................................................................... 172
4.3 PROBLEMA RESOLVIDO .............................................................................................................. 173
5 PROJETO DE COLUNAS SUBMETIDAS A UMA FORÇA CENTRADA / CARGAS 
CONCÊNTRICAS ................................................................................................................................. 177
5.1 AÇO ESTRUTURAL ........................................................................................................................ 177
5.2 ALUMÍNIO ....................................................................................................................................... 179
5.3 EXEMPLOS DE CÁLCULO............................................................................................................ 180
5.4 PROBLEMAS RESOLVIDOS .......................................................................................................... 182
6 PROJETO DE COLUNAS COM CARGAS EXCÊNTRICAS ....................................................... 183
6.1 PROBLEMA RESOLVIDO .............................................................................................................. 184
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 186
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 191
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 192
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................... 195
X
1
UNIDADE 1
FLEXÃO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• calcular a localização do centroide de seção e momento de inércia e a cur-
vatura da superfície;
• aplicar a fórmula elástica à flexão para encontrar a tração máxima e ten-
sões de compressão;
• aplicar a fórmula elástica à flexão para encontrar a tração máxima e ten-
sões de compressão;
• transformar as seções mistas em seções feitas inteiramente de um único 
material e avaliar as propriedades geométricas de seção transformada;
• calcular o momento máximo interno na viga, o momento de inércia e a 
tensão de flexão máxima;
• calcular a tensão normal provocada por uma força centrada e por um 
momento fletor e a maior força admissível;
• encontrar a localização da linha neutra através da determinação do local 
em que a tensão normal é zero;
• solucionar os componentes do vetor momento ao longo de um dos eixos 
principais de inércia e calcular as tensões máximas correspondentes;
• aplicar as equações de equilíbrio e montar os diagramas de força cortante 
e momento fletor.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – FLEXÃO PURA
TÓPICO 2 – EXCENTRICIDADE NA FLEXÃO
TÓPICO 3 – ENSAIOS E CARACTERIZAÇÃO DOS MATERIAIS 
CONSTITUINTES DO CONCRETO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
FLEXÃO PURA
1 INTRODUÇÃO
Neste primeiro tópico abordaremos a flexão pura que ocorre quando 
elementos prismáticos submetidos a momentos Fletores M e M’ iguais e opostos 
atuam num mesmo plano longitudinal (BEER et al., 2013). Um exemplo típico 
de flexão pura é dado pelo atleta de levantamento de peso segurando a barra 
acima da cabeça, conforme ilustrado na Figura 1. A barra possui pesos iguais a 
distâncias simétricas assim como as mãos do levantador. E justamente devido a 
essa simetria é que as reações nas mãos do atleta devem ser iguais e opostas aos 
pesos (BEER et al., 2013).
FIGURA 1 – EXEMPLO TÍPICO DE FLEXÃO PURA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 3)
Para o típico exemplo do atleta levantador de peso relatado anteriormente, 
considerando a representação por diagrama de corpo livre como na Figura 2, “os 
pesos e as reações podem ser substituídos por dois momentos fletores e opostos de 
108 N.m (Figura 3), mostrando que a parte central da barra está em flexão pura” 
(BEER et al., 2013, p. 446).
UNIDADE 1 | FLEXÃO
4
FIGURA 2 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO EXEMPLO DO ATLETA LEVANTADOR DE PESOS
FIGURA 3 – MOMENTOS FLETORES RELATIVOS À FLEXÃO PURA DO EXEMPLO DO ATLETA 
LEVANTADOR DE PESOS
FONTE: Beer et al. (2013, p. 446)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 446)
“Se as forças internas em qualquer seção são equivalentes a um momento, 
o momento interno resistente é igual ao momento externo, que é chamado de 
momento fletor” (BEER; JOHNSTON, 1995, p. 4-5).
2 FLEXÃO PURA DE BARRA SIMÉTRICA 
Considerando uma barra prismática que tenha um plano de simetria e 
que esteja submetida a momentos fletores iguais e opostos (Figura 4), cuja seção 
seja cortada em um ponto intermediário C (Figura 5), as condições de equilíbrio 
de uma das partes exigem que os esforços internos (Figura 6) sejam equivalentes 
ao momento Fletor M (BEER et al., 2013). 
FIGURA 4 – BARRA COM PLANO DE SIMETRIA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 448)
TÓPICO 1 | FLEXÃO PURA
5
FIGURA 5 – CONJUGADO M EQUIVALENTE AOS ESFORÇOS INTERNOS
FIGURA 6 – SISTEMAS DE FORÇAS INTERNAS ELEMENTARES
FONTE: Beer et al. (2013, p. 448)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 449)
Beer et al. (2013) destacam que:
• na estática, um momento fletor M é composto de duas forças iguais e opostas, 
logo a soma das componentes das forças em qualquer direção é zero; 
• o momento fletor é o mesmo em relação à qualquer eixo perpendicular a seu 
plano e é zero em relação a qualquer eixo contido naquele plano;
Logo, expressamos que o sistema das forças elementares atuantes 
internas é equivalente ao momento Fletor M, conforme segue: 
0
0
x x
y x
z x
F dA
M z dA
M y dA M
σ
σ
σ
= =
= =
= − =
∫
∫
∫
A distribuição real de tensões em uma seção transversal não pode 
ser determinada somente pela estática. Logo, a distribuição real de tensões é 
estaticamente indeterminada e pode ser obtida apenas pela análise de deformações 
(BEER et al., 2013).
UNIDADE 1 | FLEXÃO
6
3 DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO PURA
Considerando um elemento prismático com um plano de simetria, 
por exemplo, uma viga, submetida à flexão pura, as deformações ocorrem de 
tal forma que a viga permanece simétrica, fletindo uniformemente, formando 
um arco circular, cujo comprimento das fibras do topo diminuem e os da base 
aumentam (Figura 7). No entanto, há uma superfície neutra, encontrada paralela 
às faces superior e inferior da barra, em que não há variação no comprimento das 
fibras. Além disso, na superfície neutra as tensões e deformações são nulas, acima 
dela as tensões e deformações são negativas (compressão) e abaixo são positivas 
(tração) (BEER; JOHNSTON, 1995).
FIGURA 7 – SEÇÃO VERTICAL, LONGITUDIVAL (PLANO DE SIMETRIA)
FIGURA 8 – SEÇÃO HORIZONTAL, LONGITUDINAL
FONTE: Beer et al. (2013, p. 451)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 451)
TÓPICO1 | FLEXÃO PURA
7
Beer et al. (2013) salientam ainda que a linha AB ao longo da qual a 
face superior da barra intercepta o plano dos momentos fletores terá curvatura 
constante, e que qualquer seção transversal perpendicular ao eixo da barra 
permanece plana (Figura 8) e o plano da seção passa pelo centro C. Além, disso, 
quando M for maior que zero a linha AB diminui o comprimento enquanto A’B’ 
aumenta o comprimento.
Dessa forma, se considerarmos uma viga de comprimento L, após a 
deformação, o comprimento da superfície neutra (S.N.) permanece igual L, logo 
tomando “ρ” como o raio de curvatura e “θ” como o ângulo central, teremos 
(BEER; JOHNSTON, 1995): L = ρθ.
FIGURA 10 – SEÇÃO TRANSVERSAL
FIGURA 9 – SEÇÃO VERTICAL, LONGITUDINAL
FONTE: Beer et al. (2013, p. 451)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 451)
Para uma outra superfície, distante de y da superfície neutra, de acordo 
com Beer e Johnston (1995, p. 228) teremos para a deformação longitudinal 
específica εx:
UNIDADE 1 | FLEXÃO
8
' ( )
' ( )
 (deformação varia linearmente)x
L y
L L y y
y y
L
ρ θ
δ ρ θ ρθ θ
θδε
ρθ ρ
= −
= − = − − = −
= = − = −
A deformação máxima ocorre na superfície da viga:
 ou m
m
x m
c c
y
c
ε ρ
ρ ε
ε ε
= =
=
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES
O momento positivo tende a curvar a viga com a concavidade para cima 
(Figura 11), de forma análoga consideramos o momento negativo quando tende 
a curvar a viga com a concavidade para baixo (Figura 12). Na transição, sem 
curvatura, o momento é nulo (HIBBELER, 2009).
FIGURA 11 – CONVENÇÃO DE SINAL MOMENTO INTERNO POSITIVO
FIGURA 12 – CONVENÇÃO DE SINAL MOMENTO INTERNO NEGATIVO
FONTE: Hibbeler (2019, p. 450)
FONTE: Hibbeler (2019, p. 450)
A deformação na viga, devido à carga, é provocada pela força cortante 
interna, bem como pelo momento fletor. Se o material for homogêneo e comportar-
se de uma maneira linear elástica, a Lei de Hooke é aplicável (HIBBELER, 2009).
TÓPICO 1 | FLEXÃO PURA
9
Dessa forma, de acordo com Beer et al. (2012, p. 229) teremos para a tensão 
na direção longitudinal x:
 (tensão varia linearmente)
x x m
m
yE E
c
y
c
σ ε ε
σ
= = −
= −
Em que E é o módulo de elasticidade, σm é a tensão máxima absoluta, pois 
a tensão normal varia linearmente com a distância da superfície neutra (Figura 13).
FIGURA 13 – VARIAÇÃO DA TENSÃO NORMAL EM RELAÇÃO À SUPERFÍCIE NEUTRA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 453)
Para o equilíbrio estático, o momento estático da seção transversal em relação 
à linha neutra deve ser zero, portanto, a superfície neutra deve passar pelo centro 
geométrico ou centroide da seção (BEER et al., 2013) (BEER; JOHNSTON, 1995).
2
0 
0 
( ) ( ) 
 
Substituindo 
x m
m
x m
m m
m
x m
x
yFx dA dA
c
y dA
c
yM y dA y dA
c
I
M y dA
c c
Mc M
I S
y
c
My
I
σ σ
σ
σ σ
σ σ
σ
σ σ
σ
= = = −
= −
 
= − = − − 
 
= =
= =
= −
= −
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
UNIDADE 1 | FLEXÃO
10
Em que:
σx = tensão normal.
M = momento interno.
I = momento de inércia. 
y = distância perpendicular do eixo neutro.
Acadêmico, o cálculo do momento de inércia está detalhado na Leitura 
Complementar ao fi nal do Tópico 3 desta Unidade!
ATENCAO
“Observe que pela regra da mão direita, M é positivo ao longo do eixo z, y é 
positivo para cima e, portanto, σ deve ser negativo (compressão), uma vez que atua na 
direção negativa de x (Figura 14)” (HIBBELER, 2009, p. 226).
DICAS
FONTE: Hibbeler (2009, p. 225)
Variação da tensão de fl exão
FIGURA 14 – VARIAÇÃO DA TENSÃO DE FLEXÃO 
PROPRIEDADES DA SEÇÃO DA VIGA: A tensão normal máxima ocorre 
devido à fl exão nos pontos mais distantes do eixo neutro (HIBBELER, 2009):
TÓPICO 1 | FLEXÃO PURA
11
momento da inércia
módulo de resistência
m
Mc M
I W
I
IW
c
σ = =
=
= =
Em que “c” é a distância perpendicular do eixo neutro ao ponto mais 
afastado desse eixo no qual a tensão máxima atua.
Quanto maior o módulo de resistência, menor é a tensão normal solicitante 
(BEER et al., 2013).
Considerando uma viga de seção retangular (BEER et al., 2013) (BEER; 
JOHNSTON, 1995):
3
3
1
1 112
/ 2 6 6
bhIW bh Ah
c h
= = = =
FIGURA 15 – SEÇÃO DE VIGA DE MADEIRA
FONTE: BEER et al. (2013, p. 454)
Acadêmico, para analisar outras seções você pode consultar a tabela de 
Momentos e Inércia e Módulos de Resistência na Leitura Complementar.
ATENCAO
UNIDADE 1 | FLEXÃO
12
Considerando “duas vigas com mesma área A de seção transversal (Figura 
15), a que tiver altura h maior terá um módulo de resistência maior e, portanto, terá 
maior capacidade para resistir à fl exão” (BEER et al., 2013, p. 454).
FIGURA 16 – PERFIS METÁLICOS
FIGURA 17 – PERFIS DE VIGA DE AÇO
FONTE: BEER et al. (2012, p. 231)
FONTE: BEER et al. (2013, p. 455)
Beer e Johnston (1995) salientam que as vigas I e os perfi s de abas largas 
(Figura 17) são preferidas para trabalhar a fl exão, pois grande parte da seção 
transversal está longe da linha neutra (L.N.), e possuem maiores valores de Iz, 
e consequentemente de W. Os valores das propriedades geométricas da seção 
transversal são obtidos em tabelas como a da Figura 18, sendo assim, possível 
determinar o valor da tensão normal na direção x. Os autores destacam ainda 
que uma relação h/b muito alta pode resultar em instabilidade lateral das vigas.
TÓPICO 1 | FLEXÃO PURA
13
FIGURA 18 – PROPRIEDADES DE PERFIS DE AÇO LAMINADO
FONTE: Beer et al. (2013, p. 682)
A deformação devido ao momento Fletor M é quantificada pela curvatura 
da superfície neutra (HIBBELER, 2009) (BEER et al., 2013, p. 455): 
1 1m m Mc
c Ec Ec I
M
EI
ε σ
ρ
= = =
= 1 M
EIρ
=
Em que:
ρ = raio de curvatura em um ponto específico.
M = momento fletor interno na viga no ponto ρ.
E = módulo de elasticidade do material.
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro.
EI = rigidez à flexão. 
A seção transversal de uma viga em flexão pura permanece plana, não 
excluindo a possibilidade de deformações dentro do plano da seção (BEER et al., 2013).
 y x z x
y yν ν
ε νε ε νε
ρ ρ
= − = = − =
UNIDADE 1 | FLEXÃO
14
Expansão acima da superfície neutra e contração abaixo dela causa uma 
curvatura no plano (BEER et al., 2013).
1 curvatura de superfície neutra
'
ν
ρ ρ
= =
1 (BEER et al., 2013, p. 458) Uma peça de máquina feita de ferro fundido 
está submetida a um momento fletor de 3 kN m conforme mostra a figura. 
Sabendo que E = GPa e desprezando o efeito dos adoçamentos, determine: 
(a) as tensões de tração e compressão máximas na peça fundida e 
(b) o raio de curvatura dessa peça.
AUTOATIVIDADE
5 FLEXÃO DE BARRAS CONSTITUÍDAS POR VÁRIOS 
MATERIAIS
Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas 
vigas compostas. 
Como a fórmula da flexão não pode ser aplicada diretamente para 
determinar a tensão normal em uma viga composta (Figura 19), pois foi 
desenvolvida para materiais homogêneos, é necessário aplicar o método da 
seção transformada. O fator de transformação será a razão entre os módulos dos 
diferentes materiais que compõem a viga (HIBBELER, 2009).
TÓPICO 1 | FLEXÃO PURA
15
FIGURA 19 – VIGA COMPOSTA DE DOIS MATERIAIS
FONTE: Hibbeler (2013, p. 247)
Considere, por exemplo, uma barra formada por duas partes de 
materiais diferentes E1 e E2. Beer et al. (2013, p. 463-464) apresentam a seguinte 
metodologia:
A deformação normal varia linearmente, logo:
x
νε
ρ
= −
Calcula-se a variação de tensão normal linear segmentadas:
1 2
1 1 2 2
 
 x x
E y E y
E Eσ ε σ ε
ρ ρ
= = − = = −
FIGURA 20 – DISTRIBUIÇÃO DA DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA E TENSÃO EM BARRA 
CONSTITUÍDA DE DOIS MATERIAIS
L.N.
FONTE: Beer et al. (2013, p. 463)
A linha neutra não passa pelo centroide da seção composta. 
UNIDADE 1 | FLEXÃO
16
Forças elementares sobre a seção são: 
1 2
1 1 2 2= =
E y E y
dF dA dA dF dA dAσ σ
ρ ρ
= − = −
Definir uma seção transformada tal que:
1 1 2
2
1
( )
( ) 
nE y E y E
dF dA ndA n
Eρ ρ
= − = − =
A tensão em qualquer ponto da seção da barra homogênea será obtida a 
partir de:1 2
x
x x
My
I
n
σ
σ σ σ σ
= −
= =
L.A.
FIGURA 21 – SEÇÃO TRANSFORMADA PARA A BARRA DE SEÇÃO COMPOSTA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 465)
TÓPICO 1 | FLEXÃO PURA
17
FIGURA 22 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NA SEÇÃO TRANSFORMADA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 465)
5.1 VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Vigas de concreto submetidas a momentos fl etores são reforçadas por barras 
de aço, pois embora o concreto seja um material que resiste muito bem às forças 
de compressão, é um material de ruptura frágil, sendo, portanto, pouco resistente à 
fl exão. Logo, a parte superior da viga de concreto suportará o esforço de compressão 
e as barras de aço suportarão toda a força de tração abaixo da superfície neutra. “Para 
melhores resultados, as barras de aço são posicionadas o mais longe possível do eixo 
neutro da viga, de modo que o momento criado pelas forças nelas desenvolvidas seja 
maior em torno do eixo neutro (HIBBELER, 2009, p. 252)”.
FIGURA 23 – ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE CONCRETO ARMADO
FONTE: Beer et al. (2012, p. 245)
UNIDADE 1 | FLEXÃO
18
Em uma viga de concreto armado (Figura 24a), substituímos a área total 
da seção transversal das barras de aço (Aaço) por uma área equivalente (nAaço, 
em que n é a relação Eaço/Econc), conforme mostra a Figura 24b (BEER et al., 
2013) e obtemos a seção transformada. Para o concreto, que atua efetivamente 
somente a compressão, somente a parte da seção transversal localizada acima da 
linha neutra deverá ser usada na seção transformada no cálculo da distribuição 
de tensões (Figura 24c). (HIBBELER, 2009).
FIGURA 24 – VIGA DE CONCRETO ARMADO (a), ÁREA EQUIVALENTE (b) e DISTRIBUIÇÃO 
DAS TENSÕES DE COMPRESSÃO NO CONCRETO E A RESULTANTE FAÇO DAS FORÇAS DE 
TRAÇÃO NAS BARRAS DE AÇO (c)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 467).
Para determinar a localização da linha neutra (BEER et al., 2013):
2
( ) ( ) 0
2
1 0
2
s
s s
xbx n A d x
bx nA x nA d
− − =
+ − =
A tensão normal no concreto e no aço (BEER et al., 2013):
 
x
c x s x
My
I
n
σ
σ σ σ σ
= −
= =
TÓPICO 1 | FLEXÃO PURA
19
1 (BEER et al., 2013, p. 469): Uma laje de piso de concreto é reforçada por 
barras de aço de 16mm de diâmetro colocadas 38mm acima da face 
interior da laje, com 150mm de espaço entre seus centros. O módulo de 
elasticidade é de 25GPa para o concreto usado e de 205GPa para o aço. 
Sabendo que é aplicado um momento fl etor de 4,5kNM a cada 300mm de 
largura da laje, determine: 
(a) a tensão máxima no concreto e 
(b) a tensão no aço.
AUTOATIVIDADE
20
Neste tópico, você aprendeu que:
• A flexão pura ocorre quando elementos prismáticos submetidos a momentos 
Fletores M e M’ iguais e opostos atuam num mesmo plano longitudinal. 
• A flexão pura de barra simétrica ocorre quando as condições de equilíbrio de 
uma das partes exigem que os esforços internos sejam equivalentes ao momento 
fletor da seção de corte em um ponto intermediário de uma barra prismática 
que tenha um plano de simetria e que esteja submetida a momentos fletores 
iguais e opostos. 
• A distribuição real de tensões em uma seção transversal não pode ser 
determinada somente pela estática. Logo, a distribuição real de tensões 
é estaticamente indeterminada e pode ser obtida apenas pela análise de 
deformações.
• As deformações em uma viga com um plano de simetria submetida à flexão pura 
ocorrem de tal forma que a viga permanece simétrica, fletindo uniformemente 
formando um arco circular, cujo comprimento das fibras do topo diminuem e 
os da base aumentam.
• Na viga com deformações na flexão pura há uma superfície neutra, encontrada 
paralela às faces superior e inferior da barra, em que não há variação no 
comprimento das fibras.
• Na superfície neutra as tensões e deformações são nulas, acima dela as tensões 
e deformações são negativas (compressão) e abaixo são positivas (tração).
• O momento positivo tende a curvar a viga com a concavidade para cima, de 
forma análoga consideremos o momento negativo quando tende a curvar a 
viga com a concavidade para baixo. Na transição, sem curvatura, o momento é 
nulo.
• A deformação na viga, devido à carga, é provocada pela força cortante interna, 
bem como pelo momento fletor. Se o material for homogêneo e comportar-se 
de uma maneira linear elástica, a Lei de Hooke é aplicável.
• Para o equilíbrio estático, o momento estático da seção transversal em relação 
à linha neutra deve ser zero, portanto, a superfície neutra deve passar pelo 
centro geométrico ou centroide da seção.
RESUMO DO TÓPICO 1
21
• A viga que tiver altura h maior terá um módulo de resistência maior e, portanto, 
terá maior capacidade para resistir à flexão. 
• Vigas I e os perfis de abas largas são preferidas para trabalhar a flexão, pois 
grande parte da seção transversal está longe da linha neutra.
• É necessário calcular o fator de transformação para vigas compostas.
22
1 (HIBBELER, 2009, p. 228) A viga simplesmente apoiada tem a área de 
seção transversal mostrada na fi gura a seguir. Determine a tensão de fl exão 
máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção 
transversal nessa localização.
AUTOATIVIDADE
2 (HIBBELER, 2009, p. 230) A viga mostrada na fi gura tem área de seção 
transversal em forma de um canal. Determine a tensão de fl exão máxima 
que ocorre na viga na seção a–a.
3 (HIBBELER, 2009, p. 249) Uma viga composta é feita de madeira e reforçada 
com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção 
transversal mostrada na fi gura abaixo. Se for submetida a um momento 
fl etor M = 2 kNm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere 
Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.
23
TÓPICO 2
CARGA EXCÊNTRICA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No Tópico 1 foi abordada a distribuição de tensões em vigas com 
carregamento axial, cuja linha de ação de cargas passa pelo centroide das seções. 
Neste Tópico 2 será abordada a análise da distribuição de tensões quando 
a linha de ação das forças não passa pelo centroide da seção transversal, ou seja, 
quando o carregamento é excêntrico.
Serão abordados também os casos de seções assimétricas, em situações 
em que as seções de vigas não possuem eixos de simetria, ou ainda em que os 
momentos fl etores não atuam em um plano de simetria das barras ou atuam em 
um plano diferente.
2 CARREGAMENTO AXIAL EXCÊNTRICO EM UM PLANO 
DE SIMETRIA
Quando a linha de ação das forças não passa pelo centroide (C) da seção 
transversal, temos o carregamento excêntrico (Figura 25). 
FIGURA 25 – REPRESENTAÇÃO DE CARREGAMENTO EXCÊNTRICO 
FIGURA 26 – ESFORÇOS INTERNOS DA SEÇÃO C
FONTE: Beer et al. (2012, p. 270)
FONTE: Beer et al. (2012, p. 270)
UNIDADE 1 | FLEXÃO
24
O cálculo das tensões causadas pelo carregamento excêntrico original é 
realizado pela superposição da distribuição uniforme de tensão correspondente 
às forças centradas e da distribuição linear correspondente aos momentos 
fletores (BEER et al., 2013).
Dessa forma, teremos:
+ 
( )
x x x
x
centrada flexão
MyP
A I
σ σ σ
σ
=
= + −
Em que:
P é a força centrada.
A é a área da seção transversal.
I momento de inércia da seção em relação ao eixo que passa pelo centroide.
y é a distância do eixo.
Dependendo da geometria da seção transversal e da excentricidade 
da força, as tensões combinadas podem ter todas o mesmo sinal ou algumas 
podem ser positivas e outras negativas, conforme ilustrado na Figura 27. Nesse 
caso haverá uma linha na seção ao qual σx=o, que na figura está representada 
como L.A., que é a linha neutra da seção. Essa linha neutra não necessariamente 
coincide com o eixo que passa pelo centroide da seção (BEER et al., 2013).
L.A.
FIGURA 27 – DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES COMBINADAS
FONTE: Beer et al. (2013, p. 474)
A validade da equação de acordo com Beer et al. (2013, p. 474) exige que:
• as tensões envolvidas não devem ultrapassar o limite de proporcionalidade do 
material;
• as deformações provocadas pela flexão não devem afetar de forma considerável 
a distância e
• a seção transversalonde as tensões são calculadas não deve estar muito perto 
dos pontos.
TÓPICO 2 | CARGA EXCÊNTRICA
25
1 (BEER et al., 2013, p. 474 e 475): Uma corrente de elos abertos é obtida 
quando se dobram barras de aço de baixo teor de carbono, de 12mm de 
diâmetro, na forma mostrada. Sabendo que a corrente suporta uma força 
de 750 N, determine:
(a) as tensões máximas de tração e compressão na parte reta de um elo e 
(b) a distância entre o eixo que passa pelo centroide e a linha neutra de uma 
seção transversal.
AUTOATIVIDADE
3 FLEXÃO ASSIMÉTRICA
A análise de fl exão pura esteve limitada até agora a barras que têm pelo 
menos um plano de simetria e que foram submetidas a momentos fl etores que 
atuam nesse plano. Os membros permanecem simétricos e fl exionados no plano 
de simetria. A linha neutra da seção transversal coincide com a direção do vetor 
momento (BEER et al., 2013).
Consideremos agora situações em que os momentos fl etores não atuam 
em um plano de simetria. Em situações em que as seções de vigas não possuem 
eixos de simetria, ou ainda em que os momentos fl etores não atuam em um plano 
de simetria das barras ou atuam em um plano diferente, como na Figura 28. Não 
podemos considerar que a barra será fl exionada no plano dos momentos. Em 
geral, a linha neutra da seção transversal não vai coincidir com a direção do vetor 
momento (BEER et al., 2013).
UNIDADE 1 | FLEXÃO
26
FIGURA 28 – ATUAÇÃO DE MOMENTO FLETOR FORA DO PLANO DE SIMETRIA E SUA 
DECOMPOSIÇÃO
FONTE: Hibbeler (2009, p. 239-240)
FIGURA 29 – SEÇÃO DE UMA BARRA COM DOIS PLANOS DE SIMETRIA, UM VERTICAL E UM 
HORIZONTAL
FIGURA 30 – SEÇÃO DE UMA BARRA COM UM PLANO DE SIMETRIA VERTICAL
FIGURA 31 – SEÇÃO EM QUE OS MOMENTOS FLETORES NÃO ATUAM EM UM PLANO DE 
SIMETRIA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 482)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 482)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 482)
TÓPICO 2 | CARGA EXCÊNTRICA
27
 “Para essas situações devemos determinar as condições sob as quais a 
linha neutra de uma seção transversal de forma arbitrária coincide com a direção 
do momento representando os esforços que atuam na seção” (BEER et al., 2013, 
p. 482).
 “Aplicando a fórmula da flexão a cada momento componente, podemos 
expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal” 
(HIBBELER, 2009, p. 239).
“A proposta é determinar as condições sob as quais a linha neutra de uma 
seção transversal de forma arbitrária coincide com a direção do momento” (BEER 
et al., 2013, p. 482), como mostra a Figura 32.
FIGURA 32 – LINHA NEUTRA DE UMA SEÇÃO TRANSVERSAL ARBITRÁRIA COINCIDE COM A 
DIREÇÃO DO MOMENTO
FONTE: Beer et al. (2013, p. 482)
A força resultante e momento da distribuição de forças elementares na 
seção devem satisfazer as equações de equilíbrio (BEER et al., 2013):
0 
 0
 ou 0 
x y z
x x m
F M M M momento fletor aplicado
yF dA dA
c
y dA
σ σ
= = = =
 
= = = − 
 
=
∫ ∫
∫
Considerando que o eixo neutro passa pelo centroide:
ou 
z m
m
z
yM M y dA
c
I
M I I momento de inércia
c
σ
σ
 
= = − − 
 
= = =
∫
UNIDADE 1 | FLEXÃO
28
Definindo a distribuição de tensão (BEER et al., 2013, p. 483):
0
ou 0 
y x m
yz
yM z dA z dA
c
yzdA I produto da inércia
σ σ
 
= = − 
 
= = =
∫ ∫
∫
O vetor momento deve ser direcionado ao longo de um dos eixos 
principais de inércia. O método da superposição pode ser usado para determinar 
as tensões, geralmente, no caso de flexão assimétrica (Figura 33). Solucionar os 
componentes do vetor momento ao longo de um dos eixos principais de inércia 
(BEER et al., 2013, p. 484).
 cos senz yM M M Mθ θ= =
FIGURA 33 – MOMENTO EM QUE É FORMADO UM ÂNGULO COM O PLANO DE SIMETRIA 
VERTICAL DA SEÇÃO DA BARRA
FIGURA 34 – MOMENTO Mz NO PLANO DE SIMETRIA VERTICAL DA SEÇÃO DA BARRA
FIGURA 35 – MOMENTO My EM UM PLANO HORIZONTAL ASSIMÉTRICO DA BARRA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 484)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 484)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 484)
TÓPICO 2 | CARGA EXCÊNTRICA
29
Superpõem a distribuição de tensões de componente (BEER et al., 2013, p. 
484) (HIBBELER, 2009):
yz
z y
M zM y
I I
σ = − +
Em que:
σ = tensão normal no ponto.
y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z.
My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionados ao 
longo dos eixos y e z (Figuras 34 e 36).
Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y e z.
Ao longo da linha neutra (BEER et al., 2013, p. 485):
( cos ) ( sen )0
tan tan
yz
x
z y z y
z
y
M yM y M y M y
I I I I
Iy
z I
θ θ
σ
φ θ
= = − + = − +
= =
4 CASO GERAL DE CARREGAMENTO AXIAL EXCÊNTRICO 
Considere um elemento reto submetido a forças axiais excêntricas iguais 
e opostas P e P’ (Figura 36). A força excêntrica é equivalente ao sistema composto 
de uma força centrada e dois momentos (Figura 37) (BEER et al., 2013).
FIGURA 36 – ELEMENTO RETO SUBMETIDO A FORÇAS EXCÊNTRICAS IGUAIS E OPOSTAS
FONTE: Beer et al. (2013, p. 487)
UNIDADE 1 | FLEXÃO
30
FIGURA 37 – SISTEMA EQUIVALENTE DE FORÇAS
FONTE: Beer et al. (2013, p. 487)
Tomando as distâncias a e b como os afastamentos do eixo de aplicação 
da força excêntrica P até o eixo principal de inércia da seção transversal, temos 
(BEER et al., 2013):
força centrada
 y z
P
M Pa M Pb
=
= =
Pelo princípio da superposição, a distribuição de tensões é combinada 
conforme a equação a seguir (BEER et al., 2013):
yz
x
z y
M yM yP
A I I
σ = − +
Se a linha neutra se encontra na seção, ela pode ser encontrada a partir de 
(BEER et al., 2013):
yz
z y
MM Py z
I I A
− =
31
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• O cálculo das tensões causadas pelo carregamento excêntrico original 
é realizado pela superposição da distribuição uniforme de tensão 
correspondente às forças centradas e da distribuição linear correspondente 
aos momentos fletores.
• Dependendo da geometria da seção transversal e da excentricidade da força, 
as tensões combinadas podem ter todas o mesmo sinal ou algumas podem ser 
positivas e outras negativas.
• Quando σx=o representa a linha neutra da seção. Essa linha neutra não 
necessariamente coincide com o eixo que passa pelo centroide da seção.
• Em situações em que as seções de vigas não possuem eixos de simetria, ou 
ainda em que os momentos fletores não atuam em um plano de simetria das 
barras ou atuam em um plano diferente, não podemos considerar que a barra 
será flexionada no plano dos momentos.
• Em geral, a linha neutra da seção transversal não vai coincidir com a direção do 
vetor momento.
• Aplicando a fórmula da flexão a cada momento componente, podemos 
expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal.
• A proposta é determinar as condições sob as quais a linha neutra de uma seção 
transversal de forma arbitrária coincide com a direção do momento.
32
1 (BEER et al., 2013, p. 476) As maiores tensões admissíveis para a peça a 
seguir são 30 MPa na tração e 120 MPa na compressão, determine a maior 
força P que pode ser aplicada à peça.
 Dados: 
AUTOATIVIDADE
3 2
9 4
3 10 m
38 m 0,038 m
868 10 m
A
Y
I
−
−
= ×
= =
= ×
2 (BEER et al., 2013, p. 486) Um momento de 180 Nm é aplicado a uma viga 
de madeira, de seção transversal retangular de 38 × 90 mm, em um plano 
formando um ângulo de 30º com a vertical. Determine:
(a) a tensão máxima na viga e 
(b) o ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal.
33
3 (HIBBELER, 2009, p. 242 a 244) Uma viga em T está sujeita a um momento 
fletor de 15 kNm. Determine a tensão normal máxima na viga e a orientação 
do eixo neutro.
34
35
TÓPICO 3
ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
O objetivo desse tópico é a análise de projeto de vigas, que são elementos 
estruturais que suportam forças em vários pontos ao longo do elemento (BEER et 
al., 2013) ou ainda elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares 
aseu eixo longitudinal (HIBBELER, 2009).
Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas, 
conforme ilustra a figura a seguir:
FIGURA 38 – CLASSIFICAÇÃO DE VIGAS DE ACORDO COM O SISTEMA DE APOIOS
FONTE: Hibeller (2009, p. 199)
Classificação das vigas de acordo com seus apoios:
36
UNIDADE 1 | FLEXÃO
FIGURA 39 – CLASSIFICAÇÃO DE VIGAS DE ACORDO COM O SISTEMA DE APOIOS E 
VARIAÇÕES
FONTE: Beer et al. (2013, p. 504)
Algumas considerações sobre as vigas abordadas por Beer et al. (2013):
• Carregamentos transversais de vigas são classificados como forças concentradas 
ou como forças distribuídas.
• Forças aplicadas resultam em forças internas consistindo de força cortante 
que provoca tensões de cisalhamento e momento fletor que provoca tensões 
normais.
• Tensões normais dependem somente do valor do momento fletor e da geometria 
da seção. 
Hibbeler (2009) acrescenta ainda que o momento resultante na seção 
transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão 
normal em torno do eixo neutro.
 x m
M c MMy
I I S
σ σ= − = =
Em que:
σ = tensão normal no membro.
M = momento interno.
I = momento de inércia.
y = distância perpendicular do eixo neutro.
Pela regra da mão direita, o sinal negativo é compressivo já que age na 
direção negativa de x (HIBBELER, 2009). 
Requer a determinação da localização da distância entre a linha neutra e 
ponto onde se deseja a tensão (BEER et al., 2013).
TÓPICO 3 | ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO
37
2 DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO 
FLETOR
As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em 
gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor, em que as 
direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a 
força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário, conforme ilustra 
a Figura 41 (HIBBELER, 2009). 
Existe convenção para as forças de cisalhamento V e V’ e o par de momento 
M e M’ (BEER et al., 2013), conforme ilustram as figuras a seguir:
FIGURA 40 – CARGA DISTRIBUÍDA POSITIVA
FIGURA 41 – CISALHAMENTO E MOMENTO INTERNO POSITIVO
FONTE: Hibbeler (2009, p. 200)
FONTE: Hibbeler (2009, p. 200)
A determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do 
momento fletor exigem a identificação da força e do momento fletor na seção 
solicitada. Para a determinação da força cisalhante e do momento fletor em um 
determinado ponto, passa-se um corte na seção de aplicação e faz-se uma análise 
de equilíbrio nas partes de cada lado do corte (BEER et al., 2013).
A Figura 42 ilustra uma viga A-B com uma determinada Seção C onde 
passou-se um corte para que se pudesse fazer a determinação da força cisalhante e 
do momento fletor de cada lado do corte, conforme ilustrado nas Figuras 43 e 44.
38
UNIDADE 1 | FLEXÃO
FIGURA 42 – INDICAÇÃO DA SEÇÃO DE CORTE C DA VIGA
FIGURA 43 – LADO ESQUERDO DA SEÇÃO DE CORTE C DA VIGA
FIGURA 44 – LADO DIREITO DA SEÇÃO DE CORTE C DA VIGA
FIGURA 45 – FORÇA CORTANTE V E MOMENTO FLETOR M NA SEÇÃO DE CORTE DA VIGA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 507)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 507)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 507)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 507)
“Os esforços internos correspondentes de cada lado da seção seccionada 
são iguais e contrários, pois correspondem uma ação e a reação correspondente” 
(MARTHA, 2004, p. 20), conforme ilustrado na imagem a seguir.
TÓPICO 3 | ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO
39
Esforços internos em vigas com cargas transversais (MARTHA, 2004, p. 
20-21):
• Esforço Cortante (V): é a resultante de forças de uma porção isolada sobre a 
outra porção na direção transversal ao eixo da barra na seção transversal de 
corte. 
• Momento Fletor (M): é a resultante momento de todas as forças e momentos 
de uma porção isolada sobre a outra porção na direção transversal ao eixo da 
barra na seção transversal de corte. 
Convenções de sinais (MARTHA, 2004, p. 21): 
• Esforços cortantes: esforços cortantes são positivos quando, 
entrando com as forças à esquerda de uma seção transversal, a 
resultante das forças na direção transversal for no sentido para 
cima. De forma consistente (ação e reação), esforços cortantes são 
positivos quando, entrando com as forças à direita de uma seção 
transversal, a resultante das forças na direção transversal for no 
sentido para baixo.
• Momentos fletores: momentos fletores são positivos quando, 
entrando com as forças e momentos à esquerda de uma seção 
transversal, a resultante momento na seção for no sentido horário. 
De forma consistente (ação e reação), momentos fletores são 
positivos quando, entrando com as forças e momentos à direita de 
uma seção transversal, a resultante momento na seção for no sentido 
anti-horário.
Metodologia para montagem dos diagramas de esforço cortante e 
momento fletor:
1º) Montar o diagrama de corpo livre da viga.
2º) Cálculo das reações de apoio (A e B, por exemplo) aplicando as equações de 
equilíbrio:
ΣFx = 0 ; ΣFy = 0; ΣMz = 0
Resultado: VA e VB
3º) Determinar o esforço cortante e momento fletor em uma transversal S, pelo 
equilíbrio de cada porção isolada da viga quando é dado um corte em S, 
considerando as reações de apoio calculadas previamente:
ΣFx = 0 ; ΣFy = 0; ΣMz = 0
Resultado: Vs e Ms
“[...] tanto faz entrar pela esquerda ou pela direita de uma seção transversal 
para se determinar os esforços internos. Em geral procura-se determinar os valores 
dos esforços internos pelo lado que for mais simples” (MARTHA, 2004, p. 22).
40
UNIDADE 1 | FLEXÃO
4º) Montar os diagramas: 
Diagrama de esforços cortantes – o diagrama de esforços cortantes é a 
representação gráfi ca da variação dos esforços cortantes calculados nas etapas 
anteriores ao longo das seções transversais da estrutura. Na montagem do 
diagrama convencionam-se valores positivos de esforços cortantes representados 
nas fi bras superiores da barra (acima do eixo) e negativos nas fi bras inferiores 
(abaixo do eixo) (MARTHA, 2004).
Diagrama de momentos fl etores – o diagrama de esforços cortantes é a 
representação gráfi ca da variação dos momentos fl etores calculados nas 
etapas anteriores ao longo das seções transversais da estrutura. Na montagem 
do diagrama convencionam-se valores positivos de momentos fl etores são 
representados nas fi bras inferiores da barra (abaixo do eixo) e negativos nas fi bras 
superiores (acima do eixo) (MARTHA, 2004).
2.1 EXEMPLOS DE CÁLCULO
Exemplo 1 (HIBBELER, 2009, p. 201-202): Represente grafi camente os 
diagramas de força cortante e momento fl etor para a viga dada. 
Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado a seguir:
A aplicação das equações de equilíbrio produz
0; (1)
2
0; (2)
2
y
PF V
PM M x
+ ↑ = =
+ ↑ = =
∑
∑
Segmento esquerdo da viga se estende até a distância x na região BC.
TÓPICO 3 | ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO
41
( )
0; 0 (3)
2 2
 0; (4)
2 2 2
y
P PF P V V
L P PM M P x x M L x 
↑ = − − = ⇒ = −
 
= + − − ⇒ = − 
 
∑
∑
O diagrama tensão representa as equações 1 e 3 e o diagrama de momento 
representa as equações 2 e 4:
42
UNIDADE 1 | FLEXÃO
1 (HIBBELER, 2009, p. 204) Represente grafi camente os diagramas de força 
cortante e momento fl etor para a viga mostrada na fi gura.
AUTOATIVIDADE
3 RELAÇÕES ENTRE FORÇA, FORÇA CORTANTE E 
MOMENTO FLETOR
Quando uma viga suporta vários tipos de carregamentos, como mais de 
duas forças concentradas, ou quando suporta cargas distribuídas, especialmente 
as variáveis ao longo do comprimento, fi ca mais fácil montar os diagramas de 
força cortante e momento fl etor se considerarmos as relações existentes entre 
força, força cortante e momento fl etor (BEER et al., 2013).
3.1 RELAÇÕES ENTRE FORÇA E FORÇA CORTANTE
Considere a viga com carga distribuída variável conforme a fi gura a 
seguir:
FIGURA 46 – VIGA SIMPLESMENTE APOIADA SUBMETIDA À FORÇA DISTRIBUÍDA POR 
UNIDADE DE COMPRIMENTO
FONTE: Beer etal. (2013, p. 516)
TÓPICO 3 | ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO
43
FIGURA 47 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
FONTE: Beer et al. (2013, p. 516)
Escrevendo que a soma dos componentes verticais das forças que atuam 
sobre o corpo livre na seção CC” é zero, temos (BEER et al., 2013):
0: ( ) 0
 
yF V V V w x
V w x
+ ↑ Σ = − + ∆ − ∆ =
∆ = − ∆
Dividindo ambos os membros da equação por dx e deixando dx 
aproximar-se de zero (BEER et al., 2013) temos que a inclinação do diagrama de 
força cortante em cada ponto é igual a (–) a intensidade da carga distribuída em 
cada ponto (Hibbeler, 2009):
( )dV w x
dx
= −
Considerando que a inclinação dV/dx da curva de cisalhamento é negativa 
e o valor numérico da inclinação em qualquer ponto é igual à área sob a curva, 
para o trecho entre C e D (Figura 48), temos (BEER et al., 2013) que a mudança na 
força cortante é igual a (–) a área sob a carga distribuída (HIBBELER, 2009):
( )V w x dx∆ = −∫
44
UNIDADE 1 | FLEXÃO
FIGURA 48 – CARGA DISTRIBUÍDA E DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES
FONTE: Hibbeler (2009, p. 208)
Logo:
VD – VC = - (área sob a curva da força distribuída entre C e D)
Acadêmicos, as equações anteriores não são válidas para cargas concentradas, 
que devem ser calculadas conforme visto anteriormente no Subtópico 2 deste tópico!
IMPORTANT
E
3.2 RELAÇÕES ENTRE FORÇA CORTANTE E MOMENTO 
FLETOR
Voltando ao diagrama de corpo livre da Figura 47, e escrevendo agora que 
a soma dos momentos sobre C” é zero, temos (BEER et al., 2013):
'
2
0: ( ) 0
2
1 ( )
2
C
xM M M M V x
M V x w x
∆
+ Σ = + ∆ − − ∆ =
∆ = ∆ − ∆

TÓPICO 3 | ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO
45
Da mesma forma que anteriormente, dividindo ambos os membros da 
equação por dx e deixando dx aproximar-se de zero (BEER et al., 2013) temos 
que inclinação do diagrama de momento em cada ponto é igual ao cisalhamento 
(força cortante) em cada ponto (HIBBELER, 2009):
dM V
dx
=
A equação acima indica que a inclinação dM/dx da curva do momento 
de fl exão é igual ao valor da força cortante, em qualquer ponto em que a força 
cortante tenha um valor bem defi nido, ou seja, em qualquer ponto em que não 
seja aplicada nenhuma força concentrada. A equação também mostra que V = 0 
em pontos em que M é máximo. Essa propriedade facilita a determinação dos 
pontos em que a viga provavelmente falhará durante a fl exão (BEER et al., 2013).
Considerando que a mudança no momento é igual a área sob o diagrama 
de força cortante (HIBBELER, 2009) temos:
( )M V x dx∆ = ∫
FIGURA 49 – CARGA DISTRIBUÍDA E DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E MOMENTOS 
FLETORES
FONTE: Hibbeler (2009, p. 208)
Logo: MD – MC = área sob a curva da força cortante entre C e D. 
46
UNIDADE 1 | FLEXÃO
Hibeller (2009, p. 209) apresenta alguns exemplos de diagramas de esforço 
cortante e de momento para alguns casos comuns de carregamento, conforme 
mostra a figura 50:
FIGURA 50 – DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR PARA ALGUNS CASOS 
COMUNS DE CARREGAMENTO
FONTE: Hibbeler (2009, p. 209) 
1 (HIBBELER, 2009, p. 210 a 211) Represente graficamente os diagramas de 
força cortante e momento fletor para a viga.
AUTOATIVIDADE
TÓPICO 3 | ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO
47
4 PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS EM FLEXÃO
“Para projetar uma viga com base na resistência, exige-se que as tensões 
de flexão e cisalhamento verdadeiras não ultrapassem aquelas admissíveis para 
o material” (HIBBELER, 2009, p. 426). A maior tensão normal é encontrada na 
superfície em que o momento máximo de flexão ocorre (BEER et al., 2013).
max max
m
M c M
I W
σ = =
Beer et al. (2013) salientam que um projeto seguro requer que a tensão 
máxima normal seja inferior à tensão admissível do material utilizado, pois este 
critério leva à determinação do mínimo módulo de resistência à flexão aceitável: 
m admσ σ≤
Da mesma forma, Hibbeler (2009, p. 426) complementa que a determinação 
do módulo de resistência à flexão da viga consiste na relação entre I e c, ou seja, S 
= l/c, que usando a fórmula da flexão σ = Mc/l, fica: 
máx
req
adm
M
S
σ
=
Em que M é determinado pelo diagrama de momento da viga, e a tensão 
de flexão admissível, σadm, é especificada em um código ou manual do projeto 
(HIBBELER, 2009).
Entre as escolhas para a seção das vigas que tem um módulo de resistência 
aceitável, opta-se por aquela com o menor peso por unidade de comprimento, 
consequentemente com a menor área de seção transversal (WMIN), pois será a 
menos cara e, portanto, a melhor escolha. (BEER et al., 2013).
Logo, podemos dizer que Sreq = Wmin.
48
UNIDADE 1 | FLEXÃO
1 (Beer et al., 2013, p. 510) Para a viga de madeira com o carregamento mostrado, 
trace os diagramas de força cortante e momento fletor e determine a tensão 
máxima provocada pelo momento fletor.
AUTOATIVIDADE
TÓPICO 3 | ANÁLISE E PROJETOS DE VIGAS EM FLEXÃO
49
LEITURA COMPLEMENTAR
MOMENTOS DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES COMPOSTAS
F. P. Beer
E. R. Johnston Jr. 
J. T. Dewolf
D. F. Matuzarek
O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um 
dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das superfícies 
componentes A1, A2, A3..., em relação ao mesmo eixo.
50
UNIDADE 1 | FLEXÃO
FONTE: Beer et al. (2013, p. 291)
FONTE: adaptado de Beer et al. (2013, p. 680 a 685)
51
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido 
pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.
• As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos 
denominados diagramas de força cortante e momento fletor, em que as 
direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a 
força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário.
• A determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do 
momento fletor exigem a identificação da força e do momento fletor na seção 
solicitada. Para a determinação da força cisalhante e do momento fletor em 
um determinado ponto, passa-se um corte na seção de aplicação e faz-se uma 
análise de equilíbrio nas partes de cada lado do corte.
• Os esforços internos correspondentes de cada lado da seção seccionada são 
iguais e contrários, pois correspondem uma ação e a reação correspondente.
• Quando uma viga suporta vários tipos de carregamentos, como mais de duas 
forças concentradas, ou quando suporta cargas distribuídas, especialmente as 
variáveis ao longo do comprimento, fica mais fácil montar os diagramas de 
força cortante e momento fletor se considerarmos as relações existentes entre 
força, força cortante e momento fletor.
• Para projetar uma viga com base na resistência, exige-se que as tensões de 
flexão e cisalhamento verdadeiras não ultrapassem aquelas admissíveis para o 
material.
52
1 (HIBBELER, 2009, p. 206) Represente grafi camente os diagramas de força 
cortante e momento fl etor para a viga mostrada a seguir:
AUTOATIVIDADE
2 (BEER et al., 2013, p. 520) Trace os diagramas de força cortante e momento 
fl etor para a viga e o carregamento mostrados.
3 (BEER et al., 2013, p. 529) A viga de aço simplesmente apoiada deve suportar 
as forças distribuídas e concentradas mostradas. Sabendo que a tensão 
normal admissível para a classe de aço a ser utilizado é de 160 MPa, selecione 
o perfi l de mesa larga que deve ser usado.
53
UNIDADE 2
CISALHAMENTO, 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 
E VASOS DE PRESSÃO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir dos estudos desta unidade, você será capaz de:
• calcular a força cortante na face horizontal de um elemento de viga e as 
tensões de cisalhamento em vigas, médias e máximas;
• compreender a distribuição de tensões em uma viga retangular estreita;
• calcular o cisalhamento longitudinal em um elemento de viga de modo 
arbitrário e as tensões de cisalhamento em barras de paredes finas;
• compreendero estado plano de tensões;
• calcular as tensões principais e de cisalhamento máxima;
• aplicar o Círculo de Mohr para o estado plano de tensões;
• calcular as tensões de superfície externas e internas nos vasos de pressão, 
as tensões em vasos de pressão cilíndricos de paredes finas e a tensão 
circunferencial e a longitudinal em vasos de pressão;
• aplicar o Círculo de Mohr para obter as tensões nos vasos de pressão.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CISALHAMENTO EM VIGAS
TÓPICO 2 – TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 
TÓPICO 3 – VASOS DE PRESSÃO
54
55
TÓPICO 1
CISALHAMENTO EM VIGAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Quando o cisalhamento V é aplicado (Figura 1), a distribuição não 
uniforme de tensão na seção transversal fará com que ela se deforme (Figura 2) 
(HIBBELER, 2009).
A relação entre o momento e o cisalhamento é dada pela expressão 
(HIBBELER, 2009):
V dM dx=
FIGURA 1 – ELEMENTO TÍPICO DA SEÇÃO TRANSVERSAL SUJEITO A TENSÕES DE 
CISALHAMENTO TRANSVERSAIS E LONGITUDINAIS
FONTE: Hibbeler (2009, p. 283) 
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
56
FIGURA 2 – BARRA DE ELEMENTO DEFORMÁVEL SUBMETIDO A TENSÃO DE CISALHAMENTO
FONTE: Hibbeler (2009, p. 284)
Quando um carregamento transversal é aplicado em uma viga, resultará 
em tensões normais e de cisalhamento nas seções transversais. A distribuição de 
tensões normais e de cisalhamento são equivalentes ao momento fletor M e à 
força cortante F (Figura 3) e satisfazem as seguintes equações (BEER et al., 2013):
( )
( )
0 0
 0
0 
x x x xz xz
y xy y x
z xz z x
F dA M y z dA
F dA V M z dA
F dA M y M
σ τ τ
τ σ
τ σ
= = = − =
= = − = =
= = = − =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
FIGURA 3 – FORÇAS ELEMENTARES NORMAIS E DE CISALHAMENTO EQUIVALENTES AO 
MOMENTO FLETOR M
FONTE: Beer et al. (2013, p. 540)
TÓPICO 1 | CISALHAMENTO EM VIGAS
57
Quando tensões de cisalhamento são exercidas sobre as faces verticais de 
um elemento, tensões iguais devem ser exercidas sobre as outras faces horizontais 
(BEER et al., 2013).
Cisalhamento longitudinal deve existir em qualquer elemento submetido 
a uma carga transversal (Figura 4) (BEER et al., 2013).
FIGURA 4 – TENSÕES APLICADAS NAS FACES DE UM VOLUME
FONTE: Beer et al. (2013, p. 540)
A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão de 
cisalhamento na seção transversal (HIBBELER, 2009):
'
 
onde ' '
A
VQ
It
Q ydA y A
τ =
= =∫
τ = tensão de cisalhamento no elemento. 
V = força de cisalhamento interna resultante.
I = momento de inércia da área da seção transversal inteira.
t = largura da área da seção transversal do elemento.
2 FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM 
ELEMENTO DE VIGA
Considere a viga prismática e a seção de corte no ponto C, que contém o 
trecho CDD’C’, mostrada na Figura 5.
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
58
FIGURA 5 – VIGA PRISMÁTICA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 542)
As forças atuantes no trecho CDD’C’ consistem em forças cortantes 
verticais VC e VD, uma força cortante horizontal ΔH, e forças elementares 
horizontais normais (σCdA e σDdA) e possivelmente uma força w, conforme 
identificado por Beer et al. (2013) e ilustrado na Figura 6.
FIGURA 6 – TRECHO CDD’C DA VIGA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 542)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 542)
FIGURA 7 – FORÇAS ATUANTES NO ELEMENTO CD
Então, para o equilíbrio do trecho CDD’C’ do elemento de viga, de acordo 
com Beer et al. (2013), temos:
TÓPICO 1 | CISALHAMENTO EM VIGAS
59
( )0
 
x D C
A
D C
A
F H dA
M M
H y dA
I
σ σ= = ∆ + −
−
∆ =
∑ ∫
∫
Considerando Q como o momento estático e MD e MC como os momentos 
fletores, calculados como segue:
 
 
A
D C
Q y dA
dMM M x V x
dx
=
− = ∆ = ∆
∫
E substituindo na equação de equilíbrio, temos o fluxo de cisalhamento q:
 
VQH x
I
H VQq fluxo de cisalhamento
x I
∆ = ∆
∆
= = =
∆
Em que: 
1
2
'
 
 momento estático da área acima de .
 
 momento de inércia da área total do elemento
A
A A
Q y dA
y
I y dA
+
=
=
=
=
∫
∫
Sendo o mesmo resultado encontrado para área inferior (Figura 8) (BEER 
et al., 2013):
' '' '
' 0
 momento estático respectivo
 do eixo neutro
'
H VQq q
x I
Q Q
H H
∆
= = = −
∆
+ =
=
∆ = −∆
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
60
FONTE: Beer et al. (2013, p. 542)
FIGURA 7 – FORÇAS ATUANTES NO ELEMENTO CD
2.1 EXEMPLOS DE CÁLCULO
1 (BEER et al., 2013, p. 544) Uma viga é feita de três pranchas, pregadas juntas. 
Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 25mm e que o cisalhamento 
vertical da viga é V = 500 N, determine a força cortante em cada prego.
SOLUÇÃO:
Determinar momento estático (Q) e momento de inércia (I):
TÓPICO 1 | CISALHAMENTO EM VIGAS
61
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
6 3
31
12
31
12
2
6 4
0,020 m 0,100 m 0,060 m
120 10 m
0,020 m 0,100 m
2[ 0,100 m 0,020 m
0,020 m 0,100 m 0,060 m ]
16,20 10 m
Q Ay
I
−
−
=
= ×
= ×
=
+
+ ×
= ×
Determine a força horizontal por unidade de comprimento ou o fluxo de 
cisalhamento (q) na superfície inferior da prancha superior.
6 3
6 4
(500N)(120 10 m )
16,20 10 m
 3.704N/m
VQq
I
−
−
×
= =
×
=
Calcular a força cortante correspondente em cada prego para um 
espaçamento de 25cm.
(0,025m) (0,025m)(3.704N/m)F q= =
92,6NF =
3 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Para uma viga com seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento 
varia parabolicamente com a altura. 
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
62
FIGURA 9 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO TRANSVERSAL 
RETANGULAR DE VIGA
FONTE: Hibbeler (2009, p. 287)
Nos itens a seguir demonstram-se os cálculos para tensão média e tensão 
máxima.
3.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO MEDIA
Considere a seção da viga a seguir:
FIGURA 10 – SEÇÃO DE VIGA COM PLANO VERTICAL DE SIMETRIA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 544)
A tensão de cisalhamento média na face horizontal do elemento é obtida 
dividindo a força de cisalhamento ΔH no elemento pela área da face ΔA, conforme 
a Figura 10, segundo Beer et al. (2013):
TÓPICO 1 | CISALHAMENTO EM VIGAS
63
 
t 
 
méd
q xH VQ x
A A I x
VQ
It
τ
∆∆ ∆
= = =
∆ ∆ ∆
=
Nas superfícies superior e inferior da viga, conforme mostra a Figura 11, 
tyx= 0. Segue-se que txy= 0 nas bordas superior e inferior das seções transversais 
(BEER et al., 2013).
FIGURA 11 – TENSÃO DE CISALHAMENTO NAS FACES SUPERIOR E INFERIOR DA VIGA COM 
PLANO VERTICAL DE SIMETRIA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 545)
3.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Para uma viga retangular estreita, a tensão de cisalhamento em qualquer 
ponto da seção transversal (Figura 12) é obtida pela equação demonstrada por 
Beer et al. (2013), sendo seu valor máximo encontrado quando y = 0, ou seja, a 
tensão de cisalhamento máxima (Figura 13) ocorre ao longo do eixo neutro 
(HIBBELER, 2009):
2
2
3 1
2
3
2
xy
máx
yVQ V
Ib A c
V
A
τ
τ
 
= = − 
 
=
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
64
FIGURA 12 – SEÇAO TRANSVERSAL DE VIGA COMUM
FONTE: Beer et al. (2013, p. 545)
A seção transversal de uma barra retangular possui distribuição de tensões 
de cisalhamento parabólica, como mostrado na Figura 13 (Beer et al., 2013). 
FIGURA 13 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
FONTE: Beer et al. (2013, p. 546)
4 DISCUSSÕES ADICIONAIS SOBRE DISTRIBUIÇÃO DE 
TENSÕES EM UMA VIGA RETANGULAR ESTREITA 
Considere uma viga estreita em balanço de seção retangular submetida à 
carga P em sua extremidade livre, conforme a Figura 14:
TÓPICO 1 | CISALHAMENTO EM VIGAS
65
FIGURA 14 – VIGA ESTREITA EM BALANÇO SUBMETIDA À CARGA P
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 497)
As tensões de cisalhamento são independentes da distância do ponto 
de aplicação da carga, mas as tensões normais dependem das condições deextremidade (BEER; JOHNSTON, 1995).
2
2
3 1
2
1
xy
x
yP
A c
Pxy
τ
σ
 
= − 
 
= +
Para que a equação da tensão de cisalhamento possa ser aplicada em 
qualquer ponto da viga, a força P deve ter distribuição parabólica ao longo da 
seção extrema da viga (Figura 15) e o apoio fixo deve permitir a deformação de 
cisalhamento (Figura 14) (BEER; JOHNSTON, 1995).
FIGURA 15 – DISTRIBUIÇÃO PARABÓLICA DA FORÇA P
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 497)
Porém, do princípio de Saint-Venant, os efeitos do modo de aplicação da 
carga são desprezíveis, exceto nas imediações dos pontos de aplicação da carga 
(BEER et al., 2013).
O princípio da superposição poderá ser usado quando uma viga de seção 
retangular for submetida a várias cargas concentradas, como mostrado na Figura 
16.
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
66
FIGURA 16 – VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR SUBMETIDA A VÁRIAS CARGAS CONCENTRADAS
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 497)
As deformações de cisalhamento devido a cargas distribuídas (Figura 17) 
são insignificantes para as seções típicas da viga em estudo (BEER et al., 2013).
FIGURA 17 – VIGA SUBMETIDA A CARGAS DISTRIBUÍDAS
FONTE: Beer e Johnston (1995, p. 498)
Para vigas do tipo I (padrão americano) e tipo W (viga de mesas largas) 
serão empregadas as seguintes equações (BEER et al., 2013):
méd
máx
alma
VQ
It
V
A
τ
τ
=
=
FIGURA 18 – VIGA TIPO I E GRÁFICO DE τ
méd
 EM FUNÇÃO DA DISTÂNCIA VERTICAL Y
FONTE: Beer et al. (2013, p. 546)
TÓPICO 1 | CISALHAMENTO EM VIGAS
67
5 CISALHAMENTO LONGITUDINAL EM UM ELEMENTO DE 
VIGA DE MODO ARBITRÁRIO
Já examinamos a distribuição das componentes verticais τxy em uma 
seção transversal de uma viga. Vamos agora considerar as componentes 
horizontais τxz das tensões (BEER et al., 2013).
Considere a mesma viga prismática da Figura 5 com um trecho definido 
pela superfície CDD’C’ se estendendo até uma superfície curva arbitrária (Figura 
19) (BEER et al., 2013).
FIGURA 19 – TRECHO CDD’C’ DA VIGA
FONTE: Beer et al. (2013, p. 554)
Aplicando a equação de equilíbrio, temos:
( )0x D C
a
F H dAσ σ= = ∆ + −∑ ∫
Exceto para as diferenças nas áreas de integração, este é o mesmo 
resultado obtido no Item 2, conforme Beer et al. (2013):
 VQ H VQH x q
I x I
∆
∆ = ∆ = =
∆
5.1 EXEMPLO
1 (BEER et al., 2013, p. 555) Uma viga caixão quadrada é construída a partir de 
quatro tábuas, como mostrado. Sabendo que o espaçamento entre os pregos 
é de 45mm e a viga está submetida a um cisalhamento vertical de magnitude 
V = 2,7kN, determine a força cortante em cada prego.
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
68
SOLUÇÃO:
Para a tábua superior:
( )( )( )
3
19 mm 76 mm 47,5mm
68.590 mm
Q A y′= =
=
Para a viga da seção transversal:
( ) ( )4 41 112 12
6 4
114 mm 76 mm
11,29 10 mm
I = −
= ×
Determinar a força cortante por unidade de comprimento ao longo de 
cada borda da mesa superior.
( )( )3
6 4
2.700 N 68.590 mm
16,4 N/mm
11,29 10 mm
8,2 N/mm
2
 força por unidade de comprimento em cada borda
VQq
I
qf
= = =
×
= =
=
TÓPICO 1 | CISALHAMENTO EM VIGAS
69
Com base no espaçamento entre os pregos, determinar a força cortante 
em cada prego.
(8,2N/mm)(45mm)F f= =
369NF =
6 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM BARRAS DE PAREDES 
FINAS
Considere um segmento de uma viga de mesas largas submetida ao 
cisalhamento vertical V (Figura 20) (BEER et al., 2013).
FIGURA 20 – VIGA DE MESAS LARGAS
FIGURA 21 – COMPONENTES DA TENSÃO DE CISALHAMENTO
FONTE: Beer et al. (2013, p. 556)
FONTE: Beer et al. (2013, p. 557)
A força cortante longitudinal sobre o elemento é (BEER et al., 2013):
VQH x
I
∆ = ∆
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
70
A tensão de cisalhamento (Figura 21) correspondente é (BEER et al., 2013):
 zx xz
H VQ
t x It
τ τ ∆= ≈ =
∆
Anteriormente, encontrou uma expressão similar para tensão de 
cisalhamento na alma (BEER et al., 2013):
xy
VQ
It
τ =
(BEER et al., 2013):
NOTA
0 nas mesas
0 nas almas
xy
xz
τ
τ
≈
≈
“A equação acima pode ser usada para determinar tensões de 
cisalhamento em vigas caixão (Figura 22), tubos, e outros componentes de 
paredes finas, desde que as forças sejam aplicadas em um plano de simetria do 
componente” (BEER et al., 2013, p. 557).
FIGURA 22 – SEÇÃO DE VIGA CAIXÃO
FONTE: Beer et al. (2013, p. 557)
TÓPICO 1 | CISALHAMENTO EM VIGAS
71
A variação de fluxo de cisalhamento (Figura 23) ao longo da seção 
depende apenas da variação do momento estático (BEER et al., 2013).
VQq t
I
τ= =
Para uma viga caixão (Figura 23), q cresce continuamente desde zero em 
A até um valor máximo em C e C' na linha neutra e depois decresce de volta a 
zero em E. O sentido de q nas partes horizontais da seção pode ser facilmente 
obtido pelo seu sentido nas partes verticais ou sentido da força cortante V (BEER 
et al., 2013).
FIGURA 23 – FLUXO DE CISALHEMENTO
FONTE: Beer et al. (2013, p. 558)
Para uma viga de mesa larga (Figura 24) o fluxo de cisalhamento (Figura 
25) cresce simetricamente desde zero em A e A’ até um valor máximo em C e 
depois decresce de volta a zero em E e E’ (BEER et al., 2013).
FIGURA 24 – SEÇÃO DE VIGA DE MESAS LARGAS
FONTE: Beer et al. (2013, p. 557)
UNIDADE 2 | CISALHAMENTO, TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO
72
FIGURA 25 – FLUXO DE CISALHAMENTO
FONTE: Beer et al. (2013, p. 558)
A continuidade da variação q e a fusão de q a partir de ramos de seção 
sugerem uma analogia do fluxo de cisalhamento com o fluxo de fluido por meio 
de um canal aberto ou um tubo (BEER et al., 2013).
73
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Quando o cisalhamento V é aplicado, essa distribuição não uniforme na seção 
transversal fará com que ela se deforme.
• Quando tensões de cisalhamento são exercidas sobre as faces verticais de um 
elemento, tensões iguais devem ser exercidas sobre as outras faces horizontais.
• Para uma viga com seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento 
varia parabolicamente com a altura.
74
AUTOATIVIDADE
1 (UFG, 2018) Para a resolução dessa questão, observe a fi gura a seguir que 
mostra uma viga de madeira formada por três tábuas pregadas entre si por 
meio de pregos espaçados de 25cm. Essa viga possui fl uxo de cisalhamento 
constante na ligação entre as tábuas e momento de inércia em relação ao seu 
eixo neutro igual a 998cm4.
Cada prego possui uma resistência ao cisalhamento de 20kgf. Desconsiderando 
quaisquer coefi cientes de segurança, qual é o valor da força cortante máxima 
V que essa viga suporta de modo a não ocorrer falha na fi xação entre a tábua 
vertical (alma) e as tábuas horizontais (mesas)?
a) ( ) 12,3kgf.
b) ( ) 24,3kgf.
c) ( ) 36,3kgf.
d) ( ) 48,3kgf.
2 (CESGRANRIO, 2018) A viga prismática do Tipo I apresentada na fi gura a 
seguir está submetida a um esforço de cisalhamento transversal V = 230kN.
75
Se todas as dimensões da viga estão em milímetros, qual o valor da tensão de 
cisalhamento máxima, em MPa, na seção transversal dessa viga?
a) ( ) 20.
b) ( ) 30.
c) ( ) 40.
d) ( ) 50.
e) ( ) 60.
3 (FADESP, 2018) O elemento mostrado na figura experimenta um estado 
plano de tensão, sendo σxx = – 15,0 MPa, σyy = 5,0 MPa e τyx = τxy = 0,0 MPa. 
Sabendo que a orientação indicada na figura representa a convenção 
positiva das tensões, determine, em valor absoluto, a tensão máxima da 
componente de cisalhamento, τmax.
O resultado é:
a) ( ) τmax = 0,0 MPa.
b) ( ) τmax = 5,0 MPa.
c) ( ) τmax = 10,0 MPa.
d) ( ) τmax = 15,0 MPa.
e) ( ) τmax = 20,0 MPa.
τyx
τyx
τxy
τxy
σyy
σyy
σxxσxx
76
77
TÓPICO 2
TRANSFORMAÇÃO DA TENSÃO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
O estado mais geral de tensão em um ponto pode ser representado por seis 
componentes, conforme representado na Figura 26 e listado a seguir (BEER et al., 
2013).
, , tensões normais
, , tensões normais
 (Nota: , , )
x y z
xy yz zx
xy yx yz zy zx xz
σ σ σ
τ τ τ
τ