Trabalho - Matemática - MBA

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Trabalho - Matemática 
 
Prof. Paulo Roberto Godoi de Oliveira 
e-mail: paulo.godoi@fgv.br 
 
No curso vimos como podemos estimar a variação no valor de uma função usando um estimador 
local que chamamos de estimador de primeira ordem. 
 
Assim, de forma genérica, para uma função de uma variável independente temos: 
 
f(x + delta_x) - f(x) = df(x) 
 
df(x) = df(x)/dx *delta_x 
 
Analogamente, de forma genérica, para uma função de duas variáveis independentes temos: 
 
f(x + delta_x, y + delta_y) - f(x,y) = df(x,y) 
 
df(x,y) = del_f(x,y)/del_x * delta_x + del_f(x,y)/del_y * delta_y 
 
De fato, isso que vimos para funções de duas variáveis independentes pode ser estendido para 
uma função com qualquer número de variáveis independentes na forma: 
 
f(x + delta_x, y + delta_y, z + delta_z,..., w + delta_w) - f(x,y,z,...,w) = df(x,y,z,...,w) 
 
df(x,y,z,...,w) = del_f(x,y,z,...,w)/del_x * delta_x + del_f(x,y,z,...,w)/del_y * delta_y + 
del_f(x,y,z,...,w)/del_z * delta_z + ... + del_f(x,y,z,...,w)/del_w * delta_w 
 
No mercado financeiro um derivativo muito importante é chamado de opção. 
 
Em uma opção uma parte paga à vista pelo direito de exercer a parte vendedora no futuro por 
um valor acordado à vista. 
 
As opções podem ser de compra (call) ou de venda (put). 
 
Uma opção de compra (call) dá direto ao comprador a opção de exercer a parte vendedora, 
forçando a mesma a vender para ele pelo preço acordado, ou seja, a opção de compra dá direito 
de compra para o comprador e obrigação de venda ao vendedor. 
 
Uma opção de venda (put) dá direto ao comprador a opção de exercer a parte vendedora, 
forçando a mesma a comprar dele pelo preço acordado, ou seja, a opção de venda dá direito de 
venda para o comprador e obrigação de compra ao vendedor. 
 
O valor pago à vista pelo comprador da opção de compra ou de venda é chamado de prêmio da 
opção. O prêmio da opção é considerado o preço justo da mesma em cada dia no qual for 
calculado. 
 
Uma opção que possui o modelo de exercício Europeu somente pode ser exercida na data de 
vencimento da opção. 
 
No modelo de precificação do prêmio de opções europeias sobre taxa de câmbio são utilizadas 
algumas variáveis independentes: 
 
S - Taxa de câmbio à vista 
X - Taxa de câmbio acordada no vencimento (constante no tempo) 
r_int - Taxa de juros interna 
r_ext - Taxa de juros externa 
vol_imp - volatilidade implícita 
T - Tempo remanescente para o vencimento da opção 
 
Assim, podemos dizer que o modelo de preço da opção de compra é c(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, 
T) e o de venda é v(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T). 
 
Pelo que vimos anteriormente seria possível estimar a variação do valor do prêmio da opção 
simulando alterações nas suas variáveis independentes não constantes. 
 
Para as opções de compra: 
 
c(S + delta_S, X, r_int + delta_r_int, r_ext + delta_r_ext, vol_imp + delta_vol_imp, T + delta_T) - 
c(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T) = dc(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T) 
 
dc(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T) = del_c(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T)/del_S * delta_S + del_c(S, 
X, r_int, r_ext, vol_imp, T)/del_r_int * delta_r_int + del_c(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, 
T)/del_r_ext * delta_r_ext + del_c(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T)/del_vol_imp * delta_vol_imp + 
del_c(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T)/del_T * delta_T 
 
Para as opções de venda: 
 
p(S + delta_S, X, r_int + delta_r_int, r_ext + delta_r_ext, vol_imp + delta_vol_imp, T + delta_T) - 
p(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T) = dp(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T) 
 
dp(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T) = del_p(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T)/del_S * delta_S + del_p(S, 
X, r_int, r_ext, vol_imp, T)/del_r_int * delta_r_int + del_p(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, 
T)/del_r_ext * delta_r_ext + del_p(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T)/del_vol_imp * delta_vol_imp + 
del_p(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T)/del_T * delta_T 
 
De fato, cada uma destas derivadas parciais possui um nome na literatura de opções. Elas são 
chamadas de gregas da opção. 
 
Dadas as funções que calculam os valores dos prêmios de uma opção de compra e de venda 
para opções sobre taxa de câmbio no modelo europeu: 
 
c(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T) = S * e^(-r_ext * T) * N(d1) – X * e^(-r_int * T) * N(d2) 
 
p(S, X, r_int, r_ext, vol_imp, T) = X * e^(-r_int * T) * N(-d2) - S * e^(-r_ext * T) * N(-d1) 
 
d1 = [(ln(S/X) + (r_int - r_ext + vol_imp^2 * 1/2) * T] / (vol_imp * T^(1/2)) 
 
d2 = d1 - vol_imp * T^(1/2) 
 
N(z) = valor da função densidade de probabilidade acumulada da distribuição Normal 
padronizada. No excel “=NORM.S.DIST(z;true)”. 
Neste trabalho você deverá utilizar o seu número de matrícula na FGV. Este número é de 6 
algarismos. Vamos definir que [#X] é igual ao algarismo X do número de matrícula. O número de 
matrícula deverá ser lido na forma: [#1][#2][#3][#4][#5][#6]. 
 
Assim, para um número de matrícula igual a 321354 teremos: 
 
[#1] = 3 [#2] = 2 [#3] = 1 [#4] = 3 [#5] = 5 [#6] = 4 
 
Alguns números apareceram na forma [#X]. Neste caso você deve substituir o algarismo 
correspondente do número de matrícula. Por favor, tome muito cuidado na substituição pois 
substituições erradas farão com que o trabalho seja zerado! 
 
Considerando os que os valores das variáveis independentes são: 
 
S = 5.2[#6] BRL por Dólar. 
X = 5.5[#5] BRL por Dólar. 
r_int = 3.[#4]% a.a.. 
r_ext = 1.[#3]% a.a.. 
vol_imp = 15% +([#6] + [#5])% a.a.. 
T = 0.5[#4] ano. 
 
Por exemplo, para um número de matrícula igual a 321354 teríamos: 
 
S = 5.24 BRL por Dólar. 
X = 5.55 BRL por Dólar. 
r_int = 3.3% a.a.. 
r_ext = 1.1% a.a.. 
vol_imp = 15% + (4 + 5)% = 24% a.a.. 
T = 0.53 ano. 
 
O trabalho pode ser feito utilizando o Microsoft Excel. Neste caso, cada item deve estar em uma 
aba separada da planilha. Qualquer dúvida sobre as questões pode ser enviada para os e-mails 
paulo.godoi@fgv.br com cópia para paulo.godoi.fgv@gmail.com. 
 
a) Calcule o valor do prêmio da opção de compra. 
 
b) Calcule o valor do prêmio da opção de venda. 
 
c) Descubra, na literatura, o nome das gregas de uma opção de taxa de câmbio. 
 
d) Descubra, na literatura, como é feito cálculo de cada uma destas derivadas parciais. 
 
e) Calcule o valor de cada uma das gregas da opção de compra. 
 
f) Calcule o valor de cada uma das gregas da opção de venda. 
 
g) Faça uma análise da variação do valor do prêmio da opção de compra dadas variações 
individuais de +/-1%, +/-5% e +/-10% nos valores das variáveis independentes. 
 
h) Compare os valores obtidos pelos estimadores com os valores verdadeiramente obtidos 
recalculado os prêmios pela função de preço de compra. 
 
mailto:paulo.godoi@fgv.br
mailto:paulo.godoi.fgv@gmail.com
i) Faça uma análise da variação do valor do prêmio da opção de venda dadas variações 
individuais de +/-1%, +/-5% e +/-10% nos valores das variáveis independentes. 
 
j) Compare os valores obtidos pelos estimadores com os valores verdadeiramente obtidos 
recalculado os prêmios pela função de preço de venda. 
 
k) Faça uma análise da variação do valor do prêmio da opção de compra dadas variações 
conjuntas de +/-1%, +/-5% e +/-10% nos valores das variáveis independentes. 
 
l) Compare os valores obtidos pelos estimadores com os valores verdadeiramente obtidos 
recalculado os prêmios pela função de preço de compra. 
 
m) Faça uma análise da variação do valor do prêmio da opção de venda dadas variações 
conjuntas de +/-1%, +/-5% e +/-10% nos valores das variáveis independentes. 
 
n) Compare os valores obtidos pelos estimadores com os valores verdadeiramente obtidos 
recalculado os prêmios pela função de preço de venda. 
 
o) Descreva as conclusões que você foi capaz de tirar sobre o estudo de caso analisado.