Bases da matemática para ciências

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13/04/2024, 16:45 Bases da matemática para ciências
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Autoria: Thiago Fernando Mendes - Revisão técnica: Sheila Motta Steffen do Nascimento
Bases da matemática para ciências
UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO AOS CÁLCULOS
DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Você sabe por que dizemos que a matemática é a base
de todas as outras ciências? Será mesmo que ela está
presente em todas as nossas ações cotidianas? Como
aprender a respeito dela nos auxilia para atuarmos com
mais presença na sociedade?
Entre os pesquisadores de ciências, é unânime o
entendimento de que a matemática está presente em
todos os segmentos das nossas vidas.
Consequentemente, diversas ações são permeadas por
ela, mesmo que essa presença não esteja, necessariamente, explícita nos atos.
Muitas vezes, relacionamos a matemática a ações como comprar algo, dar um troco e, até mesmo,
calcular a quantidade de ingredientes para se fazer um bolo. No entanto, ela se faz presente em
diferentes eventos cotidianos para além disso, como atravessar a rua, em que a pessoa observa a
aceleração do carro e define, pela distância, se é ou não possível avançar sem sofrer um acidente.
Essa decisão é resultado de um cálculo mental, em que se analisa a derivada segunda da função
“aceleração do carro”.
Assim, em síntese, nossos objetivos de aprendizagem nesta unidade serão revisar tópicos de
álgebra, operação de radiciação, bem como funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.
Também estudaremos quanto ao conceito de limite e definições, técnicas de resolução de limites,
limites envolvendo infinito e funções contínuas. Por fim, associaremos funções e comportamentos
conforme processos naturais, fenomenológicos e teorização matemática.
Vamos começar a unidade abordando conceitos básicos relacionados às funções matemáticas que
nos auxiliarão, posteriormente, a compreender muitas das propriedades e operações que
efetuaremos em cálculo diferencial e integral.
Bons estudos!
Introdução
1.1 Visão geral do pré-
cálculo
O preço da corrida de um táxi, a velocidade de um chute para que a bola possa atingir o gol, a idade de um
fóssil com base na concentração cálcica, o tempo necessário que a pipoca deve ficar no micro-ondas para que
todos os milhos estourem… Todos são exemplos de situações que podem ser descritas matematicamente, ou
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seja, podem ser traduzidas da linguagem natural para uma linguagem matemática.
Essa descrição ou tradução para a linguagem matemática é o que encontramos na literatura denominada como
“modelagem matemática”. Nesse sentido, de acordo com Bassanezi (2015, p. 16), trata-se da “[...] arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real”.
Dessa maneira, normalmente, tal transformação é feita com o uso de funções matemáticas — em seus
diferentes tipos —, de acordo com as especificidades e os comportamentos de cada situação.
As funções possuem características e propriedades específicas, sendo que todas podem ser representadas e
expressas de diferentes formas: tabelas, gráficos, fórmulas, descrição verbal, entre outras.
Assim, ao longo deste tópico, iremos discutir as características, propriedades e formas de representação de
alguns tipos de funções. Acompanhe o conteúdo!
1.1.1 Revisão de álgebra
A álgebra pode ser definida como um ramo da matemática que, de modo geral, tem como objetivo generalizar
a aritmética. Em outras palavras, na álgebra são testadas a veracidade e eficácia de todos os conceitos e as
operações advindas da aritmética — como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação
— para os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos. Isto é, caminhamos em busca de uma
generalização matemática, utilizando letras no lugar de números (DEMANA et al., 2009).
Com isso, é importante destacar que essa generalização permitiu a instituição de propriedades algébricas
essenciais para nossos estudos matemáticos posteriores: associatividade, comutatividade, existência de
elemento neutro na adição e multiplicação, existência de elemento simétrico e distributividade.
Vamos revisar rapidamente do que se trata cada uma dessas propriedades?
Para conhecer um pouco mais sobre a modelagem matemática,
com foco em procedimentos matemáticos básicos, indicamos a
leitura do livro Modelagem Matemática na Educação Básica. A
obra, escrita por Lourdes Werle de Almeida, Karina Pessoa da
Silva e Rodolfo Eduardo Vertuan, apresenta uma série de
problemáticas oriundas de situações cotidianas que podem ser
solucionadas por meio da matemática. Vale a leitura!
Você quer ler?
Propriedade associativa: no conjunto dos números reais, a ordem em que os fatores estão agrupados em
uma adição ou multiplicação não altera o resultado. Ex.: ou
.
Propriedade comutativa: a ordem dos fatores não altera o resultado. Ex.: ou .
Existência de elemento simétrico: elemento cuja utilização resulta no elemento neutro da operação. Ex.:
 ou .
Você sabia?
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Essas cinco propriedades serão úteis quando formos explorar as operações com determinados tipos de
funções, como as que serão discutidas no item a seguir. Tente se lembrar e acompanhe o contexto com
atenção!
1.1.2 Revisão de funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas
Antes de começarmos a discutir especificamente os tipos de funções, cabe recordarmos a definição do termo
“função”.
Stewart (2017a, p. 10) o define como “[…] uma lei que associa, a cada elemento em um conjunto D,
exatamente um elemento, chamado , em um conjunto E”. Assim, temos que os conjuntos D e E são,
respectivamente, o domínio e o contradomínio da função . Observe a figura a seguir para entender melhor.
Sempre que estamos solucionando uma equação de primeiro grau e
precisamos isolar a incógnita em um dos lados da equação, estamos
aplicando a propriedade da existência do elemento simétrico. No entanto,
apesar de nos referirmos à ela como “propriedade da existência do
elemento simétrico nos lados da equação”, também é conhecida como
“passa para lá”: . Neste caso, o 1 está negativo, mas “passa para
lá” positivo, resultando em .
Existência de elemento neutro: elemento cuja utilização não altera o resultado da operação (1 para
multiplicação e 0 para adição). Ex.: ou .
Propriedade distributiva: o fator multiplicativo deve incidir nos termos da adição. Ex.:
.
Na educação básica, é comum que os professores associem a
propriedade distributiva à uma técnica denominada “chuveirinho”. Isso
porque, ao fazer com que o fator multiplicativo incida nos termos da
adição, traça-se uma linha do primeiro ao segundo termo, depois do
primeiro até o terceiro. Com esse desenho parece que o fator
multiplicativo está “molhando” os outros termos com um “chuveirinho”.
Você sabia?
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#PraCegoVer: na figura, temos um diagrama de flechas com dois conjuntos (D e E). No conjunto D (domínio
da função ), encontramos os elementos e ligados aos elementos e do conjunto E
(contradomínio).
Como já mencionado, cada tipo de função possui características e propriedades próprias e,
consequentemente, definições específicas. A função exponencial, por exemplo, é definida da seguinte
maneira por Demana et al. (2009): é chamada de função exponencial quando , com
 e .
Neste ponto,vale lembrar conceitos importantes sobre potenciação, de acordo com as ideias de Iezzi e
Murakami (1993): para a expressão , denominamos de base o número real ; expoente o número natural 
maior do que 1; e potência o resultado da operação.
Um exemplo de função exponencial é . Aqui, temos como expoente e variável independente,
enquanto é variável dependente. Graficamente, o comportamento dessa função é ilustrado na figura a
seguir.
Figura 1 - Diagrama de flechas da função
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de -2 a 2, e eixo das
ordenadas indo de -1 a 3. Neste plano, há uma curva exponencial representando o comportamento gráfico da
função .
Além disso, a função exponencial, a depender do valor da base, pode ser crescente ou decrescente, conforme
podemos observar na próxima figura.
Figura 2 - Comportamento gráfico da função exponencial 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na figura, temos a comparação entre os comportamentos gráficos de duas funções
exponenciais distintas. Em , o comportamento é crescente, já que a base (3) é maior do que 1. Já
em , o comportamento é decrescente, uma vez que a base está entre 0 e 1 (0,33
aproximadamente).
Ainda sobre as funções representadas na figura anterior, vale destacar que a intersecção da curva exponencial
com o eixo é no eixo das coordenadas (0, 1), ao passo que a curva exponencial não intercepta o eixo em
nenhum ponto, já que ela é definida acima desse eixo.
A função logarítmica, por sua vez, é definida por Demana et al. (2009) da seguinte maneira: a função
, dada por com e , é denominada de função logarítmica. Um exemplo é
. Graficamente, seu comportamento se dá por:
Figura 3 - Comportamento gráfico das funções exponenciais (crescente) e (decrescente)
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de -2 a 2, e eixo das
ordenadas indo de -1 a 3. Neste plano, há uma curva logarítmica representando o comportamento gráfico da
função .
Além disso, analogamente à função exponencial, a depender do valor da base, a função logarítmica também
pode ser crescente ou decrescente. Vejamos a figura a seguir para compreender.
Figura 4 - Comportamento gráfico da função logarítmica 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na figura, temos a comparação entre os comportamentos gráficos de duas funções logarítmicas
distintas. Em , o comportamento é crescente, já que a base (10) é maior que 1. Já em
, o comportamento é decrescente, uma vez que a base está entre 0 e 1 (0,1
especificamente).
Ainda sobre as funções representadas na figura anterior, a intersecção da curva logarítmica com o eixo é no
eixo das coordenadas (0, 1), enquanto a curva logarítmica não intercepta o eixo em nenhum ponto, já que ela
é definida à direita deste eixo.
Por fim, temos as chamadas funções trigonométricas, que, em síntese, dividem-se em três principais
funções: seno, cosseno e tangente, cada uma com suas definições e seus comportamentos gráficos.
Conforme Iezzi e Murakami (1993), a função seno pode ser definida como , dada por
, que associa a cada número real um único número , também real. Seu comportamento
gráfico é ilustrado a seguir.
Figura 5 - Comportamento gráfico das funções logarítmicas (crescente) e (decrescente)
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a , e eixo das
ordenadas indo de -1 a 1. Neste plano, há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico
da função .
Já a função cosseno pode ser definida como , dada por , que associa a cada número
real um único número , também real (DEMANA et al., 2009). Vejamos a figura na sequência.
#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a , e eixo das
ordenadas indo de -1 a 1. Neste plano, há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico
da função .
Por fim, mas não menos relevante, a função tangente é definida como , com ,
dada por , que associa a cada número real um único número , também real (DEMANA et
al., 2009). O comportamento gráfico da função é ilustrado a seguir.
Figura 6 - Comportamento gráfico da função seno 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
Figura 7 - Comportamento gráfico da função cosseno 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a , e eixo das
ordenadas indo de -2 a 3. Neste plano, há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico
da função .
Com relação aos fenômenos naturais, a aplicação das funções trigonométricas — assim como outras — está
relacionada aos comportamentos que chamamos de “periódicos” ou “repetitivos”. Vai além de uma limitação
falsa de que tais funções estão restritas a aplicações de fórmulas prontas e acabadas.
Revisados os tipos de funções e seus principais comportamentos gráficos, agora temos condições de seguir
com nossos estudos de cálculos diferencial e integral, explorando, inicialmente, os limites de uma função.
Contudo, antes disso, vale revisarmos uma propriedade matemática de grande valia para quando formos
estudar as técnicas de resolução de limites. Trata-se da radiciação, que será revisada na sequência. Confira!
1.1.3 Revisão de radiciação
Segundo Faccin (2015), a radiciação pode ser entendida como a operação inversa à potenciação. Isto é,
enquanto esta diz respeito à uma multiplicação em que todos os fatores são iguais; na radiciação, tem-se como
intuito “descobrir” quais são esses fatores, dando o resultado da multiplicação.
Figura 8 - Comportamento gráfico da função tangente 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
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Por exemplo, dizemos que a raiz sexta de 729 é igual a 3 — matematicamente, é o equivalente a ,
sendo 6 o índice, 729 o radicando e o símbolo o radical. Por se tratar de raiz sexta, estamos deixando claro
que procuramos um número, o qual, multiplicado por ele mesmo seis vezes, tem como resultado o produto
729.
Ao todo, são cinco as principais propriedades da radiciação, as quais conheceremos com o recurso a seguir.
Clique em cada um deles!
A raiz enésima de um número elevado a é igual a esse mesmo número: . 
Índice e expoente do radicando podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número. Assim,
dados os números reais , e , teremos que .
Para simplificar a raiz de uma raiz, basta multiplicar seus índices. Matematicamente, isso pode ser
representado da seguinte forma: .
A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas: . 
A raiz enésima da razão é igual à razão das raízes enésimas: .
Primeira propriedade
Segunda propriedade
Terceira propriedade
Quartapropriedade
Quinta propriedade
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Revisadas as propriedades, no próximo tópico, iniciaremos nossas discussões sobre limites de uma função.
1.2 Limite de
função
A Teoria dos Limites descreve, matematicamente, o comportamento de uma função conforme “[…] seu
argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de
números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo” (FACCIN, 2015, p. 17).
O conceito de limite tem fundamental importância no contexto dos cálculos diferencial e integral, uma vez que
está ligado à uma série de saberes composta por álgebra, funções, continuidade, derivadas e integrais. Os três
últimos conceitos, os quais fazem parte do programa desta disciplina, só poderão ser entendidos se, antes, for
compreendida a Teoria dos Limites, intuito deste tópico. Vamos lá?
1.2.1 Introdução ao conceito de limite e definições
Antes de discutirmos formalmente a conceituação de limite, devemos explorar sua noção intuitiva. Para tanto,
iremos analisar o comportamento da função para valores de próximos a 2.
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#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 0 a 4, e eixo das
ordenadas indo de 0 a 5. Neste plano, há uma parábola crescente — com concavidade virada para cima —
representando o comportamento gráfico da função . Além disso, constam duas flechas
vermelhas apontadas para o ponto 2 no eixo das abscissas, representando os limites pela direita e pela
esquerda.
Fazendo a representação tabular dessa função, aproximando-se do ponto 2 pela esquerda, encontramos os
seguintes dados:
Figura 9 - Representação gráfica da função quadrática 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na tabela, composta por duas colunas e oito linhas, temos os valores crescentes de 1 a 1,999
sendo aplicados na função .
Entretanto, ao fazermos a representação tabular da mesma função, aproximando-se do ponto 2 pela direita,
encontramos que:
#PraCegoVer: na tabela, composta por duas colunas e oito linhas, temos os valores decrescentes de 3 a 2,001
sendo aplicados na função .
Atente-se que, ao aproximar o valor de ao ponto 2, temos que o valor de tende a um valor específico,
neste caso, 4. Isso ocorre porque o limite da função , quando tende a 2, é igual a 4. 
Tabela 1 - Valores da função próximos ao ponto 2 (pela esquerda)
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
Tabela 2 - Valores da função próximos ao ponto 2 (pela direita)
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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Dessa forma, suponha que seja definido quando está próximo ao número . Isso significa que é definido
em algum intervalo aberto que contenha , exceto, possivelmente, no próprio . 
Então, escrevemos e mencionamos que o limite de , quando tende a , é igual a ,
isso se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de — tão próximos de quanto
quisermos —, ao tomar suficientemente próximo de — pelos lados de —, mas não necessariamente igual
a .
Além disso, com relação aos limites laterais, escrevemos e dizemos que o limite à esquerda de
, quando tende a , é igual a se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de ,
para suficientemente próximo de e menor do que (THOMAS, 2008).
Por outro lado, escrevemos e dizemos que o limite à direita de , quando tende a , é igual
a se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de , para suficientemente próximo de
 e maior do que (THOMAS, 2008).
Vale ressaltar, ainda, que o existe se, e somente se, os limites laterais forem iguais.
São nove as principais propriedades de limites, conforme apresentadas por Fernandes (2014) e dispostas nos
itens a seguir:
Considerando as definições e propriedades apresentadas até aqui, passemos, agora, a discutir algumas
técnicas de resolução de limites. Acompanhe!
1.2.2 Técnicas de resolução de limites
São diversas as técnicas possíveis para resolução de limites. Para analisarmos o valor do limite, caso exista,
devemos substituir o valor de na função. Esse procedimento nos permite verificar o comportamento da
função em torno do ponto. No entanto, em alguns casos, quando substituímos o valor de na função,
podemos encontrar resultados como os elencados por Thomas (2008):
;
;
;
, se ;
, em que é um inteiro positivo;
 e ;
, em que é um inteiro positivo;
, em que é um inteiro positivo (se for par, supomos que );
, em que é um inteiro positivo (se for par, supomos que ).
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Por exemplo, peguemos . Trata-se de uma indeterminação do tipo , mais
comum quando aplicamos o limite direto.
Como no exemplo temos uma divisão de polinômios, a primeira alternativa para superar a indeterminação é
fatorar o numerador e o denominador em função de suas raízes. Para determinar as raízes do polinômio de
segundo grau, certos procedimentos podem ser utilizados, como a ideia de soma e produto, a Fórmula de
Bhaskara ou o Briot-Ruffini.
Para o exemplo, indicamos usar soma e produto no numerador, e Bhaskara no denominador. Assim, temos
. Realizando as simplificações possíveis, temos que . Agora, tendo em
vista que a indeterminação foi superada, basta aplicar o limite: .
Outra técnica de resolução de limites envolve a racionalização do numerador da função, ou seja, multiplicá-lo
pelo inverso do numerador. Por exemplo, peguemos
. Agora,
aplicando o limite direto, temos .
Divisão por zero
Significa que a medida que se aproxima de à função tende ao infinito ou a menos infinito.
1
Indeterminações do tipo   e 
Utilizamos métodos específicos para resolver este tipo de indeterminação.
2
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
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Além dos exemplos apresentados, que tendem a valores específicos, existem limites que envolvem infinitos e
funções contínuas, conforme veremos no próximo item mais detalhadamente. Confira o conteúdo!
1.2.3 Limites envolvendo infinito e funções contínuas
Por vezes, os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem
sem cotas. Tais comportamentos são descritos por ou .
Nesse contexto, a reta é chamada de assíntota vertical da curva se ao menos uma das
seguintes condições estiver satisfeita, conforme nos ensina Fernandes (2014): , ,
, , ou .
Além disso, uma função é contínua em um número se:
Conhecendo a definição de limite, assim como as principais técnicas de resolução e limites envolvendo
continuidade e infinito, iremos relacionarmos tais conceitos a processos naturais e fenômenos cotidianos.
Antes, no entanto, vamos colocar a teoria em prática com um problema?
O filme O Homem Que Viu O Infinito, dirigido por Matt Brown,
aborda de maneira interessante a questão do “infinito” na
matemática. Em síntese, trata-se de uma história de amizade que
transformou a disciplina de forma bastante efetiva. O longa se
passa no ano de 1913, quando um homem autodidata e gênio da
matemática, chamado Ramanujan, viaja da Índia para o Colégio
Trinity, na Universidade de Cambridge, onde se aproxima do seu
mentor, o excêntrico professor GH Hardy.Com isso, luta para
mostrar ao mundo sua mente brilhante, apesar de todos os
desafios e preconceitos. Vale assistir!
Você quer ver?
 está definida ( está no domínio de );
 existe;
.
1.3 Natureza e processos
naturais
Como já discutido no início da unidade, a presença da matemática em diversas situações do cotidiano é uma
unanimidade entre os teóricos das áreas exatas e aplicadas. Bassanezi (2015, p. 16), por exemplo, menciona
que
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A modelagem matemática, apesar de parecer algo complexo e que envolve uma matemática mais “sofisticada”,
não necessariamente pode ser feita apenas no ambiente universitário. São inúmeras as pesquisas que
desenvolvem projetos de modelagem matemática com crianças da Educação Infantil, por exemplo. É possível
estudar princípios básicos da área, como a contagem, a partir de fenômenos simples e corriqueiros na vida dos
pequenos.
Tortola (2016) é um dos pesquisadores que desenvolveram atividades de modelagem matemática com
crianças nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Entre as situações exploradas na pesquisa, podemos citar o
crescimento da unha, que tem um comportamento linear crescente (função afim).
Assim, vamos estudar algumas aplicabilidades dos conceitos e das propriedades expostas anteriormente em
situações cotidianas e fenômenos naturais?
Neste primeiro momento, veremos a aplicabilidade de funções trigonométricas na determinação de custos
máximos e mínimos. Suponha que você trabalhe na área de planejamento de uma indústria de peças
mecânicas. Após estudos, descobriu o custo unitário de uma dessas peças em reais, que pode ser descrita de
acordo com a lei , com medido em horas de trabalho.
A partir dessa função, você deve determinar quais são os custos máximos e mínimos da produção dessa peça.
Para o custo máximo, encontramos . Inicialmente, é preciso se atentar ao fato de
que estamos trabalhando com uma função seno, logo, o custo máximo será quando , ou seja,
quando . Disso, temos que . Assim,
.
Para o custo mínimo, temos . Ele se dará quando , ou seja, quando
. Disso, temos que . Assim, encontramos
.
Outra aplicabilidade desse tipo de função pode ser evidenciada no cálculo da duração do dia. Por exemplo,
após a observação da duração do dia em determinada cidade brasileira, definiu-se uma função que descreve
seu período, considerando a duração como a diferença de tempo entre o pôr do sol e o seu nascer. A função é
Partindo do pressuposto de que todas as ciências são, ao mesmo tempo, empíricas e teóricas, saberes em que a busca
da verdade deve ser impulsionada por indicações empíricas aliadas à atividade criadora a procura de leis (formulação
de problemas e ensaios de hipóteses a serem testadas e avaliadas) para as quais a utilização da lógica e das
ferramentas matemáticas é fundamental, é fácil percebermos o potencial da aplicação da modelagem nos campos
científicos com métodos e finalidades comuns.
Rodney Carlos Bassanezi é um matemático brasileiro e professor titular da
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). É uma importante
referência na área de modelagem matemática e um dos pioneiros no estudo
desta no Brasil. Ele concluiu seu doutorado em Matemática pela
Universidade Estadual de Campinas em 1977 e, deste então, já publicou
mais de 40 artigos em periódicos especializados e mais de 30 trabalhos em
anais de eventos, todos relacionando fenômenos da natureza à matemática.
Atualmente, possui cinco livros publicados.
Você o conhece?
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dada por , em que é a quantidade de dias e é dado em horas. Com
base nessas informações, vamos determinar a duração do dia 25/02?
Inicialmente, temos que nos atentar ao fato de que o dia 25/02 corresponde ao dia 56 do ano, logo,
horas. Isto é, o dia 25/02 tem, aproximadamente, 10 horas e 45 minutos.
A equipe que gerencia a praia de Porto de Galinhas, em Recife, Pernambuco,
fez o uso de funções trigonométricas para otimizar os horários de visitação dos
turistas às piscinas naturais, há alguns anos atrás.
Ao observar o movimento das marés, os trabalhadores do local perceberam que
apenas em alguns momentos do dia ela estava baixa o suficiente para que os
turistas pudessem enxergar os peixes. Assim, para determinar o melhor horário
para visita, visando à observação dos animais, a equipe determinou a seguinte
função trigonométrica: , para dado em
horas (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012).
A quantidade de usuários de internet no Brasil é uma situação que pode ser analisada a partir de alguns dos
conceitos que vimos neste tópico. Ao observar o fenômeno do aumento exponencial do número de usuários
durante os últimos 10 anos, Mendes e Almeida (2020) encontraram o modelo que descreve a quantidade de
usuários de internet em função do ano: , sendo o número de usuários
no Brasil em milhões, e o tempo em anos.
Dentro desse contexto, como poderíamos determinar a quantidade máxima de pessoas que terão acesso à
internet no Brasil ao longo dos anos?
Pensando matematicamente na questão, estamos querendo saber qual é o limite da função quando 
tende ao infinito. Assim, temos que:
. Logo, o máximo
de brasileiros que terão acesso à internet ao longo dos anos será 230 milhões, de acordo com o modelo de
Mendes e Almeida (2020).
Assim, uma das aplicabilidades da Teoria dos Limites está relacionada a estudos prescritivos, ou seja, que
visam prever o comportamento de fenômenos ao longo do tempo. Isso é muito útil para atividades que
envolvem a modelagem matemática.
Caso
Conclusão
13/04/2024, 16:45 Bases da matemática para ciências
https://codely-fmu-content.s3.amazonaws.com/Moodle/EAD/Conteudo/SAU_BAMACI_21/unidade_1/ebook/index.html#section_3 21/22
Chegamos ao fim da primeira unidade da disciplina de Bases da Matemática
para Ciências. Aqui, foi possível discutirmos, mesmo que de maneira breve,
algumas aplicabilidades da matemática em situações que, muitas vezes, em um
primeiro momento, não envolviam, necessariamente, conteúdos matemáticos.
Isso nos mostra o quão importante é a matemática para a nossa vida e,
consequentemente, para o desenvolvimento das demais ciências.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
revisar tópicos de álgebra e estudar sobre as funções trigonométricas,
exponenciais e logarítmicas;
compreender as principais propriedades da radiciação;
entender o conceito de limite, a partir da sua noção intuitiva;
conhecer as definições da Teoria dos Limites e algumas das principais técnicas
de resolução de limites;
compreender determinadas propriedades de limites envolvendo infinito e
funções contínuas;
associar funções — em especial as revisadas — e comportamento conforme
processos naturais, fenomenológicos e teorização matemática.
ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem
matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012.
BASSANEZI, R. C. Modelagem matemática: teoria e prática. São Paulo:
Contexto, 2015.
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson, 2009.
FACCIN, G. M. Elementos de cálculo diferencial e integral. São Paulo: InterSaberes, 2015.
FERNANDES, D. B. (org.). Cálculo diferencial. São Paulo: Pearson, 2014.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar 1: conjuntos e funções. 7. ed.
São Paulo: Atual, 1993.
MENDES, T. F.; ALMEIDA, L. M. W. de. Signos interpretantes em atividades de modelagem
matemática. REVEDUC: Revista Eletrônica de Educação, v. 14, p. 1-24, jan./dez. 2020. Disponível em:
http://www.reveduc.ufscar.br/index.php/reveduc/article/view/3504/990
(http://www.reveduc.ufscar.br/index.php/reveduc/article/view/3504/990). Acesso em: 12 nov. 2020.
O HOMEM que viu o infinito. Direção: Matt Brown. Reino Unido: Diamond Films, 2016. 1 DVD (109
min), son., color.
STEWART, J. Cálculo volume. 8. ed. SãoPaulo: Cengage Learning, 2017a. v. 1.
STEWART, J. Cálculo volume. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017b. v. 2.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2008. v. 1.
Referências
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13/04/2024, 16:45 Bases da matemática para ciências
https://codely-fmu-content.s3.amazonaws.com/Moodle/EAD/Conteudo/SAU_BAMACI_21/unidade_1/ebook/index.html#section_3 22/22
TORTOLA, E. Configurações de modelagem matemática nos anos iniciais do Ensino
Fundamental. 2016. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade
Estadual de Londrina, Londrina, 2016. Disponível em:
http://www.bibliotecadigital.uel.br/document/?code=vtls000209937
(http://www.bibliotecadigital.uel.br/document/?code=vtls000209937). Acesso em: 12 nov. 2020.
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http://www.bibliotecadigital.uel.br/document/?code=vtls000209937