Ebook completo_Geometria Analítica e Álgebra Linear_Ser e Digital Pages (Versão Digital) (1)

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Natália Galvão Simão de Souza,
Pedro Henrique Lopes Nunes Abreu dos Santos,
Organizadora Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva Lôbo.
GEOMETRIA ANALÍTICA 
E ALGEBRA LINEAR
Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
© by Ser Educacional
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Ilustrador: João Henrique Martins.
Souza, Natália Galvão Simão de; Santos, Pedro Henrique Lopes Nunes 
Abreu dos.
Organizador(a): Lôbo, Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva.
Nome Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Recife: Digital Pages e Grupo Ser Educacional - 2022.
166 p.: pdf
ISBN: 978-65-81507-61-9
1. Geometria 2. Álgebra 3. Cálculo.
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SINTETIZANDO
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conteúdo estudado.
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CURIOSIDADES
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CONTEXTUALIZANDO
Contextualização sobre o 
tema abordado.
DEFINIÇÃO
Definição sobre o tema 
abordado.
DICA
Dicas interessantes sobre 
o tema abordado.
EXEMPLIFICANDO
Exemplos e explicações 
para melhor absorção do 
tema.
EXEMPLO
Exemplos sobre o tema 
abordado.
FIQUE DE OLHO
Informações que 
merecem relevância.
SUMÁRIO
Unidade I
Estudo dos Vetores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 15
Conceitos Básicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �15
Vetores no Plano e no Espaço � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 18
Sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço para representar 
Vetores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �18
Vetores no espaço � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �19
Operações entre vetores� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 20
Adição de vetores no Plano e no Espaço � � � � � � � � � � � � � � 20
Multiplicação de um Número Real por um Vetor � � � � � � 22
Produto escalar � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 23
Produto vetorial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 25
Produto misto � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 26
Unidade II
Definição e Notações de Matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 33
Conceitos básicos de matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �33
Tipos Especiais de Matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 35
Matrizes quadradas, identidades e triangulares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 35
Matrizes simétricas e antissimétricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 37
Matriz linha e matriz coluna � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38
Operações com Matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38
Adição � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38
Multiplicação por um escalar � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 39
Multiplicação entre matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 40
Transposição de matrizes� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 42
Matriz simétrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 44
Cálculo de determinantes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 44
Matriz Inversa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �48
Método de inversão pela matriz adjunta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 48
Método de inversão pelas operações elementares � � � � � � � � � � � � � � � � � 48
Equações Lineares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �54
Sistemas de equações lineares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 56
O número de equações e variáveis do sistema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 57
Método do escalonamento ou eliminação de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � 59
Equações da Reta: Vetorial, Paramétricas, Simétricas E Reduzidas
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �62
Equações paramétricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 65
Equações simétricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 67
Equações reduzidas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 69
Classificação das retas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 70
Interseção entre retas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 74
Ângulo entre retas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 76
Equação geral do plano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 77
Interseção entre planos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 79
Unidade III
 Espaços Vetoriais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �85
Subespaços vetoriais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 88
Representação geométrica da soma e multiplicação escalar de vetores
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �91
Combinação Linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 94
Dependência e independência linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 95
Base e dimensão de espaços vetoriais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 97Transformação Linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 98
Transformação do plano no plano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �101
Reflexão � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 103
Escalonamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 104
Rotação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 105
Transformação ortogonal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 106
Autovetores e Autovalores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 110
Calculando autovalores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 111
Calculando autovetores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 112
Diagonalização de Operadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 117
Operadores diagonalizáveis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 117
Unidade IV
As Cônicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 125
Elementos da Parábola � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 126
Equações reduzidas da parábola � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 128
1º caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 128
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 130
Equação da parábola com o vértice fora da origem do sistema � � � � � �137
1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 139
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 140
Equação da parábola na forma explícita � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �141
Estudo da Elipse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 144
Elementos da elipse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 145
Equação da elipse de centro na origem do sistema � � � � � � � � � � � � � � � � 146
1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 146
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 148
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema � � � � � � � � � � � � � 151
1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 151
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 152
Estudo da Hipérbole � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �154
Elementos da hipérbole � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 155
Equações da hipérbole de centro na origem do sistema � � � � � � � � � � � 157
1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 157
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 158
Equações da hipérbole de centro fora da origem do sistema � � � � � � � 159
 1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 160
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 160
Apresentação
Olá, estudante! Tudo bem com você? 
Seja bem-vindo(a) à nossa disciplina! 
A Geometria Analítica e Álgebra Linear são campos da mate-
mática que se complementam por meio de estudos relacionados ao 
comportamento dos vetores e dos demais elementos lineares (retas, 
planos etc.). Nesta disciplina, trataremos de conceitos e caracterís-
ticas de tais elementos para que possamos compreender suas apli-
cações em situações cotidianas.
A partir do trabalho publicado em 1637, pelo matemático e 
filósofo francês René Descartes, foi possível estabelecer o método 
cartesiano que relacionou a Álgebra e a Geometria para o estudo de 
curvas planas. Em 1769, foram publicadas ideias complementares 
ao trabalho de Descartes, desenvolvidas pelo matemático francês 
Pierre de Fermat. O trabalho de Fermat relacionou as equações al-
gébricas a outros objetos geométricos, facilitando o cálculo de pro-
blemas de geometria e a interpretação dos resultados obtidos nesses 
problemas.
Mais de dois séculos depois do surgimento de tais conceitos, 
eles ainda têm papel fundamental no desenvolvimento de soluções 
para diversas áreas como, por exemplo, na computação gráfica, na 
interpretação de resultados de exames de diagnóstico por imagem, 
em ferramentas de GPS, entre outros.
Dessa forma, esperamos que, a partir deste material, você 
possa compreender as técnicas básicas de cálculo e algumas das 
suas aplicações, além de desenvolver a sua habilidade de reconhe-
cer, interpretar e desenvolver representações gráficas de grande-
zas vetoriais e problemas matemáticos que utilizam as cônicas. 
Ao longo do curso, os conceitos de Geometria Analíca e Ál-
gebra Linear, estarão dispostos seguindo uma sequência lógica de 
interação entre os conceitos.
Você está pronto para embarcar nesta jornada? Vamos 
adiante!
Autoria
Natália Galvão Simão de Souza
Sou licenciada em Matemática (2014) pela 
Universidade Estadual Paulista (UNESP). 
Atualmente, desenvolvo pesquisas no âm-
bito do ensino e da aprendizagem da Ma-
temática e da Estatística por meio do grupo 
de estudos em Educação Estatística e Ma-
temática (GEEM), vinculado ao Programa de Mestrado em Ensino e 
História das Ciências e da Matemática da Universidade Federal do 
ABC.
Pedro Henrique Lopes Nunes Abreu dos 
Santos
Sou mestre em Engenharia de Materiais 
pela Escola de Engenharia de Lorena – Uni-
versidade de São Paulo (EEL-USP) (2019) e 
graduado em Engenharia Industrial Quí-
mica, também pela EEL-USP (2016). Hoje, 
atuo, principalmente, em projetos que envolvem o preparo e a ca-
racterização de materiais cerâmicos, junto ao Grupo de Materiais 
Cerâmicos do Departamento de Engenharia de 
Materiais da EEL-USP, vinculado ao Programa de 
Pós-Graduação em Engenharia de Materiais.
Currículo Lattes
Currículo Lattes
Organizadora
Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva 
Lôbo
Sou graduada em Licenciatura Plena em 
Matemática pela Universidade Fede-
ral Rural de Pernambuco (2002) e mestre 
em Educação Matemática e Tecnológica 
pela Universidade Federal de Pernambuco 
(2012). Desde 2008, atuo na docência superior em ensino presencial 
e à distância, na formação de profissionais da área de educação e na 
área técnica.
Currículo Lattes
UN
ID
AD
E
1
Objetivos
 → Introduzir conceitos, sobre vetores no plano e no espaço para 
a resolução de problemas geométricos.
 → Apresentar o cálculo de produtos entre vetores e relacioná-los 
aos conceitos de comprimento, área e volume.
14
Introdução
Caro(a) estudante, agora, vamos começar nossa jornada!
Iniciaremos com uma apresentação dos conceitos básicos 
para o estudo de vetores, na qual serão apresentadas diferentes 
classificações e propriedades. 
Além disso, apresentaremos os processos para a realização 
de operações, como adição, subtração e cálculo de produtos entre 
vetores (escalar, vetorial e misto), que estão relacionadas ao con-
ceito de comprimento, área e volume. Assim, você entenderá que 
tais conceitos formam a base para compreender os vetores de uma 
perspectiva plana e espacial e, então, operacionalizar os vetores de 
forma geométrica e de forma analítica.
15
Estudo dos Vetores
Iniciaremos o estudo de vetores com a apresentação de alguns con-
ceitos básicos sobre retas e segmentos orientados.
Conceitos Básicos
Uma reta qualquer, a denominaremos de “r”, é definida como uma 
reta orientada (oueixo) quando possui um sentido de percurso fixo, 
indicado por uma seta. Por sua vez, um segmento de reta é um seg-
mento orientado quando é determinado por dois pontos, com um 
deles sendo a origem e o outro, a extremidade do segmento. Assim, 
um segmento de origem, no ponto A, e extremidade, no ponto B, é 
chamado de segmento AB, com a seta indicando o sentido do seg-
mento (figura 1).
Figura 1 – Reta orientada r com sentido positivo e segmento AB.
Fonte: (SOUZA, 2020).
Os segmentos orientados são chamados de vetores, por apre-
sentarem as determinadas características (figura 2).
Figura 2 – Conceitos básicos dos vetores.
Fonte: Elaborado pela autora (Adaptado de SOUZA, 2020).
DEFINIÇÃOSAIBA MAIS
INFOGRÁFICO
16
Os vetores representam grandezas vetoriais, já os números 
Reais por si só, representam grandezas escalares. 
As grandezas escalares são aquelas que podem ser definidas por 
apenas um número real, acompanhado de uma unidade de medida 
adequada. Por exemplo:
 → área de uma figura plana em cm²;
 → volume de um reservatório em L;
 → temperatura de um ambiente em °C;
 → comprimento de uma mesa em cm.
Uma grandeza vetorial é conhecida por ter seu módulo, também 
chamado de comprimento ou intensidade, a sua direção e o seu sen-
tido, como:
 → força empregada no deslocamento de um objeto;
 → velocidade de um automóvel se deslocando em uma rodovia;
 → aceleração no lançamento de um projétil. 
Os vetores podem ser classificados de acordo com características 
específicas em relação à forma, dimensão e sentido. Assim, observe 
as informações do seguinte infográfico:
17
Infográfico 1 – Características e classificação do vetores.
Fonte: Elaborado pela autora (Adaptado de SOUZA, 2020)
18
Vetores no Plano e no Espaço
Sistemas de eixos cartesianos do plano e do 
espaço para representar Vetores
No plano, cada vetor pode ser associado a um par ordenado, que são 
as suas coordenadas e sua notação é dada pela expressão analítica 
de x : 
A coordenada x é chamada de abscissa e a coordenada y de 
ordenada. Em seguida, a figura 3 mostra a representação do vetor 
no plano.
Figura 3 – Representação do vetor no plano.
Fonte: (SOUZA, 2020).
19
Os vetores i e j formam uma base canônica para “gerar” ve-
tores no plano, eles representam, respectivamente, os vetores de 
coordenadas (1, 0) e (0,1).
Vetores no espaço
A origem do sistema é representada pelo ponto O, pelo qual passam 
três retas. A reta com direção do vetor x o eixo x (das abscissas), a 
reta com direção do vetor x é o eixo y (das ordenadas) e a reta com 
direção do vetor x é o eixo z (das cotas). Esses três eixos são chama-
dos de eixos coordenados.
Sendo os vetores representados pela expressão analítica de .
Em seguida a figura 4, apresenta um sistema coordenado, ou 
seja, vetores na representação espacial.
Figura 4 – Eixo coordenado no espaço.
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 25.)
20
Os vetores x, x e x formam uma base canônica para “gerar” 
vetores no espaço, eles representam respectivamente, os vetores de 
coordenadas (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0, 1).
Operações entre vetores
Adição de vetores no Plano e no Espaço
Sendo dois vetores, a adição entre eles não ocorre da mesma forma, 
como ocorre com os escalares, tendo em vista que podemos resolver 
pelo método Geométrico e Analítico.
Para encontrar a soma de dois vetores, neste caso vamos con-
siderar x e x, pelo método Geométrico, consideramos um ponto A 
qualquer, a partir do qual traçamos um segmento que represente o 
vetor x . A extremidade desse segmento está no ponto que chama-
remos de B e, a partir do qual, iremos traçar um representante do 
vetor v que terá extremidade no ponto C. O vetor resultante da soma 
de u e v é o vetor AC e é representado pelo vetor t.
Figura 5 – Soma dos segmentos x e x.
Fonte: Elaborado pela autora (Adaptado de WINTERLE, 2000).
A diferença entre dois vetores é dada pela soma de um vetor e 
o oposto do outro vetor:
21
Considerando três vetores quaisquer x , x e x , as proprieda-
des da adição podem ser estabelecidas como:
O método analítico para determinar o vetor resultante da 
soma de dois vetores é outro método que pode ser empregado para 
o caso da soma de apenas dois vetores não paralelos. Nesse caso, 
considerando os vetores x e x , representados na figura 6 pelos seg-
mentos x = AB e x = AD, completa-se o paralelogramo ao traçar os 
lados DC e BC, paralelos aos segmentos, e a soma x + x é dada pelo 
segmento de origem em A e extremidade em C, coincidente com a 
diagonal do paralelogramo.
Figura 6 – Soma de vetores pelo método analítico.
Fonte: (WINTERLE, 2000).
EXEMPLO
22
A adição de dois vetores x =(x1, y1) e x =(x2, y2) é definida 
por:
x + x =( x1+ x2, y1+ y2)
Por exemplo, dados os vetores x = (8, 2) e x = (4, 12), o vetor 
resultante da operação x + x possui coordenadas iguais a:
x + x = (8 + 4, 2 + 12) = (12, 14)
Multiplicação de um Número Real por um Vetor
Na multiplicação de um vetor por um número real, consideremos 
um vetor não nulo ( x ≠ 0) e um número real diferente de 0 (𝖺 ≠ 0). 
O vetor resultante do número real 𝖺 pelo vetor x é representado 
por 𝖺 x, sendo x = (x, y) por um número real qualquer fica definida 
como:
a x = (ax , ay )
Dados os vetores x = (8, 2) e a = 2, o vetor resultante da operação 
 a x possui coordenadas iguais a:
a x = 2 x = (2 . 8, 2 . 2) = (16, 4)
Observação: 
 → Se a = 0, x = x, o produto é o vetor nulo x;
 → Seja um vetor k . x , com x ≠ x, k ϵ R, obteremos todos os infi-
nitos vetores colineares a x.
23
é representado por x . x e resulta um número real. O produto escalar 
de u por v também pode ser representado por < u, v > e é lido como 
“u escalar v”. Assim, vamos apontar alguns exemplos em seguida.
Produto entre Vetores
Para conhecer as classificações e características dos produtos entre 
vetores, preste atenção na figura abaixo:
Figura 7 – Características e classificações dos produtos entre vetores.
Fonte: elaborado pela autora.
Produto escalar
O conceito do resultado de um produto escalar está relacionado à 
ideia de dimensão, o comprimento. Esse comprimento pode ser o 
tamanho da projeção de um vetor em relação a outro ou mesmo o 
comprimento de qualquer vetor.
Na definição algébrica de um produto escalar, o produto es-
calar de dois vetores e cvbngb bcvb cfbcfé
EXEMPLO
24
1. Determinar o produto escalar entre os vetores x = -5x + 3 x + 
8 x e v = -2 x + 4 x- x
A solução é: x · x = -5(-2) + 3(4) + 8(-1) = 10 + 12 - 8 = 14.
2. Considerando o mesmo vetor x , podemos calcular x . x , que 
é igual a: x · x = -5(-5) + 3(3) + 8(8) = 25 + 9 + 64 = 98.
3. Determinar as coordenadas dos vetores x = (4, a, -1) e x = (a, 
2, 3), dados os pontos A (4, -1, 2) e B (3, 2 - 1), e sabendo que x 
x · ( x + x ) = 5. A solução é:
 → Primeiro, devemos determinar o vetor :
 = A - B = (4 - 3, -1 - 2,2 - (-1)) = (1, -3, 3)
 → Em seguida, vamos encontrar + :
v + = (a + 1,2 + (-3), 3 + 3) = (a + 1, -1, 6)
 → Por fim, podemos substituir na equação dada:
 · ( + ) = 5
(4, a, -1) · (a + 1, -1,6) = 5
4(a + 1) + a(-1) -1(6) = 5
4a + 4 - a - 6 = 5
3a - 2 = 5
a= 7/3
EXEMPLO
25
Determinar o produto vetorial entre x e x . Sendo 
e
Resolução:
1. Determinar os vetores x e x. 
x = (5, 4, 3)
x = (1, 0, 1)
Produto vetorial
Ao contrário do produto escalar, que resulta em um número real, 
o produto vetorial apresenta um vetor como solução. O módulo do 
vetor encontrado em um produto vetorial, representa geometrica-
mente, a área de um paralelogramo, gerado pela sobreposição dos 
dois vetores que se multiplicaram. Para o cálculo de um produto ve-
torial, iremos utilizar um método de resolução de determinante de 
uma matriz. O produto vetorial de x e x é dado por:
Aplicando um método de cálculo de determinante:
26
2. Representar os vetores na matriz e, em seguida, calcular o de-
terminante:
Considerando os vetores e , 
temos que x · x é simultaneamente ortogonala x e x.
Figura 8 – Vetor x · x ortogonal aos vetores x e x pertencentes a um plano π.
Fonte: (WINTERLE, 2000).
Produto misto
Como o próprio nome sugere, um produto misto se dá ao utilizar, 
em uma mesma expressão, o produto escalar e o produto vetorial. 
Vamos então definir o produto misto entre três vetores:
27
A seguinte representação descreve o comportamento do pro-
duto misto em uma visão geometrica:
Figura 9 – Paralelepípedo de volume x
Fonte: (WINTERLE, 2000).
EXEMPLO
DICA
28
Determinar, o produto misto dos vetores x = (2, 3, 5), x = (-1, 3, 3) e 
x = (4, -3, 2). Solução:
=(6+9)2-(-2-12)3+(3-12)5
= 30+ 42 – 45
= 27
O Geogebra é um software de matemática dinâmica, gratuito, que 
pode ser acessado on-line e que permite que os usuários alimentem 
a plataforma com simulações, exercícios, aulas, entre outros tipos 
de materiais didáticos. Além disso, é possível encontrar uma calcu-
ladora de produto misto.
SINTETIZANDO
29
Parabéns, estudante! 
Você concluiu esta etapa.Um dos objetivos dessa unidade foi intro-
duzir conceitos sobre vetores no plano e no espaço. Para isso, inicia-
mos com o estudo de retas e segmentos orientados, explorando suas 
principais características e classificações. Em seguida, foi possível 
definir vetores, apresentar os procedimentos de cálculo envolvidos 
nas operações com eles e estudar alguns casos particulares da rela-
ção entre vetores, de acordo com o ângulo formado entre eles.
Em seguida, deixamos de estudar os vetores por uma perspecti-
va geométrica e passamos a considerar as coordenadas do plano e 
do espaço cartesiano para representar os vetores e para realizar as 
operações.
Por fim, conhecemos o produto escalar, o vetorial e o misto e inter-
pretamos, geometricamente, esses conceitos relacionados às medi-
das de comprimento, área e volume.
Assim, espero que você tenha aproveitado este conteúdo. Até à 
próxima!
UN
ID
AD
E
2
Objetivos
 → Introduzir o conceito de matriz, as operações que podem ser 
executadas e aplicabilidade no universo da Álgebra Linear 
(solução de sistemas lineares de equações) e Geometria Ana-
lítica (representações e operações com vetores);
 → Apresentar a determinação das equações das retas e planos e 
os cálculos das intersecções entre retas e planos, utilizando 
sistemas de equações como ferramenta.
32
Introdução
Olá, estudante! Tudo bem com você?
Seja bem-vindo(a) de volta!
Vamos iniciar esta etapa com uma apresentação do conceito 
e representação genérica de uma matriz. Assim, serão apresenta-
dos diferentes tipos especiais de matrizes e os processos para a rea-
lização de operações, adição, subtração e cálculo de produtos entre 
escalares e matrizes e produto entre matrizes.
Tais conceitos formam a base para organizar e manipular 
elementos representáveis em uma matriz, além da sua plicação na 
resolução de sistemas de equações lineares e a utilização dos dois 
elementos (matriz e sistema) para resolução de problemas com re-
tas e planos.
Assim, você está pronto(a) para iniciar nossa jornada? Bons 
estudos!
DEFINIÇÃO
33
Definição e Notações de Matrizes
Iniciaremos o estudo de matrizes pela apresentação de alguns con-
ceitos básicos sobre esse elemento algébrico e sua representação 
genérica. Em seguida, serão apresentadas as operações e aplicações 
da mesma.
Conceitos básicos de matrizes
Aos arranjos numéricos ou de funções, organizados em linhas e co-
lunas, e delimitados, geralmente, por colchetes, damos o nome de 
matrizes. 
Este elemento da Álgebra pode ser referenciado como matriz 
m x n (lê-se matriz m por n), sendo que m representa o número de 
linhas, e n, o número de colunas. Como exemplo, temos a matriz (1):
Algumas observações interessantes podem ser feitas a partir 
desta matriz 2 × 3, isto é, apresenta 2 linhas e 3 colunas. Primeiro, 
observe que outra forma de as representar é através do uso de letras 
maiúsculas (A, B, C etc.). Note ainda que matrizes comportam todos 
os tipos de números e expressões matemáticas que forem necessá-
rias.
34
Agora que conhecemos uma matriz, podemos expressá-la de 
forma mais genérica, facilitando o entendimento dos demais as-
suntos que ainda serão abordados. Cada elemento da matriz A pode 
ser representado, genericamente, pela forma aij. Perceba que a letra 
representada em maiúsculo para indicar a matriz é também adotada 
em minúsculo para representar seus elementos. Os índices i e j aqui 
apresentados representam a posição destes dentro da matriz. Por-
tanto, i representa a linha,e j, a coluna à qual o elemento pertence 
dentro da matriz.
De forma genérica, uma matriz poderia ser representada 
como: 
Algumas características particulares das matrizes podem 
nos ajudar muito na hora de resolver problemas, facilitando nosso 
trabalho. As características que podemos destacar e que serão mais 
bem exploradas nos tópicos seguintessão: os números de linhas e 
colunas das matrizes; a natureza dos elementos nelas contidos; e 
a relação entre os elementos de determinada linha ou coluna com 
outra em uma mesma matriz.
Muitas classes e subclasses de matrizes podem ser citadas. Ao 
longo dos próximos tópicos, encontraremos os principais tipos de 
matrizes, organizadas de acordo com suas características, buscando 
defini-las e identificá-las da maneira mais compreensível possível.
35
Tipos Especiais de Matrizes
Matrizes quadradas, identidades e triangulares
A própria nomenclatura das matrizes quadradas já diz muito sobre 
este tipo específico de matriz. A matriz quadrada é toda matriz m x n 
em que m é igual a n (m = n). Como exemplo, temos:
Um conceito muito importante para matrizes quadradas é o 
conceito das diagonais principal e secundária. A diagonal principal 
de uma matriz quadrada é a diagonal na qual os índices i e j de todos 
os elementos é igual. Por exemplo, no caso da matriz D, a diagonal 
principal é composta pelos elementos d11, d22 e d33. Para a matriz E, 
a diagonal principal apresenta os valores 3, 4, 9 e 1, e para a matriz 
F, a diagonal principal é representada pelos três números 1.
Já no caso da diagonal secundária, ela é composta por ele-
mentos em que a soma de i e j seja sempre igual a n + 1 (assim, i +j 
= n + 1). Por exemplo, no caso da matriz D, a diagonal secundária é 
composta pelos elementos d31, d22 e d13; para a matriz E, ela apre-
senta os valores 3, 3, 5 e 7; para a matriz F, os valores 0, 1 e 0. 
A figura 1 mostra, de forma mais simplificada, quais são as 
diagonais principal e secundária das matrizes D, E e F.
DEFINIÇÃO
36
Figura 1 – Representação das diagonais principal (em verde) e secundária (em 
vermelho) das matrizes D, E e F.
Fonte: (SANTOS, 2019).
A partir da compreensão do conceito de diagonal principal, 
é possível perceber que a matriz F é um tipo específico de matriz 
quadrada, que chamamos de matriz identidade.
Por definição, matriz identidade é toda matriz quadrada na qual os 
elementos da diagonal principal valem 1 e os demais elementos são 
nulos.
Para referenciar matrizes identidade, podemos simplesmen-
te utilizar o símbolo In, no qual I identifica a matriz identidade, e n 
representa o número de linhas e colunas da matriz.Por exemplo, a 
matriz F é a matriz identidade I3. 
Além da matriz identidade, há outra forma específica de ma-
triz quadrada, chamada de matriz triangular, que ainda pode ser 
dividida entre matrizes triangulares superiores e inferiores, con-
forme representadas:
37
Figura 2 – Representação de triângulos nas matrizes G (matriz triangular inferior) e H 
(matriz triangular superior).
Fonte: (SANTOS, 2019).
Agora, se atente para as definições.
 → Matriz triangular superior: é toda matriz quadrada na qual 
os elementos aij, em que i seja maior que j (i > j), sejam nulos.
 → Matriz triangular inferior: é toda matriz quadrada na qual os 
elementos aij, em que i seja menor que j (i < j), sejam nulos.
Matrizes simétricas e antissimétricas
Considere os dois exemplos a seguir:
Se compararmos os elementos da matriz J queestão acima e 
abaixo da diagonal principal, observamos que a diagonal funciona 
como um “espelho” e os demais elementos estão dispostos de for-
ma “espelhada”. Chamamos este tipo de matriz de simétrica.
Enquanto isso, no caso da matriz K, se tomarmos novamente 
a diagonal principal como um espelho, percebemos que os números 
38
também se espelham, mas os sinais são invertidos entre eles. Neste 
caso, chamamos esta matriz de antissimétrica. Estes dois tipos se-
rão mais explorados ao longo deste material.
Até este ponto de nossa discussão, fica difícil definir exata-
mente matrizes simétricas e antissimétricas, uma vez que tais defi-
nições dependem fortemente de alguns conceitos de operações com 
matrizes que ainda não foram apresentadas. Consequentemente, as 
definições exatas destes dois tipos especiais de matrizes serão apre-
sentadas mais adiante, ainda nesta unidade.
Matriz linha e matriz coluna
É possível que matrizes apresentem apenas uma linha e/ou apenas 
uma coluna. Nestes casos específicos, as matrizes são também co-
nhecidas como vetores. Como exemplos,temos as matrizes repre-
sentadas em:
Quando representamos vetores, além de letras maiúsculas, 
podemos também utilizar letras minúsculas em negrito, como é o 
caso dos vetores l, m e n, apresentados em (2). Assim, define-se ve-
tor como toda matriz m x n na qual m e/ou n é igual a 1.
Operações com Matrizes
Adição
A primeira coisa que deve ser observada para se realizar soma ou 
subtração entre matrizes, é que elas devem ter exatamente o mes-
39
mo tamanho, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas entre si, 
como se constata no caso das matrizes A e B. Vamos então construir 
a matriz C a partir da soma das matrizes A e B. Para tanto, precisa-
mos compreender que cada elemento cij é obtido a partir da soma 
dos elementos aij e bil, conforme o exemplo:
Assim, vamos construir a matriz C a partir da soma das ma-
trizes A e B. Para tanto, precisamos compreender que cada elemen-
to cij é obtido a partir da soma dos elementos aij e bil, conforme o 
exemplo:
Aplicando esta regra nas nossas matrizes A e B, temos:
A mesma regra é válida para a subtração entre matrizes.
Multiplicação por um escalar
Quando multiplicamos uma matriz por qualquer número Real (estes 
chamados de escalares), nomeamos esta operação como multipli-
cação por escalar:
40
Algumas regras básicas para soma de matrizes e multiplica-
ção escalar podem ser escritas para facilitar as operações, conforme 
descrito em:
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + (-A) = 0
c • (A + B) = c • A + c •B
(c + k) • A = c • A + k • A
c • (k • A) = (c • k) • A
Multiplicação entre matrizes
A multiplicação entre matrizes só pode ser realizada quando temo-
suma matriz m x p e uma matriz p x n. Assim, só é possível multipli-
car duasmatrizes quando o número de colunas da primeira matriz é 
igual ao número de linhas da segunda matriz.
De modo geral, a multiplicação entre matrizes segue a equa-
ção que representa a obtenção dos elementos cij da matriz resultan-
te da multiplicação de duas matrizes genéricas A e B.
41
Figura 3 –Representação gráfica do método de multiplicação entre matrizes.
Fonte: (SANTOS, 2019).
A Figura 4 apresenta o mesmo cálculo, feito para a multipli-
cação das matrizes F por G.
Figura 4 - Multiplicação das matrizes F por G para a obtenção da matriz H.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Conforme dito anteriormente, a multiplicação da matriz F 
pela matriz G só é possível devido ao fato do número de colunas de 
F ser igual ao número de linhas de G. Neste caso específico do nosso 
exemplo, podemos também dizer que o número de colunas em G é 
igual ao número de linhas em F. Desta forma, podemos também re-
presentar a multiplicação de G por F, como apresentado na figura 5.
42
Figura 5 - Multiplicação das matrizes G por F para a obtenção da matriz J.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Transposição de matrizes
A matriz transposta AT é originada da transposição das linhas de 
uma matriz A em colunas, e das colunas da matriz A em linhas. É 
muito simples obter a transposta de uma matriz. Vamos tomar 
como exemplo nossa matriz K e sua transposta KT, conforme repre-
sentado:
43
Figura 6 - Comparações entre as matrizes K e sua transposta KT.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Conhecendo agora os conceitos de matrizes transpostas, te-
mos condições de definir melhor dois tipos de matrizes que já foram 
citadas: as matrizes simétricas e as antissimétricas. Para tanto, va-
mos retomar novamente as duas matrizes já apresentadas.
44
Matriz simétrica
Por definição, é toda matriz cuja transposta é exatamente igual à 
matriz original.
Figura 7 –Comparações entre as colunas da matriz J e as linhas da matriz JT. 
Fonte: (SANTOS, 2019).
Façamos o mesmo com a matriz K. Neste caso, quando fa-
zemos a transposição, notamos que os números se repetem, mas 
os sinais estão opostos. No entanto, podemos comparar a matriz 
transposta com uma terceira, sendo esta última a matriz oposta de 
K. A figura 8 demostra de forma mais visual tal propriedade das ma-
trizes antissimétricas.
Figura 8 – Comparações entre as colunas da matriz K e as linhas da matriz KT, e entre 
as matrizes KT e -K.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Desta forma, decorre a definição de que matriz antissimétrica 
é toda matriz cuja transposta é exatamente igual à matriz oposta 
(–A = AT).
Cálculo de determinantes
O determinante é um número que representa a matriz como um 
todo, sendo calculado a partir de todos os seus elementos. Para 
EXEMPLO
45
calculá-lo, devemos determinar a soma do produto dos elementos 
das diagonais paralelas à diagonal principal, subtraindo a soma dos 
produtos dos elementos das diagonais paralelas à diagonal secun-
dária. Mais uma vez, para simplificar o entendimento, podemos de-
monstrar todo o cálculo de forma visual, como na figura 9.
Figura 9 – Método de cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 1 a 3.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Vamos calcular o determinante das matrizes L e M:
Inicialmente, trabalharemos com a matriz L, pois o cálculo de de-
terminantes de matrizes de ordem 2 é extremamente simples, uma 
vez que elas apresentam apenas as próprias diagonais principal e 
secundária. Portanto, devemos calcular o produto dos elemen-
tos das duas diagonais. Para a diagonal principal, temos(1 • 7 = 7), 
enquantopara a diagonal secundária, temos [(–2) • 3 = –6]. Após 
a determinação destes dois produtos, devemos subtrair o produto 
da diagonal secundária do produto da diagonal principal, ou seja, 
[7 – (–6) = 7 + 6 = 13].
46
No caso da matriz M, de ordem 3, utilizaremos o método descrito na 
figura 9, conforme apresentado em:
É importante ressaltar que o método apresentado na figu-
ra é válido apenas para matrizes de ordem 1 a 3. Para matrizes de 
ordens superiores, devemos utilizar outros métodos que não serão 
abordados profundamente aqui. Algumas propriedades das matri-
zes podem facilitar muito o cálculo de determinantes. As principais 
propriedades que influenciam neste resultado são apresentadas no 
Quadro 1.
Quadro 1 – Algumas propriedades características de matrizes e seus determinantes.
Propriedade Exemplos
Se todos os elementos de uma 
linha ou coluna de uma matriz 
forem nulos, o determinante 
desta matriz será nulo.
Se duas linhas ou colunas de 
uma matriz forem iguais, o 
determinante desta matriz será 
nulo.
47
Se duas linhas ou colunas 
apresentam elementos com 
valores proporcionais, o 
determinante desta matriz será 
nulo.
Se os elementos de uma linha 
ou coluna de uma matriz são 
o resultado da manipulação 
de outras linhas ou colunas da 
mesma matriz, o determinante 
desta matriz será nulo. 
Se os elementos de uma linha 
ou coluna forem multiplicados 
por um fator K, o determinante 
desta matriz também será 
multiplicado por K.
O determinante da transposta 
de uma matriz é igual ao 
próprio determinante da 
matriz.
A troca entre duas linhas 
ou colunas em uma matriz 
acarretam na inversão do sinal 
do determinante.
O determinante de uma matriztriangular é igual ao produto 
dos elementos da diagonal 
principal.
O determinante de qualquer 
matriz identidade é igual a 1.
 Fonte: SANTOS, P. Álgebra Linear. São Paulo: DP CONTENT, 2019 (Adaptado).
48
Matriz Inversa
A inversa de uma matriz é aquela que, multiplicada pela matriz ori-
ginal, resulta em uma matriz identidade. Para aprendermos a calcu-
lar uma matriz inversa, precisamos determinar se a matriz original 
é invertível. Para tanto, basta calcularmos o seu determinante. 
Toda matriz quadrada com determinante diferente de zero é 
invertível. Desta constatação, decorre que o cálculo de uma matriz 
pode ser efetuado a partir de diferentes métodos, que serão explo-
rados em detalhe agora.
Método de inversão pela matriz adjunta
Uma das formas para calcular a inversa de uma matriz é a 
partir da equação:
Método de inversão pelas operações elementares
Existe ainda outro método de calcular a matriz inversa que é através 
de operações elementares com a matriz original e a matriz iden-
tidade de mesma ordem.Operações elementares são operações de 
transformação de matrizes e podem ou não alterar seus determi-
nantes. As operações elementares existentes são:
 → permutação de duas linhas ou colunas – o determinante da 
matriz resultante é igual ao determinante da matriz original 
multiplicado por -1 (conforme já descrito no Quadro 1);
 → multiplicação dos elementos de uma linha ou coluna por um 
fator K – o determinante da matriz resultante é igual ao de-
terminante da matriz original multiplicado pelo fator K (con-
forme já descrito no quadro 1); 
49
 → substituição dos elementos – a substituição dos elementos 
de uma linha ou coluna pela soma deles mesmos com o pro-
duto dos elementos de outra linha ou coluna com um número 
real diferente de zero. O determinante da matriz resultante 
não se altera em relação ao determinante da matriz original. 
Para obtermos a matriz inversa a partir de operações elemen-
tares, devemos efetuar as operações na matriz original, de forma 
que a transformemos em uma matriz identidade. Ao mesmo tempo, 
devemos efetuar as mesmas operações em uma matriz identidade, o 
que fará com que ela se transforme em nossa matriz inversa.
Para facilitar a dinâmica do nosso cálculo, vamos transfor-
mar elemento por elemento de nossa matriz original, até obtermos 
a matriz identidade. Nosso elemento a11 já é exatamente 1. Portanto, 
não precisamos trabalhar com ele. Nosso elemento a21 é igual a 1 e 
precisamos fazer com que ele se torne nulo. Para tanto, podemos 
subtrair dos elementos da segunda linha, os valores dos elementos 
da primeira, conforme apresentado:
Observe que colocamos junto à matriz original uma matriz 
identidade e estamos realizando, simultaneamente, as operações 
elementares.
Agora, para o elemento a31, podemos subtrair dos elementos 
da terceira linha os valores dos elementos da primeira linha multi-
plicados por 3, conforme apresentado a seguir:
50
Agora, temos a primeira coluna inteira da nossa matriz com 
elementos correspondentes aos da matriz identidade. Podemos 
passar para a manipulação da segunda coluna. Para o elemento a, 
podemos somar os valores dos elementos da segundaaos elementos 
da primeira linha, multiplicados por 3, conforme apresentado:
51
Para o elemento a22, basta multiplicarmos toda a linha 2 por 
-1, para que possamos inverter apenas seu sinal, conforme apre-
sentado em:
Para o elemento a23, podemos somar aos elementos da ter-
ceira linha os valores dos elementos da segunda linha multiplicados 
por 5, conforme apresentado em:
Para o elemento a31, podemos somar, aos elementos da pri-
meira linha, os valores dos elementos da terceira linha multiplica-
dos por 4/7, conforme apresentado em:
52
Para o elemento a32, podemos subtrair, dos elementos da se-
gunda linha, os valores dos elementos da terceira linha multiplica-
dos por 1/7, conforme apresentado em:
53
Por fim, para o elemento a33, basta multiplicarmos toda a li-
nha 3 por -1/7, conforme apresentado em:
54
Agora, analise as duas matrizes que obtivemos no final:
Conforme esperado, foi possível transformar nossa matriz 
original em uma matriz identidade realizando apenas operações 
elementares.
Equações Lineares
Equação linear é toda equação que pode ser escrita da seguinte for-
ma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b(3)
Na qual a1, a2, a3, ..., an são números reais ou complexos já co-
nhecidos, chamados coeficientes da equação b; também um núme-
ro inteiro ou complexo já conhecido, é denominado termo indepen-
dente e x1, x2, x3, ..., xn são as variáveis de nossa equação.
DICA
55
Uma maneira muito prática para interpretar equações lineares é 
analisar graficamente como elas se comportam. 
Vamos considerar a seguinte equação:
2x + 3 = y ou 2x - y = -3
Primeiramente, analisando a segunda forma de expressar a 
equação, note que x e y são nossas variáveis, 2 e (-1) (valor que mul-
tiplica y) são nossos coeficientes e -3 é o termo independente. 
Nesta equação, podemos atribuir valores às variáveis x e y, 
tais que o termo independente seja igual a -3. Por exemplo, se dis-
sermos que x vale 1, y deve valer 5. Se y vale 1, x deve valer -1 e assim 
por diante. O gráfico 1, no qual o eixo das abscissas corresponde aos 
valores de x e o eixo das ordenadas corresponde aos valores de y, 
representa os dois pontos conforme calculados e a linha que passa 
por estes pontos e que corresponde à equação 2.
Gráfico 1 – Representação gráfica da curva 2x + 3 = y.
Fonte: (SANTOS, 2019).
56
Sistemas de equações lineares
Muitas vezes, precisamos trabalhar com mais de uma equação para 
resolver um problema. Quando temos um conjunto de equações li-
neares, nós o chamamos de sistema linear ou sistema de equações 
lineares.Veja um exemplo: 
Dessa forma, perceba que, na equação da segunda linha, não 
temos a representação da variável y, bem como na equação da ter-
ceira linha não temos a representação da variável x, por isso, pode 
parecer que as equações não correspondem à equação genérica 
apresentada na equação 1. No entanto, podemos dizer que os coefi-
cientes da variável y na segunda equação e da variável x na terceira 
equação valem zero e, portanto, tais variáveis não são representa-
das nas equações. Podemos também representar graficamente um 
sistema linear. Para isto, vamos considerar o seguinte sistema:
57
Gráfico 2 – Representação gráfica do sistema linear da equação.
Fonte: (SANTOS, 2019).
O número de equações e variáveis do sistema
Para mostrar, de forma geral, as possibilidades dos sistemas linea-
res, vamos considerar um sistema genérico:
58
A partir do modelo genérico apresentado, podemos dizer que 
um sistema linear pode ter um número m de equações e um núme-
ro n de variáveis. Portanto, duas situações são possíveis, podemos 
trabalhar com sistemas lineares nos quais m é igual a n (número de 
equações igual ao número de variáveis) ou com sistemas nos quais 
m é um número diferente de n (número de equações diferente do 
número de variáveis), sendo que, neste segundo caso, o número de 
equações pode ser menor ou maior do que o número de variáveis. 
A identificação de qual tipo de sistema estamos trabalhan-
do pode ser fundamental para definir qual é o melhor método para 
resolvê-lo. Resolvendo sistemas lineares com o mesmo número de 
variáveis e equações, conseguimos, ao longo da unidade, resolver 
alguns sistemas lineares, com o mesmo número de equações e va-
riáveis, de forma visual, por meio de gráficos. Este tipo de resolução 
é simples quando trabalhamos com equações com duas variáveis, 
pois conseguimos representá-lo em um plano.
No entanto, se aumentarmos o número de variáveis e equa-
ções para três, teremos que visualizar, graficamente, o sistema em 
um gráfico tridimensional, o que dificulta um pouco a análise. Se 
falamos de sistemas com quatro ou mais variáveis e equações, esta 
visualização se torna impossível, já que precisaríamos enxergar o 
mundo em quatro dimensões ou mais.
Para a nossa sorte, diversos métodosmatemáticos para a re-
solução de sistemas mais complexos já foram desenvolvidos. Todos 
eles envolvem a manipulação de matrizes, o que nos leva à neces-
sidade de representar nossos sistemas lineares na forma matricial. 
Assim, imagine o seguinte sistema linear:
59
Podemos representá-lo através de três matrizes, sendo uma 
para os coeficientes, uma para as variáveis e uma para os termos 
independentes do sistema, da seguinte forma:
Método do escalonamento ou eliminação de Gauss
Para o método do escalonamento ou de eliminação de Gauss, nos-
so objetivo é transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz 
triangular superior e inferior por meio de operações elementares. 
Ao mesmo tempo em que realizamos esta transformação, aplicamos 
as mesmas operações elementares à matriz de termos independen-
tes.
Para facilitar nosso trabalho, podemos construir o que cha-
mamos de matriz ampliada do sistema, na qual dividimos os ele-
mentos da matriz de coeficientes e da matriz de termos indepen-
dentes por uma barra dentro da matriz:
Para facilitar nosso cálculo, a primeira operação elementar 
que podemos efetuar é permutar a linha 2 com a linha 1, conforme 
representado no sistema linear (4). É muito mais fácil fazer o esca-
lonamento das equações quando o elemento a11 vale 1. 
60
Após a permuta, para zerar o elemento a21, podemos sub-
trair, dos elementos da segunda linha, os valores dos elementos da 
primeira linha multiplicados por 2, conforme apresentado no siste-
ma linear (5):
61
Agora, podemos retornar à nossa forma de sistema linear. 
Teremos então:
Vemos agora que temos uma equação que permanece com 
as três variáveis (x, y e z), mas temos também uma equação apenas 
com as variáveis y e z e uma com a variável z. Desta forma, podemos 
calcular z a partir da última equação:
Substituindo o valor de z na segunda equação, encontramos 
o valor de y:
Por fim, substituímos os valores de y e z na primeira equação 
e encontramos o valor de x:
62
Equações da Reta: Vetorial, Paramétricas, 
Simétricas E Reduzidas
Vamos considerar uma reta r do espaço, um ponto A pertencente a 
essa reta e um vetor ⃗ não nulo paralelo a r. Temos que um ponto X 
pertence à reta r se, e somente se, o vetor (a) for paralelo ao vetor ⃗. 
Se (ax e ⃗ são paralelos, podemos afirmar que ax) é um múltiplo de 
⃗ e, considerando um número λ ϵ R, temos que:
Figura 10–Segmento (a) paralelo ao vetor ⃗.
(5)
Fonte: (SANTOS, 2019).
EXEMPLO
63
Assim, também podemos escrever a equação (5) da seguinte 
forma:
(6)
Ainda considerando que o ponto A tem coordenadas (x1, y1, 
z1), o ponto X tem coordenadas (x, y, z) e ⃗=(a, b, c), temos a terceira 
equação:
(7)
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ (a, b, c)
Qualquer uma das equações (5), (6) ou (7) é denominada equação 
vetorial da reta r. O vetor v é o vetor diretor de r e o número real λ é 
denominado parâmetro.
Uma reta r passa pelo ponto A (1,-1, 4) e tem a direção de ⃗ =(2, 3, 2). 
A sua equação vetorial é, portanto, dada por:
(x, y, z) = (1, -1, 4) + λ(2, 3, 2)
Em que (x, y, z) representam um ponto qualquer de r (WINTERLE, 
2000, p. 103).
64
Para obter os pontos dessa reta, basta atribuir valores reais ao parâ-
metro λ. Por exemplo:
 → Para λ = 1
P1 = (1, -1, 4) + 1(2, 3, 2) = (3, 2, 6).
 → Para λ = 2
P2 = (1, -1, 4) + 2(2, 3, 2) = (5, 5, 8)
 → Para λ = 3
P3 = (1, -1, 4) + 3(2, 3, 2) = (7, 8, 10)
 → Para λ = 0
Temos o próprio ponto A: (x, y, z) = (1,- 1, 4) + 0(2, 3, 2) = (1, -1, 4)
 → Para λ = -1
P4 = (1, -1, 4) + (-1)(2, 3, 2) = (-1, -4, 2)
Se λ assumir todos os valores reais, teremos todos osinfinitos pon-
tos da reta.
Observações:
1. Cada número real λ corresponde a um ponto P pertencente à 
reta. O contráriotambémocorre: cada ponto da reta corres-
ponde a um número real. 
Por exemplo, dado oponto P(5, 5, 8) pertencente à reta, po-
demos encontrar o parâmetro λ:
(5, 5, 8) = (1, -1, 4) + λ(2, 3, 2)
(5, 5, 8) - (1, -1, 4) = λ(2, 3, 2)
(4, 6, 4) = λ(2, 3, 2)
65
Portanto: λ = 2
2. A equação (x, y, z) = (1,-1,4) + λ(2, 3, 2) não é a única equação 
vetorial de r. Existem infinitas equações que podem ser obti-
das ao se tomar outro ponto de r e outro vetor múltiplo de ⃗. 
Por exemplo:
(x, y, z) = (1, -1, 4) +λ(4, 6, 4)
Trata-se, também, de uma equação vetorial de r, em que foi 
utilizado umvetor diretor 2⃗.
Boulos e Camargo (2005) sintetizam a interpretação da equa-
ção vetorialda reta ao destacarem que o vetor diretor serve para fi-
xar a direção da reta, enquanto um ponto qualquer da reta serve 
para fixar sua posição no espaço. Uma reta admite muitos vetores 
diretores, todos não nulos e paralelos entre si.
Equações paramétricas
A partir da equação vetorial da reta, temos que:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ(a, b, c)
(x, y, z) = (x1 + aλ, y1 + bλ, z1 + cλ)
Pela condição de igualdade, podemos obter o que chamamos 
de equações para métricas da reta:
EXEMPLO
66
Exemplo 1
A partir das equações paramétricas de uma reta, é possível obter o 
seu vetor diretor e um ponto que pertence à reta.
Nesse caso, a reta passa pelo ponto de coordenadas (6, -1, 2) e é pa-
ralela ao vetor igual a (1, 2, -3).
Exemplo 2
Também é possível obter a equação paramétrica de uma reta que 
passa por dois pontos A(3, -1, -2) e B(1, 2, 4). Para isso, devemos 
considerar um vetor = como o vetor diretor da reta.
Portanto, temos que:
67
Equações simétricas
Partindo das equações paramétricas da reta:
x = x1 + aλ
y = y1 + bλ
z = z1 + cλ
Supondo que a, b e c são diferentes de 0, podemos escrever da 
seguinte forma:
Como, para cada ponto da reta, existe apenas um valor de λ 
correspondente, então podemos escrever as equações simétricas da 
reta:
Exemplo 1:
As equações simétricas da reta que passam pelo ponto A (3, 0, 
-5) e têm a mesmadireção do vetor V ⃗= (2i) ⃗+ ( xxsão:
68
Exemplo 2:
Uma reta que passa pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) 
tem como equações simétricas:
Pois(AB)é um vetor diretor dessa reta, de modo que:
Então, a reta que passa pelos pontos A(4, 2, -6) e B(8, 0, -4), 
por exemplo, tem como equações simétricas:
Exemplo 3:
Para que três pontos distintos A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2) e 
A3(x3, y3, z3) pertençam à mesma reta, é necessário que estes sejam 
colineares, ou seja:
69
Para algum m pertencente aos números reais.
Utilizando as equações simétricas da reta, podemos escrever 
que:
Por exemplo, dados os pontos A1(5, 2, -6), A2(-1, -4, -3) e 
A3(7, 4, -7):
Equações reduzidas
Por exemplo, considereuma reta r definida por um ponto A (4, -8, -6) 
e pelo vetor diretor ⃗=(1,2,-3). As equações simétricas dessa reta, 
como já estudamos anteriormente, serão dadas por:
A partir das equações simétricas de uma reta, é possível es-
crever duas variáveis em função da terceira, isolando as variáveis y 
e z e as expressando em função de x, conforme a seguinte equação:
70
As expressões (1) e (2) são denominadas equações reduzidas 
da reta r na variável x. As reduzidas da reta são sempre da forma: 
Ainda sobre o exemplo anterior, também é possível obter ou-
tras equações reduzidas da mesma reta r, ao se isolar as variáveis x e 
z em função de y e x, e y em função de z.
Classificação das retas
Neste tópico, iremos estudar a classificação dada a duas retas de 
acordo com a posição relativa entre elas. Classificaremos as retas 
em:
 → paralelas;
 → concorrentes;
 → reversas.
71
No caso das retas paralelas, podemos ainda classificá-las em 
coincidentes ou distintas.
Por isso, devemos considerar um sistema de coordenadas (O, 
( 1, e1, e1: um vetor ⃗= (a, b, c), que é vetor diretor da reta r; um 
vetor ⃗= (m, n, p), que é vetor diretor da reta s; um ponto A (x1, y1, 
z1), pertencente à reta r; um ponto B (x2, y2, z2), pertencente à reta s.
As retas r e s serão reversas se, e somente se, o conjunto de 
vetores (⃗, ⃗,(AB) for linearmente independente, ou seja, se o de-
terminante for diferente de zero:
A figura 11 representa duas retas reversas. Essas retas são re-
versas pois não se intersecionam e não sãoparalelas.
Figura 11 – Retas reversas.
Fonte: (Adaptado de BOULOS; CAMARGO, 2005).
72
Duas retas são consideradas paralelasse o vetor de uma delas 
for igual a ummúltiplo do vetor da outra, como podemos observar a 
seguir:
Veja, na figura 12, a representação de duas retas paralelas.
Figura 12 – Retas paralelas.
Fonte: (SANTOS, 2019).
73
Duas retas são concorrentes se, e somente se, forem coplana-
res (pertencerem aum mesmo plano) e não paralelas. Deste modo, 
podemos determinar que as retassão concorrentes se:
A figura 13 apresenta o ponto de interseção de duas retas con-
correntes.
Figura 13 – Retas concorrentes e seu ponto de interseção.
Fonte: (SANTOS, 2019).
74
Interseção entre retas
Consideremos duas retas concorrentes r1 e r2. Para determinar o 
pontode interseção entre elas, devemos, por meio da resolução 
dosistema formado pelas equações das duas retas, determinarseu 
ponto comum.
Em cada par de retas apresentado a seguir, buscaremosde-
terminar, caso exista, o ponto de interseção entreelas. Para isso, 
devemos considerar que, se existe um pontocomum às duas retas, 
este ponto é solução única do sistema formado pelas equações das 
duas retas.
Após igualar as expressões para as variáveis x, y e z, temos:
75
Para esse sistema, a solução é h = t = -1. Substituindo esses va-
lores na equação de r, encontramos o ponto de interseção I (2, -1, 3):
x = 3 + (-1) = 2
y = 1 + 2(-1) = -1
z = 2 - (-1) = 3
Como as equações de s nos fornecem valores para as variáveis 
x, y e z, podemos substituir esses valores nas equações de r, obtendo 
o seguinte sistema:
Da primeira equação, obtemos:
4 -t = -2t -3
-t = -2t -3 -4
-t +2t = -3 -4
t = -7
Da segunda equação, obtemos um valor diferente para o pa-
râmetro t:
2 +2t =t
2t - t = -2
t = -2
76
Como o sistema não tem solução, concluímos que não há 
ponto de interseção entre as retas r e s.
Os vetores diretores das retas r e s são, respectivamente, 
r .= (1,-3,2) e = (2,-6,4). Podemos observar que o vetor s é um 
múltiplo do vetor r.
Ângulo entre retas
Para dar início ao nosso estudo sobre o ângulo entre retas, vamos 
considerarduas retas r1 e r2 com vetores diretores_⃗e (v , respec-
tivamente.
Chamamos de ângulo de duas retas r1 e r2,o menor ângulo 
formado entre ovetor diretor (v e o vetor diretor (2 . Considerando 
que esse ângulo é θ, temos que:
77
Equação geral do plano
Considere A (x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano π, e ⃗= (a, 
b, c), ⃗≠0, um vetor normal (ortogonal) ao plano:
Figura 14–Representação de um plano π.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Uma vez que ⃗é ortogonal ao plano π,⃗ é ortogonal a todo 
vetor representado em π. Portanto, um ponto P (x, y, z) pertence a π 
se, e somente se, o vetor(AP)é ortogonal a n, isto é:
78
Considerando -ax1–by1 + cz1 = d, obtemos a equação geral do 
plano π.
ax + by + cz + d = 0
Observações:
1. Assim como x = (a, b, c) é um vetor normal ao plano π, 
qualquer vetor não nulo e múltiplo de também é um vetor 
normal ao plano;
2. Devemos notar que os três coeficientes a, b e c da equa-
ção geral do plano representam os componentes de um ve-
tor normal ao plano. Exemplo: Se um plano π é dado por 
π: 3x + 2y – z + 1 = 0, um vetor normal ao plano é n =(3, 2, -1);
3. Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, 
basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcu-
lar o valor da outra na equação dada. Exemplo: se na equação 
anterior fizermos x = 4 e y = -2, teremos:
3(4) + 2(-2) - z + 1 = 0
12 -4 -z + 1 = 0
z = 9
Portanto, o ponto A (4, -2, 9) pertence a esse plano.
Exemplo 1: Escreva uma equação geral do plano 𝜋 que passe 
pelo ponto A (2, 1, 3) e seja paralelo ao plano:
π1: 3x - 4y -2z + 5 = 0
79
Intuitivamente, podemos afirmar que um vetor normal a um 
plano é também normal a qualquer plano paralelo a este. Portanto, 
como π é paralelo a π1, o vetor ⃗ = (3, -4, -2) normal a 𝜋1 também é 
normal a π. Portanto, podemos escrever a equação de π da seguinte 
forma:
3x - 4y - 2z + d = 0
Se o ponto A pertence ao plano 𝜋, suas coordenadas devem 
verificar a equação:
3(2) – 4(1) – 2(3) + d = 0
Disso, temos que d = 4. A equação de 𝜋 é, portanto:
𝜋: 3x - 4y - 2z + 4 = 0
Interseção entre planos
Considere dois planos não paralelos, como vemos a seguir:
π1: 5x -y +z - 5 = 0 e π2 : x + y +2z -7 =0
Temos que a interseção de dois planos não paralelos resulta 
em uma reta r,cujas equações buscamos determinar. A seguir, serão 
expostos alguns procedimentos para se obter as equações da reta 
apresentada:
 → Sabemos que r está contida nos dois planos, ou seja, as coor-
denadas dequalquer ponto de r devem satisfazer simultanea-
mente as equações dos planos. Assim, podemos afirmar que 
a reta r é determinada pela solução do sistema formado pelas 
equações dos planos:
80
O sistema terá infinitas soluções, pois os pontos da reta são 
infinitos. Colocando as equações em função de x, obtemos as equa-
ções reduzidas da reta r:
 → Outra forma de obter equações para a reta r é determinando 
um de seus pontos e um vetor diretor. Considere o ponto A, 
que tem abcissa igual a 0. Substituindo esse valor no sistema:
Teremos o seguinte resultado:
A solução desse sistema é y = -1 e z = 4. Portanto, o ponto A 
tem coordenadas (0, -1, 4).
Considerando os vetores(n) e (n) normais aos planos π1 e π2, 
respectivamente o vetor diretor ⃗ da reta r é simultaneamente or-
togonal a (n)e (n).
SINTETIZANDO
81
Parabéns, estudante! Você concluiu mais uma etapa.
Ao longo deste conteúdo, trabalhamos os conceitos de matrizes, 
abordando seus principais tipos e particularidades, além de conhe-
cermos as principais operações matemáticas que podem ser reali-
zadas com esta poderosa ferramenta.
Em seguida, vimos as classificações e métodos de resolução de sis-
temas lineares, aplicando, por exemplo, o método de Eliminação de 
Gauss.
Além disso, apresentamos os procedimentos para o estudo de dois 
objetos: a reta e o plano. Iniciamos esta temática com a determi-
nação das diferentes formas da equação da reta: vetorial, paramé-
tricas, simétricas e reduzidas. Depois, aprendemos as posições 
relativas entre retas, desenvolvendo processos de cálculo para a de-
terminação de ângulos e pontos de interseção entre retas.
Por fim, em relação ao estudo do plano, neste objeto de aprendiza-
gem nos limitamos a introduzir os processos de determinação das 
equações paramétricas, geral e vetorial do plano, além das equações 
da reta resultante da interseção de dois planos não paralelos. As-
sim,é importante lembrar que a relação estabelecida entre Geome-
tria Analítica e Álgebra Linear simplifica o processo de resolução de 
problemas geométricos, antes tidos como de difícil resolução.
Espero que você tenha aproveita do nosso conteúdo. Até a próxima!
UN
ID
AD
E
3
Objetivos
 → Introduzir os conceitos de espaços e dos subespaços vetoriais.
 → Realizar um estudo sobre decomposição dos vetores através 
da combinação linear.
 → Conceituar e classificar os vetores em Linearmente Depen-
dente (LD) e Linearmente Independente (LI) e determinar as 
bases dos espaços com os vetores LI.
 → Realizar transformações lineares entre espaços vetoriais e de-
terminar os autovetores e autovalores das transformações do 
mesmo plano.
 → Realizar transformações lineares mesmo plano.
84
Introdução
Olá, estudante! Tudo bem com você?
 Seja bem-vindo(a) de volta! 
Vamos iniciar este objeto de aprendizagem com uma apre-
sentação dos conceitos básicos para o estudo dos espaços vetoriais 
(vetores). Nesse sentido, serão apresentadas as propriedades que 
definem os Espaços e subespaços vetoriais.
Além disso, vamos conhecer os processos para a determina-
ção das combinações lineares e os conjuntos Linearmente Depen-
dentes (LD) e Linearmente Independentes (LI). 
Tais conceitos formam a base para compreender as transfor-
mações lineares entre espaços vetoriais de uma perspectiva plana e 
espacial e, então, operacionalizar os vetores desses espaços na for-
ma geométricae analítica, observando as transformações no mes-
mo plano. 
Assim, você está pronto(a) para iniciar nossa jornada? Bons 
estudos! 
DEFINIÇÃO
85
 Espaços Vetoriais
Antes de tudo, para você conhecer os conceitos que norteiam e fun-
damentam os espaços vetoriais, observe a figura 1.
Figura 1 – Espaços vetoriais.
Fonte: elaborado pela autora (adaptado de SANTOS, 2019).
Espaços vetoriais são conjuntos não vazios, cujos elementos são ve-
tores com os quais podemos efetuar operações de soma e multipli-
cação escalar. 
Dessa forma, espaços vetoriais precisam, necessariamente, 
respeitar dez regras relacionadas às operações de soma e multipli-
cação escalar. Elas são chamadas de axiomas. Vamos agora enten-
der como se diferenciam!
Os axiomas válidos para a soma:
1. um vetor w, originado da soma de um vetor u e um vetor v 
pertencentes ao espaço vetorial V, também pertence a V;
86
2. comutatividade da soma: u + v = v + u;
3. associatividade da soma: (u + v) + w = v + (u + w) = (u + w) + v;
4. Para todo espaço vetorial V, existe um vetor no qual todos os 
elementos são nulos. Este vetor é conhecido como vetor nulo 
ou vetor zero, ou simplesmente 0. A seguinte operação deve 
ser válida: v + 0 = v;
5. Para todo vetor v, existe um vetor -v, tal que v + (-v) = 0. 
Axiomas válidos para multiplicação escalar:
1. considerando um escalar c e um vetor v contido no espaço ve-
torial V, o produto destes dois elementos, ou seja, o vetor cv, 
também está contido no espaço vetorial V.
2. distributiva do produto entre um escalar e a soma de dois ve-
tores: c(u + v) = cu + cv.
3. distributiva do produto da soma de dois escalares e um vetor: 
(c + d)v = cv + dv.
4. associatividade da multiplicação: (cd)v = c(dv).
5. O produto do escalar 1 pelo vetor v resulta no próprio vetor v: 
1v = v.
Para facilitar a compreensão, vamos aplicar todos os axiomas 
a um exemplo. Para tanto, vamos considerar a seguinte regra para 
um espaço vetorial:
Nosso primeiro exemplo será um espaço vetorial muito uti-
lizado em álgebra linear, conhecido como X². Esta notação deve ser 
lida da seguinte maneira: os vetores do conjunto X² são compostos 
87
pelos elementos x e y, tal que x e y pertencem ao grupo dos números 
reais. Note que dissemos que os vetores pertencentes ao grupo R^2 
possuem dois elementos, x e y. 
Como estamos trabalhando com vetores coluna, dizer que 
eles possuem dois elementos significa o mesmo que dizer que os ve-
tores possuem duas linhas. Portanto, vamos testar os dez axiomas, 
considerando os três vetores u, v e w, além dos escalares c =2 e d=2.
1. x x . Os elementos x e y do vetor 
resultante pertencem aos números reais. Portanto, o axioma é 
válido!
2. x x X. Portanto, o 
axioma é válido!
3. 
 
 . Portanto, o axioma é válido!
4. 0000 0 . Os elementos x e y pertencem aos números reais. Por-
tanto, o axioma é válido!
5. x . Portanto, o axioma é 
válido!
6. c . Os elementos x e y do vetor re-
sultante pertencem aos números reais. Portanto, o axioma é 
válido!
7. c 
Portanto, o axioma é válido!
.
88
8. c 
 
 . 
Portanto, o axioma é válido!
9. 
 
Portanto, o axioma é válido!
10. 1 . Portanto, o axioma é válido!
É comum trabalharmos também com os espaços vetoriais ³, 
⁴, 5, ..., n. Até ³, somos capazes de compreender visualmente os 
vetores, pois eles são representados graficamente em três dimen-
sões. Mas quando trabalhamos com espaços vetoriais com quatro 
ou mais elementos, podemos trabalhar com eles apenas matema-
ticamente, pois somos incapazes de visualizar mais do que três di-
mensões.
Subespaços vetoriais
Subespaços vetoriais são espaços contidos dentro de um outro es-
paço vetorial. Assim como os espaços vetoriais, os subespaços de-
vem respeitar os dez axiomas anteriormente citados. No entanto, 
para testarmos se um conjunto de vetores é um subespaço, não 
precisamos testar todos os axiomas. Podemos nos focar apenas nos 
axiomas 1, 4 e 6.
.
.
89
Para entender melhor, vamos tomar como exemplo três can-
didatos a subespaços vetoriais que pertencem a ²:
Analisaremos cada caso utilizando as matrizes para repre-
sentar os vetores dos subconjuntos:
 Aplicando o primeiro axioma, temos:
Olhando os elementos do vetor resultante, percebemos que o 
axioma foi atendido, pois o elemento y vale o oposto do elemento x.
O segundo axioma nos diz que o vetor nulo deve fazer parte 
do subespaço.
Se substituirmos os elementos do vetor u, por exemplo, por 
zero, temos:
Com isto, conseguimos provar que o vetor nulo faz parte do 
subespaço e, portanto, o axioma foi atendido.
Por fim, vamos analisar o sexto axioma:
Mais uma vez, percebemos que o axioma foi atendido, pois o 
elemento y é o oposto do elemento x. Desta forma, pudemos com-
provar que V1 é um subespaço de ². 
90
Agora, vamos fazer o mesmo para V2:
A aplicação dos três axiomas selecionados, neste caso, mos-
tra que nenhum deles pode ser atendido para o subespaço V2. Quan-
do testamos o primeiro axioma, o elemento y deveria ser igual ao 
elemento x somado a um (se x = x1 + x2, y deveria ser igual a 1 + x1 + 
x2); no entanto, o que encontramos é o elemento x somado a dois (2 
+ x1 + x2).
No caso do quarto axioma, encontramos um vetor diferente 
do vetor nulo, sendo que o elemento x vale zero, mas o elemento y 
vale 1. E, para o sexto axioma, se o elemento x equivale a cx2, o ele-
mento y deveria valer 1 + cx2. No entanto, temos o elemento y como 
c + cx2. Portanto, chegamos à conclusão que V2 não é um subespaço 
vetorial de ².
Agora, vamos analisar V3:
91
Para V3, notamos que é possível atender ao quarto axioma. 
No entanto, o primeiro e o sexto axioma não foram atendidos. Desta 
forma, podemos afirmar que V3 também não é um subespaço veto-
rial do espaço ².
Representação geométrica da soma e 
multiplicação escalar de vetores
Agora que já aprendemos o que são vetores e espaços vetoriais, é in-
teressante entendermos, de maneira mais visual, como funcionam 
as operações de soma e multiplicação escalar que efetuamos com os 
vetores dentro dos espaços vetoriais. Para ilustrar estas operações, 
usaremos como exemplo vetores contidos no espaço vetorial R2, ou 
seja, seremos capazes de representar graficamente nossos vetores 
no plano cartesiano.
Novamente, vamos usar como exemplo os vetores u, v e w, e 
os escalares c = 2 e d = 3. Em um primeiro momento, podemos repre-
sentar a soma dos vetores u e v. Já sabemos que esta soma resulta no 
vetor .
A representação geométrica da soma de vetores é conhecida 
como regra do polígono. Para iniciarmos nossa representação, va-
mos posicionar nosso vetor u na origem do plano cartesiano, con-
forme o gráfico 1(a). Agora, para somarmos u e v, precisamos fixar a 
origem do vetor v no final do vetor u, conforme mostrado no gráfico 
1(b). Por fim, traçamos um vetor que parte da origem do vetor u e 
vai em direção ao final do vetor v, conforme apresentado no gráfico 
1(c). Agora, se analisarmos as coordenadas do vetor resultante desta 
soma, veremos que x vale 3 e y vale 0, conforme já havíamos defini-
do a partir da soma algébrica.
92
Gráfico 1 – Representação geométrica da soma dos vetores u e v, resultando no vetor u + v.
Fonte: (Adaptado de SANTOS, 2019). 
(b)
(c)
(a)
93
Se fizermos o mesmo procedimento considerando os três ve-
tores u, v e w, cuja soma sabemos que é o vetor . O vetor u + v + w 
está representadono gráfico 2.
Gráfico 2 – Representação geométrica da soma dos vetores u, v e w, resultando no 
vetor u + v + w.
Fonte: (Adaptado de SANTOS, 2019).
Quando falamos da multiplicação escalar, estamos falando 
também de uma operação de soma de vetores. Por exemplo, o vetor 
2u também pode ser interpretado como o vetor u + u.
Desta forma, podemos representar geometricamente a mul-
tiplicação escalar como se estivéssemos representando uma soma 
de vetores. O gráfico 3 mostra a multiplicação de u pelo escalar c = 2 
e de v pelo escalar d = 3.
94
Gráfico 3 – Representação geométrica das multiplicações escalares 2u e 3v.
Fonte: (Adaptado de SANTOS, 2019).
Combinação Linear
Podemos combinar dois ou mais vetores para formarmos outros ve-
tores. Essa prática recebe o nome de combinação linear. Para exem-
plificar, vamos utilizar novamente os vetores u, v e w.
Já sabemos e comprovamos que estes três vetores estão con-
tidos no espaço vetorial ². No entanto, será que a combinação de 
dois destes vetores é capaz de representar o espaço vetorial como 
um todo?
Para sabermos, vamos testar se a combinação dos vetores u= 
xx e v= é capaz de gerar o vetor w = . Para tanto, podemos 
escrever uma equação matricial da seguinte forma:
Agora, podemos reescrever esta equação na forma de um sis-
95
tema de equações lineares, em que os elementos da matriz w repre-
sentem os termos independentes, c1 e c2 sejam nossas variáveis e 
os elementos das matrizes u e v sejam os coeficientes das equações. 
Assim, teremos:
Ao resolvermos este sistema linear, podemos dizer que é um 
sistema linear compatível determinado e que os valores de c1 e c2 
são, respectivamente, -5/ e -2/(resolva para confirmar os resulta-
dos). Desta forma, comprovamos que é possível combinar os vetores 
u e v para obtermos w quando c1 e c2 são aqueles encontrados na 
solução do sistema linear.
Dependência e independência linear
Consideremos uma combinação linear r = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ... + 
cnvn. Neste caso, esta combinação é linearmente dependente se pu-
dermos atribuir valores a c1, c2, c3, ..., cn, nem todos nulos, de tal 
forma que r seja um vetor nulo. Caso contrário, o sistema é conhe-
cido como linearmente independente.
Para um primeiro exemplo de aplicação desta definição, va-
mos novamente utilizar o exemplo da combinação linear dos veto-
res u e v, dando origem ao vetor genérico r, cujos valores dos ele-
mentos escalares c1 e c2 valem c_1=a/3+b/ e c_2=a/3-b.
Agora, se quisermos obter o vetor nulo, ou seja, se atribuir-
mos aos elementos a e b o valor zero, teremos também, para os es-
calares c1 e c2, o valor zero. De acordo com a definição, a combinação 
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é linearmente dependente apenas quando temos, pelo menos, um 
escalar não nulo em nossa combinação.
Neste caso, como os dois escalares valem zero para a com-
binação do vetor nulo, dizemos que nosso espaço vetorial é linear-
mente independente. 
Agora, vejamos um segundo exemplo:
Neste caso, percebemos que os valores dos escalares c1 e c2 
estão conectados. Por exemplo, se definimos c1 = 2, c2 deve valer 
-4. Quando analisamos os dois vetores u e v, isso fica compreensí-
vel, pois vemos que os elementos de um vetor são proporcionais aos 
elementos do outro. De acordo com a definição anteriormente apre-
sentada, este espaço vetorial é linearmente dependente, pois, para 
obtermos o vetor nulo, utilizamos dois escalares não nulos.
DEFINIÇÃO
DEFINIÇÃO
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Base e dimensão de espaços vetoriais
Chamamos de base, um conjunto de vetores capazes de gerar um 
espaço vetorial e que sejam linearmente independentes. 
Por exemplo, o conjunto de vetores u= e v= é consi-
derado uma base do espaço vetorial R², uma vez que a combinação 
linear dos dois é capaz de gerar qualquer vetor contido no espaço 
vetorial e por serem linearmente independentes. Já o conjunto dos 
vetores u= e v=xxxxnão é uma base do espaço vetorial R², pois 
são linearmente dependentes e não são capazes de gerar qualquer 
vetor de R² a partir de uma combinação linear.
Chamamos de dimensão de um espaço vetorial, o número de veto-
res em uma de suas bases.
Podemos dizer que a dimensão do espaço vetorial R² é igual 
a 2 (como vimos, dois vetores são suficientes para definir qualquer 
vetor do espaço vetorial) e a dimensão do espaço vetorial R³ é igual 
a 3, ..., e do espaço vetorial Rn é igual a n. O que isto significa? Para 
espaços vetoriais em duas dimensões, dois vetores são suficientes 
para se formar uma base, assim como três são suficientes para for-
mar uma base de um espaço vetorial em três dimensões e assim por 
diante.
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Transformação Linear
Até agora, com as combinações lineares, trabalhamos dentro de um 
mesmo espaço vetorial. No entanto, é possível manipular vetores 
de um espaço vetorial para encontrarmos vetores de outros espaços 
vetoriais. Para tanto, realizamos operações conhecidas como trans-
formações lineares.
Os conceitos das transformações lineares são muito pareci-
dos com os conceitos de funções matemáticas. Vamos entender um 
exemplo para podermos comparar com os conceitos de função.
Vamos considerar vetores contidos no espaço vetorial V (ou 
R²). Assim, realizaremos uma transformação linear a fim de obter 
matrizes pertencentes ao espaço vetorial W (que é um subespaço de 
R³). Para isso, nossa transformação linear será:
T:V → W = T(x, y) = (2x, -y · x + y)
Traduzindo a equação, nós realizaremos uma transformação 
linear que consiste em pegarmos vetores de ² e transformá-los em 
vetores de um subespaço vetorial de ³, sendo que, para tanto, o va-
lor do elemento x do novo vetor valerá 2x do primeiro vetor, y valerá 
–y do primeiro vetor e o elemento z será a soma dos elementos x e 
y do vetor em ³. Vamos representar esquematicamente, na figu-
ra 2, como fizemos para a função matemática, considerando os três 
vetores que temos utilizado nesta unidade, u= [1, v= [2/(e w = [(-3.
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Figura 2 - Representação esquemática do funcionamento de uma transformação 
linear.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Dessa forma, podemos fazer analogias entre as funções ma-
temáticas e as transformações lineares. 
No caso das transformações, nosso domínio é o espaço ve-
torial que contém todos os vetores para os quais a transformação 
linear apresenta uma resposta, ou seja, R². O contradomínio é for-
mado pelo espaço vetorial R³. Já a imagem, podemos dizer que é o 
conjunto que contém todos os vetores que são resposta à transfor-
mação linear. É interessante observar que nem todos os vetores de 
R³ podem ser obtidos a partir desta transformação sugerida e, dessa 
forma, a imagem da transformação é um subespaço de R³. 
Por exemplo, os vetores unitários fazem parte do contrado-
mínio da transformação, mas não fazem parte da imagem, uma vez 
que não há valores para x e y capazes de formar tais vetores.
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Outra forma de representar uma transformação linear é por 
meio de uma multiplicação de matrizes de acordo com a base ado-
tada para os espaços vetoriais que representam o domínio e a ima-
gem da transformação. Vamos continuar nosso exemplo utilizando 
a transformação linear T(x, y) = (2x,-y . x + y). Em um primeiro mo-
mento, vamos considerar a base canônica do domínio: 
Nosso primeiro passo é aplicar a regra da transformação so-
bre as matrizes da base: 
Agora, tudo o que precisamos fazer é montarmos uma matriz 
que contenha exatamente os elementos contidos nos dois vetores 
obtidos: 
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Transformação do plano no plano
Muitas vezes, deseja-se realizar a “movimentação” de vetores em 
um plano. Um excelente exemplo para isto é a aplicação de trans-
formações lineares em computação gráfica. Quando fazemos esta 
movimentação de vetores, também estamos falando de transfor-
mações lineares, apesar de estas serem efetuadas para transformar 
vetores de um espaço vetorial para outro espaço vetorial da mesma 
dimensão (no nosso caso, do plano no plano). 
Essas transformações podem ser sempre interpretadas como 
uma multiplicação de matrizes,