Integrais Conceitos, Propriedades e Técnicas de Integração

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Determine o valor da integral sen t cost dt3
, k real+ + kcos
4t
2
cos2t
4
, k real− + ksen
4t
4
sen2t
2
, k real− + kcos
4t
4
cos2t
2
, k real + + ksen
4t
4
sen2t
2
, k real− + k2cos
5t
3
cos2t
3
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A integral dada é resolvida por meio da técnica de substituição. Nesse caso, a função
sen t cos t dt é integrada por partes, onde u = sen t e dv = sen t cos t dt. Após a
integração, a expressão resultante é , onde k é uma constante real.
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
3 2
− + kcos
4t
4
cos2t
2
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Questão 1
de
10
Em branco �10�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Exercicio
Integrais: Conceitos, Propriedades e Técnicas De
Integração
Sair
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A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Determine o valor da integral ∫ 8
1
4u8+U 2 8√u−2
u2
189
2
295
2
103
2
211
255
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O valor da integral dada é obtido através da aplicação das regras de integração. Ao
resolver a integral, encontramos que o valor é igual a , que corresponde à
alternativa B.
295
2
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O cálculo de integrais é uma ferramenta importante para calcular áreas, volumes e somas
acumuladas. Calcule a integral definida de f(x) = x � 3x � 2 de 0 a 2.2
2,67
4,67
6,67
8,67
10,67
Questão não respondida
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A
B
C
D
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Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver a integral definida, é necessário calcular a antidecivaga da funçäo e, em
seguida, avaliá-la nos limites de integração.
A antiderivada de  é:
Avaliando-a nos limites de integração de 0 a 2 , temos:
(f(x) = x2 + 3x − 2)
F(x) = (1/3)x3 + (3/2)x2 − 2x
F(2) − F(0) = (1/3)8 + (3/2)4 − 4 − (1/3)0 − (3/2)0 + 0 = 4
4 Marcar para revisão
Sabe-se que g(x) faz parte da família de primitivas obtidas pela integral  .
Sabendo que g(0)=ln 2, determine g(1).
∫ x+3
x2+6x+4
ln(√8)
ln(√10)
ln(√11)
ln(√13)
ln(√15)
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A questão pede para determinar o valor de g(1), sabendo que g(x) é uma primitiva da
função dada pela integral e que g(0)=ln 2. Para resolver essa questão, é
necessário calcular a integral da função e, em seguida, aplicar o valor de x=1 na
função primitiva obtida. A alternativa correta é a C, que corresponde ao valor de
, resultado obtido ao aplicar x=1 na função primitiva.
∫ x+3
x2+6x+4
(ln(√11)
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B
C
D
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Constantemente mais de uma técnica é empregada na resoluçäo de integrais. Dessa
forma, determine o valor da equaç�o .∫ π/3
0
3 + cos(3x)dx.
π/3
π
2π
3π/2
0
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Fica mais fácil resolver trabalhando com as derivadas de seno e cosseno ao invés de
integrar diretamente:
Derivando , temos:
Logo
E a integral
Agora, juntando tudo temos:
∫ π/30 3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0 3dx + ∫
π/3
0 cos(3x)dx
(sen(3x)/3)
sen(3x)/3 = cos(3x)
∫ cos(3x)dx = sen(3x)/3
d
dx
∫ 3dx = 3x
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = 3x + sen(3x)/3|
x=
x=0 = π + sen(π)/3 − sen(0)/3 = π
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = π
π
2
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6 Marcar para revisão
A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo isso
em mente, calcule a integral indefinida ∫ dx.3e
2x2ex
(ex−2)(e2x+4)
ln(e2x − 2) − + .
ln(e2x+4)
2
arctg( )e
x
2
2
ln(ex − 2) − + .
ln(ex+1)
2
arctg( )e
x
x
2
ln(ex − 4) − + .
ln(e2x+4)
4
arct g( )e
x
2
4
ln(ex − 2) − + .
ln(e2x+4)
2
arct g( )e
x
2
2
ln(ex − 3) − + .
ln(e2x+4)
3
arctg( )e
x
2
3
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Resolvendo por integral por fraçenes parciais:
Resolvendo o sistema resultante:
Retornando para a integral:
∫ dx
∫ = ex + du = exdx
∫ dx = ∫ exdx = ∫ du
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
3e2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
3ex + 2
(ex − 2) (e2x + 4)
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
= +
=
=
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
A
u − 2
Bu + C
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
A (u2 + 4) + (Bu + C)(u − 2)
(u − 2) (u2 + 4)
(0)u2 + (3)u + (2)
(u − 2) (u2 + 4)
(A + B)u2 + (C − 2B)u + (4A − 2C)
(t − 2) (u2 + 4)
A + B = 0
C − 2B = 3
4A − 2C = 2
A = 1;B = −1;C = 1
∫ du = ∫ ( + + ) du3u+2
(u−2)(u2+4)
1
u−2
−u
u2+4
1
u2+4
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A
B
C
D
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Resolvendo cada uma delas separadamente:
Para a última integral, dividimos por 4, para levar a uma integral tonhecida:
Fazendo:
Juntando as respostas das 3 integrais:
Substituindo 
∫ dt, y = u − 2 → dy = du
∫ dy = ln y = ln(u − 2)
∫ dt, z = u2 + 4 → dz = 2udu
∫ − ( ) = = −
1
d − 2
1
y
−u
u2 + 4
1
2
dz
z
ln z
−2
ln(u2 + 4)
2
∫ ( ) du = ∫ ( ) du1
u2+4
1/4
( )
2
+1u2
w = , → dw = + =u2
du
2
dw
2
du
4
∫ ( ) du = ∫ ( ) = =1/4
( )
2
+1u
2
dw
2
(w)2+1
arctg(w)
2
arctg( )u
2
2
∫ du = ∫ ( + + ) du
∫ du = ln(u − 2) − +
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
1
u − 2
−u
u2 + 4
1
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
ln(u2 + 4)
2
arctg( )u2
2
u = ex
∫ dx = ln(ex − 2) − +3e
2x2ex
(ex−2)(e2x+4)
ln(e2x+4)
2
arctg( )e
x
2
2
7 Marcar para revisão
A técnica de substituiçảo é uma das técnicas mais empregadas em resoluçảo de integrais.
Utilizando a técnica de substituiçäo, a resoluçăo   é:∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt
tg2(t2) + C.1
10
tg3 (t2) + C.1
10
tg g4 (t2) + C.1
10
tg5(t2) + C.1
10
tg6 (t2) + C.1
10
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B
C
D
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Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Substituindo:
Usando integração trigonométrica:
LogO,
∫ t sec2(t2) tg4(t2)dt
u = t2 → du = 2tdt → tdt = du
1
2
∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt = ∫ sec2(u)tg4(u)du1
2
ν = tg(u) → dν = sec2(u)du
∫ sec2(u) tg4(u)du = ∫ ∇4dv = ⋅ v5 + c = tg5(u) + C
∫ t sec2(t2)tg4 (t2) dt = tg5 (t2) + C
1
2
1
2
1
2
1
5
1
10
1
10
8 Marcar para revisão
Determine a família de funções representada por ∫ dx36
(x−1)(x+5)2
, k real+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
, k real− ln|x − 1| − ln|x − 5| + k36
x−5
, k real+ ln|x + 5| − ln|x − 1| + k36
x−1
, k real+ arctg(x − 1) − arctg(x + 5) + k1
x+5
, k real+ 6ln|x + 5| − 6ln|x − 1| + k36
x+5
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito ComentadoA integral dada é resolvida por meio da decomposição em frações parciais. A
decomposição correta leva à expressão , onde k é+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
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A
B
C
D
E
uma constante real. Portanto, a família de funções representada pela integral é
, para todo k real.+ ln|x − 1| − ln|x + 5| + k6
x+5
9 Marcar para revisão
As substituiç�es trigonométricas säo artificios que säo utilizados para a resolução e
integrais. Utilizando da técnica mencionada, calcule a integral de .∫ √1 − 4x2dx
[ + sen(2 arcsen(x))] + Carcsen(x)4
1
8
[ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
8
1
4
[ + sen(2 arcsen(2x))] + C.arcsen(2x)4
1
8
[2 arcsen(2x) + sen(2 arcsen(2x))] + C.1
8
[ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
4
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Utilizando a relaçäo trigonométrica:
Substituindo na integral:
Sabemos que Assim:
Fatorando 
Integrando:
cos2(θ) = 1 − sen2(θ)
2x = sen(θ) → dx = dθ
cos(θ)
2
√1 − 4x2dx = ∫ √1 − (2x)2dx = ∫ √1 − sen2 θ( dθ)
 Como √1 − sen2 θ = cos θ.  Assim:  ∫ cos2(θ)dθ
cos(θ)
2
1
2
cos2(θ) = + .12
cos(θ)
2
∫ ( + ) dθ12
1
2
cos(2θ)
2
1
2
30/03/2024, 12:51 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66083425eee27ec2abb00e01/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66083425eee27ec2abb00e01/gabarito/ 9/9
A
B
C
D
E
Retornando o valor de :
Substituindo  na equaçăo:
Assim, temos que:
∫ dθ + ∫ cos(2θ)dθ = [ + sen(2θ)] + C14
1
4
θ
4
1
8
x
2x = sen(θ) → θ = arcsen(2x)
θ
[ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)4
1
8
∫ √1 − 4x2dx = [ + sen(2 arcsen(2x))] + Carcsen(2x)
4
1
8
10 Marcar para revisão
Determine o valor da integral  ∫  (2sec2y + + 2y)dy3
1+y2
2tg y+3 arctg y+y+k, k real
2 seny+3 arcsen y+2y+k, k real
2tg y- arctg y-2y+k, k real
2 cos y+3 arsen y+y+k, k real
2 sen y+3 arctg y+y+k, k real
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A integral dada é A integral de é , a integral
de é  e a integral de é . Portanto, a integral da expressão dada é
, onde é uma constante real. Isso corresponde à
alternativa A.
∫  (2sec2y + + 2y)dy.3
1+y2
2sec2y 2tgy
3
1+y2
3arctgy 2y y2
2tgy + 3arctgy + y2 + k k