Cálculo I_derivada parte 1

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Cálculo I: Derivada parte 1 
ACH 4532 Cálculo I - Marketing
Prof. Andrea Lucchesi
Agenda
1. Recapitulando: retas tangente e secante
2. Derivadas
3. Derivada: definição e notações
4. Cálculo da derivada
Referência: 
Cap 5: págs 128 a 133 (seções 5.1 e 5.2)
Cap 5: págs 146 e 147 (seção 5.8)
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
Agenda
1. Recapitulando: retas tangente e secante
2. Derivadas
3. Derivada: definição e notações
4. Cálculo da derivada
Referência: 
Cap 5: págs 128 a 133 (seções 5.1 e 5.2)
Cap 5: págs 146 e 147 (seção 5.8)
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
1. Recapitulando: retas tangente e secante
EACH
• Dado um ponto (𝑥0, 𝑦0 ) do gráfico da função f(x) abaixo, queremos calcular o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico nesse ponto (que é aproximadamente a inclinação do gráfico nesse ponto ou a taxa média de variação da
função nesse ponto):
• Coeficiente angular =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦
1
−𝑦
0
𝑥
1
−𝑥
0
• Porém, conhecemos apenas um ponto
na reta tangente (𝑥0, 𝑦0 );
• Por definição, a reta tangente tangencia
o gráfico da função em apenas um ponto.
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1. Recapitulando: retas tangente e secante (continuação)
EACH
• Precisamos então de outra maneira para calcular o coeficiente angular.
• Uma forma possível é aproximar a tangente por
outras retas que ligam a tangente a outros pontos
vizinhos ao gráfico de f(x).
• Essas retas são chamadas de secantes e são boas
aproximações de tangentes, desde que o ponto de
vizinhança (𝑥1, 𝑦1 ) esteja próximo ao ponto dado.
• Assim, a partir do coeficiente angular da secante é
possível aproximar a taxa de variação da tangente
(ou coeficiente angular da tangente).
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EACH
• Coeficiente angular da secante =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥
0
+∆𝑥 −𝑓(𝑥
0
)
𝑥
0
+∆𝑥 −𝑥
0
• É uma aproximação do coeficiente angular da tangente;
• Quanto menor o valor de ∆𝒙, melhor será a aproximação,
pois dessa forma o ponto (𝑥0+ ∆𝑥 , 𝑓 𝑥0+ ∆𝑥 ) fica mais
próximo do ponto dado inicial (𝑥0, 𝑦0 ) ou (𝑥0, 𝑓(𝑥0 )).
• Assim, o coeficiente angular da tangente será obtido quando
o valor de ∆𝑥 tende a zero.
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1. Recapitulando: retas tangente e secante (continuação)
Agenda
1. Recapitulando: retas tangente e secante
2. Derivadas
3. Derivada: definição e notações
4. Cálculo da derivada
Referência: 
Cap 5: págs 128 a 133 (seções 5.1 e 5.2)
Cap 5: págs 146 e 147 (seção 5.8)
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
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EACH
Seja a função f(x) = x2 e o ponto genérico (𝑥0, 𝑥0
2).
• Coeficiente angular da secante =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑥
0
+∆𝑥 2−𝑥0
2
∆𝑥
• Coeficiente angular da tangente =
lim
∆𝒙→0
(
𝑥
0
+∆𝑥 2−𝑥0
2
∆𝑥
)
= Derivada no ponto genérico (𝑥0, 𝑥0
2)
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2. Derivadas
Agenda
1. Recapitulando: retas tangente e secante
2. Derivadas
3. Derivada: definição e notações
4. Cálculo da derivada
Referência: 
Cap 5: págs 128 a 133 (seções 5.1 e 5.2)
Cap 5: págs 146 e 147 (seção 5.8)
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
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EACH
Seja a função f(x) e o ponto genérico (𝑥0, 𝑥0+ ∆𝑥)
• A derivada da função f(x) em um ponto genérico será:
• ou
• Notação de derivada: 𝑓′ 𝑥 ,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
,
𝑑𝑓
𝑑𝑥
Exemplo: Seja f(x) = x2 , a derivada em um ponto genérico pode ser denotada por:
𝑓′ 𝑥 = 2x ou
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2x ou
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2x
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3. Derivada: definição e notações
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
(
𝒇 𝒙𝟎+∆𝒙 −𝒇(𝒙𝟎)
∆𝒙
) 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
(
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝒙
)
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1. Recapitulando: retas tangente e secante
2. Derivadas
3. Derivada: definição e notações
4. Cálculo da derivada
Referência: 
Cap 5: págs 128 a 133 (seções 5.1 e 5.2)
Cap 5: págs 146 e 147 (seção 5.8)
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EACH
Exemplo 1: Calcule a derivada da função f(x) = 2x2 + 3 em um ponto x genérico (𝑥, 𝑥 + ∆𝑥):
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
∆𝑦
∆𝑥
) = lim
∆𝑥→0
(
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
) (1)
• Calcular 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 2 𝑥 + ∆𝑥 2 + 3
• Substituir em (1):
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
2 𝒙+∆𝒙 2 + 3 −(2x2 + 3)
∆𝑥
)
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4. Cálculo de Derivada
EACH
Exemplo 1: Calcule a derivada da função f(x) = 2x2 + 3 em um ponto x genérico (𝑥, 𝑥 + ∆𝑥):
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
2 𝒙+∆𝒙 2 + 3−(2x2 + 3)
∆𝑥
) =
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
2(x2 + 2x ∆𝒙 + ∆𝒙 𝟐 + 3−(2x2 + 3)
∆𝑥
) =
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
2x2 + 4x ∆𝒙 +𝟐 ∆𝒙 𝟐 + 3 −2x2 − 3)
∆𝑥
) =
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
4x ∆𝒙 +𝟐 ∆𝒙 𝟐 )
∆𝑥
) =
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4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 1: Calcule a derivada da função f(x) = 2x2 + 3 em um ponto x genérico (𝑥, 𝑥 + ∆𝑥):
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
∆𝒙 (𝟒𝒙 +𝟐∆𝒙)
∆𝑥
) =
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(4𝑥 + 2∆𝑥) =
𝒇′ 𝒙 = 𝟒𝒙
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4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 2: Calcule a derivada da função f(x) = 2x2 + 3 em x = 1:
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
) (1)
a) Se x = 1 , quanto vale o y correspondente?
f(x) = 2x2 + 3
f(1) = 2(1)2 + 3 = 2 + 3 = 5
Portanto, tem-se o par ordenado (1, 5)
Então, f(x) nesse caso é f(1) = 5
b) Calcular 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
𝑓 1 + ∆𝑥 = 2 1 + ∆𝑥 2 + 3
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4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 2: Calcule a derivada da função f(x) = 2x2 + 3 em x = 1:
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
) (1)
• Substituir a) e b) em (1):
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝒇 𝟏+∆𝒙 −𝒇(𝟏)
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
2 𝟏+∆𝒙 2 + 3 − 𝟓
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
2 𝟏+𝟐∆𝒙+(∆𝒙 2 + 3− 𝟓
∆𝑥
)
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4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 2: Calcule a derivada da função f(x) = 2x2 + 3 em x = 1:
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
2 𝟏+𝟐∆𝒙+(∆𝒙 2 + 3− 𝟓
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
2 + 𝟒∆𝒙+ 2∆𝒙2 + 3− 𝟓
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝟒∆𝒙+ 2∆𝒙2
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
∆𝒙 (𝟒 +𝟐∆𝒙)
∆𝑥
) =
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4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 2: Calcule a derivada da função f(x) = 2x2 + 3 em x = 1:
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(4 + 2∆𝑥) =
𝒇′ 𝒙 = 𝟒
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4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 3: Calcule a derivada da função f(x) =
1
𝑥
em um ponto x genérico (𝑥, 𝑥 + ∆𝑥):
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
) (1)
• Calcular 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 =
1
𝑥+∆𝑥
• Substituir em (1):
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝑥
)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT
4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 3: Calcule a derivada da função f(x) =
1
𝑥
em um ponto x genérico (𝑥, 𝑥 + ∆𝑥)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝟏
𝒙+∆𝒙
−
𝟏
𝒙
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝒙 −(𝒙+∆𝒙)
𝒙(𝒙+∆𝒙)
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
−∆𝒙
𝒙(𝒙+∆𝒙)
∆𝑥
)
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𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝟏
𝟑+𝟓
−
𝟏
𝟑
5
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝟑 −(𝟑+𝟓)
𝟑(𝟑+𝟓)
5
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
𝟑 −(𝟖)
𝟐𝟒
5
)
4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 3: Calcule a derivada da função f(x) =
1
𝑥
em um ponto x genérico (𝑥, 𝑥 + ∆𝑥)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
−∆𝒙
𝒙(𝒙+∆𝒙)
∆𝑥
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
[ (
−∆𝒙
𝒙(𝒙+∆𝒙)
) .
1
∆𝑥
]
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
[ (
−𝟏
𝒙(𝒙+∆𝒙)
)]
𝒇′ 𝒙 =
−𝟏
𝒙𝟐
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𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
−𝟓
𝟐𝟒
5
)
𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
−𝟓
𝟐𝟒
𝟓
𝟏
)𝑓′ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
(
−𝟓
24
. 
𝟏
5
)
4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 4: Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) =
1
𝑥
, quando x = 2:
a) Se x = 2 , quanto vale o y correspondente?
f(x) =
1
𝑥
f(2) =
1
2
Portanto, tem-se o par ordenado (2,
1
2
)
b) Para encontrar a reta tangente, utilizar por ex, y – y0 = m (x – x0)
ACH 4532 – Cálculo I_ MKT
4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 4: Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) =
1
𝑥
, quando x = 2:
b) Para encontrar a reta tangente, utilizar por ex, y – y0 = m (x – x0)
Como já temos um ponto por onde passa a reta, falta encontrar o m (= coeficiente angular = derivada no ponto)
𝒇′ 𝒙 =
−𝟏
𝒙𝟐
𝒇′ 𝟐 =
−𝟏
𝟐𝟐
=
−𝟏
𝟒
= 𝒎
Portanto, y – y0 = m (x – x0) => y –
1
2
=
−𝟏
𝟒
(x – 2) => y –
1
2
=
−𝟏
𝟒
x +
1
2
=> y =
−𝟏
𝟒
x + 1
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4. Cálculo de Derivada (continuação)
EACH
Exemplo 4: Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) =
1
𝑥
, quando x = 2:
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4. Cálculo de Derivada (continuação)
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Anexo
EACH
• Exemplo 2: Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 no ponto genérico (𝑥0, 𝑥0
2).
• Coeficiente angular da secante =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥
0
+∆𝑥 −𝑓(𝑥
0
)
𝑥
0
+∆𝑥 −𝑥
0
=
𝑥
0
+∆𝑥 2−𝑥0
2
𝑥
0
+∆𝑥 −𝑥
0
=
𝑥0
2+2𝑥
0
∆𝑥+(∆𝑥)2−𝑥0
2
∆𝑥
• Coeficiente angular da secante =
2𝑥
0
∆𝑥+(∆𝑥)2
∆𝑥
=
∆𝑥 (2𝑥
0
+∆𝑥)
∆𝑥
=𝟐𝒙𝟎 + ∆𝒙
• Se ∆𝑥 tender a zero:
coeficiente angular da tangente = lim
∆𝒙→0
(2𝑥0 + ∆𝒙) = 𝟐𝒙𝟎
• Ou seja, quando ∆𝑥 tende a zero, o coeficiente angular da secante tende a 𝟐𝒙𝟎 , igualando ao coeficiente angular
da tangente no ponto (𝑥0, 𝑥0
2).
• Por exemplo, no ponto (2,4), o coeficiente angular da tangente = 2.2 = 4 , idem ao encontrado no exercício anterior.
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5. Cálculo de coeficiente angular de funções não lineares (continuação)