Fenomenos_Mecanicos_BC0208

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Fenômenos Mecânicos 
BC0208 
 
 Introdução ao laboratório de Fenômenos 
Mecânicos 
 
Prof. 
CCNH – UFABC 
@ufabc.edu.br 
 
1.  Apresentação da Disciplina 
2.  Conceitos básicos da teoria de erros 
I.  Medidas e incertezas 
II.  Propagação de erros 
3.  Gráficos 
I.  Regras para construção de gráficos 
II.  Cálculos a partir de gráficos 
Aula 1 
T P I = 4 1 6  
Ementa 
O conteúdo pode ser dividido nos seguintes tópicos principais: 
1‐ Revisão de cinemá@ca introduzindo vetores e derivadas  
2‐ Leis de Newton e suas aplicações 
3‐ Trabalho, energia mecânica e conservação da energia 
4‐ Colisões e conservação do momento linear 
5‐ Rotações e conservação do momento angular 
 
Livro texto 
‐Princípios de Física, Vol.1, R. A Serway e J.W. Jewe< Jr., tradução da 3.a edição 
norte‐americana, Ed. Cengage Learning. 
‐Piacen@ni, J. J. et al., Introdução ao Laboratório de Física, 3a. edição, Ed. da 
UFSC. 
‐J.H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros,  2ª ed., São Paulo, Ed. Edgar 
Blücher, 1996. 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
A/vidades 
 
Aulas quinzenais às 5ª‐feiras. 
 
As a@vidades prá@cas do curso compõem‐se de 3 etapas: 
 
  Pré‐relatório 
  Experimento no laboratório 
  Relatório 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Pré‐relatório 
 
A realização de um experimento em laboratório exige um mínimo de 
planejamento prévio,  pois quando temos uma ideia antecipada do que devemos 
fazer ao entrar no laboratório, podemos 
  Trabalhar com mais segurança 
  Evitar erros grosseiros  
  Aumentar a eficiência 
  Evitar danos ao equipamento 
 
Essa é a função do pré‐relatório, que nada mais é que uma mini‐lista de 
exercícios com questões conceituais e prá@cas relacionadas à a@vidade que será 
realizada no laboratório e que deverá ser feita ANTES de cada experimento, 
individualmente. 
 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Pré‐relatório 
Regras: 
 
  A nota de laboratório estará condicionada ao preenchimento on‐line do pré‐
relatório. 
  Cada pré‐relatório individual receberá uma nota e a média dos mesmos 
corresponderá a 10% da nota experimental (E). 
  O pré‐relatório deverá ser preenchido UNICAMENTE pela internet, acessando 
o site da disciplina no TIDIA (hlp://@dia‐ae.ufabc.edu.br). 
  O preenchimento do pré‐relatório poderá ser feito até 24h ANTES da aula 
de laboratório, após esse prazo, o sistema ficará bloqueado e o estudante 
não poderá realizar o experimento. 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Experimentos 
 
  Na primeira aula prá@ca, deverão ser formados grupos para a realização dos 
experimentos. 
  Os experimentos serão realizados no laboratório segundo relatório que será 
disponibilizado na página do TIDIA, no mínimo, uma semana antes do 
respec@vo experimento. 
  Cada aluno deve imprimir seu próprio relatório, no entanto, no final de cada 
aula, deverá ser entregue somente 1 (um) relatório preenchido por grupo.  
  Nas aulas prá@cas, é imprescindível a presença no laboratório, por isso,  a 
falta em 2 (experimentos)  sem jus/fica/va implicará em reprovação 
automá/ca na disciplina. 
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Apresentação da Disciplina 
 
Relatórios 
 
  Nesta disciplina, os chamados “Relatórios” são os roteiros preenchidos  por 
cada grupo com os resultados dos experimentos (tabelas e gráficos) e as 
conclusões. 
  O relatórios preenchidos  deverão ser entregues sempre ao final de cada 
aula. 
  Os relatórios de cada grupo receberão uma nota, sendo que a média dos 
mesmos corresponderá a 80% da nota da parte experimental (E). 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Avaliação da parte experimental 
 
3 pré‐relatórios e 3 relatórios, 2 provas e 1 prova subs@tu@va (opcional). A nota 
final da disciplina será calculada da seguinte forma: 
 
NF = 0,7 ((P1+P2)/2) + 0,1 L + 0,2 E  
 
Sendo que a nota da parte Experimental será dada por 
 
E = 0,2PR + 0,8R 
 
onde PR é a média dos Pré‐Relatórios e R, a média dos Relatórios. 
 
As provas P1, P2 e SUB conterão questões experimentais. 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Avaliação 
 
No seguinte caso a fórmula anterior não se aplicará:  
 
 se o aluno não @ver realizado pelo menos 2 experimentos (nesse caso, o 
aluno será reprovado com conceito F).  
  
Caso o aluno tenha perdido 2 experimentos, ainda terá a chance de repor 1(um) 
experimento somente se jus/ficar a falta em um deles. 
 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Conversão Nota‐Conceito 
 
A correspondência entre notas e conceitos seguirá a tabela abaixo 
 
 
 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
A  B  C  D  F 
≥ 8,0   ≥ 6,5  ≥ 5,0  > 4,0  < 4,0 
Regras para reposição de experimentos 
 
  Aqueles que perderam uma aula prá@ca e jus/ficaram, têm direito à 
reposição do respec@vo experimento ao final do curso (vide cronograma). 
  O documento que jus@fica a falta em uma aula prá@ca (atestado médico ou 
do empregador) deverá ser entregue ao respec/vo professor em até 6 (seis) 
dias após a aula perdida. 
  O aluno deverá solicitar por e‐mail que deseja repor o experimento. 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Trabalhando no laboratório 
 
  No laboratório, será exigido o uso de jaleco, conforme regra da universidade. 
  Não será aceito o uso de computadores de mão para análise de dados. 
  Será permi@do o uso de calculadoras cienuficas. 
  A área de trabalho deverá ser organizada e limpa antes do aluno deixar o 
laboratório. 
Fenômenos Mecânicos (BC 0208) 
Apresentação da Disciplina 
 
Cronograma (Grupo A) 
Data Aula A/vidade 
25/04 1 Introdução ao laboratório de Fenômenos Mecânicos 
09/05 2 
Experimento 1: movimento retilíneo uniforme 
(MRU) 
23/05 3 Experimento 2: Lei de Hooke 
10/06 PROVA 1 
13/06 4 
Experimento 3: colisões, conservação de momento 
linear, conservação de energia 
27/06 5 Reposição de experimentos 
01/07 PROVA 2 
04/07 SUB 
A 
Cronograma (Grupo B) 
Data Aula A/vidade 
02/05 1 Introdução ao laboratório de Fenômenos Mecânicos 
16/05 2 
Experimento 1: movimento retilíneo uniforme 
(MRU) 
06/06 3 Experimento 2: Lei de Hooke 
10/06 PROVA 1 
20/06 4 
Experimento 3: colisões, conservação de momento 
linear, conservação de energia 
27/06 5 Reposição de experimentos 
01/07 PROVA 2 
04/07 SUB 
B 
A todos um bom curso! 
Medir é um procedimento experimental em que o valor de uma grandeza 
é determinado em termos do valor de uma unidade, definida através de 
um padrão. 
Uma medição começa com a especificação apropriada do 
mensurando e do procedimento de medição. 
Como todo processo de medição é imperfeito, resulta que toda medida 
tem uma incerteza associada que procura expressar a nossa ignorância 
(no bom sentido) do valor medido. 
Sendo assim, uma medida deve conter as seguintes informações: 
 
  o valor da grandeza 
  a incerteza da medição 
  a unidade 
Medidas e Incertezas 
Como expressar o resultado de uma medida? 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
A leitura da régua mostra 128,9 cm. 
Podemos associar uma incerteza de 0,05 cm a esta medida. 
 
Sendo assim, devemos escrever 
 
 L = 128,90 ± 0,05 cm 
Em geral: 
Medidas e Incertezas 
Especifica o valor mais plausível da medida. 
Especifica o intervalo em que se tem confiança de ser onde a 
quantidade se encontra, entre 128,85 e 128,95. 
xx
médio
δ±= x de medidoValor 
Algarismos significativos 
 
Como δx é só uma estimativa da incerteza, não faz sentido 
expressá-lo com muita precisão. 
 
Exemplo 
É um ABSURDO expressar a medida da aceleração da 
gravidade como g = 9,82 ± 0,02385 m.s-2 . 
 
Mesmo em trabalhos de altíssima precisão, utilizam-se no 
máximo DOIS algarismos significativos para expressar a 
incerteza de uma medida. 
 
No nosso caso, vamos trabalhar com apenas UM algarismo 
significativo, o que resulta em 
g = 9,82 ± 0,02m.s-2 . 
Medidas e Incertezas 
Algarismos significativos 
 
Outro exemplo: 
A velocidade medida de um foguete é 6050,78 m.s-1. 
 
Como expressar essa medida se a incerteza for 
 
  ± 30 ? 
  ± 3 ? 
  ± 0,3 ? 
Medidas e Incertezas 
6050 ± 30 
Faixa de confiança entre 6020 e 6080 m.s-1 
6051 ± 3 
Faixa de confiança entre 6048 e 6054 m.s-1 
6050,8 ± 0,3 
Faixa de confiança entre 6050,5 e 6051,1 m.s-1 
Algarismos significativos 
São os algarismos que compõem o valor de uma grandeza, 
excluindo eventuais zeros à esquerda, usados para 
acertos de unidades. 
 
ZEROS À DIREITA SÃO SIGNIFICATIVOS SOMENTE 
 
QUANDO A VÍRGULA É UTILIZADA! 
RAIO (mm) 
57,896 
5,79X101 
5,789600X101 
0,6X102 
A. SIGNIFICATIVOS 
5 
3 
7 
1 
Medidas e Incertezas 
Note o uso da 
notação científica 
neste caso! 
Regras práticas para apresentação de resultados 
•  Para expressar a incerteza, use apenas UM algarismo 
significativo, conforme discutido anteriormente; 
•  O último algarismo significativo do valor medido deve ser 
da mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal) que 
a incerteza; 
•  A notação científica pode ser usada para se evitar 
ambiguidades. Neste caso, deve-se usar a mesma 
potência de dez tanto para o valor da grandeza quanto 
para sua incerteza. 
NOTAÇÃO ERRADA 
5,30 ± 0,0572 
124,5 ± 10 
0,00002002 ± 0,0000005 
(45 ± 2,6)X101 
NOTAÇÃO CORRETA 
5,30 ± 0,06 
120 ± 10 
(200 ± 5)X10‐7 
(45 ± 3)X101 
Medidas e Incertezas 
Regras práticas para apresentação de resultados 
•  Uma regra prática usada para evitar a obtenção de 
resultados inexatos é trabalhar sempre com todos os 
algarismos significativos disponíveis durante os cálculos 
intermediários. A calculadora sempre registrará valores 
com uma porção de algarismos significativos, os quais 
devem ser desprezados e arredondados somente na 
resposta final. 
Medidas e Incertezas 
Erro 
 
Todo processo de medição tem imperfeições que dão origem 
a um erro em seu resultado. 
 
O erro é definido como a diferença entre o valor medido e o 
valor verdadeiro (em geral, não acessível) do mensurando. 
 
Teoria de erros 
Conceitos básicos 
Tipos de erros 
Podem ser basicamente de dois tipos: aleatório e sistemático: 
  Erro aleatório 
o  Origem: variações imprevisíveis no processo de medida. Não 
pode ser compensado, mas pode ser reduzido, aumentando-se o 
número de observações ou repetições da mesma medida. 
  Erro sistemático 
o  Origem: má calibração do instrumento ou de um erro de medida 
repetitivo. Não pode ser eliminado, mas pode ser reduzido ou 
corrigido. Ex: uma balança mal aferida que apresenta sempre 
uma leitura 50 g maior do que o valor real do objeto medido. 
Teoria de erros 
Conceitos básicos 
Incerteza 
 
Parâmetro associado ao resultado de 
uma medição que caracteriza a 
dispersão dos valores que podem ser 
atribuídos ao mensurando. A 
incerteza reflete o desconhecimento 
do valor exato do mensurando. 
 
Esse parâmetro pode ser um 
desvio padrão (ou um múltiplo dele) 
ou a metade do intervalo de uma 
escala. 
 
Uma incerteza corresponde a um 
dado nível de confiança, ou seja, a 
probabilidade de encontrar o valor 
num determinado intervalo. 
Teoria de erros 
Conceitos básicos 
68% 
95% 
Precisão 
 
Medida de quão bem o valor de uma 
medida fo i determinado, sem 
considerar se este está próximo ou 
não do valor real. 
T a m b é m é u m a m e d i d a d a 
reprodutibilidade do resultado de um 
experimento. 
 
Acurácia ou exatidão 
 
Medida de quão próximo o valor 
medido está do valor verdadeiro da 
grandeza. 
 
Teoria de erros 
Conceitos básicos 
Erros X Acurácia e Precisão 
Erro sistemático aumenta 
Er
ro
 a
le
at
ór
io
 a
um
en
ta
 
Mas afinal, qual a importância de se estimar os erros??? 
 
Estimar os erros é importante porque sem isso não temos como tirar 
conclusões significativas a partir dos resultados experimentais. 
 
Imagine a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
Será que o valor obtido, quando comparado ao valor já conhecido de g = 
(9,82 ± 0,02) m/s2, indica alguma variação significativa de g? 
Em um experimento, mediu-se o valor da aceleração da gravidade 
para comparar com o valor obtido no ano anterior em outro 
laboratório. 
Resultado: g = (9,70 ± 0,15) m/s2 
Medidas e Incertezas 
Há 3 possibilidades: 
 
1.  Como o erro estimado é de ± 0,15, esse valor pode ser considerado 
satisfatório, já que está de acordo com o valor esperado 
2.  Se tivesse sido realizado um experimento muito mais preciso de 
modo que tivesse sido possível reduzir o erro a ± 0,01, esse 
resultado seria inconsistente com o esperado. Nesse caso: 
i.  Ou o resultado poderia estar errado 
ii.  Ou teria sido feita uma nova descoberta! 
3.  Se tivesse sido realizado um experimento mal projetado, o erro 
estimado poderia chegar, digamos, a ± 5. Nesse caso, os valores 
estariam de acordo, MAS a precisão seria tão baixa que seria 
impossível detectar variações significativas com esse método 
experimental. 
Medidas e Incertezas 
Conclusões que poderiam ser tiradas daí: 
Medidas e Incertezas 
Moral da estória: sempre que medir um parâmetro, 
estime o erro ou seu experimento será INÚTIL. 
1.  Nosso experimento foi bem feito. 
OU 
 
2.  Fizemos uma descoberta sensacional! 
OU 
3.  Precisamos descobrir um jeito melhor de fazer esse 
experimento. 
A incerteza pode ser de dois tipos, segundo o método 
utilizado para estimar o seu valor: 
 
Avaliação tipo A 
 
A incerteza é avaliada por meio de uma análise estatística 
de uma série de medidas. 
 
 
Avaliação tipo B 
 
A incerteza é avaliada por meio de métodos não 
estatísticos quando não se dispõe de observações 
repetidas. 
Como estimar incertezas 
 
 
Avaliação tipo B 
 
Caso em que o número de medições realizadas não é suficiente para uma 
análise estatística ou não é prático ou não é possível fazer esse tipo de 
análise. 
 
Dependente do bom senso do operador que deve utilizar de outras 
fontes de informação para estimar a incerteza, tais como: 
 
•  Dados de medições anteriores 
•  Conhecimento sobre o instrumento utilizado 
•  Especificações do fabricante 
•  Dados de calibração 
 
Exemplos: 
•  Metade da menor divisão de um instrumento 
•  Faixa de oscilação do ponteiro de um medidor analógico 
•  Faixa de variação do último algarismo de um medidor digital 
Cálculo de incertezas 
 
L
D
V
4
2
π=
 ,
LD
LLDD σσ ±=±=
L 
D 
Como determinar a incerteza de uma grandeza que é obtida 
por meio de um cálculo usando medidas diretas? 
Aí vem a seguinte questão: 
Qual a incerteza envolvida nessa determinação indireta do 
volume? 
O diâmetro e a altura são determinados experimentalmente e, 
consequentemente essas grandezas possuem incertezas 
associadas a sua determinação: 
Exemplo: Vamos considerar um cilindro de 
diâmetro da base D e altura L. 
Medindo D e L, o volume do 
cilindro será estimado por: 
Propagação de erros 
Vamos considerar um caso concreto 
L
D
V
4
2
π=
Considerando a expressão para a determinação do volume 
O valor médio do volume é dado simplesmente pelos valores médios do diâmetro e 
da altura: 
 cm cm 05,050,1205,000,5 ±=±= LD
( )
( ) 3
2
05,050,12
4
05,000,5
cm±
±
= π
( )
( ) 33
2
44,2455,12
4
0,5
cmcmV == π
Qual o valor que obteríamos se considerássemos os valores máximos do diâmetro, 
5,05 cm, e da altura,  12,55 cm? 
E se considerássemos os valores mínimos? 
3
cm )6245( ±=V
Mas, qual a incerteza nessa determinação do volume? 
Assim, com esses dados de diâmetro e altura, podemos concluir que 
Propagação de erros 
Esse procedimento de considerar “valores máximos e mínimos” 
nos dá uma ideia grosseira da incerteza na variável determinada 
indiretamente. 
Esse método é denominado PROPAGAÇÃO DE ERROS 
Vamos considerar o caso de uma variável dependente geral 
A incerteza em F é determinada indiretamente pela propagação dos erros das 
outras variáveis 
,...),,( zyxF
...)()()( 2
2
2
2
2
2
+




∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
= zyxF
z
F
y
F
x
F
σσσσ
Existe um método mais rigoroso e apropriado para se encontrar a 
incerteza de uma variável determinada indiretamente. 
 
Propagação de erros 
Neste quadrimestre nos basearemos somente nos casos de soma/
subtração e multiplicação/divisão. 
 
Quadro resumo 
Iden@fique o @po de expressão que você 
precisa para determinar a incerteza. 
 
Exemplo: Um objeto percorreu a 
distância de D = (2,4   0,2) m em um 
tempo de t = (1,2   0,1)s. Determine a 
velocidade média do objeto e sua 
incerteza. 
 
 
 
Para o cálculo da incerteza, observamos 
na tabela que: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo:  v = (2,0   0,2) m/s 
±
±
2
2,1
4,2
===
t
D
v
±
23,0
22
222
=





+





=






+





=





yx
v
yxv
yx
v
yxv
σσ
σ
σσσ
Regras para construção de gráficos 
O que todo gráfico deve ter: 
 
1.  Título ou legenda do gráfico 
2.  Eixos das variáveis com os 
nomes das variáveis, escalas e 
unidades 
3.  Dados experimentais e 
incertezas 
4.  Funções teóricas ou curvas 
médias (esse último item é 
opcional e, dependendo das 
circunstâncias, pode ser omitido) 
Exemplo de gráfico bem feito 
Figura 1: variação da velocidade em função do tempo de um 
corpo se deslocando em movimento variado 
Exemplo de gráficos bem feito vs ruim 
Figura 1: variação da velocidade em função do 
tempo de um corpo se deslocando em movimento 
variado 
Bem Feito Ruim! 
Cálculos a partir de gráficos 
 Existe um método rápido para estimar os parâmetros de uma reta, 
muito útil quando não se dispõe de um computador com software 
adequado para cálculos estatísticos (como, por exemplo, nas provas!). 
 
As únicas ferramentas necessárias são um lápis (ou caneta) e uma 
régua (de preferência transparente). 
O método funciona melhor se as 
escalas do gráfico foram escolhidas 
decentemente, ou seja com os pontos 
experimentais relativamente 
alinhados ao longo de uma diagonal. 
Cálculos a partir de gráficos 
 
Cálculos a partir de gráficos 
 
A (x1, y1) 
C (x3, y3) 
B (x2, y2) 
D (x4, y4) 
Cálculos a partir de gráficos 
 
Os coeficientes angulares a de cada reta são obtidos a partir das 
coordenadas de seus pontos extremos: 
 
 
 Reta mínima 
 
 
 
 Reta máxima 
 
 
 
 
Os coeficientes lineares b, por sua vez, são obtidos pela leitura direta 
dos pontos onde cada reta cruza o eixo y. 
13
13
xx
yy
amín
−
−
=→
24
24
xx
yy
amáx
−
−
=→
Cálculos a partir de gráficos 
 
Obtém-se, assim a equação correspondente para cada uma das retas: 
 
 Reta mínima Reta máxima 
 
 
 
 
Finalmente, os coeficientes e as respectivas incertezas da reta média 
são obtidos pelas expressões abaixo: 
mínmín bxay +⋅= máxmáx bxay +⋅=
 
 
Na próxima aula iniciaremos os experimentos. 
 
 
O relatório deve ser baixado do site: 
hdp:///dia‐ae.ufabc.edu.br 
 
Para a entrada no laboratório na próxima aula é OBRIGATÓRIO:  
 
Que o estudante esteja usando o  jaleco,  roupas adequadas segundo as normas 
de segurança dos laboratórios .  
 
Tenha preenchido o pré‐relatório on‐line (CUIDADO COM O PRAZO!).  
 
 
 
Não esqueça de definir com seus colegas quem são os  integrantes de seu grupo. 
Lembre‐se que no final da aula deve ser entregue UM único roteiro por grupo.