Gráficos de qualidade

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CONTROLE ESTATÍSTICO DECONTROLE ESTATÍSTICO DE
QUALIDADEQUALIDADE
GRÁFICOS DE QUALIDADEGRÁFICOS DE QUALIDADE
Au to r ( a ) : M e . E n g . J e r r y M e n d e l s k i
R ev i s o r : J a i ro M u l l e r Wo l f
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 19 minutos.
Introdução
Olá, estudante! Neste material, convido você a conhecer um pouco mais sobre Grá�cos de
Qualidade .
Historicamente conseguimos identi�car que, certa vez, o imperador e �lósofo chinês Confúcio
proferiu a célebre frase “uma imagem vale mais que mil palavras”.
Cada vez mais tal situação é considerada e identi�cada como válida, e também reforça a condição
de que, em áreas técnicas, a visualização e a consequente análise a ser realizada por intermédio de
um grá�co representam uma forma de percepção melhor do que um texto inserido em um relatório.
Dessa forma, convido você a embarcar nesta jornada de estudos, que contribuirá de forma ampla
para a sua formação. Bons estudos!
O objetivo da análise de conglomerados, também conhecida como análise de agrupamentos ou de
cluster, é particionar um conjunto de dados em grupos que são internamente homogêneos e
externamente distintos, ou seja, segmentar ou agrupar em grupos menores (subgrupos). A
classi�cação é realizada com base em uma medida de similaridade ou dissimilaridade dentro e
entre os grupos.
Ainda nesse sentido, autores como Lozada (2017) e Ramos, Almeida e Araujo (2013) especi�cam
que a utilidade dos grá�cos de controle já rompeu os limites dos processos produtivos fabris e
Outros Gráficos de
Controle – CUSUM e
EWMA
representam uma utilidade muito grande nos chamados processos administrativos.
Nessa mesma linha de raciocínio, Montgomery (2009) estabelece que os grá�cos de controle  não
possuem memória; assim, o grá�co do tipo Shewhart pode ser considerado relativamente insensível
a pequenas mudanças estabelecidas no processo, desde que se observe a ordem de 1,5 σ erro-
padrão ou menos.
Conforme Hair et al. (2009), para realizar uma análise de cluster cuidadosa, são necessários
métodos com as seguintes características:
Limite de controle superior (LCS).
Limite de controle inferior (LCI).
Linha central (LC).
Podemos evidenciar que um grá�co de controle é uma sequência de testes de hipóteses. Samohyl
(2009) salienta que o chamado alarme falso está associado a uma rejeição da hipótese nula (H0)
verdadeira. De outra forma, a aceitação da hipótese alternativa (H1) estabelece a condição de um
processo não estável.
Figura 2.1 - Grá�co de controle em formato conceitual
Fonte: Adaptado de Samohyl (2009).
#PraCegoVer : a imagem mostra um grá�co de controle estabelecido conceitualmente. No eixo X, há a
identi�cação das amostras, sendo de 0 a 25; e no eixo do Y, a classi�cação das estatísticas de teste, que
compreendem valores de 15 a 35. Da mesma forma, no corpo do grá�co, na parte superior, há uma linha
tracejada que representa o LCS e, na parte inferior, uma linha tracejada que representa o LCI. Entre essas
linhas, existem pontos distribuídos e que são ligados por outras linhas.
Os alarmes falsos são identi�cados como NMA0, fazendo menção à H0, assim como os alarmes
verdadeiros de NMA1 referenciam H1. Nos grá�cos de Shewhart, que possibilitam o monitoramento
da média de um processo que possua uma característica mensurável identi�cada como X, o NMA0
(alarme falso) é obtido por meio desta expressão matemática:
Em termos de características, os grá�cos EWMA e CUSUM propõem a detecção de diferenças
menores, sem que haja perda de e�ciência. Assim, eles determinam que a decisão a respeito do
estado do controle estatístico do processo é estruturada com base na informação acumulada e
proveniente das diversas amostras anteriores, e não somente da última. Podemos, então, sinalizar
os pequenos ajustes com mais rapidez, obtendo assim uma condição de razoável acurácia no
momento em que ocorre desvio no processo.
Com relação à praticidade, é muito mais fácil utilizar quaisquer grá�cos, em função das inúmeras
ferramentas e dos softwares estatísticos que hoje estão disponíveis no mercado. Por outro lado, tal
facilidade não veio acompanhada do conhecimento necessário para utilização, considerando-se
para isso a necessidade de aperfeiçoamento e conhecimento dessas novas ferramentas digitais.
Gráfico CUSUM
A maneira tradicional de detectar uma situação fora de controle e, portanto, um possível desvio do
valor nominal é utilizando critérios de tendências, ou run-test , no contexto dos grá�cos de
Shewhart. Esses grá�cos não acumulam as informações das amostras anteriores, mas, por meio
dos testes de sequência, fazem uso dos valores amostrais plotados sucessivamente para uma
tomada de decisão.
De forma geral, o Código de Nuremberg estabeleceu que nenhum ser humano poderia ser
submetido a projetos de pesquisa sem o seu devido consentimento, sendo o primeiro documento a
ter alcance internacional, por conta, principalmente, do repúdio da comunidade internacional quanto
aos crimes cometidos no período nazi-fascista (PALÁCIOS; REGO; SCHRAMM, 2009).
A necessidade de regulamentação de pesquisas em seres humanos, para proteger seus
participantes, e o desejo do corpo médico ter sua própria regulamentação foram motivações para a
criação da Declaração de Helsinque, a qual foi aprovada pela Associação Médica Mundial, e cuja
primeira versão é de 1964 (PALÁCIOS; REGO; SCHRAMM, 2009).
Conforme Samohyl (2009), os grá�cos CUSUM, apesar de serem mais sensíveis que os grá�cos do
tipo Shewhart para pequenas alterações na média, são pouco difundidos e não são muito utilizados
pelas indústrias no Brasil.
Em 1988, o Conselho Nacional de Saúde (CNS) do Brasil estabeleceu normas que tratam da ética
em pesquisa com seres humanos e, em 10 de outubro de 1996, aprovou as diretrizes/normas que
regulamentam pesquisas com seres humanos, denominada Resolução 196/96 (PALÁCIOS; REGO;
SCHRAMM, 2009).
A Resolução 196/96 estabeleceu princípios básicos para permitir apreciação da ética em
protocolos de pesquisa, criando os Comitês de Ética em Pesquisa (CEP) e a Comissão Nacional de
NM =A0
1
α
Ética em Pesquisa (Conep). O conteúdo da resolução incorpora as experiências históricas da
regulamentação sobre ética em pesquisa, principalmente com base no Código de Nuremberg
(1947), na Declaração dos Direitos Humanos (1948), na Declaração de Helsinque (desde a primeira
versão de 1964), nas Diretrizes Internacionais para a Revisão Ética de Estudos Epidemiológicos e
nas Diretrizes Éticas Internacionais para Pesquisas Biomédicas Envolvendo Seres Humanos, assim
como em conteúdos de leis promulgadas após a aprovação da Constituição de 1988 (PALÁCIOS;
REGO; SCHRAMM, 2009; NOVOA, 2014).
Fonte: Tatiana Filimonova / 123RF.
#PraCegoVer : o infográ�co é estático e apresenta uma linha vertical ao centro na cor ciano. Ao longo
dessa linha, há vários ícones de indicação coloridos, em formato de círculo e com uma ponta que sai para
a lateral e aponta para as informações de texto. Do lado esquerdo, há nove caixas retangulares em azul-
claro com informações de texto, e, do lado direito, há oito. Ao todo, são dezessete caixas retangulares de
texto. A primeira, do lado esquerdo, apresenta o seguinte texto: “Barnard (1959) descreveu um método
grá�co, designado por Máscara V, que permite, por inspeção dos pontos representados no grá�co CUSUM,
decidir se ocorreu, ou não, um desvio no valor médio desejado para o processo”. A segunda, do lado
direito, contém o texto: “Johnson e Wichern (2007) apresentaram os princípios matemáticos para a
construção do grá�co CUSUM, utilizando-os a �m de diagnosticar estatísticas de variabilidade do
processo (variância e amplitude)”. A terceira, do lado esquerdo, apresenta o texto: “Ewan (1963) fez um
esboço de vários esquemas de controle grá�co e do tipo de processo para os quais os grá�cos CUSUM
são mais apropriados”. A quarta, do lado direito, contém o texto: “Bissel (1969), ao considerar o método
CUSUM e sua relevância para o controle de qualidade, propôs extensões da técnica a �m de facilitarsua
aplicação em situações práticas”. A quinta, do lado esquerdo, apresenta o texto: “Goel e Wu (1971)
apresentaram expressões simpli�cadas das equações integrais sugeridas por E.S.Page (1954), bem como
o sistema de equações algébricas lineares que fornece estimativas da probabilidade e do número de
amostras consideradas num determinado teste, quando a média do processo é, normalmente, distribuída”.
Já a sexta, do lado direito, apresenta o seguinte texto: “Brook e Ewans (1972) introduziram o método das
Cadeias de Markov como um procedimento de aproximação simples a �m de examinar as propriedades
Samohyl (2009) estabelece que o grá�co de soma acumulada (CUSUM) é um aprimoramento do
grá�co de controle X de Shewhart, este, de�nido como sendo a forma de monitoramento da média
 de um processo especí�co cuja característica de qualidade de interesse X é uma grandeza
mensurável representada. Assim sendo, o CUSUM é o mais apropriado para se reconhecer o
histórico dos dados, característica ausente em grá�cos mais simples, e também para identi�car
pequenas alterações nos processos muito antes dos alarmes dos grá�cos X, considerados como
LSC e LIC.
Especi�camente no grá�co CUSUM, a decisão sobre o estado do processo é baseada na
informação acumulada de diversas amostras, e não apenas na última delas. Acumulando, dessa
forma, a pequena evidência que cada amostra fornece do estado do processo, consegue-se maior
rapidez na sinalização de pequenos desajustes (COSTA; EPPRECHT; CARPINETTI, 2009).
Operacionalmente o grá�co de controle CUSUM plota as somas acumuladas dos desvios das
medidas da amostra em relação a um valor-alvo. Nesse sentido, essas condições são
compreendidas por meio da expressão matemática:
do grá�co CUSUM”. A sétima, do lado esquerdo, apresenta o texto: “Goel e Wu (1973) apresentaram um
procedimento para o projeto econômico do grá�co CUSUM com o intuito de controlar a média de um
processo com as características de qualidade normalmente distribuídas”. A oitava, do lado direito, possui
o texto: “Lucas (1973, 1976) propôs uma modi�cação na máscara V, tornando-a parabólica em seu vértice
com a �nalidade de melhorar o desempenho do grá�co CUSUM”. A nona, do lado esquerdo, possui o texto:
“Reynolds (1975) apresentou uma aproximação do número necessário de amostras para que o grá�co
CUSUM sinalize pontos fora de controle”. A décima, do lado direito, apresenta o seguinte texto: “Hawkins
(1981) apresentou uma técnica para controle da variabilidade, empregando o mesmo procedimento do
grá�co CUSUM usado para a média”. A décima primeira, do lado esquerdo, contém o texto: “Lucas e
Crosier (1982) defenderam a implementação do procedimento de Resposta Inicial Rápida (FIR - Fast Initial
Response ) nos projetos de grá�co CUSUM, com o intuito de controlar o valor médio, melhorando a
sensibilidade do grá�co no início do processo ou após o grá�co CUSUM sinalizar um sinal fora de
controle”. A décima segunda, do lado direito, contém o texto: “Lucas (1982) mostrou que o procedimento
combinado CUSUM-Shewhart é bastante sensível a grandes e pequenas mudanças e é praticamente
equivalente à utilização de máscaras parabólicas nos grá�cos CUSUM”. Na décima terceira, do lado
esquerdo, temos: “Woodall (1985) apresentou um método de projeção dos grá�cos de controle de
qualidade, com base no seu desempenho estatístico, a partir de valores dos parâmetros especi�cados nas
regiões dentro e fora de controle”. Na décima quarta, do lado direito, há o seguinte texto: “Vance (1986)
desenvolveu um programa computacional de cálculo do número de amostras necessário para o grá�co
CUSUM sinalizar o primeiro sinal fora de controle”. A décima quinta, do lado esquerdo, apresenta o
seguinte texto: “Hawkins (1981) sugeriu um procedimento simples, mas bastante preciso, para o cálculo
do ARL, o qual é baseado em uma equação de aproximação”. A décima sexta, a última do lado direito,
apresenta o texto: “Crowder et al . (1997) apresentaram duas alternativas para a detecção da existência de
um pequeno desvio do valor nominal, em uma delas, eles propõem a modi�cação do intervalo de amostra
e, na outra, o acúmulo das informações das amostras coletadas sucessivamente”. Por �m, a décima
sétima, a última do lado esquerdo, apresenta o texto: “Hawkins e Olwell (1998), mediante o livro
‘Cumulative Sum Charts and Charting for Quality Improvement’, propõem os grá�cos de controle CUSUM
como ferramentas essenciais para o pro�ssional da qualidade descobrir e diagnosticar trocas persistentes
de um processo. Neste livro, os grá�cos CUSUM, além do Controle Estatístico de Processos, são
focalizados como ferramentas valiosas à administração de pessoal e à análise de dados convencionais”.
μ
Apesar de a eticidade e a cienti�cidade da pesquisa cientí�ca, em especial, daquela realizada com
seres humanos, serem aspectos que caminham juntos, não cabe aos Comitês de Ética em Pesquisa
(CEP) a emissão de pareceres sobre a metodologia utilizada no desenvolvimento dos estudos
(NOVOA, 2014).
.
Em termos de resposta, podemos considerar que um processo é identi�cado como sendo sob
controle quando a soma de Si oscila em torno de zero.
Por outro lado, se percebermos que o valor de Si possa tender a um crescimento, isso indica que os
valores observados no processo são maiores do que o valor-alvo 3.
De forma análoga, também é possível a�rmar que se a condição do Si tender a �car negativa, a
média do processo está abaixo do valor especi�cado como alvo.
Não existem sistemas de medição que possam ser classi�cados como ideais. Dessa forma, é
atribuição direta dos engenheiros de�nir e implantar sistemas de medição que apresentem
propriedades estatísticas consideradas adequadas.
Na qual:
A pesquisa epidemiológica tem por base a coleta sistemática de dados sobre eventos associados,
principalmente, à saúde das pessoas pertencentes a populações de interesse. O tratamento
analítico dado aos fatores pesquisados tem base em três procedimentos, a saber, a mensuração de
variáveis aleatórias, a estimação de parâmetros populacionais e o uso de testes estatísticos
(BLOCH; COUTINHO, 2009).
Para Hawkins e Olwell (1998), a carta de controle CUSUM acumula valores até a detecção de uma
situação fora de controle. O número de leituras desde o momento zero até um intervalo de decisão
ser cruzado se chama comprimento de corrida ( run lenght ). Ainda segundo os autores, existe uma
possibilidade de que o CUSUM sinalize um processo fora de controle quando nenhuma mudança
ocorreu. Em um teste de hipóteses clássicas, essa situação é análoga a um erro tipo I (se a hipótese
H0 for verdadeira e não rejeitada ou falsa e rejeitada). Da mesma forma, a carta de controle pode
permanecer dentro de seus limites mesmo na ocorrência de uma causa especial, em situação
análoga a um erro tipo II (se a hipótese H0 for rejeitada, sendo verdadeira, ou se não for rejeitada,
sendo falsa, a decisão estará errada).
= ( − )Sn ∑
i=1
n
xi μ0
= M dia dos valores.μo é
=  V alor no ponto espec ficoxi í
Si − +=xi μ0 Si−1
= Soma no ponto i.Si
= V alor da amostra no ponto i.xi
= Soma no ponto anterior.Si−1
Grá�ico CUSUM Tabular
O grá�co de controle CUSUM tabular utiliza um procedimento que calcula as somas acumuladas
negativas e positivas e as compara com um limite de controle h, sendo que h representa o número
de desvios-padrão entre a linha central e os limites de controle. Esse procedimento pode ser
utilizado tanto para o monitoramento da média de observações individuais quanto para o
monitoramento da média de subgrupos racionais.
Existem vários métodos para a construção de um grá�co de controle CUSUM tabular; no entanto,
podemos ressaltar a metodologia de�nida por Montgomery (2009).
Especi�camente, sendo consideradas para cada Xi as respectivas observações do processo
controlado, em relação às chamadas premissas básicas, podemos supor que os dados coletados
(observações Xi) seguem distribuição normal, com média µo e desvio-padrão σ.
O CUSUM tabular é um procedimento que faz duas somas individuais, unilaterais:1. ➢ Uma para valores acima do alvo.
Figura 2.2 - Exemplo de carta de controle CUSUM
Fonte: Adaptado de Ryan (2011).
#PraCegoVer : a imagem mostra um grá�co CUSUM, cujo eixo X representa o número de amostras, que
vão de 1 até 19. O eixo do Y representa as variações, que vão de -5,0 até 7,5. No corpo do grá�co, na parte
inferior, há uma linha horizontal que representa o limite inferior e, na parte superior, uma linha horizontal
que representa o limite superior. Ao longo do grá�co são marcados os respectivos pontos que são ligados
por linhas.
2. ➢ Outra para valores abaixo do alvo.
A seguir, é realizada a comparação com o respectivo intervalo de decisão H. Caso uma das somas
seja maior que o valor H, o processo é dito fora de controle estatístico. As somas unilaterais são
descritas nas equações abaixo:
Nas quais:
= somas unilaterais.
= somas unilaterais no ponto anterior.
K = valor de referência ou de folga.
O valor K, chamado de valor de referência ou de folga, é um amortecimento para as somas
unilaterais, pois, se o valor Xi observado encontrar-se ao redor de a uma distância menor que K,
ele não é considerado para a soma, atribuindo-se valor zero a seu desvio. O valor de K é
normalmente escolhido como a metade do desvio que se deseja detectar; o valor de H, o intervalo
de decisão, é normalmente atribuído em números de desvio-padrão.
Os valores iniciais + Ci e − Ci são arbitrariamente iguais a zero. Se, ao longo dos cálculos, for
encontrado um valor negativo para + Ci, então é necessário substituí-lo por zero.
Da mesma forma, se, ao longo dos cálculos, for encontrado um valor positivo para − Ci, é necessário
também substituí-lo por zero, sendo X i a observação controlada no tempo i; µ o é a média da
amostra e K é um valor de referência (valor de compensação ou folga) e é aproximadamente a
metade do valor que se tem interesse em detectar rapidamente.
Assim, se a mudança é expressa em unidades de desvios-padrão quando µ1 = µ o, então K
representa a metade da magnitude desta mudança, ou seja:
Sendo δ o tamanho da mudança que se deseja detectar em unidades de desvios-padrão; σ, o desvio-
padrão; µo, o valor pretendido; e µ1, o valor da média fora de controle. O fator de sensibilidade K
está diretamente relacionado à magnitude da variação que desejamos detectar com o grá�co
CUSUM. Quanto menor esse fator, menor será a faixa de variação que o grá�co poderá detectar e
maior será a sensibilidade do grá�co.
O grá�co CUSUM tabular é projetado com base na escolha de valores razoáveis para o intervalo de
decisão H e o valor de referência K. Estudos são realizados para a análise do desempenho do ARL;
este, por sua vez, refere-se ao comprimento médio de corrida, que representa o número médio de
= m x [0, − ( + K) + ]C+
i á Xi μ0 C+
i−1
= m x [0, ( − K) − + ]C−
i á μ0 Xi C+
i−1
 e C+
i C−
i
= valor do X no ponto i.Xi
= valor da m dia inicial.μ0 é
 e C+
i−1 C−
i−1
μ0
K = =
δ
2
σ
n−−√
| − |μ1 μ0
2
amostras necessário para detectar uma mudança após ela ter ocorrido no processo, ou seja,
quantas amostras são necessárias até que o grá�co de controle sinalize que o processo está fora
de controle. Em um grá�co CUSUM, é recomendado que esses parâmetros sejam selecionados para
produzir um bom ARL.
A escolha do valor para K nem sempre é uma tarefa fácil. Para obtermos um grá�co CUSUM
adequado, é importante selecionar valores razoáveis para K e para os limites de controle.
Montgomery (2009) recomenda que o melhor modelo matemático para selecionar esses valores
são as equações a seguir:
Nelas, k é uma constante (frequentemente usa-se k = 0,5); h, uma constante (frequentemente h = 4
ou h = 5); e σ é o desvio-padrão dos dados. Os valores mencionados para k e h são usados com
frequência, pois produzem um grá�co CUSUM que tem boas propriedades do ARL, com uma
mudança de cerca de 1 σ na média do processo, conforme tabela abaixo:
K = k
σ
n−−√
H = h   LSC
σ
n−−√
H = −h   LIC
σ
n−−√
Mudança na média h = 4 h = 5
0 168 465
0,25 74,2 139
0,50 26,6 38,0
0,75 13,3 17,0
1,00 8,38 10,4
1,50 4,75 5,75
2,00 3,34 4,01
2,50 2,62 3,11
3,00 2,19 2,57
4,00 1,71 2,01
Tabela 2.1 - Desempenho de ARL do grá�co CUSUM tabular com k = 0,5, h = 4 e h = 5
Fonte: Montgomery (2009, p. 34).
#PraCegoVer : a imagem apresenta uma tabela com os valores de desempenho de ARL. Na
coluna 1, estão inseridos os valores da mudança da média, sendo, na linha 2, o valor de zero; na
linha 3, o valor de 0,25; na linha 4, o valor de 0,5; na linha 5, o valor de 0,75; na linha 6, o valor de
1,00; na linha 7, o valor de 1,50; na linha 8, o valor de 2,00; na linha 9, o valor de 2,50; na linha 10,
o valor 3,00; na linha 11, o valor de 4,00. A coluna 2 traz os valores referentes a h = 4, na qual a
linha 2 representa o valor de 168; a linha 3, o valor de 74,2; a linha 4, o valor de 26,6; a linha 5, o
valor de 13,3; a linha 6, o valor de 8,38; a linha 7, o valor de 4,75; a linha 8, o valor de 3,34; a linha
9, o valor de 2,62; a linha 10, o valor de 2,19; a linha 11, o valor de 1,71. Na coluna 3 há a
representação dos valores de h = 5, sendo, na linha 2, o valor de 465; na linha 3, o valor de 139;
na linha 4, o valor de 38; na linha 5, o valor de 17; na linha 6, o valor de 10,4; na linha 7, o valor
de 5,75; na linha 8, o valor de de 4,01; na linha 9, o valor de 3,11; na linha 10, o valor de 2,57; na
linha 11, o valor de 2,01.
O ARLo com k = 0,5 para h = 4 e h = 5 é de 168 e 465 amostras, respectivamente. Se usarmos h =
4,77, por exemplo, teremos um grá�co CUSUM com ARLo para o grá�co de Shewhart com limites
usuais de 3 σ. Uma vez selecionado, escolhe-se h para dar o desempenho desejado de ARLo dentro
do controle. Vale ressaltar que o ARLo representa que, se o processo se mantiver sob controle um
sinal fora de controle, ocorrerá em seguida uma quantidade especí�ca de amostras, em média.
Gráfico EWMA
Assim como o CUSUM, o grá�co de controle EWMA também é capaz de detectar pequenas
variações no processo, além de sua construção ser menos complexa. O grá�co pondera os valores
de tal forma que as informações mais atualizadas tenham um peso maior que as informações mais
remotas.
Assim, os grá�cos EWMA, desenvolvidos por Roberts em 1957, são especialmente efetivos para
detectar pequenas mudanças na média do processo que está sendo analisado.
Segundo Wieringa (1999), o método EWMA apresenta-se como uma maneira prática de
acompanhar processos industriais; portanto, o �ltro EWMA será utilizado como ferramenta de
controle de duas formas:
Sendo um processo que armazena os dados em um banco de dados e posteriormente
expressa o grá�co de controle
Como meio de acompanhar processos industriais em tempo real, como preditor de nível do
processo.
O grá�co de controle EWMA apresenta a constante l (peso da amostra), além das constantes k
(número de desvios-padrão da média de controle que se quer detectar como variação aleatória) e n
(tamanho da amostra) do grá�co de controle Xbarra de Shewhart. De acordo com Costa, Epprecht e
Carpinetti (2009) e Montgomery (2009), o grá�co EWMA foi proposto com o objetivo de detectar
menores diferenças como variação especial sem perda de e�ciência. Assim, para o grá�co CUSUM
tabular da média, é importante estimar a relação entre os valores das constantes k* (valor de
referência padronizado), h* (intervalo de decisão padronizado) e n (tamanho da amostra) do grá�co
com as estimativas dos alarmes falso e verdadeiro.
Tabela 2.2 - Constantes avaliadas pelo tipo de grá�co
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma tabela com os valores das constantes a serem
atribuídas aos tipos de grá�co de controle existentes. A tabela é composta de duas colunas e
quatro linhas; na linha 1 da primeira coluna lê-se grá�co; na linha 2 da primeira coluna lê-se
Xbarra; na linha 3 da primeira coluna lê-se EWMA; na linha quatro da primeira coluna lê-se
CUSUM. Na segunda coluna, linha 1, lê-se constantes; na segunda coluna, linha 2, lê-se k e n; na
segunda coluna, linha 3, lê-se k, e n; e na segundacoluna, linha 4, lê-se K*, h* e n.
Grá�co Constantes
Xbarra k e n
EWMA k, , n
CUSUM k*, h* e n
λ
λ
Diferentemente dos grá�cos de Shewhart, que levam em consideração apenas o momento atual
para veri�car a estabilidade, o EWMA utiliza os valores anteriores como parte da análise. Para tanto,
é construída a estatística zt atribuindo-se um peso λ para a amostra atual, que é então somada a
todos os valores previamente calculados, os quais terão peso (1- λ), conforme a seguinte expressão
matemática:
Na qual:
Zt = valor da estatística.
 = constante de amortecimento.
Zt-1 = valor da estatística ponto anterior.
Xt = variável.
O peso λ deve estar entre 0 e 1, sendo que, quanto mais próximo de 1 estiver, maior importância
será dada para os valores mais recentes.
Valores usuais de λ para controle estatístico estão na faixa de 0,05 e 0,25 (MONTGOMERY, 2009;
STEINER, 1999).
Segundo Montgomery (2009), o EWMA pode ser visto como uma média ponderada dos valores
passados e do atual, fazendo com que o grá�co seja direcionado à demonstração e às observações
individuais.
A escolha pela carta de controle da Média Móvel Ponderada Exponencialmente (Exponentially
Weighted Moving Average – EWMA) é indicada quando se deseja detectar pequenos
deslocamentos na média do processo. Embora o uso do grá�co seja mais comumente feito com
observações individuais, ele pode também ser empregado para médias, plotando-se valores da
estatística Y.
Na qual:
Y1 = valor da estatística Y.
 média ponto i.
Yi-1 = valor da estatística anterior.
Os limites são estabelecidos pela expressão matemática a seguir:
Na qual:
= λ + (1 − λ) , 0 < λ < 1,  t = 1, 2, . . . .Zt xt Zt−1
λ
= λ + (1 − λ)Y1 Xi−−
Yi−1
=Xi−−
LC = ± kμ0 σX
−
( )λ
2 − λ
− −−−−−−−
√
0< λ ≤ 1 e Y0 = μ0.
k = coe�ciente de abertura dos limites.
= desvio-padrão do processo.
Para baixos valores de λ, menores que 0,25, o grá�co detecta pequenos desajustes com maior
rapidez, fazendo com que dados históricos tenham peso grande no cálculo de Yi. Inversamente,
valores altos de λ fazem com que a última observação tenha o maior peso no cálculo de Yi.
A estatística EWMA não é empregada apenas para monitorar um processo e detectar a presença de
causas atribuíveis que resultem em mudança no processo. Ela pode ser aplicada para fornecer uma
previsão de onde estará a média do processo no próximo intervalo de tempo (MONTGOMERY,
2009). Ou seja, zi é uma previsão do valor da média no processo i + 1; logo, a equação pode ser
modi�cada se considerarmos zi−1 como previsão da média do processo no período i, denominando
o erro de previsão como sendo xi − zi−1. Logo, temos a expressão matemática de�nida abaixo:
Utilizando os valores de λ para ponderar o erro no tempo i, pode-se chegar à modi�cação
demonstrada na equação matemática:
Segundo Montgomery (2009), ao utilizar a estatística EWMA e zi como uma previsão da média do
processo no tempo i + 1, deve-se plotar o grá�co um período à frente, devido à necessidade de
visualizar quanta diferença existe entre a observação corrente e a estimativa.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
O grá�co “não possui memória”; assim, o grá�co do tipo Shewhart pode ser considerado
relativamente insensível a pequenas mudanças estabelecidas no processo, observando-se para
isso a ordem de 1,5 σ (erro-padrão) ou menos.
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade . 4. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2009.
σ
= + λZi Zi−1 ei
= + + + △Zi Zi−1 λ1e1 λ2∑
j=1
i
ej λ3 ei
Com relação aos objetivos principais dos grá�cos de EWMA e CUSUM, identi�que, das opções a
seguir, a que se estabelece como verdadeira:
a) EWMA e CUSUM foram propostos com o objetivo de detectar as maiores diferenças
onde a base dos dados e das informações é proveniente de observações isoladas e
pontuais.
b) O grá�co CUSUM pode ser de�nido como um contraponto do grá�co de controle X de
Shewhart, sendo, portanto, mais apropriado para reconhecer o histórico dos dados,
característica ausente em grá�cos mais simples.
c) Operacionalmente o grá�co de controle CUSUM plota as somas acumuladas das
variâncias das medidas da amostra em relação a um valor-alvo.
d) EWMA e CUSUM foram propostos com o objetivo de detectar menores diferenças,
como variação especial, sem perda de e�ciência.
e) EWMA e CUSUM foram propostos com o objetivo de detectar as maiores diferenças,
sem a compreensão das chamadas variações e com uma efetiva perda de e�ciência.
De forma geral, existem vários autores que atualmente abordam CEP por meio de cartas de controle
com parâmetros variados, contrapondo as cartas de controle descritas tradicionais.
No entanto, o trabalho de Reynolds, Amin e Arnold (1990) pode ser considerado o pioneiro do
pensamento de variação de parâmetros para cartas de controle. Nesse sentido, eles introduziram a
ideia de variação de intervalo amostral (Varying the Sampling Interval – VSI). Futuramente o VSI foi
expandido para outras cartas, como CUSUM e EWMA (REYNOLDS; AMIN; ARNOLD, 1990).
Costa, Epprecht e Carpinetti (2009) elaboraram uma proposta de carta de controle com três regiões:
Sob controle.
Aviso ( warning ).
Outros Gráficos de
Controle – com Limites
Modificados
Ação.
Além dessa divisão de regiões, os autores Costa, Epprecht e Carpinetti (2009) salientam a
necessidade da variação de quatro parâmetros, sendo estes:
Tamanho da amostra - n.
Intervalo amostral - m.
Largura da faixa do limite de ação para o grá�co - k.
Largura da faixa do limite de ação para o grá�co R - .
Dessa forma, Costa, Epprecht e Carpinetti (2009) especi�cam a variação dos intervalos de amostras
e a comparam com grá�cos de média e amplitude com pF. Conforme o estudo, é possível
estabelecer que:
Especi�camente para o grá�co de controle modi�cado, existem inúmeras taxas de alarmes falsos
possíveis, visto que a média do processo pode variar dentro de uma faixa de valores sem que ele
seja rejeitado ou considerado fora de controle. Nesses casos, um alarme verdadeiro ocorre toda vez
que o grá�co alerta condição fora de controle para um processo cuja média tenha se deslocado
para fora das médias limites toleráveis.
(n)kR
S A I B A M A I S
Os grá�cos EWMA e Xbarra são utilizados no monitoramento de processos cujas observações podem ser
descritas por um modelo autorregressivo de primeira ordem. Dessa forma, esses grá�cos são planejados
levando em conta a correlação em série e utilizando o conceito de subgrupos racionais como estratégia
de amostragem, de modo que as propriedades das cartas de controle são obtidas e comparadas.
Link : https://www.scielo.br/j/prod/a/8cLPGGJk6QfG7NKg9TKkM5j/?lang=pt
Fonte: Adaptado de Claro, Costa e Machado (2007).
➔ Se um determinado ponto cai na região central (sob controle), o intervalo amostral é
expandido ( relaxed ), ou seja, há diminuição de coletas de amostra.
➔ Se um dado ponto cai na região de aviso, o controle é estreitado, diminuindo o
intervalo entre amostras.
➔ Se determinado ponto cair na região de ação, o processo é parado para detecção
das possíveis causas.
https://www.scielo.br/j/prod/a/8cLPGGJk6QfG7NKg9TKkM5j/?lang=pt
Um falso alarme é obtido toda vez que um sinal indica condição fora de controle e a média ainda
está dentro do intervalo permitido (𝜇𝐿 < 𝜇 < 𝜇𝑈). Como existem inúmeros pontos permissíveis para a
localização da média dentro desse intervalo, para cada posição assumida, há uma nova
probabilidade de um falso alarme. Ou seja, existem inúmeros 𝐹𝐴𝑅′𝑠 ou (𝛼′𝑠) possíveis para esse
grá�co.
Como o grá�co modi�cado é aplicado a processos capazes, espera-se que a probabilidade de a
média amostral cair fora dos limites de controle seja extremamente baixa quando o processo
estiver centralizado na média nominal. Nesse caso, tem-se que FAR possui seu menor valor
(𝐹𝐴𝑅𝑚𝑖𝑛 = 𝑃(�̅� < 𝐿𝐶𝐿 𝑜𝑢 �̅� > 𝑈𝐶𝐿 𝜇 = 𝜇0). À medida que a média se distancia do valor nominal, a
probabilidade de ocorrer um falso alarme aumenta. Quando a média alcança um dos limites
toleráveis (𝜇𝐿 ou𝜇𝑈), apesar de o processo ainda ser considerado aceito (ou em controle), pode-se
dizer que a máxima taxa de alarmes falsos é atingida (isto é, 𝐹𝐴𝑅𝑚𝑎𝑥 = 𝑃(�̅� < 𝐿𝐶𝐿 𝜇 = 𝜇𝐿) ou
𝐹𝐴𝑅𝑚𝑎𝑥 = 𝑃(�̅� > 𝑈𝐶𝐿 𝜇 = 𝜇𝑈)).
É razoável admitir que quando o gestor utiliza esse grá�co, ele deseja monitorar a máxima
probabilidade de um falso alarme, visto ser o momento mais crítico para o processo.
Assim, pode-se dizer que a probabilidade do erro tipo I de�nida pelo gestor (𝛼𝑛𝑜𝑚) é igual a
𝐹𝐴𝑅max(𝐹𝐴𝑅max = 𝛼𝑛𝑜𝑚).
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Em relação às aplicações e utilizações das cartas de controle CEP, muitos autores destacam uma
abordagem na qual o CEP é observado por meio de cartas de controle com parâmetros variados,
condição essa que pode ser considerada contraponto às cartas de controle tradicionais.
Com relação aos parâmetros variáveis, identi�que quais são os parâmetros considerados neste
processo.
a) Tamanho da amostra - n, intervalo amostral - m, largura da faixa do limite de ação para
o grá�co - k e o respectivo comprimento da faixa do limite de ação para o grá�co R - kR(n).
b) Tamanho da amostra - n, intervalo amostral - m, comprimento da faixa do limite de
ação para o grá�co - k e a respectiva largura da faixa do limite de ação para o grá�co R -
kR(n).
c) Média das médias, largura da faixa do limite de ação para o grá�co - k e a respectiva
largura da faixa do limite de ação para o grá�co R - kR(n).
d) Tamanho da amostra - n, intervalo amostral - m, largura da faixa do limite de ação para
o grá�co - k e a respectiva largura da faixa do limite de ação para o grá�co R - kR(n).
e) Média das amplitudes, largura da faixa do limite de ação para o grá�co - k e a
respectiva largura da faixa do limite de ação para o grá�co R - kR(n).
Quando se deseja monitorar uma ou poucas características de qualidade de interesse, os grá�cos
de controle univariados representam boa opção de uso. Entretanto, é comum o interesse pelo
monitoramento simultâneo de várias características de qualidade. Por exemplo, em um
determinado processo de produção, é razoável que haja o interesse simultâneo pela qualidade do
produto em relação ao peso, ao volume e à viscosidade.
Assim, torna-se útil o uso de grá�cos de controle multivariados (GCMs), com os quais se calcula
uma estatística que representa o controle do processo em relação a todas as características de
qualidade simultaneamente.
Gráficos de Controle
Multivariados e para
Processos
Autorrelacionados
REFLITA
Os GCMs são grá�cos indicados para muitas situações do cenário industrial, principalmente quando
necessário o controle simultâneo e on-line de duas ou mais variáveis correlacionadas. Embora a
aplicação de grá�cos de controle univariados a cada variável seja uma solução possível, pode levar
a conclusões errôneas se não levarmos em conta a probabilidade conjunta de erro tipo I e a
estrutura de correlação entre as variáveis consideradas (ALVES; HENNING; SAMOHYL, 2008).
A abordagem multivariada no controle de qualidade deve ser usada para monitorar a estabilidade
dos processos. Tal abordagem pode explicar as correlações existentes entre as características de
qualidade monitoradas, para controlar a probabilidade geral de sinalizar falsos alarmes de uma
causa especial de variação quando, na verdade, ela não está presente (COLACIOPPO, 2001;
JOHNSON; WICHERN, 2007).
Os GCMs mantêm a probabilidade conjunta do alarme falso igual às probabilidades dos alarmes
falsos individuais 𝜶, ou seja, não há uma aumento em relação a , mas o poder conjunto 
aumenta. Nesse caso, a avaliação multivariada é mais e�ciente quando analisada por GCMs em vez
de pelos grá�cos de controle univariados.
O desenvolvimento de GCM, que supõe situações em que as variáveis de interesse seguem uma
distribuição normal multivariada, é separado em duas fases. A fase I consiste em obter uma
amostra representativa dos dados com o objetivo de determinar os limites de controle. A fase II é
direcionada ao MEP e utiliza os limites especi�cados na etapa anterior.
A estatística EWMA não é empregada apenas para monitorar um
processo e detectar a presença de causas atribuíveis que resultem
em mudança no processo; ela pode ser aplicada para fornecer
uma previsão de onde estará a média do processo no próximo
intervalo de tempo.
Fonte: Adaptado de Montgomery (2009).
Fonte: inueng /123RF
Segundo Montgomery (2009), a diferença entre o controle
univariado e o multivariado é o aumento da complexidade e dos
níveis de automação dos processos produtivos, com a
colaboração do crescente suporte computacional. Isso explica
a expansão do controle multivariado dentro das indústrias,
monitorando simultaneamente as várias características de
qualidade (variáveis do processo).
Na prática, há a necessidade de monitorar o controle de
diversas variáveis e, embora múltiplos grá�cos univariados
possam ser aplicados, isso pode conduzir a interpretações
enganosas sobre o estado de um processo. Sobretudo, quando
existir correlação entre as variáveis, deve-se examiná-las em
conjunto, e não separadamente, conforme de�nido por Mason e
Young (2002).
αc
αc Pdc
Assim, podemos considerar que os grá�cos de controle multivariados são utilizados como uma
ferramenta que possibilita um monitoramento em processos industriais que estão se tornando cada
vez mais difundidos e complexos.
A tecnologia vem atrelada a esse tipo de monitoramento na realização em tempo real de diversas
medições das variáveis do processo e da qualidade �nal do produto, trazendo inúmeras
informações simultâneas sobre o processo.
Os tradicionais métodos estatísticos de controle multivariado, como os grá�cos de controle T2 de
Hotelling, grá�co de controle multivariado de soma acumulada (MCUSUM) e grá�co multivariado de
média móvel exponencialmente ponderada (MEWMA), não são robustos o su�ciente para tratar de
um grande número de variáveis correlacionadas, pois foram desenvolvidos para monitorar um
pequeno número dessas variáveis (MONTGOMERY, 2009).
Dentre os métodos de controle multivariado, podemos destacar:
Grá�co T 2 de Hotelling (MONTGOMERY, 2009).
MCUSUM (CROSIER, 1986).
Grá�co MEWMA, (LOWRY; CHAMP; WOODALL, 1995).
Os grá�cos MCUSUM e MEWMA têm como principal característica serem sensíveis a pequenas e
moderadas mudanças no processo.
O grá�co de controle T2 foi desenvolvido por Harold Hotelling em 1947, o que deu a ele o título de
pioneiro na pesquisa sobre grá�cos de controle multivariados. Esse grá�co é visto como o
mecanismo mais comum no monitoramento desse tipo de processo para dados subagrupados
(MONTGOMERY, 2009).
Na construção da equação dessa estatística, Montgomery (2009) ainda a�rma haver a possibilidade
de estimar o como o vetor das respectivas médias de dimensões p x 1 e S, as quais são as
estimativas da variância e da covariância de dimensões p x p para 𝜇 e 𝜎 conhecidos. Assim, para o
monitoramento de processos que possam ser explicados pelos subgrupos racionais, bem como das
observações consideradas autocorrelacionadas, a expressão matemática que possibilita determinar
o desvio-padrão amostral com dados independentes não é mais utilizada e, então, deve ser
substituída pela equação matemática a seguir:
Por outro lado, Chat�eld (2004) de�ne uma nova forma de estruturação dessa expressão:
Sendo respectivamente:
X
−
=σx
−
+ (1 − )γk
γ0
n
2
n
∑
k=1
n−1
k
n
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−
⎷

=σx
−
σx
Ψn−−√
Logo, conclui-se que o poder do grá�co depende não só do tamanho da amostra, do coe�ciente de
abertura dos limites e da magnitude da perturbação na média, mas também da grandeza , que
incorpora o efeito da autocorrelação e é função da série temporal representativa das observações
do processo.
praticar
Vamos Praticar
O grá�co de controle CUSUM tabular é um procedimento que utiliza algoritmo de soma
acumulada para calcular as somas acumuladas unilaterais; estas, por meio do grá�co, são
comparadas com o intervalo de decisão H. Se um valor dasoma for maior do que o intervalo, o
processo é dito fora de controle. Esse procedimento é aplicado para monitorar a média de um
processo cuja estatística de controle são observações individuais ou médias de subgrupos
racionais.
Ao considerarmos a condição de um desvio igual a 1,5, assim como as constantes h = 5 e n = 25,
calcule o LCI e o LCS para o grá�co de controle CUSUM tabular, observando para isso as seguintes
equações matemáticas:
Ψ = [1 + (n − k)ρk]2
n
∑
k=1
n−1 −1/2
Ψ
H = h   LSC
σ
n−−√
H = −h   LIC
σ
n−−√
Material
Complementar
W E B
Gráfico CUSUM para somas cumulativas + exemplo
Excel
Ano: 2020
Comentário: o grá�co de controle das somas cumulativas baseia-se nas
somas acumuladas dos desvios dos valores amostrais em relação a um
valor-alvo. Um grande auxílio para a obtenção desses grá�cos é a utilização
do Excel, e o vídeo em questão demonstra o uso do Excel para a de�nição de
grá�cos CUSUM.
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=YLR7I3sacfQ&ab_channel=AprendendoGest%C3%A3o
L I V R O
Controle estatístico de qualidade
Editora: Atlas
Autores: Antonio Fernando Branco Costa, Eugenio Kahn Epprecht e Luiz
Cesar Ribeiro Carpinetti
ISBN: 8522441561
Comentário: o livro trata das técnicas estatísticas criadas especialmente
para o controle de processos, condição básica para a manutenção da
qualidade de bens e de serviços. É rigoroso nos conceitos, para garantir o
correto aprendizado, porém didático, graças a um texto de leitura agradável e
a muitas �guras, grá�cos e exemplos especialmente elaborados para
facilitar a compreensão.
Conclusão
Caro(a) estudante, a con�abilidade e a aceitação dos resultados obtidos pelos processos de medição são
muito relevantes no âmbito das questões metrológicas. Basicamente, nenhum tipo de medição que possa
ser realizada representa o verdadeiro valor mensurado. Essa variação normalmente é explicada pelas
limitações inerentes ao processo dimensional, as quais limitam as quantidades de medições que podem
ser realizadas, assim como está associada aos efeitos das demais variações que possam estar presentes.
Conseguimos, inicialmente, compreender as principais características que determinam os chamados
grá�cos de controle CUSUM e EWMA, assim como também foi possível estudar o grá�co CUSUM tabular,
observando sua estrutura e suas características.
Ainda, pudemos compreender todas as bases dos grá�cos de controle com limites modi�cados e as
funções e características dos grá�cos de controle multivariados para processos autorrelacionados.
Esperamos que tenha gostado dessa aventura.
Um abraço!
Referências
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grá�cos de controle MCUSUM e MEWMA em ambiente R como um
procedimento alternativo para análise estatística de processos
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