matematica faculdade estacio-67

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126. Determine a solução para a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2\cos(x) \). 
 - Resposta: Não há uma solução em termos de funções elementares. 
 - Explicação: Não existe uma primitiva elementar para \( x^2\cos(x) \). 
 
127. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x + 1}{3x^3 + 4} \)? 
 - Resposta: \( \frac{1}{3} \). 
 - Explicação: Ao dividir o polinômio pelo termo de maior grau, obtemos o limite como a 
razão entre os coeficientes principais. 
 
128. Determine os valores de \( a \) e \( b \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 + bx^2 - 2x 
\) tem um ponto de inflexão em \( x = 1 \). 
 - Resposta: \( a = \frac{1}{6} \) e \( b = \frac{1}{3} \). 
 - Explicação: Para ter um ponto de inflexão em \( x = 1 \), a segunda derivada deve mudar 
de sinal nesse ponto. 
 
129. Encontre a solução para a equação diferencial \( y'' + 6y' + 9y = e^{-3x} \). 
 - Resposta: \( y = (Ax + B)e^{-3x} + e^{-3x} \), onde \( A \) e \( B \) são constantes. 
 - Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea e encontramos uma 
solução particular para a equação não homogênea. 
 
130. Qual é o valor da integral indefinida \( \int \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \, dx \)? 
 - Resposta: \( \ln|1 + \cos(x)| + C \). 
 - Explicação: Utilizamos substituição para resolver a integral. 
 
131. Determine os valores de \( a \) e \( b \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \) 
tem um ponto de inflexão em \( x = -1 \). 
 - Resposta: \( a = -\frac{1}{6} \) e \( b = -\frac{1}{3} \). 
 - Explicação: Para ter um ponto de inflexão em \( x = -1 \), a segunda derivada deve 
mudar de sinal nesse ponto. 
 
132. Encontre a solução para a equação diferencial \( y'' - y' = \cos(x) \). 
 - Resposta: \( y = -\frac{1}{2}\cos(x) + (A + Bx)e^x \), onde \( A \) e \( B \) são constantes.