Slides de Aula Unidade III Estatística

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Prof. Me. José Lorandi
UNIDADE III
Estatística
A Análise Combinatória é a área da estatística que permite que respondamos a 
perguntas como: 
 “tenho 10 canetas vermelhas e 7 pretas. Pegando 3 canetas aleatoriamente, qual é a 
Probabilidade de pegar uma única caneta preta?”
 Em outras palavras, a Análise Combinatória permite que criemos grupos com um número 
finito de elementos e, ainda, sob certas condições.
 Para compreender a Análise Combinatória, precisamos 
estudar antes alguns conceitos matemáticos, como Fatorial, 
Binômio de Newton, Coeficientes Binomiais, Somatório e 
Triângulo de Pascal.
Análise Combinatória 
 Antes de chegarmos ao Binômio de Newton, vamos abordar alguns conceitos 
matemáticos úteis.
 Fatorial de um número
 O Fatorial de um número é representado pelo símbolo ! e é calculado apenas para números 
naturais (números inteiros não negativos). O cálculo do Fatorial de um número consiste em 
sucessivas multiplicações, diminuindo esse número de uma unidade, até chegar ao elemento 
neutro da multiplicação: o número 1. 
Matematicamente, sendo n um número inteiro e não nulo, temos: 
nǃ = n. (n - 1).(n - 2).(n - 3)...3.2.1
Binômio de Newton
Exemplo de aplicação
 Neste exemplo, será ilustrado o Cálculo do Fatorial do número 5, ou seja, vamos calcular 5! 
 5! = 5.4.3.2.1
 5! = 20.6.1 
 5! = 120
 Logo, 5! = 120 
Note que, no cálculo, foram multiplicados os números dois a dois 
apenas para facilitar o processo, mas é possível multiplicar todos 
os números de uma só vez usando uma calculadora.
Por definição: 
0! = 1
1! = 1
Fatorial de um número
Exemplo de aplicação
 Mais adiante, será calculada a Razão de dois Fatoriais.
 Então, é interessante detalhar o processo desse cálculo.
 Considere a expressão a seguir:
Fatorial de um número
6!
4!
 A primeira abordagem que vem à mente é calcular tanto o fatorial “de cima” quanto o 
fatorial “de baixo”. 
 Mas, agindo dessa forma, o processo será mais trabalhoso. 
 A ideia nesse tipo de cálculo é escrever o maior dos fatoriais como uma série de produtos, 
mas sem chegar até o final, parando quando chegar ao fatorial menor. 
Olhando para 6!, temos o seguinte:
 6! = 6.5.4.3.2.1 = 30.12.2 = 720 
Mas as últimas parcelas do produto são iguais a 5!, pois 5! = 
5.4.3.2.1. Logo:
Fatorial de um número
6! = 6.5!
 De forma equivalente:
6! = 6.5.4!
 Voltando à fração, temos:
 Como temos 4! tanto no numerador quanto no denominador da 
fração, é possível cancelar 4! e chega-se a:
Fatorial de um número
6!
4!
6.5.4!
4!
=
6!
4!
6.5 = 30=
Os Coeficientes Binomiais, ou Números Binomiais, são o par de valores com n e p sendo
números inteiros e , calculados por:
Lê-se como o Binomial de n sobre p, e chama-se n de numerador do Binomial e p de
denominador do binomial. 
Coeficientes Binomiais
n!
p!.(n - p)!
=
 Como exemplo, pode-se calcular o binomial de 5 sobre 2.
 Da definição de coeficiente binomial, com n = 5 e p = 2, temos:
Coeficientes Binomiais
5!
2!.(5 - 2)!
=
5!
2!.3!
=
 Calculando o fatorial de 5, obtém-se: 5! = 5.4.3!
Então temos o seguinte:
Coeficientes Binomiais
Logo, o Binomial de 5 sobre 2 é igual a 10.
5.4.3!
2!.3!
=
5.4
2!
=
5.4
2.1
=
20
2
=
10=
Calcule o Fatorial abaixo:
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 7⋅6!
a) 720.
b) 1210.
c) 3540.
d) 4320.
e) 5040.
Interatividade 
A resposta correta e a alternativa E
a) 720.
b) 1210.
c) 3540.
d) 4320.
e) 5040.
Resposta 
 O Triângulo de Pascal, também conhecido como Triângulo de Tartaglia, é uma forma de 
organizar os Coeficientes Binomiais. 
 Como critério para essa organização, colocam-se os Coeficientes Binomiais de mesmo 
numerador em uma mesma linha e os Coeficientes Binomiais de mesmo denominador em 
uma mesma coluna. 
Triângulo de Pascal
A seguir, tem-se os coeficientes binomiais organizados em um triângulo de Pascal:
Triângulo de Pascal
Ao calcular cada Coeficiente Binomial, o Triângulo de Pascal fica:
 Note que o triângulo de Pascal com os 
resultados dos Coeficientes Binomiais 
apresenta algumas características interessantes. 
 Os elementos das pontas de todas as 
linhas são iguais a 1, e as linhas são 
simétricas na direção horizontal 
(o segundo elemento é igual ao penúltimo, 
o terceiro elemento é igual ao antepenúltimo etc.).
Triângulo de Pascal
1
1 1
1
1
1
21
33
46 4
1
1
 Vimos que Somatório é um operador matemático indicado por Σ e é usado para 
somas sucessivas. 
 No Somatório, indica-se um índice com seu valor inicial e final, e esse índice é incrementado 
de uma unidade a cada parcela somada. 
Matematicamente, tem-se o seguinte:
 Embaixo do símbolo de Somatório, é definido o índice que 
será incrementado e é passado o seu valor inicial. 
 Sobre o símbolo de somatório, coloca-se o valor 
final do índice. 
 Neste caso, o valor inicial do índice i é 0 e o valor final é n. 
Então, somam-se as parcelas de x desde o índice inicial 
0 até o índice final n. 
 É usual adotar as letras i ou j como índices de somatórios. 
Lembrete
 O Teorema Binomial, também conhecido como Binômio de Newton, permite desenvolver 
expressões do tipo , sendo n um número inteiro.
O Binômio de Newton é expresso matematicamente por:
Desenvolvendo o somatório, para i de 0 até 2, temos:
Teorema Binomial
Como todo número elevado à potência zero é igual a 1 e como 1 elevado a qualquer potência 
resulta em 1, ficamos com:
Teorema Binomial
 Precisamos calcular os coeficientes binomiais, o que faremos separadamente.
Teorema Binomial
Voltando ao cálculo anterior e substituindo o resultado dos Coeficientes Binomiais, temos 
o seguinte:
Teorema Binomial
Matematicamente, o quadrado da soma de dois termos é 
dado por:
 O Termo geral do Binômio é a expressão que permite calcular qualquer termo de ordem 
p + 1 do binômio de , e é dado por:
Termo geral do Binômio
 Exemplo de aplicação
 Calcule o termo de ordem 3 do Binômio de Newton para n = 6, p = 2 e y = 1. 
Da expressão do termo geral, para calcular , temos:
 P + 1 = 3 
 P = 3 - 1 
 P = 2
Então: 
Termo geral do Binômio
Calculando o Coeficiente Binomial, 
ficamos com:
Termo geral do Binômio
Assim, chegamos logo ao 
termo de ordem 3 do Binômio 
de Newton para n = 6, p = 2 e 
y = 1 é T3 = 15.x4.
(FGV) A soma dos Coeficientes do desenvolvimento de (2x+ y)5 é igual a:
a) 81
b) 128
c) 243
d) 512
e) 729
Interatividade 
Resposta correta é a alternativa C
 Para determinar a soma dos Coeficientes do desenvolvimento de Binômios como esse, basta 
considerar x = 1 e y = 1. Dessa forma, teremos:
(2x + y)5 = (2.1 + 1)5 = (3)5 = 243
 O valor encontrado de 243 corresponde exatamente à soma dos coeficientes de (2x + y)5, 
portanto, a alternativa correta é:
a) 81
b) 128
c) 243
d) 512
e) 729
Resposta 
 Agora que já foram apresentados os conceitos matemáticos para o estudo de Análise 
Combinatória, vamos partir para alguns conceitos específicos do assunto.
 Princípio fundamental da contagem (PFC)
 O princípio fundamental da contagem (PFC) é um método algébrico usado para determinar 
o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento sem que precisemos listar 
todas as possibilidades envolvidas.
 Se dado evento ocorrer em uma série de etapas sucessivas e 
independentes, o número total de possibilidades de tal evento 
ocorrer será dado pelo produto das possibilidades de 
ocorrência em cada uma das etapas.
Análise Combinatória
De outra forma, sendo p1 o número de possibilidades de um evento ocorrer na primeira etapa 
e p2 o número de possibilidades do evento ocorrer na segunda etapa (etapas essas 
independentes e sucessivas), o número total de possibilidades de ocorrência do evento 
é dado por:
Análise Combinatória
ptotal = p1.p2
 Exemplo de aplicação
 As placas de moto em dado país são compostas apenas por algarismos, de 0 a 9, e pode 
havera repetição desses algarismos. 
Qual é o número total de placas disponíveis para motos, considerando que há 3 dígitos 
na placa?
Análise Combinatória
Figura 30 – Moto
Fonte: https://cutt.ly/QMcBQZM
 São 3 dígitos na placa, que podem ser ocupados por algarismos de 0 a 9, ou seja, totalizam 
10 possibilidades diferentes de algarismos para cada posição. 
 Como pode haver repetição (placa 003, por exemplo, ou, ainda, 141), as possibilidades são 
iguais em cada uma das posições. 
Multiplicando a possibilidade em cada uma das posições, tem-se:
Análise Combinatória
ptotal = pposição1.pposição2.pposição3
ptotal = 10.10.10
ptotal = 1000
 Logo, o método de emplacamento de motos adotado no país em análise permite o 
emplacamento de até 1000 motos.
Análise Combinatória
ptotal = pposição1.pposição2.pposição3
ptotal = 10.10.10
ptotal = 1000
 Definimos Arranjo Simples como o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente dos 
demais pela ordem ou pela natureza dos seus elementos. 
 Como exemplo de Arranjo Simples, vamos analisar quantos números de 2 dígitos podemos 
formar com os algarismos 1, 2 e 3, sem repetição dos algarismos.
Arranjos Simples
 Vê-se na tabela 43 que existem três possibilidades para o 
primeiro dígito e, para cada uma dessas possibilidades, duas 
possibilidades para o segundo dígito, com o total de seis 
possibilidades de números formados por esses algarismos.
Arranjos Simples
algarismo algarismo gerado
1
2 12
3 13
2
1 21
3 23
3
1 31
2 31
Tabela 43 – Quantidade de números de 2 algarismos podemos 
formar com os algarismos 1, 2 e 3, sem repetição dos algarismos 
 Repare que os números gerados dessa forma distinguem-se quanto à ordem (13 é diferente 
de 31) e quanto à natureza (13 é diferente de 21). 
 O que foi feito na tabela foi contar o número de Arranjos de 3 elementos (os 3 algarismos, 1, 
2 e 3), tomados 2 a 2 (números compostos por 2 dígitos). 
 Esse Arranjo é indicado por A3,2. 
O arranjo simples de n elementos, tomados k a k, é dado pela seguinte expressão:
 Na equação, n e k são números naturais.
Arranjos Simples
 Exemplo de aplicação
 Usando a expressão matemática para Arranjos Simples, podemos conferir se nenhuma 
possibilidade foi esquecida quando tratamos de Arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2 na 
tabela 43. 
Da expressão do Arranjo Simples, para n = 3 e k = 2, temos:
Logo, temos 6 possibilidades para o 
arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2, 
exatamente o número de números 
gerados pela combinação dos 
algarismos 1, 2 e 3, tomados 2 a 2, 
listados na tabela 43. 
Arranjos Simples
 As Permutações são agrupamentos ordenados considerando todos os elementos 
disponíveis. 
A Permutação de n elementos é indicada por:
 A Permutação é um caso particular do arranjo simples, em que todos os elementos são 
considerados, ou seja, 
O número de permutações possíveis para n elementos é dada por: 
Permutações
Quantos números de 3 dígitos podem ser formados com os algarismos 1, 2 e 3?
 Temos 3 algarismos disponíveis para formar um número de 3 dígitos. Logo, trata-se de um 
problema de Permutação. 
Calculando a permutação simples dos 3 números, temos:
 Logo, pode-se gerar 6 números de 3 dígitos usando os 
algarismos 1, 2 e 3.
Permutações
Na competição de interclasse da escola, há 10 turmas competindo entre si pela medalha de 
ouro, prata e bronze. Então, o número de maneiras distintas que o pódio pode ser formado 
é igual a:
a) 120.
b) 460.
c) 540.
d) 720.
e) 90.
Interatividade 
Resposta correta é a alternativa D
Queremos calcular o arranjo simples de 10 elementos tomados de 3 em 3.
a) 120.
b) 460.
c) 540.
d) 720.
e) 90.
Resposta 
 As Combinações Simples são agrupamentos em que certo grupo é diferente dos demais 
apenas pela natureza dos elementos, mas não pela ordem. 
 Por exemplo, quais seriam as distintas Combinações dos algarismos 1, 2 e 3 para formar 
números com 2 dígitos. 
 Vale notar que os números 12 e 21 são Combinações equivalentes e contam como uma 
única Combinação. 
O número de Combinações de n elementos em grupos de p elementos é dado pela 
seguinte expressão:
Na equação, n e p são números inteiros. Lê-se Cn,p como a 
combinação de n elementos tomados p a p. 
Combinações
 Exemplo de aplicação
 Um time de futebol de salão é composto por 5 pessoas, uma delas o goleiro.
Em um grupo de 12 pessoas, quantos times de futebol de salão distintos podem ser formados? 
 Como a ordem que as pessoas são escolhidas para o time (alguém pode ser o primeiro 
jogador a ser chamado ou o último) é indiferente para a composição do time, trata-se de um 
problema de combinação. 
Calculando a combinação simples de 12 pessoas tomadas 5 a 5, temos o seguinte:
Combinações
Expandindo 12! até chegar a 7!, temos:
 Logo, com um grupo de 12 pessoas, é possível formar 792 
times de futebol de salão distintos.
Combinações
 Perspectiva positiva de que alguma coisa aconteça ou seja factível.
 A seguir, discutiremos alguns conceitos básicos para o estudo de Probabilidades. 
 Conceitos básicos:
 Para o estudo de Probabilidade, é necessário primeiro compreender alguns 
conceitos, como: 
 Experimento aleatório, 
 Espaço amostral e 
 Evento.
Probabilidades
 Experimento Aleatório
 Podemos classificar os Experimentos Aleatórios em duas categorias: 
 Experimentos Determinísticos; 
 Experimentos Aleatórios.
 Os Experimentos Determinísticos são aqueles cujos resultados são previstos antes 
mesmo de sua realização. 
 Molhar-se após derramar um copo de água sobre si é um exemplo de 
experimento determinístico. 
 Já os Experimentos Aleatórios são aqueles cujos resultados 
exatos não podem ser previstos antes da sua realização. 
 Jogar na loteria é um exemplo de experimento aleatório, 
já que se pode ganhar o prêmio ou, mais provavelmente, 
não ganhar o prêmio.
Probabilidades
 Espaço amostral
 Define-se Espaço Amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
Experimento Aleatório. 
 O Espaço Amostral é denotado pela letra U. 
 Por exemplo, considere uma moeda: ela tem duas faces, cara e coroa (figura 32). Ao 
lançarmos uma moeda para o alto, ela cairá com uma das faces para cima.
 O espaço amostral desse experimento é:
Probabilidades
Figura 32 – Moeda com a face conhecida como coroa ou reverso, 
em que é indicado o valor da moeda. A face conhecida como cara 
ou anverso é a face oposta à face do valor, que geralmente 
apresenta um escudo, um rosto ou um emblema
Fonte: https://cutt.ly/kMcNMU3
U = {cara, coroa}
 Exemplo de aplicação
 Considere como Experimento Aleatório o lançamento de um dado de 6 faces, contendo os 
números de 1 a 6 em cada face. 
 O Espaço Amostral desse experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis: 
 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidades
 Exemplo de aplicação
 Considere como Experimento Aleatório o lançamento de uma moeda. 
 O Espaço Amostral desse experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis para o 
dado e para a moeda: 
 U = {1 e cara, 2 e cara, 3 e cara, 4 e cara, 5 e cara, 6 e cara, 1 e coroa, 2 e coroa, 3 e coroa, 
4 e coroa, 5 e coroa, 6 e coroa}
Probabilidades
 Chamamos de evento qualquer subconjunto do Espaço Amostral. 
 Logo, obter coroa como resultado do lançamento de uma moeda é um Evento.
 Regras do cálculo de Probabilidades
 Considere dado Experimento Aleatório, em que o Espaço Amostral tem n(U) elementos, e 
dado evento A, que tem n(A) elementos. 
A Probabilidade de ocorrência do Evento P(A) é dada por:
Evento
 É importante notar que esse método para o cálculo de Probabilidades é válido apenas no 
caso em que o Espaço Amostral U é equiprobabilístico – ou seja, todos os Eventos do 
Espaço Amostral precisam ter a mesma Probabilidade. 
 Da expressão para o cálculo da Probabilidade de um Evento A, P(A), essa Probabilidade é 
um número entre 0 e 1, ou, de forma equivalente, entre 0 e 100%. 
É possível representar Probabilidades tanto na forma unitária quanto na forma percentual. 
Evento
 Exemplo de aplicação
 O metrô de uma grande cidade apresentou falha no funcionamento no início da manhã em 3 
dias de uma semana. 
Qual é a probabilidade de falha no início da manhã no dia de amanhã?
Evento
Figura 33 – Metrô
Fonte: https://cutt.ly/7McMjyo
 Calcula-se a Probabilidade como o número de ocorrência do Evento dividido pelo número de 
ocorrências do Espaço Amostral. 
 Neste caso, trabalha-se com uma semana de dados, então o Espaço Amostral é 
igual a 7 dias. 
 Então: n(U) = 7
 O Evento de ocorrência de falha pela manhã ocorreu em 3 dias da semana. 
 Logo, esse é o número de ocorrências do evento falha no metrô. 
 N(falha no metrô) = 3
Evento
Dividindo-se o número de ocorrências do evento pelo número de elementos do Espaço 
Amostral, calcula-se a Probabilidade de ocorrência desse evento:
Evento
 É possível representar essa Probabilidade na forma de porcentagem, bastando, para isso, 
multiplicar a Probabilidade por 100%: 
 P (falha no metrô) = 0,43 .1 00%
 P (falha no metrô) = 43% 
 Logo, a Probabilidade de falha no metrô no dia seguinte é de 43%.
Evento
Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8 e 9?
a) 1498 senhas.
b) 2378 senhas.
c) 3024 senhas.
d) 4256 senhas.
e) 5400 senhas.
Interatividade 
 Resposta correta é a alternativa C
 Usando a fórmula
 Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos 
algarismos é importante. 
 Por exemplo, 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de Arranjo.
Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:
Resposta 
ATÉ A PRÓXIMA!