Lista de Exercícios de Carnaval (Matemática)

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LISTA DELISTA DE
Manual da Aprovação – Matemática UFU (Professor Jazz) 
 
1 
01) Os números x, y e z são inteiros positivos e 
consecutivos e quando divididos respectivamente 
por 2, 5 e 8 deixam resto zero e geram quocientes 
cuja soma é igual a 12. A média aritmética entre 
estes números é 
a) 13. 
b) 19. 
c) 17. 
d) 15. 
 
02) Renato contratou um empréstimo de R$ 
1.400,00, para pagar um mês depois, com juros de 
15% ao mês. Ao final do mês, não podendo pagar o 
total, deu por conta apenas R$ 750,00 e, para o 
restante, firmou um novo contrato nas mesmas 
bases do anterior, o qual foi pago integralmente um 
mês depois. O valor do último pagamento foi 
a) R$ 889,00. 
b) R$ 939,00. 
c) R$ 989,00. 
d) R$ 1.009,00. 
 
03) Os números -2, -1, 0, 1 e 2 são as soluções da 
equação polinomial p(x) = 0, as quais são todas 
simples. Se o polinômio p(x) é tal que p( 2 ) = 2 2
, então o valor de p( 3 ) é igual a 
a) 2 3 . 
b) 3 2 . 
c) 3 3 . 
d) 6 2 . 
 
04) O conjugado, z , do número complexo z x yi 
, com x e y números reais, é definido z x yi  . 
Identificando o número complexo z x yi  com o 
ponto (x, y) no plano cartesiano, podemos afirmar 
corretamente que o conjunto dos números 
complexos z que satisfazem a relação 
z.z z z 0   estão sobre 
a) uma reta. 
b) uma circunferência. 
c) uma parábola. 
d) uma elipse. 
 
05) No retângulo PQRS as medidas dos lados PQ e 
PS são, respectivamente, 15 m e 10 m. Pelo ponto 
médio, F, do lado PS traça-se o segmento FR 
dividindo o retângulo em duas partes. Se E é o 
ponto do lado PQ tal que a medida do segmento 
EQ é 5 m, traça-se por E uma perpendicular a FR 
determinando o ponto G em FR. Nestas condições, 
a medida da área, em metros quadrados, do 
quadrilátero PFGE é 
a) 50,25. 
b) 53,25. 
c) 56,25. 
d) 59,25. 
 
06) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um 
hexágono e se o número de diagonais do Q, 
partindo de um vértice, é igual ao número total de 
diagonais de P então a medida de cada um dos 
ângulos internos de Q é 
a) 144 graus. 
b) 150 graus. 
c) 156 graus. 
d) 162 graus. 
 
07) Se f e g são as funções definidas por f(x) = senx 
e g(x) = cosx, podemos afirmar corretamente que a 
expressão log[(f(x) + g(x))2 – f(2x)] é igual a 
a) f(x).g(x). 
b) 0. 
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2 
c) 1. 
d) log(f(x) + 2) +log(g(x) + 2). 
 
08) A superfície lateral de um cone circular reto, 
quando planificada, torna-se um setor circular de 12 
cm de raio com um ângulo central de 120 graus. A 
medida, em centímetros quadrados, da área da 
base deste cone é 
a) 144 π . 
b) 72 π . 
c) 36 π . 
d) 16 π . 
 
09) Um fabricante de latas de alumínio com a forma 
de cilindro circular reto vai alterar as dimensões das 
latas fabricadas de forma que volume seja 
preservado. Se a medida do raio da base das novas 
latas é o dobro da medida do raio da base das 
antigas, então a medida da nova altura é 
a) a metade da medida da altura das latas antigas. 
b) um terço da medida da altura das latas antigas. 
c) um quarto da medida da altura das latas antigas. 
d) dois terços da medida da altura das latas antigas. 
 
10) Seja a um número real e    f : , a,    uma 
função definida por f(x) = m2x2 + 4mx + 1, com m 
0. O valor de a para que a função f seja sobrejetora 
é: 
a) - 4 
b) - 3 
c) 3 
d) 0 
 
11) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro 
par que satisfaz a desigualdade x2 - 32x + 252 < 0. 
O número que representa a idade de Paulo 
pertence ao conjunto 
a) {12, 13, 14}. 
b) {15, 16, 17}. 
c) {18, 19, 20}. 
d) {21, 22, 23}. 
 
12) Uma pessoa vai a uma loja comprar um 
aparelho celular e encontra o aparelho que deseja 
adquirir com duas opções de compra: à vista com 
10% de desconto; ou em duas parcelas iguais e 
sem desconto, sendo a primeira parcela no ato da 
compra e a outra um mês após. 
Com base nos dados de oferta deste aparelho 
celular, pode-se afirmar que a loja trabalha com 
uma taxa mensal de juros de: 
a) 0% 
b) 1% 
c) 5% 
d) 25% 
 
13) Sabe-se que a volta oficial mais rápida do 
circuito de Indianápolis, nos Estados Unidos, foi 
feita em 37,5 segundos, a uma velocidade média de 
384 km/h. Suponha, agora, que certo carro esteja 
percorrendo esse circuito, e que a cada volta dada 
ele consuma 8% da capacidade total do seu tanque 
de combustível. Sabendo-se que o percurso foi 
iniciado com o tanque completamente cheio, pode-
se concluir que o número máximo de quilômetros 
que ele percorrerá nesse circuito, sem 
reabastecimento, é 
a) 30. 
b) 40. 
c) 45. 
d) 50. 
 
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14) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 – 2x3 + mx + 
1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. 
Nesse caso, o valor de m é igual a 
a) –2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
 
15) O quadrilátero ABCD foi dividido em duas 
regiões, P e Q, conforme mostra a figura, sendo 
que a região P, com a forma de um triângulo 
equilátero, ficou com área igual a 29 3 km . 
 
A razão entre as áreas das regiões Q e P, nessa 
ordem, é 
a) 
1
.
9
 
b) 
1
.
6
 
c) 
1
.
4
 
d) 
1
.
2
 
 
16) Considerando a circunferência da figura a 
seguir com centro no ponto O e diâmetro igual a 4 
cm. 
 
Pode-se afirmar que o valor da área da região 
hachurada é: 
a)   28 4 cm  
b) 22 cm 
c)   22 4 cm  
d)   21 cm  
 
17) A prova da primeira fase de um vestibular terá 8 
questões objetivas de Matemática, com 5 
alternativas. Pretende-se que apenas duas dessas 
questões tenham a resposta correta indicada na 
alternativa E. O número de formas de se escolher 
essas duas questões é 
a) 28. 
b) 36. 
c) 48. 
d) 56. 
 
18) Um jogador de futebol, ao bater uma falta com 
barreira, chuta a bola de forma a encobri-la. A 
trajetória percorrida pela bola descreve uma 
parábola para chegar ao gol. 
 
 
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4 
Sabendo-se que a bola estava parada no local da 
falta no momento do chute, isto é, com tempo e 
altura iguais a zero. Sabendo-se ainda, que no 
primeiro segundo após o chute, a bola atingiu uma 
altura de 6 metros e, cinco segundos após o chute, 
ela atingiu altura de 10 metros. Pode-se afirmar que 
após o chute a bola atingiu a altura máxima no 
tempo igual a: 
a) 3 segundos 
b) 3,5 segundos 
c) 4 segundos 
d) 4,5 segundos 
 
19) Uma Instituição de Ensino Superior oferece os 
cursos A e B. Em seu processo seletivo o candidato 
pode optar por inscrever-se nos dois cursos ou 
apenas em um curso. Ao final, o número de 
inscrições por curso e o número total de candidatos 
inscritos pode ser observado no quadro que segue: 
Número de 
Inscrições no 
Curso A 
Número de 
Inscrições no 
Curso B 
Número total de 
candidatos 
inscritos 
480 392 560 
 
Com base nas informações acima e nas 
possibilidades de inscrições, pode se afirmar que o 
número de candidatos que optaram por inscrever-
se somente no curso A foi: 
a) 80 
b) 168 
c) 312 
d) 480 
 
20) Na figura estão posicionadas as cidades 
vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em 
linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas 
estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e 
entre A e B é de 36 km. 
 
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em 
km, entre B e C é igual a 
a) 8 17. 
b) 12 19. 
c) 12 23. 
d) 20 15. 
21) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o 
ângulo ˆABC ao meio. 
 
Sendo CD 2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em 
centímetros, mede 
a) 
3 1
.
2

 
b) 3 1. 
c) 
6( 3 1)
.
5

 
d) 
3( 3 1)
.
2

 
 
22) Sabe-se que M, pontomédio do segmento AB, 
é centro de uma circunferência que passa pela 
origem (0, 0). Sendo A(–1, 4) e B(5, 2), conclui-se 
que o raio dessa circunferência é igual a 
a) 4 5. 
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5 
b) 3 5. 
c) 3 2. 
d) 13. 
 
23) A altura, em centímetros, do nível da água 
armazenada em um reservatório com a forma de 
um prisma reto de base retangular é igual a x, 
conforme mostra a figura. 
 
Usando todo esse volume de água armazenado, 
pode-se encher completamente uma quantidade 
exata de recipientes com capacidade de 20 litros 
cada, ou uma quantidade exata de recipientes com 
capacidade de 50 litros cada. Se 
h
x ,
3
 onde h é a 
altura do reservatório, então a menor capacidade, 
em litros, desse reservatório cheio é 
a) 200. 
b) 300. 
c) 400. 
d) 500. 
 
24) Em certo jogo de perguntas e respostas, o 
jogador ganha 3 pontos a cada resposta correta e 
perde 5 pontos a cada resposta errada. Paulo 
respondeu 30 perguntas e obteve um total de 50 
pontos. Selecionando-se aleatoriamente uma das 
perguntas feitas a Paulo, a probabilidade de que ela 
seja uma das que tiveram resposta incorreta é de 
a) 
2
.
5
 
b) 
1
.
3
 
c) 
2
.
7
 
d) 
1
.
6
 
 
25) Os seis números naturais positivos marcados 
nas faces de um dado são tais que: 
I. não existem faces com números repetidos; 
II. a soma dos números em faces opostas é sempre 
20; 
III. existem 4 faces com números ímpares e 2 faces 
com números pares. 
O total de conjuntos distintos com os seis números 
que podem compor as faces de um dado como o 
descrito é 
a) 20. 
b) 28. 
c) 36. 
d) 40. 
 
26) A população P de um país no ano t pode ser 
estimada através da função t 2011P(t) m n ,  para 
n 0. Sabendo-se que a população atual desse 
país é de 15,3 milhões de habitantes, e que sua 
taxa anual de crescimento é de 2%, então, 
m
n
 é 
igual a 
a) 1,2 x 106. 
b) 1,5 x 106. 
c) 1,2 x 107. 
d) 1,5 x 107. 
 
27) Se p e q são duas soluções da equação 
22sen x 3sen x 1 0   tais que senp senq, então o 
valor da expressão 2 2sen p cos q é igual a 
a) 0. 
b) 0,25. 
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6 
c) 0,50. 
d) 1. 
 
28) Um círculo de raio R gira em torno de seu 
diâmetro, gerando uma esfera de volume V. Se o 
raio do círculo é aumentado em 50%, então o 
volume da esfera é aumentado em 
a) 100,0 %. 
b) 125,0 %. 
c) 215,0 %. 
d) 237,5 %. 
 
29) Se X e Y são conjuntos que possuem 6 e 12 
elementos respectivamente, então o número de 
funções injetivas f : X Y que podem ser 
construídas é 
a) 665.280. 
b) 685.820. 
c) 656.820. 
d) 658.280. 
 
30) Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor 
inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma 
quantia proporcional aos quilômetros percorridos. 
Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por 
uma corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o 
valor da bandeirada é 
a) R$ 7,50. 
b) R$ 6,50. 
c) R$ 5,50. 
d) R$ 4,50. 
 
31) Sejam f : R R a função definida por 
2f(x) x x 1,   P e Q pontos do gráfico de f tais que 
o segmento de reta PQ é horizontal e tem 
comprimento igual a 4 m. A medida da distância do 
segmento PQ ao eixo das abscissas é 
Observação: A escala usada nos eixos 
coordenados adota o metro como unidade de 
comprimento. 
a) 5,25 m. 
b) 5,05 m. 
c) 4,95 m. 
d) 4,75 m. 
 
32) Sejam f, g :   funções definidas por 
sen(x)f(x) 3 e xg(x) sen(3 ). Se m e n são os 
valores máximos atingidos por f e g 
respectivamente, então o produto m n é igual a 
a) 6. 
b) 3. 
c) 1. 
d) 0. 
 
33) Se x é um ângulo tal que 
1
cosx ,
4
 então o 
valor do determinante 
2sen2x 2cos x
cos x senx
 é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 
1
.
2
 
d) 
1
.
2
 
 
34) Se os números 2 i, 2 i, 1 2i, 1 2i e 0,5 são 
as raízes da equação 
5 4 3 22x px 42x 78x 80x q 0,      então o valor de 
p q pq  é 
a) 287. 
b) 278. 
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7 
c) 297. 
d) 279. 
 
35) No plano, as circunferências 1C e 2C , cuja 
medida dos raios são respectivamente 4 cm e 1cm 
tangenciam-se exteriormente e são tangentes a 
uma reta r em pontos distintos. Uma terceira 
circunferência 3C , exterior a 1C e a 2C , cuja 
medida do raio é menor do que 1cm tangencia a 
reta r e as circunferências 1C e 2C . Nestas 
condições a medida do raio da circunferência 3C é 
a) 
1
cm.
2
 
b) 
1
cm.
3
 
c) 
4
cm.
9
 
d) 
5
cm.
3
 
 
36) A soma das raízes reais da equação 
2
2 43 log | x | 5 log x 32 0     é igual a 
a) 0. 
b) 15. 
c) 16. 
d) 32. 
 
37) Os números reais positivos x, y e z são tais 
que logx, logy, logz formam, nesta ordem, uma 
progressão aritmética. Nestas condições, podemos 
concluir acertadamente que entre os números x, y 
e z existe a relação 
a) 2y x z.  
b) y x z.  
c) 2z xy. 
d) 2y xz. 
 
38) Em uma população de homens e mulheres, 
60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. 
Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa 
população também são vegetarianos. Dessa forma, 
selecionando-se uma pessoa dessa população ao 
acaso e verificando-se que ela é vegetariana, qual é 
a probabilidade de que seja mulher? 
a) 50% 
b) 70% 
c) 75% 
d) 80% 
 
39) Nos jogos internos de uma escola, 8 
estudantes foram classificados para a final da 
corrida dos 100 metros livres: 6 do Ensino Médio (3 
estudantes do 1º ano; 1 estudante do 2º ano; 2 
estudantes do 3º ano) e 2 do Ensino Fundamental 
(1 estudante do 9º ano; 1 estudante do 8º ano). 
Considerando que todos são ótimos atletas e que 
possuem iguais condições de ganhar uma medalha 
entre os três primeiros colocados, qual é a 
probabilidade de que pelo menos um dos 
estudantes do 3º ano esteja entre os três melhores 
atletas no final da corrida? 
a) 
3
7
 
b) 
4
7
 
c) 
5
7
 
d) 
9
14
 
 
40) Em um determinado jogo de futebol do 
campeonato brasileiro, o resultado final da partida 
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8 
foi 3 2. 
A probabilidade de que o time perdedor tenha 
marcado os dois primeiros gols é: 
a) 10% 
b) 30% 
c) 50% 
d) 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9 
Resolução Comentada 
Resposta da Questão 01: [D] 
(x, y e z) = (x , x + 1, x + 2) 
x = 2a x + 1 = 5b x + 2 = 8c (a, b e c são inteiros) 
8
2 x 
 c e 
5
1 x 
 b 
2




x
a 
Somando, temos: 
12
8
2
5
1
2





xxx
 
Resolvendo a equação, temos x = 14, y = 15 e z = 
16 
Logo, a média aritmética será 15
3
161514


 
 
Resposta da Questão 02: [C] 
1400.1,15 = 1610 
1610 – 750 = 860,00 (nova dívida) 
860. 1,15 = 989,00 (depois de um mês) 
 
Resposta da Questão 03: [A] 
P(x) = a (x + 2).(x + 1).x.(x – 1). ( x - 2) 
P(x) = a.( x2 – 1).(x2 -4).x 
P( 2.2)2  
a.(2-1).(2 – 4). 2 = 2 2 
a = -1 
logo p(x) = -1.( x2 – 1).(x2 - 4).x 
p( 3).43).(13.(1)3(  
32)3( p 
 
Resposta da Questão 04: [B] 
(x + yi).( x – yi) + x + yi + x – yi = 0 
X2 + y2 + 2x = 0 (equação de uma circunferência) 
 
Resposta da Questão 05: 
[C] 
 
25,56
2
15).510(
.
2
1
.
2
1
 A log
.).(
)..(






A
A
Ao
CHQREPEF
LAlQREPEF
PFQR 
 
Resposta da Questão 06: [B] 
Diagonais de P: 9
2
)36.(6


 
Lados de Q: n – 3 = 9  n = 12 
Ângulo interno de Q: 
12
)212(180 
 = 150 graus 
 
Resposta da Questão 07: [B] 
log[(f(x) + g(x))2– f(2x)] = log[ (senx + cosx)2 - 
sen(2x)] = log( sen2x + 2.senx.cosx + cos2x -
2.senx.cosx) = log( sen2x + cos2 x) = log1 = 0 
 
Resposta da Questão 08: [D] 
 
 
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10 
2
2
16
4.
4
3
12.2
.2
cma
A
R
R







 
 
Resposta da Questão 09: [C] 
 
V1= π.R2.H e V2 = π.(2R)2.h 
Como V1 = V2 
 temos: 
π.R2.H = π.(2R)2.h 
 H = 4h 
 H/4 = h 
Portanto a nova altura será ¼ da anterior. 
 
Resposta da Questão 10: [B] 
 
a deverá ser o y do vértice. 
Portanto, s = 3
4
12
.4
)1..4)4((
4 2
2
2
22






m
m
m
mm
a
 
 
Resposta da Questão 11: [B] 
 
Resolvendo a inequação temos 14 < x < 18, 
Logo o valor de x par que pertence a solução é x = 
16. 
Resposta B. 
 
Resposta da Questão 12: [D] 
Preço à vista é 0,9x ou duas parcelas de 0,5x. 
Percebemos no preço de tabela um acréscimo de 
0,1x. Supondo que a prazo não houvesse juros, as 
parcelas seriam 0,5x e 0,4x. Sabendo que 0,1x é 
25% de 0,4x, concluímos que a taxa mensal de 
juros é de 25%. 
 
Resposta da Questão 13: [D] 
Número de voltas com o tanque cheio: 100 / 8 = 
12,5 
Tamanho da pista em km: 384. 
37,5
3600
= 4km 
Distância percorrida sem abastecer: 4.12,5 = 50km. 
 
Resposta da Questão 14: [D] 
Pelo teorema do resto, temos: 
P(1) = P(-1) 
3.14 – 2.13 + m.1 + 1 = 3.(-1)4 – 2.(-1) =m.(-1) + 1 
3 – 2+ m + 1 = 3 + 2 – m + 1 
2m = 4 
m = 2 
 
Resposta da Questão 15: [D] 
Chamando o lado do triângulo equilátero de a, 
temos: 
No triângulo BCD, 
 
o
o
BC BC 1 a
cos60 BC
a a 2 2
DC DC 3 a 3
sen60 BC
a a 2 2
    
    
 
Determinando a razão entre as áreas de Q e P 
temos: 
2
1 a a 3
. . 12 2 2
2a 3
4
 
 
R
H
1
2
2R
h
Manual da Aprovação – Matemática UFU (Professor Jazz) 
 
11 
Resposta da Questão 16: [C] 
 
2
círculo quadradoA A .2 8
A 2 4
2 2
 
   
π
π 
 
Resposta da Questão 17: [A] 
Utilizando combinação simples, temos: 
8,2
8!
C 28
2!.6!
  
 
Resposta da Questão 18: [B] 
 
De acordo com o gráfico temos: 
h(t) = a.t2 +b.t 
 
Sabendo que h(1) = 6m e h(5) = 10m temos o 
sistema: 
 
2
2
a.1 b.1 6 a b 6
a 1 e b 7
25a 5b 6a.5 b.5 6
             
 
Portanto, h(t) = -t2 + 7t logo a altura máxima será 
atingida para 
b ( 7)
t 3,5s
2.a 2.1
  
   . 
 
Resposta da Questão 19: [B] 
 
480 – x + x + 392 – x = 560 
- x = 560 – 480 – 392 
- x = - 312 
x = 312 
Logo, o número de candidatos escritos somente em 
A é 480 – 312 = 168. 
 
Resposta da Questão 20: [B] 
Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos 
2 2 2
2 2 2
2
BC AB AC 2 AB AC cosBAC
1
BC 36 24 2 36 24
2
BC 1296 576 864
BC 2736 12 19 km.
      
         
 
   
 
 
 
Resposta da Questão 21: [D] 
Seja  o lado do quadrado. 
Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo 
ABC é retângulo. Logo, ˆABC 60 .  Além disso, 
sabemos que BD é bissetriz de ˆABC e, portanto, 
ˆ ˆABD CBD 30 .   Daí, segue que ˆBDC 120 .  
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCD, 
obtemos 
BC CD BC 2 3
BC 6cm.
ˆ ˆ 1senBDC senCBD 3
22
     
Assim, no triângulo ABC, temos que 
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12 
ABˆcos ABC AB 6 cos60 3cm.
BC
      
Por conseguinte, do triângulo BGF, vem 
GF 3 3( 3 1)ˆtgABD cm.
3 3 2BG

    

 

 
 
Resposta da Questão 22: [D] 
As coordenadas do ponto M são dadas por 
A B A Bx x y y 1 5 4 2
M , , (2, 3).
2 2 2 2
            
   
 
Portanto, o raio da circunferência é igual a 
2 2r (2 0) (3 0) 13.     
 
Resposta da Questão 23: [B] 
O volume de água armazenado é dado por 
h
A ,
3
 
em que A é a área da base do reservatório. 
Se é possível encher completamente recipientes de 
20 e 50 litros cada, então o volume de água no 
reservatório deve é tal que mmc(20, 50) 100 litros. 
Portanto, como a capacidade do reservatório é 
dada por A h, vem     
h
A 100 A h 300 L.
3
 
 
Resposta da Questão 24: [D] 
Seja n o número de respostas incorretas. 
Como foram feitas 30 perguntas e o jogador obteve 
50 pontos, segue que 
3 (30 n) 5n 50 8n 40 n 5.        
Portanto, a probabilidade pedida é 
5 1
.
30 6
 
 
Resposta da Questão 25: [D] 
 
De acordo com as informações, temos que os 
números que irão figurar nas faces opostas do dado 
constituem os seguintes pares: 
(1,19), (2,18), (3,17), (4,16), (5,15), (6,14), (7,13), (8,12) 
e (9,11). 
Assim, para compor o dado, temos 
5 5!
10
2 2! 3!
 
    
 
modos de escolher dois pares com números 
ímpares e 4 maneiras de selecionar o outro par. 
Portanto, o resultado pedido é 10 4 40.  
 
Resposta da Questão 26: [D] 
Na lei t 2011P(t) m n ,  temos que m é a população 
inicial (para t 2011) e n 1 i  é o fator de 
crescimento, sendo i a taxa de crescimento na 
forma decimal. Desse modo, 6m 15,3 10  e 
n 1 0,02 1,02.   
Portanto, o resultado pedido é: 
6
6 715,3 10
15 10 1,5 10 .
1,02

    
 
Resposta da Questão 27: [B] 
2
2
2sen x 3sen x 1 0
( 3) 4 2 1
1
senx 1( 3) 1
senx
senx 1/ 22 2
Δ
Δ
  
    

  


 
2 2 2 2 2 2
2 2
sen p cos q sen p (1 sen q) sen p sen q 1
1 (1/ 2) 1 1/ 4 0,25.
       
   
 
 
Resposta da Questão 28: [D] 
Volume da esfera de raio R: 
34 R
. (1 )
3
π  
Volume da esfera de raio 1,5 R: 
3 34 (1,5R) 4 R
3,375 ( 2 )
3 3
π π 
  . 
O aumento será calculado pela diferença entre o 
volume da esfera de raio aumentado (2) e o volume 
da esfera original (1): 
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13 
3 3 34 R 4 R 4 R
3,375 2,375
3 3 3
π π π  
    
Portanto, o aumento será de 
34 R
2,375 ,
3
π 
 ou seja, 
de 237,5%. 
 
Resposta da Questão 29: [A] 
Considerando a função bijetora, o primeiro 
elemento do conjunto X poderá ser associado a um 
dos 12 elementos de Y, o segundo elemento de X 
poderá ser associado a um dos 11 elementos 
restantes, continuando assim até o sexto elemento 
de X que será associado a cada um dos t 
elementos restantes de Y. 
Temos, então, o seguinte produto: 
12 11 10 9 8 7 665280.      
 
Resposta da Questão 30: [D] 
Considerando x o total de quilômetros rodados e y o 
valor da corrida, que poderá ser expresso através 
da função do afim y = ax + b, onde é o preço da 
corrida e b o valor fixo da bandeirada. 
De acordo com as informações do problema, temos 
o seguinte sistema linear: 
8 a b 28,50
5 a b 19,50
  
   
 
Onde, a = 3 e b = 4,50 
Portanto, o valor da bandeirada será de R$4,50. 
 
Resposta da Questão 31: [D] 
 
Calculando o x do vértice, temos: 
V
b 1 1
x
2 a 2 1 2
     
 
 
Pela simetria, temos: 
P
1 3
x 2
2 2
    
A distância da reta PQ ao eixo x será dada por 
3
f
2
 
 
 
 
2
3 3 3 19
f 1 4,75.
2 2 2 4
          
   
 
 
Resposta da Questão 32: [B] 
A função seno varia de 1 até 1, portanto tem 
valor máximo igual a 1. Assim: 
sen(x) 1
máxf(x) 3 f (x) 3 3 m 3      
x
máxg(x) sen(3 ) g (x) 1 n 1     
Logo, o produto de m n é igual a 3. 
 
Resposta da Questão 33: [C] 
Lembrando que sen2x 2sen x cos x e 
2 2sen x cos x 1,  temos 
2
2sen2x 2cos x
sen2x senx 2cos xcos x
cos x senx
 

 
3
2 3
2senxcos x senx 2cos x
2cos x sen x 2cos x
 
 
 
2 32cos x(1 cos x) 2cos x   
3 32cosx 2cos x 2cos x
1
2
4
1
.
2
  
 

 
 
Resposta da Questão 34: [A] 
Tem-se que 
5 4 3 22x px 42x 78x 80x q      
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2 2
4 3 2
5 4 3 2
2(x 2 i)(x 2 i)(x 1 2i)(x 1 2i)(x 0,5)
(x 4x 5)(x 2x 5)(2x 1)
(x 6x 18x 30x 25)(2x 1)
2x 13x 42x 78x 80x 25.
        
     
     
     
 
Desse modo, vem p 13  e q25.  
Portanto, segue que 
p q pq 13 25 325 287.       
 
Resposta da Questão 35: [C] 
Pelo enunciado, pode-se desenhar as 
circunferências e a reta como segue: 
 
Considerando o raio de 1C como R 4 cm, o raio 
de 2C como r 1cm e o raio de 3C como x (o qual 
pretende-se encontrar), podemos deduzir algumas 
relações, conforme figura a seguir: 
       2 22 2 2 2R r AB R r 5 AB 3 AB 4 cm         
 
Sabendo-se a medida do segmento AB, pode-se 
deduzir outras relações, conforme figura a seguir: 
 
Analisando o triângulo retângulo menor da figura: 
           
   
2 22 2 2 2
2 22 2
r x AE r x 1 x AE 1 x
1 2x x AE 1 2x x AE 4x
        
       
 
Analisando o triângulo retângulo maior da figura: 
     
     
   
   
22 2
22 2
22 2
2
R x 4 AE R x
4 x 4 AE 4 x
16 8x x 16 8 AE AE 16 8x x
16x 16 8 AE AE
     
     
        
   
 
Sendo que  2AE 4x, então  24 AE 16x,  logo: 
     
   
2 2
2
2
4 AE 16 8 AE AE
3 AE 8 AE 16 0
8 4 3 ( 16) 256
8 256 8 4AE AE 4 ou AE 6 32 3
     
     
      
 
     

 
Um comprimento de reta negativo é impossível, 
logo a única raiz possível para a equação é 
4AE .3 Assim, substituindo o valor de AE na 
relação  2AE 4x, obtêm-se o valor de x em 
centímetros, ou seja, o raio da circunferência 3C : 
 
22 4 16 4
AE 4x 4x 4x x cm
3 9 9
        
 
 
 
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15 
Resposta da Questão 36: [A] 
Utilizando as propriedades dos logaritmos, e 
sabendo que 2 2x | x | , pode-se mudar o 2
4log x 
para a base 2, deste modo: 
2 2
2 2 2 2
4 2
2 2
| x |log x log 2 log
log x log
log 4 log 4
x |
|
2
|
x |

    
Assim, a equação dada no enunciado pode ser 
reescrita como: 
2 2 2
4
2
3 log | x | 5 log | x | 32 0 substituindo log | x | y
3y 5y 32 0 8y 32 y 4
log | x | 4 2 x
x 16 x ' 16 ou x '' 16
      
      
  
     
Portanto, a soma das raízes reais da equação é 
zero, pois 16 16 0.   
 
Resposta da Questão 37: [D] 
Tem-se que 
2
y z
logy logx logz logy log log
x y
y z
x y
y xz.
    
 
 
 
 
Resposta da Questão 38: [C] 
Total de pessoas: n 
Do enunciado, 
Total de mulheres: 0,6n 
Total de mulheres vegetarianas: 0,1 0,6n 0,06n  
Total de homens: 0,4n 
Total de homens vegetarianos: 0,05 0,4n 0,02n  
Sendo p a probabilidade pedida, 
0,06n
p
0,06n 0,02n
0,06n
p
0,08n
6
p 100%
8
p 75%



 

 
 
Resposta da Questão 39: [D] 
Como a probabilidade de que nenhum aluno do 3º 
ano esteja entre os três melhores atletas no final da 
corrida é 
6 6!
3 3! 3!
8!8
3! 5!3
6 5 4
8 7 6
5
,
14
 
 
  
 
   
 

 

 
podemos concluir que a resposta é 
5 9
1 .
14 14
  
 
Resposta da Questão 40: [A] 
Sejam p e g, respectivamente, os gols marcados 
pelo time perdedor e pelo time ganhador. O número 
de casos possíveis corresponde ao número de 
permutações de cinco objetos nem todos distintos, 
com duas e três repetições, isto é, 
(2, 3)
5
5!
P 10.
2! 3!
 

 
Em consequência, como só há um caso favorável, 
segue que a resposta é 
1
100% 10%.
10
 