Seções cônicas e circunferência ENIAC

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Seções cônicas e circunferência
APRESENTAÇÃO
As seções cônicas são fundamentais no estudo de fenômenos naturais, físicos, da astronomia, 
construção civil, entre outros. A relevância das seções cônicas e circunferência pode ser 
verificada na resolução de problemas das mais variadas áreas.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário ter domínio das 
funções quadráticas, álgebra e conceitos básicos de trigonometria. É importante, por exemplo, 
que você saiba como resolver produtos notáveis.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você identificará a seção cônica a partir da interseção de um 
plano secante com a superfície cônica. Além disso, descreverá as circunferências por suas 
equações. Por fim, determinará a posição de uma reta relativa a uma circunferência.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar a seção cônica a partir da interseção de um plano secante com a superfície 
cônica.
•
Descrever as circunferências por suas equações.•
Determinar a posição de uma reta relativa a uma circunferência.•
DESAFIO
A relevância das seções cônicas e circunferência está em solucionar problemas práticos do dia a 
dia. 
Um duto pode ser um cano, um tubo ou uma conduta, é um cilindro oco, comprido, que pode 
variar de diâmetro, espessura de parede e comprimento. Pode ser utilizado no transporte 
dutoviário, o qual utiliza um sistema de tubos ou cilindros, formando uma linha chamada 
dutovia ou via, a qual movimenta produtos de um ponto a outro. Normalmente são utilizados no 
transporte de líquidos e/ou gases, na construção civil, no revestimento de poços de petróleo ou 
em partes de máquinas e equipamentos mecânicos, por exemplo.
Considerando os seus conhecimentos, você foi convidado a solucionar um problema envolvendo 
circunferências de dutos de líquidos.
Determine qual deve ser o valor de R em centímetros. 
OBS. Utilize 1,7 para √3. 
INFOGRÁFICO
A equação da circunferência é um tipo de equação do segundo grau com duas incógnitas.
Neste Infográfico, você vai ver a relação existente entre as funções de segundo grau e a 
circunferência.
CONTEÚDO DO LIVRO
As cônicas foram fundamentais para o desenvolvimento da astronomia. Kepler e Galileu 
mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais, como, por exemplo, nas trajetórias 
de um projétil ou de um planeta. 
No capítulo Seções cônicas e circunferência, da obra Geometria analítica, base teórica desta 
Unidade de Aprendizagem, você vai ver as seções cônicas e circunferências em seus conceitos e 
ilustrações, além de dicas relativas aos diferentes tipos de notações existentes em referenciais 
teóricos, bem como exemplos elucidativos.
Boa leitura.
GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
Cristiane da Silva
Seções cônicas e 
circunferência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar a seção cônica a partir da interseção de um plano secante 
com a superfície cônica.
 � Descrever as circunferências por suas equações.
 � Determinar a posição de uma reta relativa a uma circunferência.
Introdução
Neste capítulo, você estudará as seções cônicas e circunferência e apren-
derá que a superfície cônica é uma superfície infinita. Além disso, conhe-
cerá melhor as curvas obtidas pela interseção de um plano secante com 
uma superfície cônica. Busca-se, assim, aprofundar os conhecimentos 
sobre as seções cônicas para que você as identifique e também com-
preenda as circunferências a partir de suas equações.
Seções cônicas 
Considere duas retas e e g concorrentes em um ponto O e não perpendiculares. 
Conserve fixa a reta e e faça g girar 360º em torno de e mantendo constante o 
ângulo entre as retas. Nessas condições, a reta g gera uma superfície cônica 
circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O (WIN-
TERLE, 2014), conforme podemos observar na Figura 1. A Figura 2 ilustra 
uma superfície cônica e seus elementos.
Figura 1. Exemplo de superfície cônica 
infinita.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
O
e
g
Figura 2. Superfície cônica e seus elementos.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2012).
Vértice
Folha superior
Folha inferior
Diretriz
Geratriz
Seções cônicas e circunferência2
Chama-se geratriz a reta g da superfície cônica, e eixo da superfície a reta 
e. Seção cônica, ou simplesmente cônica, é o conjunto de pontos que formam 
a interseção de um plano com a superfície cônica. Quando uma superfície 
cônica for seccionada por um plano π qualquer que não passa pelo vértice O, 
a cônica será: uma circunferência, uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole 
(WINTERLE, 2014). Vejamos o exemplo de cada caso observando a Figura 3.
Figura 3. Seções cônicas: (a) circunferência; (b) parábola; (c) elipse; (d) hipérbole.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2012).
(a) (c) (d)(b)
 � Circunferência: curva obtida pela interseção da superfície cônica com 
um plano secante perpendicular ao eixo.
 � Parábola: curva obtida pela interseção da superfície cônica com um 
plano secante paralelo a uma geratriz da superfície.
 � Elipse: curva obtida pela interseção da superfície cônica com um plano 
que não é perpendicular ao eixo, nem paralelo a uma geratriz e intercepta 
apenas uma das folhas da superfície.
 � Hipérbole: curva obtida pela interseção da superfície cônica com um 
plano que não é perpendicular ao eixo, nem paralelo a uma geratriz e 
intercepta as duas folhas da superfície.
3Seções cônicas e circunferência
A Figura 4 destaca que as superfícies cônicas parábola, elipse e hipérbole devem ser 
consideradas como ilimitadas, ou seja, constituídas de duas folhas que se estendem 
indefinidamente em ambos os sentidos. Considere π o plano.
π
π π
O O O
(a) (b) (c)
Figura 4. Superfícies cônicas ilimitadas.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
Se cada um dos planos secantes da parábola, da elipse e da hipérbole for transladado 
paralelamente até chegar ao vértice O, obteremos as respectivas cônicas “degeneradas”:
a) uma reta;
b) um ponto;
c) duas retas.
Circunferências 
A circunferência pode ser definida como “[…] o lugar geométrico dos pontos de 
um plano cuja distância a um ponto fixo é constante” (SANTOS; FERREIRA, 
2012, p. 63). Observe os elementos e a equação cartesiana da circunferência 
na Figura 5.
Seções cônicas e circunferência4
Figura 5. Circunferência com centro na origem O e raio r. (a) Centro e raio. (b) Centro na 
origem e raio r.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2012).
Raio
Centro O
r
y
x
P(x, y)
(a) (b)
A Figura 5a mostra o ponto fixo, denominado centro da circunferência, e 
a distância de seus pontos ao centro que chamamos de raio da circunferência. 
Para obtermos a equação cartesiana, consideraremos uma circunferência de 
raio r e centro na origem O (0,0), como mostra a Figura 5b. Para que P (x,y) 
seja um ponto da circunferência, devemos ter , e, assim, pela fórmula 
da distância entre dois pontos:
Vejamos a equação da circunferência que não está centrada na origem. Em sua forma 
canônica, pode ser escrita como:
(x – h)2 + (y – k)2 = R2
5Seções cônicas e circunferência
Sendo C(h,k) o centro da circunferência, R = CM o seu raio e M(x,y), observe a Figura 6.
0 h x
k
y M
R
C P
Figura 6. Circunferência.
Fonte: Adaptada de Leite e Castanheira (2017).
No triângulo CMP, CM é a hipotenusa, enquanto PM e PC são os catetos. Assim, 
aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
(x – h)2 + (y – k)2 = R2
Isso implica que, se o centro for o ponto C(0,0), a equação da circunferência será 
x2 + y2 = R2.
1. Qual é a equação da circunferência que tem centro no ponto (1,3) e cujo raio mede 5?
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
(x – 1)2 + (y – 3)2 = 52
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 25 = 0
x2 + y2 – 2x – 6y – 15 =0
2. Qual é a equação da circunferência que tem centro na origem e raio igual a 4?
(h, k) = (0,0)
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
(x – 0)2 + (y – 0)2 = 42
x2 + y2 = 42
x2 + y2 = 16
Atenção:
 � Se r = 0, a representaçãográfica da circunferência se reduz a um ponto.
 � Se r2 < 0, não haverá representação gráfica, por não existirem pontos reais que 
satisfaçam à equação (lugar geométrico imaginário).
Seções cônicas e circunferência6
Posição de uma reta relativa a uma 
circunferência
Nesta seção, verifica-se a posição relativa ocupada por retas e circunferên-
cias. Assim, inicia-se com a posição relativa de um ponto em relação a uma 
circunferência e, em seguida, estuda-se a posição relativa de uma reta em 
relação a uma circunferência.
Posição relativa de um ponto em relação a uma 
circunferência
Leite e Castanheira (2017) explicam que, para determinar a posição relativa a 
um ponto em relação a uma circunferência de equação (x – h)2 + (y – k)2 = r2, 
deve-se calcular a distância do ponto P(a,b) ao centro C(h,k) da circunferência 
e comparar-se a distância d com o raio R, atentando para o seguinte.
 � Se P é exterior à circunferência (d > R), temos:
(a – h)2 + (b – k)2 > R2
(a – h)2 + (b – k)2 – R2 > 0
 � Se P pertence à circunferência (d = R), temos:
(a – h)2 + (b – k)2 = R2
(a – h)2 + (b – k)2 – R2 = 0
 � Se P é interior à circunferência (d < R), temos:
(a – h)2 + (b – k)2 < R2
(a – h)2 + (b – k)2 – R2 <0
7Seções cônicas e circunferência
Determine a posição do ponto P(3, 2) em relação à circunferência de equação (x – 4)2 
+ (y – 1)2 = 32.
Solução:
Basta substituir as coordenadas do ponto na equação da reta e verificar se o resultado 
é maior, menor ou igual a zero. Assim, temos:
(3 – 4)2 + (2 – 1)2 – 9 = 1 + 1 – 9 = –7
Como o resultado é negativo, o ponto P é interior à circunferência.
Fonte: Leite e Castanheira (2017, p. 71).
Posição relativa de uma reta em relação a uma 
circunferência
Leite e Castanheira (2017) apontam que, para determinar a posição de uma 
reta r: Ax + By + C = 0 em relação a uma circunferência de equação (x – h)2 + 
(y – k)2 = r2, deve-se calcular a distância da reta ao centro da circunferência 
e comparar-se a distância d com o raio R, observando que:
 � d < R ↔ reta secante à circunferência;
 � d = R ↔ reta tangente à circunferência;
 � d > R ↔ reta externa à circunferência.
Podemos verificar se a reta é secante, tangente ou externa a uma circunferência 
resolvendo o seguinte sistema de segundo grau:
Ax + By + C = 0
(x – h)2 + (y – k)2 = R2
Se o sistema apresentar duas soluções distintas, a reta r é secante à circunferência. 
Se o sistema apresentar duas soluções iguais, a reta r é tangente à circunferência. Se o 
sistema não tiver solução no campo dos números reais, a reta r é externa à circunferência. 
Seções cônicas e circunferência8
Resolvendo o sistema, eliminando uma das incógnitas pelo método da substitui-
ção, obtemos uma equação de segundo grau com uma só incógnita. Calculando o 
discriminante (∆) dessa equação, temos que:
 � Se ∆ > 0, a reta é secante à circunferência.
 � Se ∆ = 0, a reta é tangente à circunferência.
 � Se ∆ < 0, a reta é exterior à circunferência.
Fonte: Leite e Castanheira (2017, p. 72).
Determine o valor da constante b para que a reta y = x + b seja tangente à circunferência 
x2 + y2 = 8.
Inicialmente, determinamos a interseção da reta com a circunferência:
x2 + (x + b)2 = 8
x2 + x2 + 2bx + b2 = 8
2x2 + 2bx + b2 – 8 = 0
As raízes da equação fornecem as abscissas dos pontos de interseção da reta com 
a circunferência. Para que a reta seja tangente à circunferência, deve haver um único 
ponto de interseção; logo, é necessário que a equação possua uma raiz dupla, portanto 
seu discriminante (delta) deve valer zero. Então:
Lembrando que √b2 = |b|, temos que |b| = 4 e então b = ± 4. A Figura 7 exibe as retas 
y = x + 4 e y = x – 4, tangentes à circunferência x2 + y2 = 8.
b = 8 b = 4 b = 0 b = –4 b = –8
Figura 7. Família de retas y = x + b e circunferência x2 + y2 = 8.
Fonte: Santos e Ferreira (2012, p. 64).
9Seções cônicas e circunferência
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria analítica em espaços de duas e três dimensões. 
Curitiba: InterSaberes, 2017. 
SANTOS, F. J.; FERREIRA, F. S. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
Seções cônicas e circunferência10
DICA DO PROFESSOR
O círculo é entendido como o conjunto de todos os pontos interiores de uma circunferência 
e, assim, é obtida a equação da circunferência.
Nesta Dica do Professor, você vai ver o passo a passo da equação da circunferência, a qual passa 
por três pontos.
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EXERCÍCIOS
1) Determine a equação reduzida da circunferência, a qual passa pela origem e tem 
centro C(-1, - 4).
A) (x+1)2 + (y+4)2 = 17.
B) (x+1)2 - (y+4)2 = 7.
C) (x - 1)2 + (y - 4)2 = 17.
D) (x+1)2 - (y - 4)2 = 10.
E) (x+4)2 + (y+1)2 = √17.
2) Determine a posição do ponto P (1,7 ) em relação à circunferência da equação (x +3)2 
+ (y -4)2 = 52.
A) O ponto P (1,7 ) é interior à circunferência.
B) O ponto P (1,7 ) é exterior à circunferência.
C) O ponto P (1,7 ) pertence à circunferência.
D) O ponto P (1,7 ) é indefinido.
E) O ponto P (1,7 ) não pertence à circunferência.
3) Determine a equação reduzida da circunferência de centro (1,-2 ) e raio 3, e assinale a 
alternativa correta. 
A) (x +1)2 + (y - 2)2 = 9.
B) (x +1)2 + (y - 2)2 = 3.
C) (x -1)2 + (y + 2)2 = 3.
D) (x -2)2 + (y + 1)2 = 9.
E) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9.
4) Determine o centro e o raio da circunferência (x - 3)2 + (y + 2)2 = 5, e assinale a 
alternativa correta.
A) C(-3,2); R = 5.
B) C(-3,-2); R = √5.
C) C(3,-2); R = √5.
D) C(1,-1); R = 252.
E) C(-2,-3); R = √4.
5) Determine a equação reduzida da circunferência de centro no ponto C(2,1) que passa 
pelo ponto A(1,1), e assinale a alternativa correta.
A) (x +2)2 + (y -1)2 = 0.
B) (x +2)2 - (y -1)2 = 1.
C) (x - 2)2 - (y +1)2 = 1.
D) (x - 1)2 + (y +2)2 = 1.
E) (x - 2)2 + (y -1)2 = 1.
NA PRÁTICA
O uso de seções cônicas na resolução de problemas está presente em situações cotidianas. 
Para demonstrar isso aos seus alunos, João Pedro, um professor de Matemática, planejou uma 
aula prática. Veja a seguir. 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Equação geral da circunferência
No seguinte vídeo, você vai ver como converter uma equação geral da circunferência em 
equação reduzida da circunferência e, com isso, determinar as coordenadas do centro e o valor 
do raio com facilidade. O professor retoma a equação reduzida da circunferência e explica como 
transformar a equação geral, passo a passo, por meio de exemplos.
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Posição relativa entre reta e circunferência
Neste vídeo, você vai ver como determinar a posição relativa entre uma reta e uma 
circunferência do mesmo plano. Dadas uma reta e uma circunferência, a reta pode ser: externa à 
circunferência, tangente à circunferência ou secante à circunferência.
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Seções cônicas
Este vídeo aborda o conceito de seções cônicas e detalha a circunferência, a parábola, a elipse e 
a hipérbole com animações em 3D e representação gráfica. É um material visual, o qual não 
deixa de abordar os conceitos que são fundamentais para a compreensão do conteúdo.
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Lista de exercícios
Para aprender seções cônicas e circunferências, é importante que você treine fazendo diversos 
exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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