EBOOK - Mecânica dos Fluidos

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educacional 
gente criando o futuro 
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1 
ASSISTA 
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple­
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado. 
1 
CITANDO 
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado. 
1 
CONTEXTUALIZANDO 
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato; 
demonstra-se a situação histórica do assunto. 
1 
CURIOSIDADE 
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado. 
1 
DICA 
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado. 
1 
EXEMPLIFICANDO 
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto. 
1 
EXPLICANDO 
Expl1caçao, eluc1daçao sobre uma palavra ou expressa□ espec1f1ca da 
área de conhecimento trabalhada. 
Unidade 1 - Introdução, definição e conceitos fundamentais dos fluidos 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12 
Sistemas de unidades .......................................................................................................... 13 
Sistema CG S ................................................................................ ..................................... 14 
Sistema MKS .................................................................................................................... 14 
Sistema SI ..................................................................................... ............ ........................ 15 
Estática dos fluidos .............................................................................................................. 18 
Teorema de Stevin ................................................................. ...... .................................... 18 
Lei de Pascal .................................................................................................................... 19 
Variação da pressão com a posição em fluidos compressíveis e incompressíveis ...... 21 
Carga de pressão ........................ ........................ .............................. .................. ............ 22 
Escalas de pressão e unidades de pressão ............... ............ ............ .. .. .. ....... ........... 22 
Medidores de pressão ...................................................... .... ...... ............ ............ ............ 23 
Equação mano métrica ............................ ...... .. .......... .................. .. .. .. ...... .. ...................... 24 
Definição de fluidos ............................................................................................................. 25 
Propriedade dos fluidos ......................... ........................................................................ 26 
Reologia dos fluidos ..................................................................... .. .. .. ...... ... ......... .... .. ..... 27 
Lei de Newton: viscosidade absoluta ou dinâmica .. .. ... .. ..... .. ...... .......................... ... 27 
Cinemática e dinâmica dos fluidos ..................................................... ............................. 28 
Regime ou movimento variado e permanente ......................... .. ............. ............... ..... 28 
Escoamento laminar e turbulento ................ .............................. .. .......... ... ......... ........... 30 
Sintetizando ........................................................................................................................... 32 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 33 
Unidade 2 - Balanço global de massa e energia, energia mecânica e quantidade 
de movimento 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 35 
Balanço global de massa e energia e balanço de energia mecânica 36 
Vazão: velocidade média da seção .............................................................................. 37 
Equação da continuidade para regime permanente ................................................. 39 
Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido ............................................. 40 
Equação de Bernoulli ...................................................................................................... 41 
Equação da energia e presença de uma máquina ............. .. ........... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ....... 44 
Potência da máquina ............................................................... .. ........... .. .. .. ........... .. .. ..... 45 
Teorema de Torricelli ............................................... ....................................................... 47 
Balanço global de quantidade de movimento ................................................................ 49 
Equação da quantidade de movimento .................................. ........... .. .. .. .................... 50 
Forças atuantes em superfícies sólidas em movimento .................................... ....... 53 
Diversas entradas e saídas em regime permanente .......................................... ....... 54 
Sintetizando ........................................................................................................................... 56 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 57 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Unidade 3 - Balanço diferencial de massas, quantidade de movimento e equação 
de Navier-Stokes 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 59 
Balanço diferencial de massas e quantidade de movimento ...................................... 60 
Sistemas de coordenadas ............................................................................................. 60 
Cinemática da partícula: coordenadas cartesianas ................................................. 62 
Coordenadas cilíndricas ........................................................... ............... ............. .. ....... 63 
Linha de corrente ............................................................................................................ 65 
Variação das grandezas ............................................................. ............ ........................ 66 
Movimento de uma partícula fluida .................................... ......... .. ............................... 68 
Dilatação volumétrica ..................................................... .. .. .. ... .. .... ......... .. ...... ........... ..... 71 
Equação da continuidade na forma diferencial ......................................................... 73 
Equação fundamental do movimento deuma partícula de fluido ideal ................. 74 
Navier-Stokes ....................................................................................................................... 78 
Equação de Navier-Stokes ........................................................................................... 78 
Aplicações da equação de Navi ar-Stokes .................................... .............................. 80 
Sintetizando ........................................................................................................................... 85 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 86 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Unidade 4 - Perdas de carga singulares e distribuídas; camada limite e rugosidade 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 88 
Conceitos gerais: camada limite e rugosidade .............................................................. 89 
Condutos .......................................................................... ............ .............................. ....... 89 
Diâmetro e raio hidráulico ............................................................................................. 90 
Camada limite em uma placa plana ............................................................................. 91 
Camada limite em condutos forçados ......................................................................... 94 
Rugosidade ...................................................................... ................................................. 96 
Perdas de carga .................................................................................................................... 96 
Conceito de perdas de carga ............................................................... ......................... 97 
Classificação das perdas de carga ............................. ... ......... .. ........... .. ...... ..... .. .... .. ... 98 
Perda de carga distribuída ....................................................... .............................. ....... 99 
Experiência de Nikuradse ........... .............................................. ................................... 103 
Condutos industriais ................................................................................................ ..... 105 
Perdas de carga localizadas ....................................................................................... 105 
Sintetizando ......................................................................................................................... 112 
Referências bibliográficas ............................................................................................... 113 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
A mecânica dos fluidos é a parte da Física que estuda o comportamento dos 
fluidos e suas leis, se fazendo presente no cotidiano e em diversos ramos da 
Engenharia. Estas leis são observadas no escoamento de fluidos, nos esforços 
em barragens, nas máquinas hidráulicas, na aerodinâmica, na ventilação e em 
outras utilidades. 
A partir desta unidade, o aluno compreenderá os conceitos sobre sistemas 
e conversão de unidades, definição de fluidos, tipos de escoamento, número de 
Reynolds e perdas de cargas, dentre outras leis que regem a mecânica dos fluidos 
e que servem para um melhor aproveitamento nas suas várias funcionalidades. 
Logo, é fundamental para a formação de todas as pessoas que querem tra­
balhar com Engenharia entender os conceitos, a aplicação e as características 
dos fluidos, já que é um tanto evidente perceber que, na prática, isto é algo 
crucial para quem quer trabalhar na área. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
A professora Tatiane Regina Almeida 
Silva é especialista em Engenharia de 
Segurança do Trabalho, formada em 
2019 pela Universidade de São Paulo 
(USP). Graduada em Engenharia Civil 
pela Universidade de Mogi das Cruzes 
(U MC), turma de 2015, tem experiência 
em Engenharia de Segurança do Tra­
balho nas áreas de gerenciamento de 
riscos, programas prevencionistas e lau­
dos, atuando na em obras públicas de 
infraestrutura do Metrô-SP e da CPTM. 
Currículo Lattes: 
http://lattes.cn pq. br/7893331274938326 
Ao meu marido Daniel Si/as e aos meus familiares, dos quais tive que me 
despojar de tempo de convívio para a composição deste trabalho. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS. 
UNIDADE 
~ 
~ 
ser 
educacional 
Objetivos da unidade 
Aprender os conceitos básicos de sistemas de unidades e conversão de 
unidades; 
Ter conhecimento sobre estática dos fluidos e as suas leis; 
Compreender a dinâmica e a definição dos fluidos; 
Entender os regimes e tipos de escoamentos. 
Tópicos de estudo 
Sistemas de unidades 
Sistema CGS 
Sistema MKS 
Sistema SI 
Estática dos fluidos 
Teorema de Stevin 
Lei de Pascal 
Variação da pressão com a 
posição em fluidos compressíveis 
e incompressíveis 
Carga de pressão 
Escalas de pressão e unidades 
de pressão 
Medidores de pressão 
Equação manométrica 
Definição de fluidos 
Propriedade dos fluidos 
Reelogia dos fluidos 
Lei de Newton: viscosidade 
absoluta ou dinâmica 
Cinemática e dinâmica dos 
fluidos 
Regime ou movimento variado 
e permanente 
Escoamento laminar e turbulento 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
O Sistemas de unidades 
•• 
A mecânica dos fluidos tem sido pesquisada por centenas de anos e por inú­
meros especialistas. Arquimedes (287-212 a.C.) foi o propulsor nos estudos da 
hidrostática, desenvolvendo a Lei do Empuxo, ou princípio de Arquimedes. Com 
o passar dos anos, além de Arquimedes, inúmeros cientistas, físicos, matemá­
ticos e engenheiros contribuíram com esse campo, como Galileu Galilei, Simon 
Stevin, Torricelli, Pascal, Newton, Bernoulli, Euler, Stokes, Reynolds e Moody. 
Com a finalidade de saber e empregar os sistemas de unidades à mecânica dos 
fluidos, é necessário saber converter tais unidades de medidas e suas grandezas. 
Algumas propriedades dos fluidos, como massa específica, densidade e viscosida­
de, são dependentes das unidades de medidas e do tipo de sistema a ser adotado. 
O fluido é uma substância sem forma própria que se amolda conforme o reci­
piente. Em determinadas situações, o termo "escoamento" sintetiza a movimen­
tação dos fluidos pela ação da gravidade e/ou pressões externas. A classificação 
do movimento está relacionada à velocidade e ao comportamento das molécu­
las de fluido que admitem um padrão de movimento, demarcado por Reynolds. 
No ano de 1832, o matemático alemão Carl Friedrich Gauss propôs um sis­
tema de três unidades fundamentais para comprimento, massa e tempo com 
base no milímetro, no miligrama e no segundo.Já em 1874, os físicos brit ânicos 
James Clerk Maxwell e William Thomson aperfeiçoaram as unidades de medi­
das de Gauss para centímetro, grama e segundo, nomeando o sistema de CGS. 
Com o decorrer dos anos, observou-se que as unidades do sistema CGS não 
eram práticas para o dia a dia. Em meados de 1940, o sistema CGS foi substi­
tuído pelo sistema MKS (metro, quilograma e segundo), base do sistema atual. 
Aos poucos, os sistemas CGS e MKS foram substituídos, mas ainda utilizados 
em livros didáticos, na literatura técnica e nas áreas de eletrodinâmi­
ca, ciências dos materiais e astronomia. 
Em 20 de maio de 1875, com o propósito de estabe­
lecer um sistema de medição único de abrangência 
mundial, foi criado o Bureau Internacional de Pesos 
e Medidas (BIPM), cuja sede fica próxima a Paris e 
que opera com a supervisão do Comitê Internacio-
nal de Pesos e Medidas (CIPM). 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
A primeira Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), em 1889, fixou 
os novos protótipos internacionais do metro e do quilograma. Este sistema 
evoluiu com o tempo, acompanhando as demandas e exigências de medições 
mundiais em todos os campos da tecnologia,das atividades humanas e da 
ciência. Na 11º CGPM, o sistema passou a ser chamado de Sistema Internacio­
nal de Unidades (SI). 
•• 
Sistema CGS 
No sistema CGS de unidades de tipologia LMT (comprimento, massa, tem­
po), as unidades base são centímetro, grama e segundo, como se nota na Tabe­
la 1. Na quarta coluna, as unidades CGS são convertidas para unidades em SI. 
Por exemplo, 1 cm no sistema CGS equivale a 10·2 m no sistema SI. 
TABELA 1. UNIDADES CGS E CONVERSÃO PARA O SISTEMA SI 
Grandeza Unidade Definição 
Comprimento Centímetro 10 2 m 
Massa Grama 10 3 kg 
Tempo Segundo 
Força Dina dyn; 1 g.cm/s2 10' N 
Energia erg ; 1 g.cm2/s2 
1 º' J 
Potência Erg por segundo 1 e rg/s ; 1 g.cm>/s2 10'W 
Pressão bar ; 106 dyn/cm2 105 Pa 
Viscosidade Poise 1 P ; 1 g/(cm.s) 10 1 Pa.s 
Fonte: NETO, 2015, p. 21. (Adaptado). 
•• 
Sistema MKS 
No sistema MKS, as unidades base são metro, quilograma e segundo. Na 
Tabela 2, há a conversão das unidades MKS para as unidades em CGS e SI. 
Por exemplo, 1 m no sistema MKS equivale a 102 cm no sist ema CGS e a 1 m 
no sistema SI. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
TABELA 2. UNIDADES MKS E CONVERSÃO PARA O SISTEMA CGS E SI 
~ 
Grandeza Unidade Definição CGS SI 
Comprimento Metro m 102 cm 1 m 
Massa Quilograma kg 1 º' g 1 kg 
Tempo Segundo s 
Força Newton N; 1 kg.mls' 10' dyn 1 N 
Energia Joule J; 1 kg.m2/s2 107 erg 1 J 
Potência W; 1 kg.m2/s3 107 erg/s 1W 
Pressão Pascal Pa; 1 kg.m 1.s 2 10' bar 1 Pa 
Fonte: NETO, 2015, p. 21. (Adaptado). 
•• 
Sistema SI 
Unidades de base do SI 
Na atualidade, o SI possui sete unidades de referência para todas as unida­
des do Sistema Internacional. As acepções de cada grandeza, aprovadas pela 
CGPM, estão descritas na Tabela 3. 
Grande za 
Comprimento 
Massa 
Tempo 
Corrente elétrica 
TABELA 3. SETE UNIDADES-BASE DO SI 
~ 
Unidade, símbolo: definição da unidade 
Metro, m: comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um 
intervalo de tempo de 1/299792458 de segundo. 
Quilograma, kg: unidade de massa igual à massa do protótipo internacional 
do quilograma, feito de irídio e platina, guardado na sede do BIPM. 
Segundo, s: duração de 9.192.631. 770 períodos da radiação correspondente 
à transição entre os dois níveis hiperfínos do estado fundamental do átomo 
de césio 133. 
Ampere, A: intensidade de uma corrente elétrica constante que, se mantida em 
dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular 
desprezível, e situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre 
estes condutores uma força igual à 2 x 10-7 newton por metro de comprimento. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Temperatura 
termodinâmica 
Qua nt1dade de 
substância 
Intensidade 
luminosa 
Fonte: lnmetro, [s.d.]. 
Kelvin, K: unidade de temperatura termodinâmica que é a fração 1/273, 16 
da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. 
Mol, mol: quantidade de substância de um sistema que contém tantas enti• 
dades elementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de carbo­
no 12. Quando utilizado, as entidades elementares devem ser especificadas, 
podendo ser átomos. moléculas. íons, elétrons. assim como outras partícu­
las ou agrupamentos especificados de tais partículas. 
Candeia, cd: intensidade luminosa em uma dada direção, vinda de uma 
fonte que emite radiação monocromática de frequência 540 x 1012 hertz 
e com uma intensidade radiante nessa direção de 1 /683 watt por esferor• 
radiano. 
A Tabela 4, extraída do resumo do Sistema Internacional de Unidades, publi­
cado pelo lnmetro, relaciona as grandezas de base aos símbolos e nomes das 
sete unidades de base. 
CURIOSIDADE 
Na indicação para as grandezas, os símbolos são em itálico, com letras 
simples dos alfabetos grego ou latino, e são recomendações. Para as 
unidades, os símbolos indicados são obrigatórios. 
TABELA 4. RESUMO DAS UNIDADES-BASE DO SI 
Grandeza de base 
Nome 
Comprimento 
Massa 
Tempo, duração 
Corrente elétrica 
Temperatura 
termodinâmica 
Quantidade 
de substância 
1 ntensidade 
luminosa 
Fonte: lnmetro, [s.d.]. 
Símbolo 
/, x, r etc. 
~ 
Unidade de base do SI 
Nome Símbolo 
Metro 
Quilograma 
Segundo 
Ampere 
Kelvin 
Candeia 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Unidades derivadas do SI 
As unidades derivadas do SI são constituídas pelo produto das 
unidades básicas. O número de grandezas a serem gera­
das é ilimitado, não sendo possível criar uma lista com­
pleta de grandezas e unidades. Algumas grandezas 
derivadas, extraídas do livro Sistema Internacional 
de Unidades, são exibidas na Tabela 5. 
TABELA 5. EXEMPLOS DE UNIDADES SI DERIVADAS 
Grandeza derivada 
Nome 
Área 
Volume 
velocidade 
Aceleração 
Número de ondas 
Densidade, massa 
específica 
Densidade superficial 
Volume específico 
Densidade 
d e corrente 
Campo magnético 
Concentração 
de quantidade 
de substância 
Concentração 
mássíca 
Luminância 
Índice de refração 
Permea b1lidad e 
r elativa 
Fonte: lnmetro, [s.d.]. 
Símbolo 
~ 
Unidade derivada coerente do SI 
Nome 
Metro quadrado 
Metro cúbico 
Metro por segundo 
Metro por segundo 
quadrado 
Metro elevado à 
potência m enos um 
Quilograma por 
metro cúbico 
Quilograma por 
metro quadrado 
Metro cúbico 
por quilograma 
Ampere por 
metro quadrado 
Ampere por metro 
Mol por metro cúbico 
Quilograma 
por m etro cúbico 
Candeia por 
metro quadrado 
Símbolo 
m/s2 
kg/m3 
kg/ m2 
m3/ kg 
A/m2 
mol/ m3 
kg/m3 
cd/m2 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
O Estática dos fluidos 
•• 
A hidrostática, ou estática dos fluidos, trata dos fluidos em repouso ou em 
equilíbrio. Seus princípios envolvem a análise dos fluidos em repouso e das 
forças exercidas sobre corpos submersos, e se destacam figuras como Arqui­
medes, propulsor da descoberta e criação da Lei do Empuxo. 
Nesta lei, também designada como princípio de Arquimedes, há uma força 
exercida em corpos submersos, mesmo que parcialmente. Sendo assim, se um 
corpo é mergulhado em um fluido, este se desloca devido à força vertica l para 
cima exercida pelo fluido, conhecida como empuxo. 
Assim como Arquimedes, Simon Stevin (1548-1620) demonstrou que a 
pressão entre dois pontos de um fluido em repouso depende do seu peso es­
pecífico e da diferença de cotas dos dois pontos. Biai se Pascal (1623-1662), por 
seu turno, comprovou que uma pressão em um ponto no fluido é transmitida 
a todos os pontos do fluido. A pressão é uma força sobre uma superfície de 
área, mas é importante ressaltar que ela não é igual à força, pois a mesma força 
pode ser sobreposta em recipientes com áreas e pressões distintas. 
Em relação aos fluidos, existem os compressíveis e incompressíveis e, para 
classificá-los, é necessário avaliar as suas características. Através das leis, como 
o teorema de Stevin, a lei de Pascal e as noções relativas a fluido, pressão, peso 
específico e medidores de pressão, chega-se à equação manométrica, utilizada 
para determinar a pressão de um reservatório ou a diferença de pressão destes . 
•• 
Teorema de Stevin 
O teorema de Stevin é um princípio físico, criado pelo matemático, físico e 
engenheiro Simon Stevin (1548-1620), que relaciona a variação das pressões 
atmosféricas e a dos líquidos. De acordo com ele, e segundo o exposto no livro 
Mecânica dos fluidos, escrito por Franco Brunetti e publicado em 2008, a dife­
rença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto 
do peso específico do fluido pela diferença de cotas dos dois pontos. 
Ao considerar todas as forças atuantes em um prisma ideal no interior de 
um líquido em repouso, é preciso ter a vertical como no Diagrama 1, retirado do 
livro Manual de hidráulica, escrito por Azevedo Neto em 2015. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
DIAGRAMA 1. ESFORÇOS EM UM PRISMA IMERSO EM LÍQUIDO 
l 
Fonte: NETO, 2015, p. 39. (Adaptado). 
Portanto: 
~ 
y 
Lf = o y 
(p1 A)+(y -h A}-(p2 -A)=O 
Em que y é o peso específico do líquido. Sendo assim, simplificando a equação:P2 - P1 = Y h 
Logo, conclui-se que a diferença de pressões entre dois pontos da massa de 
um líquido em equilíbrio é igual à diferença de profundidade multiplicada pelo 
peso específico do líquido em questão. 
•• 
Lei de Pascal 
A lei ou princípio de Pascal foi produzida pelo físico e matemático francês 
Blaise Pasca l (1623- 1662). A lei está presente em dispositivos que transmi­
tem e ampliam uma força através da pressão em um fluido; alguns exemplos 
são prensas hidráulicas, freios hidráulicos, sistemas de amortecedores e ele­
vadores hidráulicos. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Segundo afirmação do próprio, também retirada do livro de Brunetti, a 
pressão em um ponto de um fluido em repouso é transmitida a todos os pon­
tos do fluido. O Diagrama 2, extraído do mesmo livro, ilustra o mesmo rec ipien­
te cilíndrico, (a) e (b), em que foram escolhidos alguns pontos. 
DIAGRAMA 2. REPRESENTAÇÃO DA LEI DE PASCAL 
~ 
100 N 
s=-
• 2 A= 5 cm2 •2 
e 3 
e4 e4 
(a) (b) 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 21. (Adaptado). 
No recipiente cilíndrico (a), o fluido apresenta uma superfície livre à atmos-
fera, imaginando que as pressões nos pontos indicados sejam: 
• p1 = 1 N/cm 2; 
• p2 = 2 N/cm2; 
• p
3 
= 3 N/cm2; 
• p4 = 4 N/cm2 . 
Ao aplicar uma força de 100 N, por meio do êmbolo no recipiente cilíndrico (b): 
P = L = 100 = 20 N/cm2 
A 5 
Dessa maneira, as pressões nos pontos indicados no recipiente cilíndrico 
(b) devem ter: 
• p1 = 21 N/cm 2; 
• p2 = 22 N/cm2; 
• p
3 
= 23 N/cm2; 
• p
4 
= 24 N/cm2• 
O resultado torna evidente a aplicabilidade da lei de Pascal. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Variação da pressão com a posição em fluidos 
compressíveis e incompressíveis 
•• 
A característica de um fiuido compressível se dá na alteração do volume ao 
modificar a pressão, enquanto no fiuido incompressível o volume não muda. 
Na prática, os líquidos têm um comportamento muito próximo a esse e são 
tidos como fiuidos incompressíveis. Mesmo em condições nas quais eles não 
estão sujeitos a variações de pressões extremas, os gases são incompressíveis. 
Na equação de estado dos gases, quando houver um fiuido não incompres­
sível em conjunto a efeitos térmicos, há a necessidade de estabelecer modifi­
cações de massa específica em função da pressão e da temperatura. Para os 
gases em geral, se seguem as leis denominadas equações de estado: 
f(p, p, T) = o 
Para fins de desenvolvimento, o gás envolvido é presumido como "gás per­
feito" sempre que possível, considerando a equação de estado: 
Em que: 
p = massa específica; 
p = pressão absoluta; 
..E....=RTou p =..E... 
p RT 
R = constante cujo valor depende do gás; 
T = temperatura absoluta (escala absoluta é a escala Kelvin e K = ºC + 273). 
Para o ar, R ~ 287 m 2/s2 K. 
Na mudança do estado de um processo, a equação básica é: 
P, P, _ T, 
P,P,-r; 
No isotérmico, a temperatura não muda: 
..Ei... .E....= ce 
P, P2 
Já no isobárico, é a vez da pressão: 
Pl1 = P2T2 = C" 
No processo isocórico ou isométrico, não há variação de volume: 
..Ei... .E.... = 0 ' 
T1 T2 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Por fim, no processo adiabático, não há troca de calor: 
Sendo k uma constante adiabática cujo valor depende do gás. Em relação 
ao ar, k = 1,4. 
•• 
Carga de pressão 
Conforme teorema de Stevin, pressão e altura mantêm uma relação cons­
tante para um mesmo fluido. Na carga de pressão, a altura h é multiplicada 
pelo peso específico do fluido: 
p = h y 
Escalas de pressão e unidades de pressão 
Nas escalas de pressão: 
•• 
Pabs = a pressão absoluta é medida em relação ao vácuo ou zero absoluto; 
P,
1
= a pressão efetiva é medida com a adoção da pressão atmosférica como 
referência; 
P
01
m = a pressão atmosférica, também chamada de pressão barométrica, se 
altera com a altitude. 
Nas leis de estado de gases, é obrigatório o uso da escala absoluta, en­
quanto naqueles respectivos aos líquidos é mais usual a escala efetiva, pois 
a pressão atmosférica aparece nos dois membros da equação, podendo ser 
cancelada. As unidades de pressão são divididas em três grupos: 
a) Unidades de pressão baseadas em F/A: as mais utilizadas são: kgf/m2; 
kgf/cm2; N/m 2 = Pa (pasca l); daN/cm 2 = bar (decanewton por centímetro qua­
drado); lb/pol2 = psi (libras por polegada ao quadrado). A relação entre as un i­
dades é de 1 kgf/cm 2 = 104 kgf/m2 = 9,8 . 104 Pa = 0,98 bar= 14,2 psi; 
b) Unidades de carga de pressão utilizadas para indicar a pressão: 
mmHg (milímetros de coluna de mercúrio); mca (metros de coluna de água); 
cmca (centímetros de coluna de água); 
e) Unidades definidas: unidade atmosférica (atm) fixada pela pressão que 
eleva uma coluna de mercúrio a 760 mm. Sendo assim: 1 atm = 760 mmHg = 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
101.230 Pa = 101,23 kPa = 10.330 kgf/m 2 = 1,033 kgf/cm 2 = 1,01 bar= 14,7 psi 
= 10,33 mca. 
•• 
Medidores de pressão 
Os tipos de medidores de pressão são: 
Barômetro: a pressão atmosférica é medida pelo barômetro, que utiliza mer­
cúrio, dado que seu peso específico é elevado para desenvolver um pequeno h; 
Q DICA 
1 
Como a pressão atmosférica padrão é muito utilizada, é importante saber 
que: Patm = 760 mmHg = 10.330 kgf/m2 = 101,3 kPa. 
Manômetro metálico ou de Bourdon: a pressão é medida através da de­
formação do tubo metálico; 
Piezômetro: tubo de vidro que, conectado ao reservatório, mede a carga 
de pressão. 
No manômetro com tubo em U, as questões das pressões efetivas negati­
vas são corrigidas. Caso haja pressões efetivas negativas, o fluido ao lado di­
reito no Diagrama 3 fica abaixo do nível A-A. No manômetro, é possível obter 
a medida de pressão de gases, pois a presença do fluido manométrico impede 
que estes escapem. 
DIAGRAMA 3. MAN ÔMETRO COM TUBO EM U 
A-
(a) 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 27. (Adaptado). 
~ 
Fluido manométrico 
- A h, 
(b) 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
•-----·· Equação manométrica 
Para determinar a pressão de um 
reservatório ou a diferença de pressão 
entre dois reservatórios é utilizada a 
equação manométrica, por meio de um 
manômetro. Pelo teorema de Stevin, cal­
cula-se a pressão no fundo dos dois ra­
mos e, segundo Pascal, a pressão é trans­
mitida a todos os pontos dos fluidos. 
DIAGRAMA 4. MANÔMETRO 
~ 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 28. (Adaptado). 
No Diagrama 4, o fluido está em equilíbrio e a pressão no mesmo nível é a 
mesma, sendo Pte a pressão no fundo do ramo esquerdo e Pfd a do fundo do 
ramo direito: 
Pressão no fundo do ramo esquerdo: 
pfe = PA + YA (h1 - h) + yMh2 
Pressão no fundo do ramo direito: 
Pfd = Ps + Ya (h4 - hJ) + yMh2 
Uma vez que o fluido está em equilíbrio, a pressão no mesmo nível é a mesma: 
pfe = pfd 
Logo: 
PA + YA (h1 - h) + yMh2 = Ps + Ya (h4 - h) + yMh2 
O Diagrama 5 traz uma regra prática e de fácil aproveitamento. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
DIAGRAMA 5. EXEMPLO PRÁTICO DE CÁLCULO DA EQUAÇÃO MANOMÉTRICA 
~ 
Y1 
+ h, 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 28. (Adaptado). 
Para elaborar a equação, iniciando pelo lado esquerdo, a pressão PA é soma­
da à pressão das colunas que "descem" e subtraída das colunas que "sobem". 
Portanto, a equação manométrica é: 
PA + Y1h1 + Y}2 -y3h3 + y4h4 -y5h5 -y6h6 = PB 
O Definição de fluidos 
•• 
Como dito antes, o fluido é uma substância sem forma própria, capaz de 
se moldar a um recipiente. Na comparação de fluido com o sólido, percebe-se 
que estes últimos são mais flexíveis, como visto no Diagrama 6, extraído do 
livro de Brunetti. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
DIAGRAMA 6. COMPARAÇÃO DE FLUIDO COM SÓLIDO 
~ 
Superfície livre 
• Sólido Líquido 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 1. (Adaptado). 
Fluidos 
• •••••••••• ············• ... • ... ·.•····· ............................ ............................ ............................ ............................ ......... ,,,. ....... ,.tl'e••·· ............................ 
•·•·•·•·•·•·•· ........... ... .......... •.•,ta ............ . 
Gás 
Assim como no Diagrama 6, os fluidos se dividem entre oslíquidos e os gases . 
Propriedade dos fluidos 
Na propriedade dos fluidos, têm-se: 
Massa específica (p)- massa do fluido por unidade de volume: 
Em que: 
m = massa; 
V = volume. 
E as unidades são: 
Sistema SI: p = kg/m3; 
Sistema MKS: p = utm/m3; 
Sistema CGS: p = g/cm3• 
p = r 
Peso específico (y) - peso de fluido por unidade de volume: 
Em que: 
G = peso; 
V= volume. 
E as unidades são: 
y= ~ 
•• 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Sistema 51: y = N/m3 ; 
Sistema MKS: y = kgf/m3; 
Sistema CGS: y = dina/cm3• 
Peso específico relativo para líquidos (y,) - relação entre o peso específi­
co do líquido e da água: 
YH2a = 1.000 kgf/m3 ~ 10.000 Nlm3 
Sendo assim: 
Reologia dos fluidos 
•• 
A reelogia dos fluidos pesquisa o comportamento deformacional e do fluxo de 
matéria submetido a tensões em certas condições termodinâmicas em um intervalo 
de tempo. Suas propriedades se resumem a elasticidade, plasticidade e viscosidade. 
A relação entre a taxa de deformação e a tensão de cisalhamento é classifi­
cada em fluidos não newton ia nos, cuja relação entre a taxa de deformação e a 
tensão de cisalhamento não é constante, e fluidos newton ia nos, cuja viscosida­
de é constante. Para fins de estudo, são ponderados apenas os últimos . 
•• 
Lei de Newton: viscosidade absoluta ou dinâmica 
A lei de Newton da viscosidade determina uma proporcionalidade entre a ten­
são de cisalhamento e o gradiente da velocidade. Os fluidos que obedecem a essa 
lei são mencionados como ditos newtonianos, a exemplo do ar, dos óleos e da água: 
d 
r = µ.:;J-
Y 
1 
EXPLICANDO 
Viscosidade é a propriedade que indica uma maior ou a menor dificuldade 
de escoamento do fluido. 
Nos gases, a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura, enquan­
to nos líquidos ela diminui com o aumento da temperatura, fazendo com que 
os dois tenham comportamentos diferentes. As unidades neste contexto são: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Sistema 51: µ = N.s/m2; 
Sistema MKS: µ = kgf.s/m 2; 
Sistema CGS: µ = poise. 
Viscosidade cinemática (u) - a relação entre a viscosidade dinâmica e a 
massa específica: 
Ela é vista através das unidades: 
Sistema 51: u = m 2/s; 
Sistema MKS: u = m 2/s; 
Sistema CGS: u = stoke (St). 
u=..1:!.... 
p 
O Cinemática e dinâmica dos fluidos 
•• 
Na mecânica dos fluidos, é examinada a vazão e o movimento de uma mas­
sa fluida em uma superfície com a ação da gravidade e/ou pressões externas. 
O movimento dos fluidos, ou escoamento, é o processo de movimentação das 
moléculas, cuja classificação está relacionada à velocidade e ao comportamen­
to das moléculas de fluido, que assumem um padrão de movimento. 
Os padrões de movimentos, ou regimes, são classificados em permanente e 
variado.A configuração de todas as propriedades do fluido se modifica de acordo 
com o tipo de regime. Osborne Reynolds (1842-1 912), através de um experimen­
to, estabeleceu os tipos de escoamentos existentes como laminar e turbulento. 
Na experiência, Reynolds verificou que o fato de o escoamento ser laminar ou 
turbulento depende do valor do número admissional, hoje conhecido como o núme­
ro de Reynolds. Desse modo, para interpretar a dinâmica dos fluidos, faz-se neces­
sário entender os movimentos, o escoamento dos fluidos e o número de Reynolds . 
• 
Regime ou movimento variado e permanente 
O regime permanente é aquele em que as propriedades do fluido são inva­
riáveis em todos os pontos no decorrer do tempo. Apesar de um fluido estar 
em movimento, o aspecto das propriedades permanece a mesma. Uma apli­
cação prática do regime permanente é expressa pelo Diagrama 7, posto que a 
quantidade de água que entra é igual à quantidade de água que sai. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
DIAGRAMA 7. EXEMPLO DE REGIME PERMANENTE 
~ 
6 ) íJ 
11111 
NC 
y NC = nfvel constante 
(2) 
1 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 67. (Adaptado). 
A configuração de todas as propriedades do fluido, como massa específica, 
pressão e velocidade, é a mesma em todos os pontos a qualquer momento. No 
caso do Diagrama 7, sem fornecimento de água para (1), em algum momento 
o regime passa a ser variado, aquele em que as condições do fluido em alguns 
pontos se transformam com o passar do tempo. 
Um reservatório de grandes dimensões em que, com o passar do tempo, 
o nível se mantém aproximadamente constante é tido como um regime apro­
ximadamente permanente. O Diagrama 8 mostra um reservatório sob regime 
permanente (a) e outro sob regime variado (b). 
DIAGRAMA 8. REGIME PERMANENTE E VARIADO 
NC 
V 
~ 
Reserva(ório de grandes 
dimensões (regime 
permanen(e) 
(a) 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 67. (Adaptado). 
T 
(, 
(, 
(b) 
Nivel variado 
(regime variado) 
No Diagrama 8, o reservatório (a), de grandes dimensões, possui um nível cons­
tante com o passar do tempo. O reservatório(b)tem uma seção transversal pequena 
em face da descarga do fluido, fazendo com que o nível varie com o passar do tempo. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
•• 
Escoamento laminar e turbulento 
Nascido em 23 de agosto de 1842 e graduado em Matemática pela Universi­
dade de Cambridge no ano de 1867, o respeitado acadêmico Osborn e Reynolds 
se dedicou e aprofundou ideias em diversas áreas da Engenharia. Não obstan­
te, em 1873, ele se concentrou na hidráulica e na hidrodinâmica. 
Dez anos depois, ele provou a existência de dois tipos de escoamentos: o 
laminar e o turbulento. O experimento se baseou na visualização do padrão 
de escoamento de água através de um tubo de vidro e com o uso de um líquido 
colorido, como disposto no Diagrama 9. 
(2) 
DIAGRAMA 9. EXPERIMENTO DE REYNOLDS 
(1) Água 
(2) Líquido colorido 
(3) Tubo de vidro (diâmetro D) 
(4) Filete de líquido colorido 
(5) Válvula para regulagem da velocidade (v) 
(3) 
(4) 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 68. (Adaptado). 
ASSISTA 
No vídeo Experimento de Reynolds, é possível ver melhor 
os processos de escoamento aqui relatados, sintetizan­
do bem como se dá o experimento de Reynolds, de uma 
maneira bastante prática. 
Como se nota pelo Diagrama 9, o teste consistiu em um reservatório cheio 
de água (1), um líquido colorido (2), um tubo de vidro na parte inferior do re­
servatório (3), em cujo eixo se formou um filete de líquido colorido (4), e, no fim 
deste, uma válvula (5) para alterar a velocidade. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Ao abri-la um pouco, era possível se atentar a um filete reto e contínuo no 
eixo do tubo, em pequenas velocidades de descargas. Ao abrir a válvula ain­
da mais, o filete trazia ondulações e desaparecia a uma pequena distância do 
ponto de injeção. Em que pese o nível, que continuava descendo em razão dos 
movimentos transversais do escoamento, o fluido colorido se diluiu na água do 
tubo. Com isso, notou-se a presença de dois tipos de escoamentos, separados 
por um escoamento de transição. 
O escoamento laminar, menos comum, é aquele em que as partículas se 
deslocam em camadas, ou lâminas, sem trocas de massa. No escoamento tur­
bulento, a velocidade possui componentes transversais ao movimento geral do 
conjunto do fluido; ou seja, as partículas apresentam um movimento aleatório 
macroscópico. Reynolds analisou, com base no que viu, que o fato de o movi­
mento ser turbulento ou laminar depende do valor no número adimensional: 
Re = pvD = vD 
µ u 
Essa expressão é denominada como número de Reynolds 
e mostra o tipo de escoamento. No caso dos tubos, Reynolds 
verificou que seriam observados os seguintes valores: 
Re < 2000 = escoamento laminar; 
2000 < Re < 2400 = escoamento de transição; 
Re > 2400 = escoamento turbulento. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Sintetizando • 
Nessa unidade, foram vistas as definições da mecânica dos fluidos. Abor­
dando o surgimento dos sistemas de unidades, Gauss propôs um sistema de 
unidades absolutas, aprimorado depois por Maxwell e Thomson, para o sis­
tema CGS que, com o passar dos anos, se transformou no sistema MKS, base 
para a criação do Sistema Internacional de Unidades. 
O estudo sobreestática dos flui dos discorreu sobre a lei de Pascal e o teore­
ma de Stevin, além de pressões, fluidos compressíveis e incompressíveis, me­
didores de pressão e escalas de pressão, elementos sem os quais seria possível 
elaborar e calcular a equação manométrica. 
A definição de fluidos tratou das suas propriedades, como massa específica, 
peso específico e peso específico relativo. Na reelogia dos fluidos, foram exa­
minados o comportamento deformacional e do fluxo de matéria submetido a 
tensões, sem contar os chamados fluidos newtonianos, assim nomeados por 
obedecerem à lei de Newton. 
Na última parte, foi debatido o movimento dos fluidos, ou escoamento, v is­
to que o movimento está relacionado à velocidade e ao comportamento das 
moléculas do fluido, que assumem um padrão de movimento, dividido em 
regime permanente e variado. Ao final, o experimento de Reynolds ajudou a 
evidenciar como os tipos de escoamento dependem do valor do número ad­
missional, ou número de Reynolds. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Referências bibliográficas • 
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
EXPERIMENTO de Reynolds! Postado por Engineering. (3min. 41s.). son. co­
lor. port. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=OuHglnXBOXE>. 
Acesso em: 02 mar. 2020. 
INMETRO. Resumo do Sistema Internacional de Unidades - SI. Trad.JoséJoaquim 
Vinge, Aldo Cordeiro Dutra e Giorgio Moscati. [s.l.], [s.d.]. Disponível em: <http:// 
www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_Sl.pdf>. Acesso em: 02 mar. 2020. 
NETO, A. Manual de hidráulica. São Paulo: Blucher, 2015. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
UNIDADE 
~ 
~ 
ser 
educacional 
Objetivos da unidade 
Entender os conceitos e definições básicas do balanço global de massa e 
energia; 
Conhecer e compreender a equação da continuidade; 
Analisar a equação de Bernoulli; 
Entender os conceitos sobre o balanço global de quantidade de movimento. 
Tópicos de estudo 
Balanço global de massa e 
energia e balanço de energia 
mecânica 
Vazão: velocidade média da 
seção 
Equação da continuidade para 
regime permanente 
Tipos de energias mecânicas 
associadas a um fluido 
Equação de Bernoulli 
Equação da energia e presença 
de uma máquina 
Potência da máquina 
Teorema de Torricelli 
Balanço global de quantidade 
de movimento 
Equação da quantidade de 
movimento 
Forças atuantes em superfícies 
sólidas em movimento 
Diversas entradas e saídas em 
regime permanente 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Of---------------------·--· 
Balanço global de massa e energia e balanço de 
energia mecânica 
O balanço de massa baseia-se na conservação da massa para executar a aná­
lise de sistemas físicos. Em 1789, Antoine-Laurent de Lavoisier (1743-1794), de­
nominado por alguns como o pai da Química moderna, formulou o princípio da 
conservação da matéria, também conhecido como lei de Lavoisier. Seus estudos 
levaram-no a concluir que, em um determinado sistema fechado no qual ocorre 
uma reação química, a massa permanece constante. Sendo assim, a soma das 
massas dos reagentes é igual à soma das massas dos produtos. 
O balanço de energia baseia-se na primeira lei da Termodinâmica, que esta­
belece que a energia não pode ser criada ou destruída, somente transformada. 
A descoberta da lei deu-se graças à colaboração de diversos cientistas ao longo 
dos anos. Em meados de 1840, por exemplo, o físico inglês Joule (1818-1889) 
empenhou-se em quantificar a energia mecânica necessária para equiparar­
-se a uma caloria, dando origem à unidade de energia denominada joule. Em 
1848, o matemático, físico e engenheiro William Thomson buscou a equiva­
lência entre a escala termodinâmica com os gases ideais, denominada escala 
kelvin. Com base nesses e em outros estudos, em 1850 surgem a primeira e a 
segunda leis da Termodinâmica. 
Posto isso, é possível afirmar que na mecânica dos fluidos a apli­
cação de conservação de massa dá-se pela equação da 
continuidade. Nesta equação, a massa do fluido que 
flui por uma seção de um tubo de corrente deve ser 
idêntica àquela que sai por outra seção. Sendo as-
sim, pode-se fazer um balanço das massas, ouva-
zões em massa, entre as seções de entrada ou saída 
de determinado escoamento. Como a energia não pode 
ser criada nem destruída, somente transformada, obtém-se a equação que faz 
o balanço das energias. Esta equação, conhecida como equação da energia ou 
equação de Bernoulli, quando somada à equação da continuidade permite are­
solução de inúmeros problemas práticos, como a determinação de perdas em 
escoamento, a determinação da potência de máquinas hidráulicas, a determina­
ção de pressões nas seções do escoamento, entre outros. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
•• 
Vazão: velocidade média da seção 
Sendo assim, dado determinado volume de fluido que atravessa uma seção 
do escoamento por unidade de tempo, é possível encontrar o valor da vazão 
em volume: 
Q =.JL 
t 
Onde Q é vazão em volume (m 3/s; L/s; m3/h; L/min), V é o volume (m3 ; L) e 
t é o tempo (h; min). É importante mencionar que, além dessas unidades de 
medidas, podem ser consideradas quaisquer outras unidades de volume ou 
capacidade por unidade de tempo. Agora, observe a Figura 1, que ilustra um 
fluido em movimento. 
.,aA 
(e!) y p, ~ rl 
) 
1 t: o 
1 
0 y p, {:} ~ d ) 
1( )1 
Figura 1. Fluido em movimento em uma seção de área A Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 72. (Adaptado). 
Conforme mostra a Figura 1, o volume de um fluido que atravessa a seção 
de área A em um intervalo de tempo t é dado por V= sA. Assim, tem-se: 
Q=.JL = 2!1.. 
t t 
Considerando-se que ..2._ = v-
t 
Onde sé o espaço (m), v é a velocidade (m/s) e t é o tempo (s). Logo, a vazão 
será: 
Q = vA 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Onde A é a área da seção (m 2 ), v é a velocidade (m/s) e Q é a vazão (m 3/s). 
É possível utilizar esta expressão somente se a velocidade for uniforme na 
seção. Como na prática o escoamento não é unidimensional, ou seja, as pro­
priedades do fluido não são constantes em cada seção, utiliza-se outra equa­
ção, ilustrada na Figura 2. 
--- ---------
Figura 2. Definição da velocidade média na seção. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 73. (Adaptado). 
Ao adotar um dA qualquer em um ponto no qual a velocidade genérica é v, 
conforme demonstra a Figura 2, tem-se: 
Logo, a vazão será dada por: 
dQ = vdA 
Q= J vdA 
A 
Considera-se que a vazão será a mesma tanto com a utilização da velocida­
de genérica da seção quanto com a velocidade média: 
Q = J vdA = vmA 
A 
Sendo assim, a expressão para o cálculo da velocidade média da seção será: 
v =_J__J vdA 
m A 
A 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
•• 
Equação da continuidade para regime permanente 
Agora, observe a Figura 3, que ilustra a vazão em massa na seção de entra­
da Qm1 e a vazão de massa na saída Qm
2
• No regime permanente, não há varia­
ção de propriedades com o tempo em nenhum ponto do fluido. 
Figura 3. Escoa menta de um fluida par um tuba de corrente. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 75. (Adaptada). 
Para um fluido qualquer em regime permanente, tem-se a equação dada 
por: 
Qml = Qm2 OU PP1 = PP2 OU P1Vt4-1 = P2V/12 
Para um fluido incompressível, a massa específica na entrada da seção e na 
saída do volume deverá ser a mesma. Logo: 
Pqi = Pq2 ou Q1 = Q2 ou vt4-1 = v;,.2 
Portanto, a vazão em volume de um determinado fluido incompressí­
vel permanece a mesma em qualquer seção do escoamento. Na 
equação da continuidade, para um fluido incompressível, con­
sidera -se as velocidades médias das seções. Ade-
mais, é possível perceber através da equação que 
ao longo do escoamento as velocidades médias 
e as áreas são inversamente proporcionais, ou 
seja, com a diminuição da área da seção tem-se o 
aumento da velocidade média e vice-versa. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
•• 
Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido 
Os tipos de energias mecânicas associadas a um fluido são: energia poten­
cial, energia cinética, energia de pressão e energiamecânica total do fluido. 
A energia potencial (EP) é uma forma de energia que pode ser armazenada. 
Em um sistema, o estado de energia está diretamente ligado à sua posição no 
campo de gravidade em relação a um plano horizontal de referência. Agora, 
observe a Figura 4, que ilustra um sistema de peso G. 
G = mg 
PHR 
Figura 4. Sistema de peso G. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 86. (Adaptado). 
Conforme evidenciado pela Figura 4, o sistema de peso G é o centro de 
gravidade que está a uma distância z em relação a um plano horizontal de 
referência (PHR). Como o trabalho é igual à força multiplicada pelo desloca­
mento, tem-se: 
W=mgz 
Sendo a energia potencial medida pela realização do trabalho do sistema, 
considera-se que W = EP. Sendo assim: 
EP = mgz 
Energia cinética (Ej é a energia determinada pelo movimento do fluido. 
Sendo assim, para o cálculo da energia cinética, tem-se: 
E = - mv2 
e 2 
Já energia de pressão (EP) corresponde ao trabalho potencial das forças de 
pressão que atuam no escoamento do fluido. Agora, examine a Figura 5, que 
ilustra um tubo de corrente. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
F • pA 
Figura 5. Tubo de corrente. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 86. (Adaptado), 
Considera-se que a pressão seja uniforme na seção, logo a força aplicada 
pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente será dada por F= pA. Confor­
me evidencia a Figura 5, o fluido irá se deslocar (ds) sob a ação da força F em um 
intervalo de tempo dt, produzindo trabalho. 
dW = Fds = pAds = pdV 
Por definição, dW= dEp,' logo, dEp, = pdV 
Sendo assim, tem-se: 
Ep, =JpdV 
V 
Por fim, na energia mecânica total do fluido (E) desconsidera-se as ener­
gias térmicas. Portanto, a energia total de um sistema será: 
E=E+E+E p e pr 
Ou seja: 
•• 
Equação de Bernoulli 
A equação de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido em movi­
mento no interior de um tubo. Essa equação decorre da aplicação da equação 
de Euler aos flui dos sujeitos à ação da gravidade em regime permanente. 
CURIOSIDADE 
Daniel Bernoulli (1700-1782) foi um matemático suíço e é lembrado princi­
palmente por suas aplicações da Matemática à Mecânica, especialmente 
no que diz respeito à Mecânica dos Fluidos. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Posto isso, observe atentamente a Figura 6, que ilustra parte de um tubo de 
corrente no qual escoa um líquido de peso específico y: 
A, A' 
1 
--+ 
--+ 
--+ 
--+ • --+ 
--+ 
z, 
Plano de referência 
z, 
A' 
' 
Figura 6. Líquida com pesa específica y escoando em tuba de corrente. Fonte: NETO, 2015, p. 64. (Adaptada). 
É possível perceber na Figura 6 que nas seções A1 e A2 atuam as pressões 
p
1 
e p
2 
com as respectivas velocidades de v
1 
e v
2
• Em um pequeno intervalo de 
tempo, as partículas em A1 passam a A'1, assim como as partículas em A2 , que 
se movem para A'2 • 
Aqui, considera-se a variação de energia cinética: 
E = _ 1_ . m . v2 - _ 1_ . m . v2 = mv' 
c2 22 2 11 2 
O líquido é incompressível, logo: 
A1 · ds1 = A2 · ds2 = V 
Onde Vé o volume do líquido e a soma dos trabalhos das forças externas de 
gravidade e empuxo. Logo, a equação será dada por: 
p1 ·A1 • ds1 - p2 ·A2 • ds2 +y · V · (Z1 - Z;) 
Igualando as equações, obtém-se: 
- 1- . m · v
2 
- -
1- . m · v
2 
= p · A · ds - p · A · ds · y · V· (Z - Z l 2 2 2 2 11 11 12 2 2 1 2' 
+ · ; · V·(v}vj=V·(p1 -p;)+y·V·(Z1 - Z;) 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Simplificando a equação: 
Logo: 
v2 2 
-
2- -!..!...=A-A+z-z 
2g 2g y y 1 2 
2 2 
v1 P1 v2 P2 
- - - + Z = - +- +Z =constante 
2g y 1 2g y 2 
Esta é a equação de Bernoulli, uma vez que permite relacionar cotas, ve­
locidades e pressões entre duas seções do escoamento do fluido. Isto ocorre 
porque o teorema de Bernoulli expressa o princípio da conservação da energia. 
Em relação ao significado dos termos da equação de Bernoulli, tem-se: 
_ mgz _ E 
z - mg ---t"- = energia potencial por unidade de peso ou energia potencial 
de uma partícula de peso unitário. 
v2 _ mv2 _ mi? _ Ec 
2g - 2mg - 2G - G = energia cinética por unidade de peso ou energia 
cinética de uma partícula de peso unitário. 
p _ pV _ pV _ Ep, 
y - yV - G- G = energia de pressão por unidade de peso ou ener-
gia de pressão da partícula de peso unitário. 
Nota-se então que a equação expressa que, ao penetrar uma partícula de peso 
unitário associada às energias de entrada, uma partícula de peso unitário associada 
às energias de saída deverá sair, mantendo, assim, a energia constante no volume 
entre a entrada e saída. 
h - p 
Ademais, é possível perceber que a carga de pressão foi definida como - Y · 
Sendo assim, a energia de pressão por unidade de peso é a própria carga de pressão. 
Logo, zé a carga potencial e v2 / 2g é a carga da velocidade ou carga cinética. 
Substituindo-se a palavra "carga" pela expressão "energia por unidade de peso" 
obtém-se: 
H=_t_=L+z 
2g y em que H é a energia total por unidade de peso em 
uma seção. Sendo assim, a equação de Bernoulli pode ser escrita simboli­
camente por: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Neste caso, as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção, 
não havendo ganhos ou perdas de carga. Assim sendo, considera-se que entre 
duas seções do escoamento o fluido é incompressível, sem atritos ou trocas de 
calor e que o regime é permanente. 
•• 
Equação da energia e presença de uma máquina 
Na equação da energia será acrescentada uma máquina atuando entre as 
seções (1) e (2) do tubo de corrente, conforme evidenciado pela Figura 7. 
(2)1 
Figura 7. Máquina entre as seções do tubo de corrente. Fonte: BRUN ETTI, 2008, p. 91. (Adaptado). 
A máquina considerada é qualquer dispositivo introduzido no escoamento 
que forneça energia ou retire energia deste na forma de trabalho. Por enquan­
to, sua maneira de funcionamento não será levada em consideração. 
A máquina que fornece energia ao fluido será chamada de bomba e a má­
quina que retira energia do fluido será denominada turbina. O fluido é consi­
derado incompressível e que, caso entre as seções do tubo de corrente não 
houver a presença de uma máquina, a equação seria dada por: 
H1 =H2 
Se a máquina for uma bomba, o fluido receberá um acréscimo de energia, 
assim sendo: 
Com isso, soma-se: 
H7+HB=H2 
Logo, considera-se H
8 
como carga ou altura manométrica da bomba, represen­
tando a energia fornecida à unidade de peso do fluido que atravessa a bomba. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Por definição, quando a máquina é uma turbina, retira-se a energia do 
fluido, onde: 
H1 >H2 
Logo, para que ocorra o restabelecimento da igualdade, tem-se: 
H1 - Hr = H2 
Sendo assim, a carga ou altura manométrica da turbina é dada por H, 
Já para estabelecer a equação geral, a carga manométrica da máquina será 
indicada por HM: 
H1+HM=H2 
Considerando-se que HM = H
8 
se a máquina for uma bomba e que HM = -Hrse 
a máquina for uma turbina. 
Logo, a equação H1 + HM = H2 será dada por: 
v2 v2 
_ 1_ + A+ z + H = _ 2_ + L + z 
2g '/ 1 M 2g '/ 2 
•• 
Potência da máquina 
Define-se potência como trabalho por unidade de tempo, sendo • 
o trabalho uma energia mecânica. Logo, potência consiste em qual-
quer energia mecânica por unidade de tempo e é representada pelo 
símbolo N. Sendo assim: 
energia mecânica 
N = -----"------
tempo 
Ou: 
energia mecânica peso 
N = ----=-----
peso tempo 
Define-se energia por unidade de peso como carga, e peso por unidade de 
tempo como a vazão em peso: 
N =carga• QG 
Ou: 
N = yQ · carga 
Sendo assim, para calcular a potência referente ao fluido, tem-se: 
N=yQH 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Onde y é o peso específico, Q é a vazão em volume e H é a energia por uni­
dade de peso ou carga. 
Com a presença de uma máquina, a equação será dada por: 
N = yQHM 
No caso de uma bomba: 
No caso de uma turbina: 
N =yQHT 
Agora, observe a Figura 8, que indica a potência de uma bomba N
8 
com o 
motor ligado no eixo e a potência de uma turbina, que retira a energia da uni­
dade de peso do fluido. 
= yQH - Potênciarecebida pelo fluido 
• ao passar pela bomba 
--N, - Potência da bomba 
~=:::h ou disponível no 
---+ 
Perdas--~ 
eixo da bomba 
N = yQH ----+ Potência cedida pelo 
' fluido à turbina 
N,---+ Potência da turbina ou 
disponível no eixo da turbina 
Gerador 
Figura 8. Potência de uma bomba e de uma turbina. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 93. (Adaptado). 
O rendimento de uma bomba (()
8
) é dado pela equação: 
N 
rJa=T 
8 
Substituindo as equações, tem-se: 
N =-1:!.._ = yQHB 
B (J B (J B 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
@ I EXPLICANDO 
O rendimento de uma bomba é definido como a relação entre a potência 
recebida pelo fluido e a fornecida pelo eixo. 
Já o rendimento de uma turbina (rh) é dado pela equação: 
N 
rJr=rf 
Logo, N r = NrJr = yQH flr 
1 
EXPLICANDO 
O rendimento de uma turbina é definido como a relação entre a potência 
da turbina e a potência cedida pelo fluido. 
•• 
Teorema de Torricelli 
Evangelista Torricelli (1608-1647) foi um matemático e físico ita l iano, 
que contribuiu para as áreas de Matemática, Física, Mecânica, Hidráulica, 
Astronomia e Arquitetura. Torricelli frequentou os cursos de Matemática 
e Filosofia na escola jesuíta, onde destacou-se com seus conhecimentos 
matemáticos. Com a finalidade de aprimorar os seus conhecimentos, foi a 
Roma para estudar na escola dirigida por Benedetto Castelli, um excelen­
te matemático e engenheiro hidráulico e grande amigo de Galileu Galilei. 
Castelli reconheceu Torricelli por sua genialidade na Matemática convidan­
do-o para ser o seu secretário. 
Em 1641, Torricelli fixou residência na casa de Ga lileu para ser o seu as­
sistente. Em 1642, Galileu faleceu e, em seu lugar, o Grande Duque Ferdi­
nando li da Toscana o nomeou matemático e filósofo. Torricelli permane­
ceu na Florença, morando no palácio Médici até a sua morte, com inúmeras 
contribuições para a ciência e muitas outras contribuições aos matemáticos 
durante seus estudos em mecân ica. 
Para a Mecânica dos Fluidos, o teorema de Torricelli estuda o fluxo de 
determinado líquido contido em um recipiente, ou seja, ao depositar certo 
líquido em um recipiente, o líquido sairá por um pequeno orifício localizado 
na parte inferior do recipiente devido à ação da gravidade. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
1 
CURIOSIDADE 
Evangelista Torrice Ili ficou conhecido com a descoberta do barômetro, 
também conhecido como tubo de Torrice Ili ou vácuo de Torrice Ili. 
O teorema de Torricelli diz que "a velocidade de um líquido em uma vasilha 
aberta, por um orifício, é a que teria um corpo qualquer, caindo livremente no 
vazio desde o nível do líquido até o centro de gravidade do orifício". 
O termo "orifício" significa perfurações de forma geométrica definida, locali­
zadas abaixo da superfície livre do líquido em paredes de tanques, reservatórios 
e canais. Na superfície do líquido, as aberturas se enquadram como vertedores. 
Os orifícios podem ser pequenos ou grandes e caracterizam-se por suas formas 
circulares, retangulares etc., geralmente em parede delgada e em parede espessa. 
Considera-se parede delgada quando o jato líquido apenas toca a perfuração 
em uma linha que constitui o perímetro do orifício, conforme ilustra a Figura 9. 
N.A. 
Corte BB 
A,, v,, P, 
[no orifício) 
Figura 9. Esquema de um orifício. Fonte: NETO, 2015, p. 73. 
Q 
B 
11 1 
b 
Vista AA 
O teorema de Torricelli permite calcular a velocidade de saída no líquido 
pelo orifício, conforme ilustra a Figura 9. A velocidade de saída do líquido pelo 
orifício pode ser calculada aplicando a equação de Bernoulli, a partir do N.A 
(nível da água) até o eixo do orifício de saída do líquido, dada por: 
v2 v 2 
_ 1 +A+ z = _ 2_ + ...!:..L + z 
2g y 1 2g y 2 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Onde: 
v1 e v2 = velocidade do fluxo nos pontos analisados; 
g = aceleração da gravidade; 
p
1 
e p
2 
= pressão do fluido nos pontos analisados; 
Z1 e Z
2 
= distância vertical entre os pontos analisados do fluxo; 
y = peso específico do fluido. 
Como o fluido está em repouso no reservatório, considera-se que v
1 
é igual 
a O. Além disso, o reservatório é aberto e, sendo assim, considera-se a pressão 
atmosférica atuante nos dois pontos. 
Logo: 
p v2 
~ + z = _ 2_ + P atm + z 
y 1 2g y 2 
v2 
Z-Z= - 2
-
1 2 2g 
Logo, o teorema de Torricelli é representado matematicamente por: 
v
2
=...f2gH 
Quanto maior for a diferença de cotas entre a superfície do líquido no re­
servatório e o orifício, maior será a velocidade de saída do líquido no orifício . 
• 
Balanço global de quantidade de movimento 
Isaac Newton (1643-1727) foi um físico inglês, conhecido por formular as 
leis que regem a Mecânica clássica. Em 1687, Newton publicou em seu livro 
Philosophiae natura/is principia as três leis capazes de explicar a dinâmica que 
envolve o movimento dos corpos. As leis de Newton tratam de situações em 
que os corpos permanecem ou não em equilíbrio, sendo estas: princípio da 
inércia, princípio fundamental da dinâmica e princípio da ação e reação. 
Em Mecânica dos Fluidos, a equação da quantidade de movimento permi­
te analisar as forças que agem em estruturas sólidas, em movimento ou fixas, 
sendo estas últimas fluidos que se movem quando em contato com elas. Essa 
equação é a segunda lei de Newton, modificada para ser utilizada na Mecânica 
dos Fluidos, em que as forças determinadas são denominadas dinâmicas. 
Segundo essa lei, a aceleração de uma certa massa implica a existência de uma 
força resultante. Modificar a velocidade da massa significa acelerá-la, em módulo e/ou 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
em direção, e para que isso ocorra será necessário aplicar uma força estimulada por 
algum agente externo, ou seja, uma superfície sólida em contato com escoamento. 
Pelo princípio da ação e reação, por exemplo, se a superfície aplica uma força no flui­
do, este aplicará sobre a superfície uma força contrária. A partir dessas análises, será 
possível a construção da equação da quantidade de movimento. 
Equação da quantidade de movimento 
Pela segunda lei de Newton da dinâmica, tem-se: 
➔ ➔ d,..., 
F =ma =m _ v_ 
dt 
•• 
Como a velocidade pode variar, a equação deve ser mantida de forma 
vetorial. Ao considerar-se a massa constante, a equação será dada por: 
_, d ➔ 
F = - (mv) 
dt 
➔ 
Por definição, mv é a quantidade de movimento do sistema. 
Inicialmente, a equação da quantidade e movimento será estabelecida para 
um tubo de corrente e regime permanente. Como o regime é permanente, as 
propriedades do fluido não variam em cada ponto com o tempo, embora pos­
sam variar de um ponto para o outro, conforme ilustra a Figu ra 10. 
Figura 10. Variaçâa da quantidade de movimenta. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 122. (Adaptada). 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Admite-se que as propriedades são uniformes na seção (1) e no intervalo de 
tempo dt. A velocidade 11 passa a ser dm1 na seção (1). Já na seção (2), no mesmo 
intervalo de tempo, há uma quantidade de movimento dm2 v'., na saída. Sendo 
assim, a variação da quantidade de movimento entre as seções será dada por: 
----) ----) 
dm
2 
v
2 
- dm1 v1 
Logo, pela equação da quantidade de movimento, a força resultante entre 
as seções será: 
----) ----) 
----> _ dm
2
v
2 
dm
1
v
1 F--- ---
Podendo ser descrita como: 
dt dt 
----) ----) ----) 
F=Qm2v2-0m1 v1 
Como o regime é permanente, obtém-se: 
Qm1 = Qm2 = Qm 
Logo, essa equação permite determinar a força resultante que age no fluido 
entre as seções (1) e (2): 
➔ 
n, 
➔ 
"'" 
➔ -p,A,n, 
P,a1 \ 
k 
➔ 
t á \ 
\\ 
➔ 
G 
(2) 
➔ 
n, 
Figura 11. Forças componentes da resultante. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 123. (Adaptado). 
Conforme ilustra a Figura 11, o fluido entre as seções (1) e (2) está sujeito a 
forças de contato normais, tangenciais e à força de campo causada pelo campo 
----) 
de gravidade G. As forças relacionadas às pressões nessas seções são p.f.1 e 
pj.2, em módulo. Já as forças que agem no fluido nas seções são: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS• 
-pt4in1 e -pj1Jr2, em que os sinais negativos se devem à convenção adotada 
para força de contato normais. Na resultante em cada ponto dA1a, no entorno 
de um ponto da superfície lateral, tem-se: 
---> ---> ---> 
dF's = -P1a1 dA1a1 n1a1 + rdA1a1 
Sendo assim, as tensões de cisalhamento e a força resultante das pressões 
na superfície lateral serão: 
---> ---> ---> 
F's = f -P1a1 dA1a1 n1a, + Jr dA1a1 
Portanto, através desta equação, as forças componentes da resultante ilustra­
da na Figura 11 podem ser reduzidas à força resultante, ilustrada na Figura 12. 
(1) 
~ -p,A,n, 
➔ 
F' s 
➔ 
G 
➔ 
(2) n, 
-----""\ 
➔ -p,A,n, 
Figura 12. Força resultante que age no fluído entre as seções. Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 123. (Adaptado). 
Logo: 
Ou: 
➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ 
Qm(v2- v) = F', - Pr41n1 - P/12n2 + G 
Utiliza-se essa equação em casos nos quais o fluido está em contato com 
uma superfície sólida na superfície lateral entre (1) e (2). Na prática, é de inte­
resse determinar a força que o fluido aplica na superfície sólida com a qual está 
em contato entre as seções (1) e (2). 
Sendo que f'
5 
representa a força resultante da superfície sólida no fl uido, 
então, pela terceira lei de Newton ou princípio da ação e reação, a força f'
5 
será: 
---> ---> 
F = -F' s s 
Substituindo os valores na equação, tem-se: 
➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ 
Fs = -f Pr41n1 + P/12n2 + Qm(v2 - v1Jl + G 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
----> 
Para fins deste estudo, não será levado em consideração o peso do fluido G; 
entretanto, na prática, em alguns casos ele deverá ser calculado. 
➔ ➔ ➔ ➔ ➔ 
Fs = -[pt41n1 + PJl2n2 + Qm(v2 - v1)] 
•• 
Forças atuantes em superfícies sólidas em movimento 
Para determinar a ação de fluidos em superfícies sólidas em movimento, con­
sidera-se apenas os movimentos retilíneos e uniformes das superfícies. A Figura 
13 ilustra o desviador de jato em movimento com velocidade "i1s constante. 
A, 
➔ 
' u, 
(1) 
Figura 13. Desviador de jato. Fonte: BRUN ETTI, 2008, p. 127. (Adaptado). 
Sabe-se que: 
----> ----> ----> 
Vabs = U + V, 
Onde i7
0
b, é a velocidade absoluta em relação ao sistema inercial; v,1 a velo­
cidade de arrastamento ou velocidade da origem do sistema de referência fixo 
na superfície sólida; e Ü é a velocidade relativa ou velocidade em relação ao 
sistema de referência móvel. 
A vazão do jato lançada pelo bocal será: 
Qm = PAF1 
A superfície sólida, por conta do movimento, não é atingida por essa vazão. 
Portanto, considera-se uma vazão aparente, sendo: 
Q = pA
1 
(v b - v) = pA
1
u
1 map a s1 
Para o caso do movimento relativo, tem-se: 
----> ----> ----> 
F, =Qm (u1 -u) 
ap 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Para o uso geral, tem-se: 
➔ ➔ ➔ ➔ ➔ 
Fs = -[Pf.A + P:f.2n2 + Qm (u2-u1Jl 
ap 
•• 
Diversas entradas e saídas em regime permanente 
Agora, observe a Figura 14, que ilustra um sistema genérico com diversas 
entradas e saídas. 
P,, 
Figura 14. Sistema genérico com diversas entradas e sa,das. Fonte: BRUNETTI, 2008, 130. (Adaptada). 
A equação da quantidade de movimento para diversas entradas e saídas 
em regime permanente é dada por: 
~ = - 2_Pr4,n; + 2_ Om-; _ 2_ Qm-; 
e e 
Considera-se que um barco tem um sistema de propulsão que consiste em uma 
bomba que aspira a água na proa e a recalca na popa, conforme ilustra a Figura 15. 
---------➔ x 
Figura 15. Barco: sistema de propulsão. Fonte: BRUNETTI, 2008, 131. (Adaptada). 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Nesse sistema há duas entradas e uma saída, e os tubos possuem um diâ­
metro de 5 cm e a vazão de saída é de 50 L/s. A força de propulsão no instante 
da partida será dada por: 
F = - 'pAr! + "\ Q --; - "\ Q --; 
S L 111L m L m 
e e 
Considera-se que a pressão nas entradas e saídas seja praticamente atmos­
férica, logo: 
Projetando segundo x: 
F =Q v
1
cos60º-Q v
2
cos60º-Q v
3 Sx m1 m2 m3 
Conforme a simetria do sistema, tem-se: 
Qm1 = Qm2 
v1 = v2 
Logo: 
F =2Q v =cos60º -Q v sx m, 1 m3 3 
Pela equação da continuidade: 
V3 
V= --
1 2 
Logo: 
Considera-se que cos 60º = _1_ : 
2 
3 
F=- - Qv 
'x 4 m3 3 
Substituindo os valores, tem-se que: 
Q = rQ = 1.000 • 50 • 10·3 = 50 kg/s 
m
3 
3 
v = 
403 = 4 · 50 · 10·
1 
= 25,46 ml s 
3 D2 n · O 052 
3 ' 
Logo, a força de propulsão será dada por: 
F = ..1.._ 50 · 25 46 = -954 7 N 
SX 4 f I 
Como a força de propulsão deu negativa, indica que foi adotado o sent ido 
contrário ao eixo x. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Sintetizando • 
Nessa unidade, vimos os conceitos básicos que definem o balanço global de 
massa e energia, o balanço global de energia mecânica e, por fim, o balanço de 
quantidade de movimento. Abordamos o surgimento do princípio da conserva­
ção da matéria por Lavoisier e como o balanço de energia baseia-se na primeira 
lei da Termodinâmica. 
Estudamos a equação da continuidade, a responsável pelo balanço de mas­
sas. Além disso, abordamos o teorema de Torricelli e o teorema de Bernoulli, 
muito utilizados em Mecânica dos Fluidos. 
O estudo sobre o balanço global de quantidade de movimento abordou os 
conceitos básicos sobre a equação da quantidade de movimento, que é a se­
gunda lei de Newton aplicada à Mecânica dos Fluidos, as forças atuantes em 
superfícies sólidas em movimento e a equação da quantidade de movimento 
para diversas entradas e saídas em regime permanente. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Referências bibliográficas • 
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
NETO, A. Manual de Hidráulica. São Paulo: Blucher, 2015. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
UNIDADE 
~ 
~ 
ser 
educacional 
Objetivos da unidade 
Entender os conceitos e definições básicas do balanço diferencial de massa; 
Conhecer e compreender o balanço diferencial de quantidade de 
movimento; 
Entender os conceitos e as aplicações da equação de Navier-Stokes. 
Tópicos de estudo 
Balanço diferencial de massas 
e quantidade de movimento 
Sistemas de coordenadas 
Cinemática da partícula: coor-
denadas cartesianas 
Coordenadas cilíndricas 
Linha de corrente 
Variação das grandezas 
Movimento de uma partícula 
fluida 
Dilatação volumétrica 
Equação da continuidade na 
forma diferencial 
Equação fundamental do 
movimento de uma partícula de 
fluido ideal 
Navier-Stokes 
Equação de Navier-Stokes 
Aplicações da equação de 
Navier-Stokes 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
O .. 
Balanço diferencial de massas e quantidade de movimento 
Na fluidodinâmica estuda-se a interação existente entre um fluido e um 
corpo nele imerso, havendo entre os dois um movimento relativo. Para a ob­
servação do fenômeno, sempre se considera que o corpo estará em repouso 
e o fluido em movimento. Nota-se que ao passar pelo corpo, o fluido provo­
cará nele o aparecimento de uma força resultante que pode ser decomposta 
em duas componentes: resistência ao avanço, ou força de arrasto, (F.) e força 
de sustentação (F,). 
A ação de um fluido em cada ponto de uma superfície sólida pode ser de­
composta em uma ação tangencial, a tensão de cisalhamento, e em uma ação 
normal, a pressão. Para o fluido em repouso, a força resultante (empuxo) 
corresponde à diferença das pressões provocadas pelas diferenças de cotas, 
sendo a direção do empuxo vertical com sentido para cima, na qual a resul­
tante na horizontal se anula, já que a distribuição das pressões é simétrica. 
No caso do fluido ideal há ausência de tensões de cisalhamento. Logo, 
verifica-se que a distribuições das pressões não são uniformes sobre o corpo, 
ocasionando o surgimento de uma força resultante não nula. Considera-se 
que a diferença de pressão de um ponto a outro do corpo é ocasionada pela 
diferença de velocidades do fluido. No fluido ideal, pode-se aplicar a equação 
de Bernoulli entre os pontos de uma linha de corrente. 
A análise integral estabelece expressões algébricas que descrevem as pro­
priedades e o comportamento de um conjunto de partículas de fluido em um 
sistema, em um certo tempo, e que ocupa uma região de interesse denomi­
nadavolume de controle. Na forma diferencial, a equação da continu idade 
possibilita a deformação de uma partícula com a conservação ou continui­
dade de sua massa. A equação fundamental do movimento de uma partícula 
de fluido ideal, ou a chamada equação de Euler, estabelece o estudo do movi­
mento do fluido com viscosidade nula. 
•• 
Sistemas de coordenadas 
Utiliza-se o sistema de coordenadas no plano cartesiano para especificar 
pontos num determinado espaço com dimensões. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
© CURIOSIDADE 
O termo cartesiano refere-se ao matemático e filósofo francês René Des­
cartes. Os seus trabalhos contribuíram para os estudos nas áreas científi­
cas como geometria analítica, cartografia e cálculo. 
A abscissa é a coordenada horizontal de um referencial plano de coordena­
das cartesianas. Através de um gráfico, tem-se a abscissa (x) e as ordenadas (y). 
perpendiculares ao eixo x. 
Sendo assim, para o estudo do comportamento de partículas individuais 
do fluido, considera-se um sistema que deseja definir a massa específica num 
ponto P, conforme ilustra o Gráfico 1. 
GRÁFICO 1. SISTEMA: MASSA ESPECÍFICA EM UM PONTO P 
~ 
m 
Llm 
âm 
----~/ k) V 
4m0 
1 
4V0 LIV 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 275. (Adaptado). 
Conforme visto no Gráfico 1, tem-se um volume t:N com uma massa b.m em 
volta do ponto P. A massa específica média será dada por: 
Devido à agitação molecular, a massa contida no volume ganha valores que 
variam de um instante para outro, ocorrendo uma descontinuidade na função. 
Considera-se que a partícula fluida é a de volume b.V0, já que para obter a 
massa específica no ponto passa-se ao limite para b.V tendendo a zero entorno 
do ponto P. Sendo assim, a partícula fluida não sofre descontinuidade, confor­
me a equação: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Quando o fluido não for um gás rarefeito, considera-se essa equação: 
fim Llm fim Llm dm 
~v-~v, LlV ~ ~v-~v, LlV = dV 
Sendo assim, permite-se o estudo por análise diferencial, já que os fluidos 
são confundidos com um contínuo. 
•• 
Cinemática da partícula: coordenadas cartesianas 
Em cinemática da partícula estuda-se a trajetória de uma determinada 
partícula, onde a sua posição é definida como um vetor de coordenadas. O 
Gráfico 2 ilustra um sistema de coordenadas tridimensional com deslocamento 
elementar e vetor de posição. 
I
EXPLICANDO 
Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula 
com o passar do tempo. 
GRÁFICO 2. SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL COM DESLOCAMENTO ELEMENTAR E VETOR 
DE POSIÇÃO 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 276. 
-> 
e 
y 
~ 
y 
P' 
dyê 
y 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Como ilustra o Gráfico 2, tem-se que: 
( = p - 0 = X~+ yey + ze, = vetor pOSÍÇÕO 
dr= dP = d(P - 0) = dxex + dyer + dzê, = deslocamento elementar 
Para determinar a velocidade, considera-se: 
- dP 
v= 
dt 
Portanto: 
d(P - 0) 
dt 
dx 
dt 
dy 
dt 
= dz 
v, dt 
Para determinar a aceleração, tem-se que: 
Logo: 
0 
= dvx d2x 
x dt - dt2 
a= ~ 
d2y 
y dt dt2 
dv, d2z 
a = = -
l dt dt2 
Coordenadas cilíndricas 
•• 
Utiliza-se o sistema de coordenadas cilíndricas para simplificar os estudos 
sobre integração múltipla. O sistema é composto por um subsistema pola r na 
base de um cilindro circular. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
GRÁFICO 3. DESLOCAMENTO PARA COORDENADAS CILÍNDRICAS 
~ 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 277. 
Como ilustra o Gráfico 3, tem-se que: 
r r 
P - O= (P - M) + (M - 0) = r(e,) + ze, 
r _, -
P'- P = dP = d(re,) + d(ze,) 
dP = dre' + rde' + dze' r r z 
e~ = cose e; + sena e: 
de,= -sena d8 e:+ cose d8~ 
dé, = d8e~ 
r r r 
dP = dre,+ rd8e0 + dze, 
Para determinar a velocidade, considera-se: 
Portanto: 
dr 
V=­
r dt 
d8 
V = r-
e dt 
dz 
V=­
z dt 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Para determinar a aceleração, tem-se que: 
dv 
dt 
Sendo assim: 
dv, v2 e o= r dt r 
o= 
dv
0 v,ve 
e dt r 
dv d2z 
o= z 
z dt dt2 
Linha de corrente 
•• 
Linha de corrente é a linha tangente aos vetores da velocidade nos pontos 
de aplicação, num certo instante, representada pela expressão: 
dP/\ v = O 
Essa expressão em coordenadas cartesianas é dada por: 
dP = dxê + dyê + dzê 
X y l 
v=vê+ve vê 
X X y y + Z Z 
Portanto: 
dy dz 
➔- = -
vy v, 
vxdz - v,dx = O 
dx dz 
➔-=-
v, v, 
dx dz 
➔- = -
v, vY 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
•• 
Variação das grandezas 
As grandezas assumem diferentes valores no espaço ocupado por um fluido 
em cada ponto, localizado por um sistema de coordenadas, e poderão variar com 
o passar do tempo se o regime não for permanente. Com o objet ivo de obter uma 
expressão matemática onde, a partir de um ponto em que as grandezas sejam 
conhecidas, seja possível determiná-las nos outros pontos do campo, pode-se uti­
lizar o método de Lagrange, que descreve a forma integral para sistemas. 
© CURIOSIDADE 
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) foi um matemático italiano que desen­
volveu o método de Lagrange. Esse método permite encontrar máximos e 
mínimos de uma função de uma ou mais variáveis. 
Dada uma partícula de fluido, com o método de Lagrange pode-se acom­
panhá-la ao longo de sua trajetória no espaço, com a verificação das grande­
zas em cada ponto. A variação das grandezas da partícula está relacionada ao 
fato de que ela evolui de um ponto ao outro do campo, ou por levar um certo 
tempo para chegar a um novo ponto-isso considerando que as propriedades 
em cada ponto podem variar se o regime não for permanente. O Gráfico 4 
demonstra o método de Lagrange. 
GRÁFICO 4. MÉTODO DE LAGRANGE 
~ 
z 
P (X, y, Z, t) 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 280. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
Observa-se que a partícula parte de sua posição, no instante considerado 
inicial, e percorre um caminho até o ponto P, em um intervalo de tempo em 
que as grandezas do campo poderão ter variado. Sendo assim, a variação da 
grandeza G de um ponto a outro da trajetória, será dada por: 
Considera-se P
1 
e P
2 
os pontos ocupados pela partícula nos instantes t
1 
e 
t 2• Com a variação do tempo tendendo a zero, será obtida a variação da pro­
priedade de um ponto a outro, representada por: 
G (P 7 t;) - G(P1, t1) 
Llt 
dG 
dt 
O outro método de estudo utilizado é o método de Euler. Nesse método, ob­
serva-se os valores das grandezas nos pontos do campo. Esse método permite 
a determinação de dois tipos de variações. 
GRÁFICO 5. MÉTODO DE EULER 
~ 
P, (x,, y1, 11) 
! Instante t, 
Fonte: BRUN ETTI, 2008, p. 281. 
Conforme ilustra o Gráfico S, há variação da grandeza G de um ponto ao 
outro no mesmo instante. Sendo assim, devido a posição de duas partículas 
distintas no espaço, a variação da grandeza G será G (P2, t 1) - (P1, t 1), com: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
fim G (P,, t1} - G(Pv t1) aG 
.1c-o Llt at 
Com a fixação de um ponto do espaço, verifica-se a variação da grandeza 
com passar do tempo. Sendo assim, a variação da grandeza G será representa­
da por G (P1, t 2) - G (P1, t 1). Passando ao limite para llt tendendo a zero, tem-se: 
fim G (P1, t:) - G(P1' t1) aG 
.11- o Llt at 
•• 
Movimento de uma partícula fluida 
Será adotada, no plano cartesiano, uma partícula fluida com um formato 
geométrico. 
GRÁFICO 6. ANÁLISE DOS MOVIMENTOS DE UMA PARTÍCULA FLUIDA 
~ 
y 
;~ 
ÔV 
;i' 
V+ __ x dy 
ÔV 
X ôy 
V+ __ Y dy .. 
y ôy 
, 
dy .. 
ÔV 
v + --1.. dx 
y 
ÔX 
V '~ .. dx .. y , 
V ÔV X 
V+ __ x dx 
X ÔX 
Fonte: BRUN ETTI. 2008. p. 284. 
avx 
ax = taxa de variação de vx na direção de x 
~= ay taxa de variação de vY na direção de y 
.. 
, X 
MECÂNICA DOS FLUIDOS • 
av 
-----1-
ax 
taxa de variação de vx na direção de y 
= taxa de variação de vY na direção de x 
As variações e efeitos das velocidades podem ser analisadas como transla­
ção (Gráfico 7), deformação linear (Gráfico 8) e deformação angu lar (Gráfico 9): 
GRÁFICO 7. TRANSLAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA 
~ 
y 
V,dt ) - -1( i-1 1 
1 
X 
Vdt i y 
Fonte: BRUNETTI, 2008, p. 284. 
GRÁFICO 8. DEFORMAÇÃO LINEAR DE UMA PARTÍCULA FLUIDA