Cálculo I_concavidade

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Cálculo I: Concavidade
ACH 4532 Cálculo I - Marketing
Prof. Andrea Lucchesi
Agenda
1. Concavidade
2. Ponto de inflexão
3. Exercícios
Referência: 
Cap 6: seção 6.2
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
Agenda
1. Concavidade
2. Ponto de inflexão
3. Exercícios
Referência: 
Cap 6: seção 6.2
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
• O sinal da derivada (de 1ª ordem) de uma função indica em quais intervalos o seu gráfico é :
- crescente: f’(x) > 0 
- decrescente: f’(x) < 0
• A derivada de 2ª ordem também fornece informações úteis sobre a forma do gráfico: indica se o coeficiente angular 
da tangente a uma curva está aumentando ou diminuindo em um dado ponto ou intervalo.
• Ou seja, existe uma caracterização simples da concavidade em termos do sinal da derivada de 2ª ordem:
- se f’’(x) > 0 para a < x < b => f(x) é convexa nesse intervalo;
- se f’’(x) < 0 para a < x < b => f(x) é côncava nesse intervalo;
1. Concavidade
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
• Seja y = y(t) uma função que relaciona a quantidade de 
conhecimento (y) adquirido em relação ao tempo (t). 
- entre 0 < x < a => conhecimento aumenta a taxas crescentes: 
coeficiente angular aumenta a medida que o tempo passa, ou
seja, f’’(x) > 0 => f(x) convexa;
- entre a < x < b => conhecimento aumenta a taxas decrescentes:
coeficiente angular diminui a medida que o tempo passa, ou
seja, f’’(x) < 0 => f(x) côncava.
1. Concavidade (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Agenda
1. Concavidade
2. Ponto de inflexão
3. Exercícios
Referência: 
Cap 6: seção 6.2
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
• É o ponto x 𝜖 𝐷𝑓 no qual a concavidade da função muda, ou seja passa de convexa para côncava ou vice-versa.
• O ponto de inflexão no gráfico anterior é x = a.
• No ponto de inflexão f’’(x) = 0 ou f’’(x) é indefinida. 
2. Ponto de inflexão
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
2. Ponto de inflexão (continuação)
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Agenda
1. Concavidade
2. Ponto de inflexão
3. Exercícios
Referência: 
Cap 6: seção 6.2
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
Exercício 1: Determine os intervalos nos quais a função f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8 é crescente, decrescente, côncava ou 
convexa. Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da 
função.
a) encontrar os pontos críticos:
f’(x) = 4x3 + 24x2 + 36x
➢ f’(x) indefinida => não há
➢ f’(x) = 0 => 4x3 + 24x2 + 36x = 0
4x (x2 + 6x + 9) = 0 => x = 0 ou x = -3
então, os pontos críticos são: 
f(0) = (0)4 + 8(0)3 + 18(0)2 – 8 = -8 => (0, -8)
f(-3) = (-3)4 + 8(-3)3 + 18(-3)2 – 8 = 19 => (-3, 19)
3. Exercícios
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 1: Determine os intervalos nos quais a função f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8 é crescente, decrescente, côncava ou 
convexa. Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da 
função.
b) encontrar os candidatos a ponto de inflexão:
f’’(x) = 12x2 + 48x + 36
➢ f’’(x) indefinida => não há
➢ f’’(x) = 0 => 12x2 + 48x + 36 = 0 => x = -1 ou x = -3
então, os candidatos a ponto de inflexão são: 
f(-1) = (-1)4 + 8(-1)3 + 18(-1)2 – 8 = 3 => (-1, 3)
f(-3) = (-3)4 + 8(-3)3 + 18(-3)2 – 8 = 19 => (-3, 19) (obs: note que esse ponto é ponto crítico e também candidato a 
inflexão, os próximos passos definirão se de fato se trata de 
ponto de máximo relativo, mínimo relativo, inflexão ou nenhum 
dos anteriores)
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 1: Determine os intervalos nos quais a função f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8 é crescente, decrescente, côncava ou 
convexa. Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da 
função.
c) encontrar os intervalos de crescimento ou decrescimento: (utilizar derivada de 1ª ordem)
➢ se x < -3: por ex, x = -4: f’(-4) = 4(-4)3 + 24(-4)2 + 36(-4) = -16 = portanto f(x) é decrescente nesse intervalo
➢ se -3 < x < -1: por ex, x = -2: f’(-2) = 4(-2)3 + 24(-2)2 + 36(-2) = -8 = portanto f(x) é decrescente nesse intervalo
➢ se -1 < x < 0: por ex, x = -1/2: f’(-1/2) = 4(-1/2)3 + 24(-1/2)2 + 36(-1/2) = -25/2 = portanto f(x) é decrescente 
nesse intervalo
➢ se x > 0: por ex, x = 1: f’(1) = 4(1)3 + 24(1)2 + 36(1) = 64 = portanto f(x) é crescente nesse intervalo
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 1: Determine os intervalos nos quais a função f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8 é crescente, decrescente, côncava ou 
convexa. Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da 
função.
d) encontrar os intervalos de convexidade ou concavidade: (utilizar derivada de 2ª ordem)
➢ se x < -3: por ex, x = -4: f’’(-4) = 12(-4)2 + 48(-4) + 36 = 36 = portanto f(x) é convexa nesse intervalo
➢ se -3 < x < -1: por ex, x = -2: f’’(-2) = 12(-2)2 + 48(-2) + 36 = -12 = portanto f(x) é côncava nesse intervalo
➢ se -1 < x < 0: por ex, x = -1/2: f’’(-1/2) = 12(-1/2)2 + 48(-1/2) + 36 = 35/3 = portanto f(x) é convexa nesse 
intervalo
➢ se x > 0: por ex, x = 1: f’’(1) = 12(1)2 + 48(1) + 36 = 96 = portanto f(x) é convexa nesse intervalo
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 1: Determine os intervalos nos quais a função f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8 é crescente, decrescente, côncava ou 
convexa. Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da 
função.
e) Construir as “réguas” e classificar os pontos 
críticos e pontos candidatos a inflexão:
Portanto, (-3, 19) e (-1, 3) são pontos de inflexão
e (0, -8) é ponto de mínimo relativo.
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 1: Determine os intervalos nos quais a função f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 – 8 é crescente, decrescente, côncava ou 
convexa. Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da 
função.
f) Gráfico da função: 
(-3, 19) e (-1, 3) são pontos de inflexão
(0, -8) é ponto de mínimo relativo.
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 2: Determine os intervalos nos quais a função f x =
𝑥
(𝑥+1)2
é crescente, decrescente, côncava ou convexa. 
Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da função.
a) encontrar os pontos críticos:
f’(x) = 
−𝑥+1
(𝑥+1)3
➢ f’(x) indefinida => x = -1 
➢ f’(x) = 0 => 
−𝑥+1
(𝑥+1)3
= 0 => x = 1
então, os pontos críticos são: 
f 1 =
1
(1 + 1)2
=
1
4
⇒ (𝟏,
𝟏
𝟒
)
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 2: Determine os intervalos nos quais a função f x =
𝑥
(𝑥+1)2
é crescente, decrescente, côncava ou convexa. 
Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da função.
b) encontrar os candidatos a ponto de inflexão:
f’’(x) = 
2𝑥−4
(𝑥+1)4
➢ f’’(x) indefinida => x = -1
➢ f’’(x) = 0 => 
2𝑥−4
(𝑥+1)4
= 0 => x = 2
então, os candidatos a ponto de inflexão são: 
f(2) = 
2
(2+1)2
= 2/9 => (2, 2/9)
3. Exercícios
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 2: Determine os intervalos nos quais a função f x =
𝑥
(𝑥+1)2
é crescente, decrescente, côncava ou convexa. 
Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da função.
c) encontrar os intervalos de crescimentoou decrescimento: (utilizar derivada de 1ª ordem)
➢ se x < -1: por ex, x = -2: f’(-2) = 
−(−2)+1
(−2+1)3
= -3 = portanto f(x) é decrescente nesse intervalo
➢ se -1 < x < 1: por ex, x = 0: f’(0) = 
−0+1
(0+1)3
= 1 = portanto f(x) é crescente nesse intervalo
➢ se 1 < x < 2: por ex, x = 3/2: f’(3/2) = 
−(
3
2
)+1
(
3
2
+1)3
= -0,032 = portanto f(x) é decrescente nesse intervalo
➢ se x > 2: por ex, x = 3: f’(1) = 
−3+1
(3+1)3
= -1/32 = portanto f(x) é decrescente nesse intervalo
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 2: Determine os intervalos nos quais a função f x =
𝑥
(𝑥+1)2
é crescente, decrescente, côncava ou convexa. 
Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da função.
d) encontrar os intervalos de convexidade ou concavidade: (utilizar derivada de 2ª ordem)
➢ se x < -1: por ex, x = -2: f’’(-2) = 
2(−2)−4
(−2+1)4
= -8 = portanto f(x) é côncava nesse intervalo
➢ se -1 < x < 1: por ex, x = 0: f’’(0) = 
2(0)−4
(0+1)4
= -4 = portanto f(x) é côncava nesse intervalo
➢ se 1 < x < 2: por ex, x = 3/2: f’’(3/2) = 
2(
3
2
)−4
(
3
2
+1)4
= -16/625 = portanto f(x) é côncava nesse intervalo
➢ se x > 2: por ex, x = 3: f’’(3) = 
2(3)−4
(3+1)4
= 2/256 = portanto f(x) é convexa nesse intervalo
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 2: Determine os intervalos nos quais a função f x =
𝑥
(𝑥+1)2
é crescente, decrescente, côncava ou convexa. 
Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da função.
e) Construir as “réguas” e classificar os pontos críticos 
e pontos candidatos a inflexão:
Portanto, (2, 2/9) é ponto de inflexão, (1, 1/4) é ponto 
de máximo relativo (e x = -1 não é máximo, mínimo e 
nem inflexão)
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH
Exercício 2: Determine os intervalos nos quais a função f x =
𝑥
(𝑥+1)2
é crescente, decrescente, côncava ou convexa. 
Calcule também os pontos de máximo e mínimos relativos e os pontos de inflexão. Construa o gráfico da função.
f) Gráfico da função:
(2, 2/9) é ponto de inflexão
(1, 1/4) é ponto de máximo relativo
(e x = -1 não é máximo, mínimo e nem inflexão)
3. Exercícios (continuação)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT EACH