GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR ATIVIDADES RESOLVIDAS

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PERGUNTA 1 ATIVIDADE DA UNIDADE 1 
 
O ângulo formado entre dois vetores não-nulos pode variar entre 0° e 180°. Quando temos os 
casos particulares em que o ângulo é igual a 0°, 90° ou 180°, é possível tirar algumas 
conclusões quanto à relação entre esses dois vetores. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulos entre vetores, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 0°, então os vetores têm o mesmo sentido. 
II. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 180°, então os vetores têm a mesma 
direção. 
III. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 90°, então os vetores são paralelos. 
IV. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 0°, esse vetores são ortogonais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
V, F, F, V. 
F, F, V, V. 
V, V, F, F. 
F, V, F, V. 
F, F, V, F. 
 
PERGUNTA 2 
Quando é mencionada a operação de subtração entre vetores, estamos nos referindo à 
operação de adição de um vetor ao vetor oposto de um outro. Então, define-se a diferença 
entre dois vetores 
e 
𝑢
→ 
como a adição 
𝑣
→ 
 
𝑢
→+(−
𝑣
→) 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre operações entre vetores, dados 
os vetores 
e 
𝑢
→=(2,6) 
𝑣
→=(5,3) 
 
, é correto afirmar que as coordenadas dos vetores resultantes de 
𝑢
→ +
𝑣
→ 
e são, respectivamente: 
 
(7,3) e (3,-9). 
(3,3) e (-7,9). 
(-3,3) e (7,-9). 
(7,9) e (-3,3). 
(-7,-3) e (9,3). 
 
 
 
 
PERGUNTA 3 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o módulo da resultante da soma 
entre os dois vetores, u e v, cujas componentes são dadas por u = (12, 5) e v = (-9, -1). 
4. 
25. 
3. 
5. 
16. 
 
PERGUNTA 4 
Dados três vetores 
 �⃗� 
 𝑣 
e �⃗⃗� 
 
 
, o resultado do produto misto entre eles é o resultado do cálculo do produto escalar entre 
 
 �⃗� 
 
e o vetor resultante do produto vetorial entre 
𝑣 
 e �⃗⃗� 
 
, ou seja, 𝑢. (𝑣. 𝑤) 
 
. O resultado de um produto misto, assim como o resultado do produto escalar, é um número 
real. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre produto misto, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. o produto misto é uma operação equivalente ao produto escalar, já que ambos resultam em 
um número real; 
II. ao realizar uma permutação entre os vetores, o resultado do produto misto tem seu valor 
invertido; 
III. o produto misto pode ser utilizado para o cálculo do volume de um paralelepípedo; 
IV. o resultado de um produto misto será igual a zero se os três vetores forem paralelos. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas os itens corretos. 
 
II e III. 
II, III e IV. 
I, III e IV. 
II e IV. 
I, II e III. 
 
PERGUNTA 5 
Sejam os pontos A = (-1, 0, 2), B = (1, 1, 1) e C = (1, 0, 1), vértices de um triângulo 
retângulo, assinale a alternativa que apresenta o produto escalar entre os vetores AB e 
BC desse triângulo. 
-1. 
0. 
1. 
3. 
4 
 
PERGUNTA 6 
 
Sendo A = (-1, 2, 3) e B = (1, -1, 9), extremidades de um segmento de reta orientado. 
Determine a alternativa que apresenta, o módulo do vetor, determinado por esses 
dois pontos. 
 
8. 
6. 
7. 
4. 
5. 
 
 
PERGUNTA 7 
 
Uma caixa de presente apresenta o formato de um paralelepípedo. Sabendo que suas 
medidas estão representadas pelos vetores u = (3, -1, 4), v = (1, 0, -1) e w = (2, -1, 0), 
determine o volume da caixa. Em seguida, assinale a alternativa correta que 
representa o resultado em unidades de volume. 
 
7 u.v 
-5 u.v 
10 u.v 
4 u.v 
5 u.v 
 
PERGUNTA 8 
 
Determine o volume do cubo mágico em que as dimensões estão determinadas pelos 
vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). 
 
4 u.v 
2 u.v 
1 u.v 
3 u.v 
6 u.v 
 
 
PERGUNTA 9 
Sendo A = (-1, 2, 3) e B = (1, -1, -3), extremidades de um segmento de reta orientado. 
Determine a alternativa que apresenta o módulo do vetor determinado por esses dois 
pontos. 
7. 
2. 
4. 9. 6. 
PERGUNTA 10 
Utilizando o princípio da determinação das coordenadas de um vetor por dois pontos 
e adição entre vetores, determine as coordenadas do vetor QP mais o vetor v, sabendo 
que: P= (1, 3, -3), Q= (-2, -1, 4) e v= (-1, 4, 0). 
Agora, assinale a alternativa que corresponde ao resultado. 
 
(4, 8, -7). 
(2, 1, 4). 
(2, 8, -7). 
(0, 7, -3). 
(-3, 4, -7). 
 
 
PERGUNTA 11 
 
Sendo os vetores u = (x + 1, 4) e v = (5, 2y - 6), determine os valores de x e y para que 
os vetores u e v sejam iguais. Em seguida, assinale a alternativa que corresponde ao 
resultado. 
 
x = 4, y = 5. 
x = 1, y = 5. 
x = - 4, y = - 6. 
x = 5, y = 4. 
x = 3, y = 5. 
 
 
PERGUNTA 12 
 
Um paralelepípedo é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional, que 
pode ser descrito como um hexaedro com três pares de faces paralelas, sendo cada 
uma dessas faces um paralelogramo. As suas arestas são segmentos de reta ligados 
pelos vértices das faces. Assim, observe a seguinte figura que exemplifica um 
paralelepípedo: 
 
 
Fonte: (SOUZA, 2020) 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as definições e tipos 
de vetores, analise as afirmativas a seguir sobre os vetores formados pelos vértices 
do paralelepípedo e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) 
II. ( ) 
 são coplanares; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
III. ( ) 
é ortogonal ao plano BCG; 
IV. ( ) 
 
F, V, F, V. 
F, F, V, V. 
V, V, F, F. 
V, V, V, F. 
V, F, V, F. 
 
PERGUNTA 13 
 
Apresente com base na forma algébrica, a resultante proposta. Para tal, utilize os 
vetores representados a seguir: 
 
 
 
 
(0, -2). 
(-3, -2). 
(1, -1). 
(2, -2). 
(1, - 2) 
 
PERGUNTA 14 
 
Duas estacas alinhadas, na mesma direção, estão localizadas, respectivamente, nos 
pontos A e B. A estaca A está localizada no ponto (7, 3, 4). A segunda estaca está 
situada no ponto B = (1, 0, 6). Qual seria a medida do segmento orientado, 
compreendido entre as duas estacas? 
 
7 unidades de comprimento. 
25 unidades de comprimento. 
5 unidades de comprimento. 
10 unidades de comprimento. 
20 unidades de comprimento. 
 
PERGUNTA 15 
 
Diante dos produtos que podem ser realizados entre vetores, utilize o mais adequado e 
determine um vetor que seja ortogonal aos vetores u e v ao mesmo tempo. Sendo u e v: u = (1, 
−1, 4) e v = (3, 2, −2). 
 
(5, -5, 3), apenas. 
(10, 2, 5), apenas. 
(-1, 1, 1), apenas. 
(- 6, 14, 5) 
(3, -3, 3) ou qualquer múltiplo desse vetor. 
 
 
ATIVIDADE DA UNIDADE 2 
PERGUNTA 1 
Imagine que você trabalhe na secretaria de trânsito de sua cidade. Foi solicitado um 
levantamento de quantos automóveis e quantos caminhões transitam em uma 
determinada avenida no decorrer do dia durante duas semanas. Dessa forma, você 
gera uma tabela semanal que controla o tráfego de veículos naquela via, assim, após 
duas semanas, que apresenta os seguintes dados:
 
 Para definirmos ao longo de duas semanas quantos carros e quantos caminhões 
transitaram na avenida, podemos utilizar os conceitos de soma de matrizes. Sendo 
assim, nosso primeiro passo nesta análise é separar a tabela em duas matrizes, A e B, 
2 x 2, sendo cada uma delas representativa dos dados obtidos em cada semana. 
Nestas matrizes, as linhas representam os dois tipos de veículos e as colunas 
representam os dois períodos dos dias: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre soma de matrizes e 
multiplicação escalar, analise os procedimentos a seguir e ordene-os de acordo com a 
sequência necessária de execução para terminar de resolver este problema: 
I. ( ) definir que a soma das matrizes deve se processar da seguinte maneira: A+ B= C; 
II. ( ) O resultado da soma das matrizes seráIII. ( ) para definir o valor do elemento c11 na matriz C, devemos prosseguir da 
seguinte forma: c11 = a11 + b11. 
IV. ( ) dispor os elementos calculados na matriz C, que é a nossa resposta. 
V. ( ) repetir para os demais elementos de C, o procedimento realizado para definir o 
elemento c11. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1, 3, 5 4, 2. 
1, 2, 3, 5, 4. 
1, 5, 2, 4, 3. 
5, 1, 4, 2, 3. 
5, 1, 4, 2, 3. 
 
PERGUNTA 2 
Determine a equação geral do plano, sendo o vetor normal resultante do produto 
entre os vetores u = (5, 4, 3) e v = (1, 0, 1). Depois, marque a alternativa correta. 
4x + 2y + 4z + d = 0. 
x – y – 4z + d = 0. 
4x – 2y – 4z + d = 0. 
x – y – 4z + d = 0. 
x – 2y – z + d = 0. 
 
 
PERGUNTA 3 
Assinale a alternativa que representa a equação geral do plano determinado pelos 
pontos A (-1, 2, 0), B (2, -1, 1) e C (1, 1, -1) (sugestão: produto vetorial). 
x + 5y + 3z – 7 = 0. 
4x + 5y + 3z - 6 = 0. 
x + y + z - 7 = 0. 
x + y + z - 7 = 0. 
4x + y + z - 6 = 0. 
 
PERGUNTA 4 
Vetores são tipos específicos de matrizes que possuem um papel muito importante 
dentro das aplicações em conceitos da álgebra linear, e servem para solucionar os 
mais diversos problemas matemáticos. Considerando essas informações e o conteúdo 
estudado sobre vetores, analise as afirmativas a seguir: 
I. Um vetor n x1, sendo n diferente de 1, pode ser interpretado como um tipo 
específico de matriz coluna. 
II. A transposta de um vetor linha (ou seja, 1x n) é um vetor coluna (ou seja, n x1). 
III. Vetores n x 1 com n ≠ 1 podem ser multiplicados por outros vetores do mesmo 
tamanho. 
IV. O determinante de vetores n x1 com n ≠ 1 é igual ao produto de todos os 
elementos contidos nele. 
V. A multiplicação de uma matriz qualquer por um vetor coluna resulta em um vetor 
coluna. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas verdadeiras. 
II e IV. 
III e IV. 
I, II e V. 
II e III. 
III e IV. 
 
PERGUNTA 5 
As equações de um objeto matemático são úteis para inúmeros fins, tais como: 
manipulações algébricas, identificação de objetos matemáticos e verificação de 
pertencimento de pontos. Essa última pode ser realizada com base, por exemplo, na 
equação simétrica da reta. Tome a reta r a seguir, definida por sua equação simétrica, 
como exemplo: 
 
 
 Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações simétricas, 
pode-se dizer que o ponto (0,0,0) pertence à reta porque: 
 
Correta: 
• ao substituir esse ponto na equação simétrica da reta, todos os termos da 
equação serão iguais. 
• esse ponto é utilizado para definir as coordenadas do vetor presente na equação 
paramétrica da reta 
• se trata de um vetor nulo, ou seja, um vetor com todas suas componentes sendo 0. 
• a partir desse ponto, é possível definir a equação paramétrica da reta em questão. 
• esse ponto refere-se às coordenadas do vetor que pertence a essa reta. 
 
PERGUNTA 6 
Utilizando a matiz ampliada de um sistema 3x3, apresente o vetor solução, 
utilizando o método de Eliminação de Gauss. 
 
Agora, assinale a alternativa correta. 
(1 0 -1). 
(1 1 1). 
(-1 1 1). 
(-2 1 1). 
(0 1 1). 
 
PERGUNTA 7 
De acordo com o que foi estudado sobre as retas e planos, apresente uma equação 
vetorial da reta que passa por A = (1, 2, 3) e é perpendicular ao plano π: 2x + y − z = 2. 
 
P = (1, 2, 3) + t . (2, 1, 1). 
P = (1, - 2, -3) + t . (2, 1, −1). 
P = (1, 1, 3) + t . (2, 1, −1). 
P = (1, 2, 3) + t . (2, 1, −1). 
P = (3, 2, 3) + t . (2, 1, −1) 
 
 
PERGUNTA 8 
Analise os seguintes itens e classifique a posição relativa de duas retas de acordo com 
os vetores diretores: 
1. Se o vetor de uma delas for igual a um múltiplo do vetor da outra; 2. Se e somente 
se, o conjunto de vetores (𝑟⃗ ,𝑠⃗ ,𝐴𝐵 ), sendo A pertencente a reta r e B pertencente a 
reta s, forem linearmente independentes, ou seja, se o determinante for diferente de 
zero; 3. Se, e somente se, forem coplanares (pertencerem a um mesmo plano) e não 
paralelas. 
( ) retas reversas; ( ) retas concorrentes; ( ) retas paralelas. 
Agora, de acordo com o que foi estudado sobre classificação de duas retas quanto a 
posição, assinale a alternativa que contém a sequência correta. 
 
3, 2, 1. 
3, 1, 2. 
2, 3, 1. 
1, 3, 2. 
1, 2, 3. 
 
PERGUNTA 9 
Dadas as matrizes A e B (representadas abaixo), determine os valores de m e n para 
que as matrizes sejam iguais. 
 
Agora, assinale a alternativa que contém a resposta correta. 
n = -6 e m = 5. 
n = 3 e m = 2. 
n = 3 e m = -6. 
n = 5 e m = -6. 
n = 8 e m = -6. 
 
PERGUNTA 10 
Os sistemas de Equações Lineares podem ser representados por um produto entre 
duas matrizes. Sendo assim, analise as proposições a 
seguir: 
I. a matriz produto é a matriz dos termos independentes do sistema. 
II. a matriz dos termos independentes representa as variáveis do sistema. 
III. uma das matrizes que faz parte da representação matricial do Sistema de 
Equações Lineares é a matriz das variáveis. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmações corretas sobre os 
sistemas de equações lineares 
 
I, II e III. 
II, apenas. 
I e III. 
III, apenas. 
I, apenas. 
 
 
PERGUNTA 11 
Analise a seguinte matriz: 
𝐴𝑋 = [
2𝑥 + 6𝑦
⋮ ⋱ ⋮
−5𝑥 + 4𝑦
] 
De acordo com os tipos especiais de matrizes, qual é o tipo de matriz representada 
acima? 
Matriz coluna. 
Matriz triangular inferior. 
Matriz triangular superior. 
Matriz identidade. 
Matriz linha. 
 
PERGUNTA 12 
As equações paramétricas de qualquer objeto matemático consideram um parâmetro 
de referência que pode reescrever todas as variáveis relacionadas àquele objeto. A 
equação paramétrica de uma reta em R³ pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 Considerando essas informações, o conteúdo estudado sobre as equações da reta e que a≠0, 
b≠0 e c≠0, explique a razão pela qual é possível delimitar a equação simétrica da reta. 
 
• O parâmetro x1 será positivo, possibilitando a determinação dos termos da equação 
simétrica. 
• O parâmetro t será positivo, possibilitando a determinação dos termos da equação 
simétrica. 
• Os termos que a compõem são linearmente dependentes. 
• Sua equação vetorial da reta é linearmente independente em relação aos seus termos. 
• Os denominadores dos termos da equação simétrica são diferentes de 0. 
 
PERGUNTA 13 
Considere as seguintes matrizes: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a definição e notações de 
matrizes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) 
falsa(s): 
I. ( ) o elemento a12 da matriz A é igual ao elemento b11 da matriz B. 
II. ( ) a matriz A apresenta três elementos nulos. 
III. ( ) a matriz A é uma matriz de ordem 3 x 2. 
IV. ( ) a matriz B é uma matriz de ordem 3 x 3. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
F, V, F, F. 
V, F, F, V. 
F, F, F, V. 
V, F, V, V. 
F, V, V, F. 
 
PERGUNTA 14 
Em um projeto de arquitetura, os objetos estavam registrados por meio das suas 
representações algébricas, como, por exemplo, o tampo de uma mesa. A mesma 
estava representada através de uma equação geral do plano. Nas informações 
constavam o ponto que passava o plano e o vetor normal ao mesmo. Determine a 
equação do plano presente nesse projeto, sabendo que P = (1, 2, 3) e o vetor u = 4i + 2j 
- 3k. Em seguida, assinale a alternativa correta. 
 
x + y - 3z + 9 = 0. 
4x + 2y - 3z + 3 = 0. 
x + 2y + 3z + 9 = 0. 
4x + 2y - 3z + 9 = 0. 
4x + y + 3z + 9 = 0. 
 
PERGUNTA 15 
Seja a matriz A de ordem 3, calcule o determinante de A: 
 
Agora, assinale a alternativa correta. 
156. 
276. 
90. 
216. 
60 
 
ATIVIDADE UNIDADE 3 
PERGUNTA 1 
Vetores foram gerados a partir do subespaço vetorial, M= {( x,y,z) R³/X=3Y e Z= - Y}.Apresente 
uma base para o subespaço S gerador. 
(-3, -1, -1) 
 (3, 1, -1) 
(3, 1, 1) 
(0, 1, -1) 
(3/2, 1, -1) 
 
PERGUNTA 2 
Os autovetores e autovalores, ocorrem em transformações no mesmo espaço vetorial. 
Dada atransformação linear do R² para o R², 
determine os autovetores e autovalores associados a 
 
 
A 
 
B 
 
C correta 
 
D Não existem 
 
E 
 
 
PERGUNTA 3 
Seja V um espaço de dimensão finita e T: V → W uma transformação linear, então, a dim N(T) 
+dim Im(T) = dim V. Sendo assim, determine a 
dimensão do núcleo da T: R³ → R², T (x, y, z) ={ x-z, 2x+y+3z} Em seguida, assinale a alternativa 
correta 
N(T)= 4 
N(T)= 1. 
N(T)= 2. 
N(T)= 0. 
N(T)= 3. 
 
 
PERGUNTA 4 
Seja V um espaço de dimensão finita e T: V → W uma transformação linear, então, a 
dim N(T) +dim Im(T) = dim V. Sendo assim, determine a 
dimensão da imagem do operador linear T: R³ →R², T (x, y, z) ={ x-z, 2x+ y+3z)Em 
seguida, assinale a alternativa correta. 
 
Im(T)= 1. 
Im(T)= 3. 
Im(T)= 2. 
Im(T)= 0. 
Im(T)= 4. 
 
 
PERGUNTA 5 
Sendo T uma transformação linear no plano R² R², e T(x,y)= (2x+y, x+4y), utilizando as 
ideias de autovetores e autovalores, apresente os autovalores associados a matriz da 
transformação. 
A- 𝜆 = −1𝑒𝜆 = 5 
B- 𝜆 = −1𝑒𝜆 = −5 
C- 𝜆 = −4𝑒𝜆 = 4 
D- 𝝀 = 𝟏𝒆𝝀 = 𝟓 
E- 𝜆 = 2𝑒𝜆 = 4 
 
PERGUNTA 6 
Uma imagem está sendo gerada no espaço R², por vetores pertencentes ao subespaço 
vetorial, S= {( x,y ) R²/ X + y = 0}. Apresente uma base para o subespaço S gerador. 
(1, 0) 
(1, 1) 
(1, -1) 
(0, -1) 
(-1, -1 
 
 
PERGUNTA 7 
Dado o vetor a= (4, 3) do R² , é uma combinação linear dos vetores 
c = (1, 1) e d= (0,1), com os escalares λ e K. Assinale a alternativa que apresenta a combinação 
correta λ c+ K d que escreve o vetor a. 
 
λ = 4 , K= 1 
λ = 4 , K= 3 
 λ= 4 , K= -1 
λ = 3 , K= -1 
λ = 3 , K= 4 
 
 
PERGUNTA 8 
Subespaços são subconjuntos contidos nos Espaços Vetoriais que atendem aos 
axiomas da adição e multiplicação por um escalar. Sendo assim, verifique se os 
subconjuntos a seguir são subespaços do Espaço Vetorial M2x2 e marque a alternativa 
correta: 
 
 
 
 
 
• S é subespaço de M 2x2 , mas W e T, não. 
• S e T não são subespaços de M 2x2 , mas W 
 sim. 
• S não é subespaço de M 2x2 , mas W e T, 
 sim. 
• S e W não são subespaços de M 2x2 , mas T 
• S , W e T são subespaços de M 2x2 . 
 
 
PERGUNTA 9 
Determine a transformação linear T: R² R³, tal que T(-1 , 1) = (3, 2, 1) e 
 T(0, 1) = (1, 1, 0).Assinale a alternativa correta. 
 
T(X, Y)= (-2X + Y, -X + Y, -X) 
T(X, Y)= (-2X, 2Y, -X) 
T(X, Y)= (X, -X + 2Y, -X + Y) 
T(X, Y)= (-2X, -2Y, -X) 
 T(X, Y)= (-2X, -X + 2Y, -X) 
 
PERGUNTA 10 
Sendo T uma transformação linear do espaço dos polinômios de grau, menor ou igual 
a 2, ou seja, . Com variável em x, definido em si por: 
T(1)= 1+x ; T(x)= 3-x² ; T(x²)= 4+2x - 3x². Determine T( 2-2x + 3x²). 
 
P= 8+8x -7x² 
P= 8+12x -7x² 
P = -6+8x -7x² 
P =2+8x -7x² 
P=6+8x -9x 
 
 
PERGUNTA 11 
Considere a transformação linear T: R 2 --> R 2 ,tal que T(1, 0) = (-1, 1) e T(0, 1) = (4, 2). 
Apresente a alternativa que representa, respectivamente, o Operador Linear de T e T(0,-3) 
nesse operador: 
 
T(x,y)=(-x, -x-2y), (5, 13) 
T(x,y)=(x +4y, x+2y), (12, -3) 
T(x,y)=(x, x-2y), (0, -6) 
T(x,y)=( - x +4y, x+2y), (-12,-6) 
T(x,y)=(x, x+2y),(0, -3) 
 
PERGUNTA 12 
O núcleo de uma transformação linear é um subconjunto contido no espaço vetorial, que é o 
domínio da transformação. Considerando as transformações T(x, y, z) = (2x-y, 3x-2y + z) e U(x, 
y, z) = (x+y-z, y-2z), determine o núcleo da transformação de T+U. Em seguida, assinale a 
alternativa correta. 
 
{(x, 0, 3x) / x ∈ R} 
{(-2x, 0, 3x) / x ∈ R} 
{(x, y, 3x) / x ∈ R} 
{(0, 0, 3x) / x ∈ R} 
{(x, 0, 2x) / x ∈ R} 
 
 
PERGUNTA 13 
Um engenheiro mecânico apresentou os vetores que representam as forças sobre uma 
determinada estrutura através da combinação linear dos vetores u= (1, 0, -1), v= (1, 2, 1) e t= 
(0,-1, 0) do R³. Sendo assim, marque a 
alternativa que mostra a combinação que demonstra que B= {(u, v, t)} é uma base do R³, ou 
seja, que escreve todos os vetores força através da combinação linear: 
 
m= (2X+ 2Y+2Z), n=(x-z)/2, p= (x+z)/2 
m=(x-z)/2, n=(x+z)/2, p=(2X- 2Y+2Z)/2 
m=x-z, n= x+z, p=(2X- 2Y-2Z)/2 
m= (2X+ 2Y+2Z), n=(x-z)/2, p= (x+z)/2 
m=x/2 , n= (x+z)/2, p =(2X+ 2Y+2Z) 
 
PERGUNTA 14 
Determine a transformação linear T: R² R³, tal que T(-1 , 1) = (3, 2, 1) e 
 T(0, 1) = (1, 1, 0).Assinale a alternativa correta. 
 
T(X, Y)= (X, -X + 2Y, -X + Y) 
T(X, Y)= (-2X + Y, -X + Y, -X) 
T(X, Y)= (-2X, 2Y, -X) 
 T(X, Y)= (-2X, -X + 2Y, -X) 
T(X, Y)= (-2X, -2Y, -X) 
 
PERGUNTA 15 
Qual a transformação linear T: R³ → R² tal que S(3,2,1) = (1,1), 
S(0,1,0) = (0,-2) e S(0,0,1) = (0,-1)? 
 
(-2y+ 5z, z) 
(-2y+x, y) 
(-z, -2y+5z) 
(z, -2y+5z) 
(-z, 2y+5z) 
 
PERGUNTA 16 
Determine uma base para o subespaço S= {(x,y,z) є R³/ y=2x}, e assinale a alternativa correta. 
 
{ (1, 1/2, 0),(0, 0, 1)} 
{ (1, 2, 1),(0, 1, 1)} 
{ (1, 2, 0),(0, 0, 1)} 
 { (1, 2, 0)} 
{ (0, 0, 1)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE UNIDADE 4 
PERGUNTA 1 
As parábolas são figuras geométricas advindas de uma interseção entre um plano e 
uma superfície cônica realizada de uma determinada maneira. Esse objeto geométrico 
possui diversas características particulares, tal como a existência de um vértice, foco, 
reta diretriz, um eixo ‘e’. Uma das principais características da parábola tem relação 
com a simetria. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da 
parábola, pode-se afirmar que existem duas características acerca da simetria na 
parábola porque: 
 
• AS equações que definem a reta diretriz e a parábola são simétricas, respeitando suas 
características. 
• A reta diretriz e o eixo ‘e’ são paralelos, logo, as simetrias se dão entre esses dois 
objetos matemáticos. 
• Os elementos referentes ao vértice e ao foco de uma parábola são simétricos, uma vez 
que a reta diretriz é paralela ao eixo ‘e’. 
• Uma se refere à distância entre os pontos e a reta diretriz e o foco; enquanto a 
outra se refere ao comportamento, tendo como referência o eixo ‘e’. 
• A distância focal de uma parábola é definida pelo parâmetro p de simetria geométrica. 
 
PERGUNTA 2 
O estudo das cônicas consiste em um estudo geométrico de interseções, sendo elas, 
figuras geométricas definidas pela interseção de um plano com um cone, por isso, 
possuem este nome. A elipse é um exemplo desse tipo de figura geométrica advinda 
dessa interseção, porém, ela não é a única. Existem equações algébricas para cada 
uma das formas geométricas pertencentes a essa classe de objetos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, pode-se 
afirmar que existem vários tipos de cônicas porque: 
 
• Os planos possuem equações bem definidas, diferentemente das superfícies cônicas 
em questão. 
• Uma superfície cônica pode se intersecionar com um plano de inúmeras 
maneiras. 
• Elas definem o mesmo objeto matemático, porém, em contextos geométricos 
diferentes. 
• As equações algébricas dessas figuras são bem definidas, sendo um critério abstrato 
que as diferenciam. 
• Trata-se de um critério arbitrário adotado pelos geômetras, que possui um sentido 
matemático prático. 
 
PERGUNTA 3 
As representações geométricas conhecidas como elipses são definidas, 
algebricamente, por algumas relações. Uma das possíveis relações que as definem 
refere-se à sua equação na forma reduzida. Porém, para se escrever a equação na 
forma reduzida, é necessário o conhecimento acerca dos valores de a e b. Tome como 
referência a equação da elipse de forma reduzida: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equação da elipse de 
centro na origem do sistema, pode-se encontrar a equação da forma reduzida de uma 
elipse com focos 
 
, tendo como tamanho do eixo maior 12, e centrada em (0,0), porque: 
 
• realiza-se um sistema de equações com x² e y², para que se determine os valores de a e 
b. 
• a partir desses dados, define-se os parâmetros a² = 36 e b² = 20, que são 
utilizados na equação da forma reduzida.• a partir desses dados, define-se os parâmetros x = 6 e y = 20, que são utilizados na 
equação da forma reduzida. 
• toma-se como base as razões de 
 
• como números inteiros, resultando em 1. 
 
• é possível encontra o valor resultando da operação entre todos os termos da forma 
reduzida, resultando em 15. 
 
 
PERGUNTA 4 
Uma superfície cônica pode ser secionada por um plano de diversas maneiras. Uma 
dessas maneiras é secionar a superfície cônica com o plano paralelo à reta geratriz do 
cone, dando origem a uma parábola. Essa representação geométrica possui 
características particulares, importantes para o estudo de Geometria Analítica. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da 
parábola, analise as afirmativas a seguir: 
I. A parábola possui uma característica de simetria com relação à distância. 
II. Existe uma reta diretriz que compõe a parábola. 
III. A parábola possui dois focos 
𝐹₁ e 𝐹₂ 
 
IV. O parâmetro p é definido com relação ao foco F da parábola. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. 
 
I, II e IV. 
I e II. 
I e IV. 
II e IV. 
I, III e IV. 
 
PERGUNTA 5 
As cônicas são representações geométricas que surgem de uma interseção do plano 
com uma superfície cônica. Em um contexto geométrico, a distinção entre as cônicas é 
efetuada de maneira simples, porém, em um contexto algébrico, é necessário um 
cuidado para avaliar de qual objeto está se tratando uma certa representação. 
Considere as equações reduzidas: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações da hipérbole de centro 
na origem do sistema, assinale a alternativa que explica que as representações tratam de 
objetos diferentes corretamente. 
 
• Os parâmetros a e b em cada uma das equações referem-se a parâmetros distintos. 
• Os objetos possuem naturezas distintas, sendo a primeira equação referente a uma 
elipse e a segunda a uma hipérbole. 
• A primeira equação refere-se a um objeto que tem como referência o eixo x, e outro 
que tem como referência o eixo y. 
• Os objetos possuem a mesma natureza geométrica, sendo a primeira equação 
referente a uma elipse e a segunda a uma hipérbole. 
• Ambos são objetos geométricos de mesma natureza, mas com posições 
geométricas distintas. 
 
 
PERGUNTA 6 
A interseção entre um plano e uma superfície cônica faz gerar outros tipos de objetos 
geométricos muito estudados na Geometria Analítica, por conterem particularidades 
representativas. Cada maneira que se varia o corte da superfície cônica pelo plano 
altera-se o objeto geométrico advindo desse corte, tal como suas características. 
Analise a representação da cônica a seguir, advinda dessa interseção geométrica 
supracitada. 
 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, afirma-se que essa 
representação geométrica se refere a uma elipse porque: 
 
• A figura geométrica formada está inscrita no cone, característica apresentada por uma 
elipse. 
• A reta geratriz do cone interseciona a figura geométrica supracitada, característica 
particular de uma elipse. 
• A área da figura formada pela interseção é equivalente à área dada pela superfície do 
sólido apresentado. 
• A interseção do plano com a superfície cônica, de maneira inclinada, dá origem a uma 
elipse. Caso fosse paralela, a base seria uma hipérbole. 
• O plano interseciona a superfície cônica em apenas uma de suas folhas, e não é 
paralelo à geratriz. 
 
 
PERGUNTA 7 
A elipse é uma representação que advém de uma seção de uma superfície cônica. Ela 
é um objeto algébrico muito importante, pois possui elementos fundamentais para o 
estudo de Geometria Analítica. Dois dos elementos que compõem uma elipse são seus 
eixos maiores e menores. A partir deles, é possível entender algumas particularidades 
desse objeto matemático. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a elipse, por qual razão 
pode-se afirmar que os eixos auxiliam no entendimento, por exemplo, de uma 
circunferência? 
 
• A circunferência e a elipse são figuras que têm os mesmos eixos quando secionadas 
por um plano. 
• Os eixos maiores e menores alteram a relação entre o perímetro de uma circunferência 
e sua área. 
• Os eixos auxiliam no cálculo da área da circunferência, o que torna o processo menos 
complexo. 
• Pode-se abstrair uma relação pitagórica que envolve os eixos maiores e menores e a 
área de uma circunferência. 
• Ela é uma representação geométrica que é um caso particular de uma elipse, 
envolvendo o tamanho dos eixos. 
 
 
PERGUNTA 8 
Uma elipse é uma figura geométrica que surge da interseção de um plano com uma 
superfície cônica. A definição algébrica de elipse considera num plano π dois pontos 
𝐹₁ e 𝐹₂ 
 , que distam 2c > 0 entre si, sendo a > c, e um ponto P pertencente ao plano π de tal 
modo que: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equação da elipse de 
centro na origem do sistema, assinale a alternativa que explica: por que 
 
 
também pode representar uma elipse? 
• É uma equação que mantém as condições estabelecidas na definição algébrica. 
• X e y resultam em números positivos, enquanto a e b referem-se a números inteiros 
negativos. 
• A razão entre as incógnitas x e y e seus respectivos denominadores resulta em um 
número positivo. 
• A, b e c são números reais, o que permite com que seja escrita dessa forma. 
• Os focos da elipse são alterados pela manipulação algébrica, mas mantêm suas 
características. 
 
 
PERGUNTA 9 
As hipérboles e elipses são representações geométricas distintas e isso fica evidente 
quando se observa os gráficos das duas representações. Algebricamente, esses 
objetos geométricos também se diferem. Eles possuem equações gerais distintas, 
mesmo tomando como base alguns parâmetros semelhantes e equações reduzidas 
distintas, apesar de muito parecidas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre hipérboles e elipses, as 
duas formas geométricas se distinguem, também, por sua origem geométrica? 
Assinale a alternativa que justifica corretamente. 
 
• Sua forma representativa é diferente, tal como um quadrado e uma circunferência se 
diferem. 
• São geradas por tipos diferentes de interseções dos planos com as superfícies 
cônicas. 
• Uma hipérbole é um caso particular de uma elipse, logo, a distinção se dá de maneira 
visual. 
• As funções que as descrevem são diferentes, por tratarem de parâmetros geométricos 
distintos. 
• O ângulo de inclinação de cada uma delas com relação ao plano xy é diferente. 
 
PERGUNTA 10 
A elipse é uma figura geométrica cônica muito estudada no campo da geometria 
analítica. Essa figura, como qualquer outra figura cônica, advém da interseção de um 
plano com uma superfície cônica. Ela contém alguns elementos particulares a ela, tais 
como: focos, distância focal, eixo maior, eixo menor, centro, vértices e segmento focal. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, afirma-se que 
se o plano intersecionasse a superfície cônica, paralelamente, à reta geratriz, a figura 
formada deixaria de ser uma elipse porque: 
 
• A equação do plano seria equivalente à do plano que secionasse a superfície cônica, 
perpendicularmente, à sua reta geratriz. 
• A reta geratriz definiria outra figura, diferentemente de uma superfície cônica. 
• A figura formada seria uma parábola, com características geométricas 
particulares diferentes. 
• Os eixos maiores e menores se encontrariam, definindo apenas um ponto pertencente 
ao plano e a superfície cônica. 
• O centro da elipse seria deslocado, de modo a perder as características particulares 
que a define. 
 
PERGUNTA 11 
Os objetos geométricos possuem diversas equações algébricas que os representam 
nos maisdiversos contextos. A parábola, por exemplo, possui algumas equações que 
descrevem seu comportamento, sendo ela centrada na origem. Tome como referência 
as duas equações parabólicas reduzidas: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as equações reduzidas 
da parábola, por que as parábolas representadas pelas equações supracitadas se 
diferem no contexto geométrico? 
 
• O foco da parábola da primeira equação está na parte negativa do eixo y, enquanto na 
segunda equação encontra-se na positiva. 
• A reta diretriz da primeira equação é paralela à parábola, enquanto na segunda 
equação ela é perpendicular. 
• A primeira equação descreve uma parábola sem simetria ao redor do eixo ‘e’, enquanto 
a segunda descreve uma parábola com simetria. 
• A primeira equação refere-se a uma parábola com concavidade voltada para 
cima, enquanto a segunda tem concavidade voltada para baixo. 
• A primeira equação trata de uma parábola sem foco, enquanto a segunda trata de uma 
parábola com foco. 
 
PERGUNTA 12 
A interseção de um plano com uma superfície cônica define algumas figuras 
geométricas conhecidas como cônicas, são elas: hipérboles, parábolas e elipses. Cada 
maneira singular que o plano seciona uma superfície cônica dá origem a cada uma 
dessas representações geométricas. Considere, a seguir, três representações 
algébricas dessas cônicas: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. O objeto geométrico da primeira equação tem seus focos no eixo x. 
II. A segunda equação refere-se a uma parábola. 
III. A primeira e a terceira equação referem-se ao mesmo objeto geométrico. 
IV. A segunda equação refere-se a um objeto com concavidade para baixo. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. 
 
I e IV. 
I e II. 
I, II e IV. 
II e IV. 
I, II e IV. 
 
PERGUNTA 13 
As hipérboles são representações cônicas que são geradas pela secção de uma 
superfície cônica por um plano, e esse plano, por sua vez, corta as duas metades do 
cone. Esse tipo de representação geométrica é descrito por determinados elementos 
matemáticos relevantes no contexto da Geometria Analítica, logo, é fundamental 
conseguir identificá-los. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da 
hipérbole, analise as afirmativas a seguir: 
I. Dois elementos importantes que compõe a hipérbole são seus focos. 
II. O eixo real de uma hipérbole tem relação com seu parâmetro a. 
III. A distância focal de uma hipérbole tem relação com seu parâmetro c. 
IV. A excentricidade de uma hipérbole assume valores reais sem restrições. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas verdadeiras. 
 
II e IV. 
I, II e IV. 
I, II e III. 
I e II. 
I e IV 
 
PERGUNTA 14 
Um dos objetos de estudo em Geometria Analítica são as figuras geométricas 
denominadas cônicas. Elas são representações geométricas advindas de um tipo 
especial de interseção. Quando um plano encontra uma superfície cônica, diz-se que 
são geradas as figuras geométricas cônicas, também conhecidas pelo nome de seção 
cônica. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, analise 
as afirmativas a seguir: 
I. A elipse é um dos tipos de seção cônica. 
II. A hipérbole é um dos tipos de seção cônica. 
III. A parábola é um dos tipos de seção cônica. 
IV. O quadrado é um dos tipos de seção cônica. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. 
 
I e II. 
I, II e III. 
I e IV. 
I, II e IV. 
II e IV. 
 
PERGUNTA 15 
Quando um plano interseciona uma superfície cônica, e ele o faz de uma maneira que 
passa apenas por uma das folhas e não paralelamente à geratriz do cone, temos uma 
figura geométrica de nome elipse. É importante estudar esse tipo de representação 
algébrica, pois ela é definida por alguns elementos particulares que são muito úteis no 
estudo da Geometria Analítica. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a elipse, analise as 
seguintes afirmativas e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Dois elementos importantes que compõem a elipse são seus focos. 
II. ( ) A excentricidade de uma elipse é dada na forma 2a. 
III. ( ) A distância entre os dois focos de uma elipse é igual a 2c. 
IV. ( ) A expressão algébrica de uma elipse possui forma reduzida. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
F, V, F, V. 
V, F, V, V. 
V, F, F, V. 
V, V, F, V. 
V, V, F, F.