CICLO I - 4 Deformação IV Origem Térmica

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Análise e Comportamento 
Estrutural
Tração e Compressão
- Variação de Temperatura
Prof.: Matheus Henrique Pereira
Introdução:
Dilatação Térmica
Motivação
Introdução:
Dilatação Térmica
Motivação
Introdução: Solução 
Introdução:
Dilatação Térmica
Motivação
Introdução:
Tensões Térmicas
Exemplos Típicos
Considerações:
Nas estruturas estudadas até este ponto, 
consideramos que a temperatura permanecia 
constante durante o tempo de carregamento;
Vamos agora considerar situações em que ocorrem 
variações de temperatura;
Tomemos primeiramente a barra AB, homogênea e 
de seção transversal uniforme, apoiada em uma 
superfície lisa horizontal, conforme figura abaixo:
A B
L
Considerações:
Se aumentarmos a temperatura da barra de uma valor T, 
notamos que ela se alonga de um valor T que é proporcional 
tanto à variação da temperatura quanto ao comprimento da 
barra L, temos então:
A B
L T
LTT )..(
ONDE:
 - é constante característica do material, chamada de 
coeficiente de dilatação térmica;
Como L e T são expressos em unidades de comprimento, 
representa uma quantidade por grau C ou por grau F, 
dependendo de como expressamos a temperatura, se em 
graus Celsius ou em graus Fahrenheit;
Considerações:
A deformação total T está relacionada uma deformação 
específica T = T/L;
Reescrevendo a equação anterior, concluímos que:
TT  .
T – é chamada deformação térmica específica, uma vez que é 
causada por variação de temperatura na barra;
No caso que estamos considerando, não existem tensões 
relacionadas com a deformação T ;
Considerações:
Vamos considerar agora que a barra AB de comprimento L foi 
colocada entre dois anteparos fixos, separados da distância L, 
conforme figura abaixo;
Não existem tensões ou deformações nesta condição inicial;
A B
L
Se elevarmos a temperatura de T, o alongamento da barra será 
nulo, pois os anteparos impedem qualquer deformação;
Sendo a barra homogênea e de seção uniforme, a deformação 
específica em qualquer ponto é T=T/L, também nula;
No entanto, para evitar o alongamento da barra, os anteparos 
vão aplicar sobre ela as forças P e P´ após a elevação de 
temperatura;
A B
PP´
Considerações:
É criado um estado de tensão na barra (sem que ocorram 
deformações específicas);
Ao tentarmos calcular a tensão  criada pela variação da 
temperatura, verificamos que o problema é estaticamente 
indeterminado;
É necessário inicialmente calcular a intensidade da força P, 
levando em conta as condições de alongamento da barra;
Utilizando o método da superposição , retiramos o anteparo B 
que restringe a deformação da barra;
Ela então se alonga livremente, com a variação da temperatura 
T;
De acordo com a expressão deduzida anteriormente, o 
alongamento correspondente é:
LTT )..(
Considerações:
Aplicamos agora à extremidade B da barra a força P que 
representa a reação externa e utilizando a equação estudada 
anteriormente, obtemos uma segunda deformação, a saber: 
SE
LP
P
.
.

Como a deformação total deve ser nula, temos:
0
.
.
)..( 
SE
LP
LTPT
Donde se conclui que:
).(.. TSEP 
E que a tensão atuante na barra devido à variação de 
temperatura T é:
).(. TE
S
P

Esquema Geral:
A B
L
A B
L
A B
L
T
P
P
Exercício de Aplicação 1:
A barra AC é perfeitamente ajustada aos anteparos 
fixos quando a temperatura é de +25ºC. Determinar 
as tensões atuantes nas partes AB e BC da barra 
para a temperatura de –50ºC. Considerar E=200 GPa 
e =12x10-6/ºC.
A B
300 mm 300 mm
C
Trecho AB – S = 400 mm2
Trecho BC – S = 800 mm2
Resolução:
Determinaremos inicialmente as reações nos anteparos;
Como o problema é estaticamente indeterminado, 
retiramos o anteparo C;
A B C
A B C
A B C
T
L1 L2
R
RC
Resolução:
A variação de temperatura é:
CCCT º75)º25()º50( 
A deformação correspondente é:
mmCC
LT
T
T
66
10.540)6,0).(º75).(/º10.12(
)..(
 

Aplicando então a força desconhecida RC à extremidade C, 
podemos obter a deformação R.
2
22
1
11
.
.
.
.
SE
LP
SE
LP
R 
L1 = L2 = 0,3 m
S1 = 400.10-6 m2 – S2 = 800.10-6 m2
P1 = P2 = RC
E = 200.109 Pa







 26269
10.800
3,0
10.400
3,0
.
10.200 m
m
m
m
Pa
RC
R
Resolução:
Devido às restrições dos anteparos, a deformação total é nula, 
assim podemos escrever:
0)./10.625,5(10.540
0
96 


B
RT
RNmm
Assim, obtemos o valor de RC;
kNNRC 0,9610.0,96
3 
Conhecidas as forças nas duas porções da barra que são P1 = P2 = 
96,0 kN, obtemos os valores das tensões atuantes em AB e BC;
MPa
m
N
S
P
MPa
m
N
S
P
120
10.800
10.0,96
240
10.400
10.0,96
26
3
26
3
2
2
2
1
1
1




Resolução:
O fato de a deformação total da barra ser zero não deve levar a 
conclusão de que a deformação em AB e BC é nula;
A solução do problema baseada nessa conclusão estaria errada;
Do mesmo modo, as deformações específicas em AB e BC não 
devem ser adotadas como nulas;
Para estudar melhor este ponto, vamos determinar a 
deformação específica AB da porção AB da barra;
Esse valor AB pode ser dividido em duas parcelas. Uma delas é 
a parcela T produzida na barra, sem o anteparo C, pela 
variação de temperatura T, assim, escrevemos:




90010.900
)º75).(/º10.12(.
6
6
T
T CCT
Resolução:
A outra componente de AB está associada à tensão 1 devido à 
força RB aplicada na barra;
A lei de Hooke leva ao valor dessa parcela da deformação 
específica:

 
120010.1200
200
240 61
GPa
MPa
E
Somando as parcelas de deformação específica em AB, 
obtemos:


 3001200900
1
E
TAB
Um cálculo análogo leva à determinação da deformação 
específica BC;


 300600900
2
E
TBC
Resolução:
As deformações totais AB e BC das partes das barras são, 
respectivamente:
mmBC
mmAB
BCBC
ABAB


90)3,0).(300().(
90)3,0).(300().(
Verificamos, então, que a soma  = AB + BC das duas 
deformações é zero, embora nenhum dos dois valores seja nulo.
Exercício de Aplicação 2:
A barra AC é perfeitamente ajustada aos anteparos
fixos quando a temperatura é de +25ºC. Determinar
as tensões atuantes nas partes AB, que é fabricada
de Latão, e BC , que é de aço. As barras estão a
temperatura de –50ºC. Considerar Eaço=200 Gpa,
Elatão=97 Gpa, aço=12x10-6/ºC e latão=20,9x10-6/ºC.
A B
300 mm 300 mm
C
MPa
MPa
2,96
192
2
1




Trecho AB – S = 400 mm2
Trecho BC – S = 800 mm2
Exercício de Aplicação 3:
A barra AC é perfeitamente ajustada aos anteparos 
fixos quando a temperatura é de +25ºC. Determinar 
as tensões atuantes nas partes AB e BC da barra 
para a temperatura de –50ºC. Considerar Elatão=97 
Gpa e latão=20,9x10-6/ºC.
A B
300 mm 300 mm
C
Trecho AB – S = 400 mm2
Trecho BC – S = 800 mm2
MPa
MPa
37,101
7,202
2
1




Exercício 4
Problema sobre variação de temperatura 
(Baseado no exercício 2.54 do Livro Resistência dos Materiais, Beer 
& Johnston, 3a. edição) 
Seja um tubo de alumínio (E = 70 GPa;  = 23.6x 10-6/oC) 
preenchido com núcleo de aço (E = 200 GPa;  = 11.7x10-6/oC). A 
montagem foi realizada de tal forma que a temperatura de 20oC há 
ausência de tensões internas. Considerando-se somente 
deformações axiais, determine a tensão em cada um dos tubos 
quando a temperatura atingir 180 ºC.
Resposta:
 =-47,0 MPa
Exercício 5.1
Problema sobre variação de temperatura 
(Baseado no exercício 2.54 do Livro Resistência dos Materiais, Beer 
& Johnston, 3a. edição) 
Seja um tubo de Latão (E = 97 GPa;  = 20.9x 10-6/oC) 
preenchido com núcleo de aço (E = 200 GPa;  = 11.7x10-6/oC). A 
montagem foi realizada de tal forma que a temperatura de 20oC há 
ausência de tensões internas. Considerando-se somente 
deformações axiais, determine a tensão em cada um dos tubos 
quando a temperatura atingir 180 ºC.
Resposta:
latão = -40,3 Mpa
aço = -211,7 MPa
Exercício 7
Problema sobre variação de temperatura 
(Baseado no exercício2.58 do Livro Resistência dos Materiais, Beer 
& Johnston, 3a. edição) 
Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB e BC é engastada 
em ambas extremidades. A porção AB é de aço (E = 200 GPa;  = 
11.7x10-6 /oC) e a porção BC é de latão (E = 105 GPa;  = 20.9x 10-
6/oC). Sabendo-se que o conjunto de barras está inicialmente livre de 
tensões internas, determinar (a) as tensões normais induzidas nas 
porcões AB e BC devido a um acréscimo de 50oC na temperatura inicial 
do conjunto; (b) a correspondente deflexão no ponto B.
Respostas:
aco =-201,6 MPa
latao = -72,6 MPa
Exercício 8
Problema sobre variação de temperatura 
(Baseado no exercício 2.63 do Livro Resistência dos Materiais, Beer 
& Johnston, 3a. edição)
A barra AB é de latão (E = 105 GPa;  = 20,9x10-6 /oC) e a 
barra CD de alumínio (E = 70 GPa;  = 23.6x10-6 /oC). 
Sabendo-se que a 160C a fenda existente entre as extremidades 
das barras é de 0,5 mm, determinar:
 A) a tensão normal em cada barra, depois que a temperatura for 
aumentada para 800C;
 B) a deformação da barra AB nesse instante;
A B C D
250 mm 250 mm
0,5 mm
Latão Alumínio
Diâmetro – 75mm
Respostas:
lat= al =-35,61 Mpa
Deflexao no Ponto B: 0,2494 mm
Exercício 9
Problema sobre variação de temperatura 
(Baseado no exercício 1.13 do Livro Resistência dos Materiais, 
William A Nash, 4a. edição)
Em 1989, um cabo de fibra ótica, capaz de lidar com 40.000 
chamadas simultâneamente, ligou a California ao Japão, sob o 
oceano Pacífico, numa distância de 13.300 km. À superfície, o cabo 
tinha temperatura de 22 ºC e, no fundo do oceano, ficou à 
temperatura média de 5 ºC. O coeficiente de expansão térmica 
linear do cabo é 75x10-6/ºC. Determine o comprimento inicial do 
cabo que corresponde aos 13.300 km, no fundo do mar.
Resposta: Linicial=13.317 km
Exercício 5.2
Problema sobre variação de temperatura 
(Baseado no exercício 2.54 do Livro Resistência dos Materiais, Beer 
& Johnston, 3a. edição) 
Seja um tubo de aço (E = 200 GPa;  = 11.7x10-6/oC) preenchido com 
núcleo de Latão (E = 97 GPa;  = 20.9x 10-6/oC) e de alumínio (E = 
70 GPa;  = 23.6x10-6 /oC). A montagem foi realizada de tal forma 
que a temperatura de 20oC há ausência de tensões internas. 
Considerando-se somente deformações axiais, determine a tensão em 
cada um dos tubos quando a temperatura atingir 180 ºC.
Resposta:
lat =126,9 Mpa
aço= 25,5 Mpa
alu =126,9 Mpa 
F =39,87 KN