Parábola ENIAC

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Parábola
APRESENTAÇÃO
A parábola é uma seção cônica muito presente no cotidiano, por exemplo, nas antenas 
parabólicas e na trajetória de uma bola em determinados jogos. Além disso, é muito utilizada na 
matemática para resolver problemas aplicados a diversas áreas da ciência.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário que você domine o 
conteúdo das funções quadráticas e retome os conceitos das seções cônicas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá os conceitos específicos da parábola. Além 
disso, estudará suas equações e representações gráficas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir parábola e associá-la à sua equação.•
Descrever uma parábola por seu foco e sua diretriz.•
Diferenciar parábolas com eixo vertical e com eixo horizontal a partir de sua equação.•
DESAFIO
As parábolas constituem um grande campo de aplicações, as quais se estendem pelas mais 
diversas áreas do conhecimento. São usadas, por exemplo, em faróis de carros, antenas 
parabólicas ou, ainda, na construção de pontes estáveis e econômicas. 
Nesse contexto, imagine que você é um engenheiro e está trabalhando na obra de uma ponte 
suspensa. Sua equipe forneceu algumas informações essenciais para dar seguimento ao trabalho.
Veja a seguir:
Considerando as informações apresentadas, verifique a distância entre as duas torres.
INFOGRÁFICO
Existem algumas curiosidades interessantes que envolvem as parábolas. A lenda de 
Arquimedes, por exemplo, é uma delas. Essa lenda relata uma vitória de Arquimedes, frente a 
uma frota marítima, utilizando espelhos parabólicos. 
Neste Infográfico, você vai ver a definição de parábola, bem como equações e elementos 
fundamentais no trabalho com elas.
CONTEÚDO DO LIVRO
As seções cônicas são definidas como as curvas obtidas com a interseção entre um cone circular 
reto e um plano, e se diferem em decorrência do ângulo com que o plano secante corta o cone. 
No caso das parábolas, estas são obtidas quando o plano corta o cone de forma oblíqua ao seu 
eixo central e paralelo a uma geratriz.
No capítulo Parábola, do livro Geometria analítica, base teórica desta Unidade de 
Aprendizagem, você vai aprofundar o estudo das seções cônicas com uma análise direcionada 
para as parábolas. Além disso, vai conhecer as representações gráficas das parábolas, assim 
como seus elementos.
Boa leitura.
GEOMETRIA 
ANALÍTICA
Cristiane da Silva
Parábola
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer a parábola, suas características e sua equação.
 � Descrever uma parábola por seu foco e sua diretriz.
 � Diferenciar parábolas com eixo vertical e com eixo horizontal a partir 
de sua equação.
Introdução
Neste capítulo, você aprofundará o estudo das seções cônicas, agora 
especificamente das parábolas. Estudaremos sua definição, representação 
gráfica e elementos que a compõem, buscando-se, assim, aprofundar 
os conteúdos sobre as seções cônicas para que você compreenda as 
parábolas fazendo associações com suas equações.
O que é parábola?
Sejam r uma reta e F um ponto não pertencente a ela, o lugar geométrico dos 
pontos X equidistantes de F e de r, ou seja, quando temos d(X,F) = d(X,r), 
chama-se parábola (FERNANDES, 2016). Observe a Figura 1.
Figura 1. Parábola.
Fonte: Adaptada de Fernandes (2016).
A
FV
B
PPQ
x
r
Na Figura 1:
 � F é o foco. 
 � A reta r é chamada de diretriz.
 � d(F,r) = 2p, tal que p é um número positivo chamado de parâmetro. 
 � A reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz chama-se eixo.
 � Se Q é o ponto de intersecção da reta r com o eixo, o ponto médio de 
QF é chamado de vértice, que denotamos por V.
 � A corda da parábola é qualquer segmento com extremidades perten-
centes à parábola.
 � A amplitude focal é o comprimento de uma corda perpendicular ao 
eixo e que passa pelo foco.
 � Se A e B são extremidades da corda que contém o foco e é perpendicular 
ao eixo, o triângulo AVB é chamado de triângulo fundamental, sendo 
isósceles de base AB.
Parábola2
Equação da parábola
Santos e Ferreira (2009) explicam que, para obtermos a equação cartesiana, 
consideraremos uma parábola com vértice na origem O(0,0) e concavidade 
voltada para cima, como mostra a Figura 2. 
Figura 2. Parábola com vértice na origem.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
y Eixo da parábola
Diretriz
F(0, p)
V(0, 0)
P(x, y)
x
y = –p
Note que o foco é o ponto F(0,p), a diretriz é a reta horizontal y = –p, e o 
eixo da parábola é o próprio eixo y. De acordo com a definição de parábola 
como lugar geométrico, o ponto P(x,y) pertence à parábola se e somente se: 
|PF| = distância de P à diretriz. Então, usando as fórmulas da distância entre 
dois pontos e a de um ponto a uma reta, Santos e Ferreira (2009) deduzem a 
equação da parábola da seguinte forma:
3Parábola
Elevando ao quadrado:
Cancelando os termos comuns em ambos os membros e agrupando os 
termos restantes, obtemos:
x2 = 4py
Que é a equação reduzida da parábola mostrada na Figura 2.
Foco e diretriz 
As parábolas podem ser vistas como o conjunto de todos os pontos cuja dis-
tância de um certo ponto (o foco) é igual à sua distância de uma determinada 
reta (a diretriz), como mostra a Figura 3. 
Figura 3. Foco e diretriz da parábola.
Fonte: Adaptada de Khan Academy (2019). 
Diretriz
Foco
Parábola4
Vejamos um exemplo da equação da parábola a partir do seu foco e diretriz.
Dado o foco e a diretriz de uma parábola, podemos encontrar a equação dela. Considere 
a parábola cujo foco está em (–2,5) e a diretriz é y = 3. Começamos definindo um 
ponto geral na parábola (x,y).
Usando a fórmula da distância, descobrimos que a distância entre (x,y) e o foco 
(–2,5) é √(x + 2)2 + (y – 5)2, e que a distância entre (x,y) e a diretriz y = 3 é √(y – 3)2. Na 
parábola, essas distâncias são iguais a:
√(y – 3)2 = √(x + 2)2 + (y – 5)2
(y – 3)2 = (x + 2)2 + (y – 5)2
y2 – 6y + 9 = (x + 2)2 + y2 – 10y + 25
–6y + 10y = (x + 2)2 + 25 – 9
4y = (x + 2)2 + 16
y = + 4
 
(x + 2)2
4
Fonte: Khan Academy (2019). 
Eixos das parábolas
Ao estudarmos a equação de uma parábola, precisamos levar em conta a 
posição de seu eixo, que pode ser paralelo ao eixo dos y ou paralelo ao eixo 
dos x. Quando a parábola tem vértice na origem, seu eixo coincide com o eixo 
dos y ou com o eixo dos x.
Vamos iniciar esta seção com exemplos de equação da parábola com vér-
tice na origem e concavidade para cima e, em seguida, veremos as quatro 
possibilidades de parábolas com vértice na origem.
5Parábola
Equação da parábola com vértice na origem e 
concavidade para cima
Vimos esta definição anteriormente quando abordamos a equação da parábola; 
vejamos, então, alguns exemplos resolvidos. 
1. Determine a equação da parábola com vértice na origem e concavidade para cima 
e que passa pelo ponto Q(6,3).
Inicialmente, observamos que toda parábola com vértice na origem e concavidade 
para cima tem equação da forma x2 = 4py. Necessitamos simplesmente determinar 
o valor do parâmetro p. Como o ponto Q pertence à parábola, suas coordenadas 
devem satisfazer sua equação. Substituindo as coordenadas do ponto Q na equação 
da parábola, obtemos:
62 = 12p ∴ p = 3
Logo, a equação dessa parábola é x2 = 12y.
2. Determine a equação da parábola com vértice na origem e foco no ponto F(0,4).
Pelas localizações do vértice e do foco, trata-se de uma parábola com concavidade 
para cima. Como o vértice se situa na origem, sua equação é da forma x2 = 4py. Nesse 
caso, basta observar que, sendo a distância do vértice ao foco de 4 unidades, então 
p = 4. Logo, a equação dessa parábola é x2 = 16y.
Fonte: Santos e Ferreira (2009, p. 66).
Parábolas com vértice na origem
Veremos aqui as quatro possibilidades de parábolas com vértice na origem. 
Importante destacar que não consideraremos parábolas com eixos rotacionados, 
apenas aquelas com eixo sobre um dos eixoscartesianos. Observe, na Figura 4, 
o caso das parábolas com vértice na origem e concavidade para cima (Figura 4a) 
e para baixo (Figura 4b).
Parábola6
Figura 4. Parábolas com vértice na origem e eixo vertical. (a) Parábola côncava para cima. 
(b) Parábola côncava para baixo.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009, p. 68).
x2 = 4py
y
F(0, p)
F(0, –p)
x
x
V(0, 0)
V(0, 0)
y = –p
Diretriz
Diretrizy
y = p
x2 = –4py
(a) (b)
Parábola com vértice na origem e concavidade para cima: a Figura 
4a mostra que o foco é o ponto F(0,p), a diretriz é a reta horizontal y = –p 
e o eixo é o próprio eixo y. A equação dessa parábola é x2 = 4py (SANTOS; 
FERREIRA, 2009, p. 67-68).
Parábola com vértice na origem e concavidade para baixo: a Figura 
4b mostra que o foco é o ponto F(0,–p), a diretriz é a reta horizontal y = p e 
o eixo é o próprio eixo y. A equação dessa parábola é x2 = –4py (SANTOS; 
FERREIRA, 2009, p. 67-68).
Observe, na Figura 5, o caso das parábolas com vértice na origem e con-
cavidade para a direita (Figura 5a) e para a esquerda (Figura 5b).
7Parábola
Figura 5. Parábolas com vértice na origem e eixo horizontal. (a) Parábola côncava para a 
direita. (b) Parábola côncava para a esquerda.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009, p. 68).
x = –p x = p
y y
F(0, p) x
Diretriz Diretriz
xF(0, p)
V(0, 0)
V(0, 0)
y2 = 4px y2 = –4px
(a) (b)
Parábola com vértice na origem e concavidade para a direita: a Figura 5a 
mostra que o foco é o ponto F(p,0), a diretriz é a reta vertical x = –p e o eixo é 
o próprio eixo x. A equação dessa parábola é y2 = 4px (SANTOS; FERREIRA, 
2009, p. 68).
Parábola com vértice na origem e concavidade para a esquerda: a 
Figura 5b mostra que o foco é o ponto F(–p,0), a diretriz é a reta vertical x = 
p e o eixo é o próprio eixo x. A equação dessa parábola é y2 = –4px (SANTOS; 
FERREIRA, 2009, p. 68).
Determine a equação da parábola com vértice na origem, eixo horizontal e que passa 
pelo ponto (4,8).
Pelas informações dadas, observamos que se trata de uma parábola com concavi-
dade para a direita. Assim, a equação dessa parábola é da forma y2 = 4px. Devemos 
simplesmente determinar o valor do parâmetro p, obrigando a parábola a passar pelo 
ponto dado, isto é:
64 = 16p ∴ p = 4
Logo, a equação dessa parábola é y2 = 16x.
Fonte: Santos e Ferreira (2009, p. 69).
Parábola8
Acompanhe, a seguir, alguns exemplos resolvidos de problemas envolvendo 
parábola.
1. Para cada uma das parábolas x2 = 8y e x = – y21
2
, encontre o foco e uma equação 
da diretriz.
Solução:
x2 = 8y
Observemos que, nessa equação, a cada valor de y, por exemplo, 2, correspondem 
dois valores de x simétricos, no caso 4 e –4. Logo, os pontos (4,2) e (–4,2) pertencem 
à parábola. Como a equação é da forma x2 = 4py, tem-se 16 = 8p → p = 2. Portanto:
Foco: F(0,2)
Diretriz: y = –2 
A equação reduzida de x = – y21
2
 é y2 = –2x.
F(0, 2)
x
O4 4
2
y = 2
Gráfico da parábola x2 = 8y.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
Observemos que, nessa equação, a cada valor de x, por exemplo, –2, correspondem 
dois valores de y simétricos, no caso 2 e –2. Logo, os pontos (–2,2) e (–2,–2) pertencem 
à parábola. Como a equação é da forma y2 = 4px, tem-se 4 = –8p → p = x = – y21
2
.
Portanto:
Foco: F , 01
2
–( (
Diretriz: x = x = – y212
9Parábola
2
2
2
1 1F O
x
x = 1
2
y
Gráfico da parábola x = – y21
2
.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
2. Obtenha uma equação da parábola que satisfaça as condições:
a) Vértice V(0,0) e foco F(1,0).
b) Vértice V(0,0) e diretriz y = 3.
c) Vértice V(0,0) passa pelo ponto P(–2,5) e concavidade voltada para cima.
Solução:
a) A equação é da forma y2 = 4px. Sendo a distância do vértice ao foco de 1 unidade, 
então p = 1. Substituindo o valor de 4p na equação anterior, obtemos y2 = 4x.
b) A equação é da seguinte forma:
x2 = 4py
p = –3
Logo, a equação é x2 = –12y.
c) A equação é da forma x2 = 4py. Como P pertence à parábola, o ponto (–2,5) é uma 
solução da equação, ou seja, a afirmação (–2)2 = 4p(5) é verdadeira. Daí vem p = 15 . 
Portanto, a equação desejada é x2 = 4
5
 y ou 5x2 – 4y = 0.
Parábola10
FERNANDES, L. F. D. Geometria analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016. 
KHAN ACADEMY. Revisão do foco e diretriz da parábola. c2019. Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/algebra2/intro-to-conics-alg2/focus-and-directrix-of-a- 
parabola-alg2/a/parabola-focus-directrix-review. Acesso em: 18 mar. 2019.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
11Parábola
DICA DO PROFESSOR
A parábola faz parte do estudo das seções cônicas e envolve conhecimentos das funções 
quadráticas. Apresenta um ponto extremo, chamado de vértice da parábola, o qual pode definir 
um ponto máximo (se tiver a concavidade para baixo) ou um ponto mínimo (se tiver a 
concavidade para cima).
Nesta Dica do Professor, você vai acompanhar três exemplos detalhados de como determinar a 
equação de uma parábola de acordo com os elementos que são conhecidos.
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EXERCÍCIOS
1) Determine a equação da parábola com vértice na origem, eixo horizontal e que passa 
pelo ponto (4,8), e assinale a alternativa correta.
A) y2 = 2x.
B) y2 = 4x.
C) y2 = 16x.
D) x2 = 4y.
E) x2 = 16x.
2) Considere a parábola y2 = –12x. 
Determine a distância da diretriz ao vértice da parábola, e assinale a alternativa 
correta.
A) 4.
B) 3.
C) 2.
D) 6.
E) 1.
3) Determine as coordenadas do vértice V para a parábola de equação 
(x – 5)2 = 12(y – 3), e assinale a alternativa correta.
A) V (5,0).
B) V (5,6).
C) V (0,3).
D) V (4,12).
E) V (5,3).
4) Determine o foco e a equação da diretriz da parábola x2 = 8y, e assinale a alternativa 
correta.
A) F (–1,1); y = 1.
B) F (–1,2); y = 2.
C) F (2,1); y + 2 = 0.
D) F (0,2); y = –2.
E) F (1,2); y = 2.
5) Determine o vértice, o foco e a equação diretriz da parábola y2 = –16x, e assinale a 
alternativa correta.
A) V (0,1); F (4,0); y = 4.
B) V (0,0); F (–4,0); x = 4.
C) V (1,0); F (0,–4); y = 2.
D) V (0,0); F (2,1); y = 4.
E) V (–1,1); F (–4,2); x = 2.
NA PRÁTICA
Enquanto estudante, é comum se perguntar em que situação real serão utilizados 
determinados conteúdos. O lançamento oblíquo, por exemplo, é um movimento 
bidimensional, composto por dois movimentos unidimensionais e simultâneos, um vertical e um 
horizontal, podendo ser facilmente identificado no movimento de atletas praticantes de salto à 
distância ou, ainda, na trajetória realizada por uma bola de golfe.
Neste Na Prática, você vai ver o caso de uma empresa de armamentos que precisa realizar testes 
sobre um novo tipo de míssil, o qual está em processo de fabricação.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
A parábola
Neste vídeo, você vai acompanhar uma introdução ao estudo das parábolas com vértice na 
origem do sistema.
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Cônicas
Neste vídeo, você vai ver como uma parábola pode ser obtida por meio de um corte no cone, 
bem como sua definição como lugar geométrico e suas equações reduzidas.
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Introdução aos conceitos de foco e diretriz
No seguinte vídeo, você vai poder aprofundar os seus conhecimentos sobre parábola, atentando 
ao seu foco e a sua reta diretriz. A explicação traz uma representação gráfica de forma a detalhar 
cada elemento da parábola.
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Lista de exercícios
Para aprender geometria analítica: parábola, é importante que você treine fazendo diversos 
exercícios. Para tanto, acesse a listagem a seguir e resolva as questões.
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