Avaliação II - Individual equações diferenciais

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11/04/2024 09:06 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:889734)
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Prova 70893017
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Em matemática, a matriz Hessiana de uma função f de n variáveis é a matriz quadrada com n 
colunas e n linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz 
descreve a curvatura local da função "f". Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas 
de otimização que não usam métodos newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique 
V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz identidade.
( ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz nula.
( ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função.
( ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - F.
B F - F - V - V.
C V - V - F - F.
D F - V - V - F.
O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo 
Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos 
generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função 
f(x,y) = 4x² + y², analise as sentenças a seguir:
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano.
II- A soma de suas derivadas parciais é 8x + 2y.
III- A soma de suas derivadas parciais é x² - y².
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças III e IV estão corretas.
B As sentenças II e III estão corretas.
C As sentenças I e III estão corretas.
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D As sentenças I, II e IV estão corretas.
A que taxa está crescendo a área de um retângulo, em cm2/s, se seu comprimento é de 20 cm e 
está crescendo a uma taxa de 2 cm/s, enquanto que sua largura é de 10 cm e está crescendo a 1 cm/s?
Dado: Área do retângulo A(x, y) = x . y onde x é o comprimento e y é a largura.
A A taxa de crescimento é 40 cm²/s.
B A taxa de crescimento é 24 cm²/s.
C A taxa de crescimento é 80 cm²/s.
D A taxa de crescimento é 8 cm²/s.
Formulário - Equações Diferenciais (Saulo)Clique para baixar o anexo da questão
Um problema de otimização é um problema para o qual precisamos determinar os extremos da 
função, ou seja, o maior e o menor valor que a função assume numa região. Problemas de otimização 
são muito comuns, por exemplo para otimizar lucros e minimizar custos. Sabendo que o ponto (0, 0) 
é um ponto crítico da função
A De sela.
B De máximo.
C Onde H(0, 0) = 0. 
D De minimo.
O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação 
linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma 
das derivadas parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = x²y 
+ xy², analise as sentenças a seguir:
I- O diferencial total de f é xy.
II- O diferencial total de f é 2xy.
III- O diferencial total de f é x² + y² + 4xy.
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença III está correta.
B Somente a sentença IV está correta.
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C Somente a sentença I está correta.
D Somente a sentença II está correta.
No cálculo diferencial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a 
direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento 
possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em 
consideração. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O gradiente de uma função determina o maior valor possível de uma curva.
( ) O gradiente de uma função indica a direção de maior variação de uma curva.
( ) Ao se afastar da origem, o vetor gradiente aumenta sua norma.
( ) O vetor gradiente é um vetor normal à curva de nível da função.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F.
B F - F - V - V.
C F - V - V - V.
D F - V - F - V.
No cálculo, a diferenciação implícita é um meio de derivar equações implícitas, ou seja, funções 
onde y não está definido como função explícita de x. Em outras palavras, são equações onde não 
temos de um modo explícito uma relação entre as duas variáveis pela qual possamos escrever y = 
f(x). Baseado na função f(x,y) = x² + 5y², assinale a opção que apresenta o resultado correto para 
dy/dx:
A -x/2y
B 2x/10y
C -x/5y
D x/y
A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Além de 
calcular áreas e volumes definidos por funções de mais de uma variável, este conceito também possui 
aplicações na área da física, como, por exemplo, no cálculo do centro de massa de um corpo. Baseado 
nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas sobre as integrais abaixo quanto a 
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sua relação com a região compreendida entre y = 5 - x² e y = x + 3. Em seguida, assinale a alternativa 
que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B V - F - F - F.
C F - F - V - F.
D F - V - F - F.
Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma 
direção. Baseado nisto, calcule a taxa que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento 
é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s enquanto que sua largura é de 8 cm e está 
crescendo 0,2 cm/s. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
A 9 cm²/s.
B 0,7 cm²/s.
C 6,6 cm²/s.
D 6 cm²/s.
A que taxa está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está 
crescendo a uma taxa de 1 cm/s, sendo que sua largura é de 9 cm e está crescendo a 0,8 cm/s?
A A taxa é 18 cm²/2.
B A taxa é 22 cm²/2.
C A taxa é 16 cm²/2.
D A taxa é 17 cm²/2.
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