Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis - Questionários

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UNIP – LICENCIATURA MATEMÁTICA
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
QUESTIONÁRIO DA VÍDEO AULA - UNIDADE 1
1. O domínio da função é dado por: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Dada a função .É correto afirmar que:
a) .
b) 
c) 
d) 
e) 
3. vetor gradiente da função no ponto (-2,-3) é dado por: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4. Considerando que a distribuição de temperaturas (em graus Celsius) na superfície de uma chapa metálica é dada pela função , podemos afirmar que:
a) é um ponto de mínimo.
b) é um ponto de máximo.
c) é um ponto de mínimo.
d) é um ponto de máximo.
e) é um ponto de máximo.
QUESTIONÁRIO UNIDADE 1
PERGUNTA 1
Dada a função de duas variáveis , o valor de é igual a: 
a) – 42
b) 42
c) 66
d) -66
e) 38 
Basta substituir x por -2 e y por -3 na função e proceder o cálculo.
f(-2,-3) = -3(-2)² +2(-3)³ = -3.4+2.(-27)=-66
PERGUNTA 2
Dada a função de duas variáveis , podemos afirmar que seu domínio é dado por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
O denominador da função deve ser positivo e diferente de zero.
PERGUNTA 3
Dada a função de duas variáveis , a derivada parcial de f em relação a x é dada por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Para derivar f em relação a x, consideramos y constante.
PERGUNTA 4
Dada a função de duas variáveis , a derivada parcial de f em relação a y é dada por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Para derivar f em relação a y, consideramos x constante. Também usamos a regra de cadeia.
PERGUNTA 5
Seja . A derivada de w em relação a y corresponde a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Consideramos x constante e usamos a regra da cadeia.
PERGUNTA 6
A derivada da função em relação a x , calculada no ponto (1,1), vale: 
a) e
b) 2e
c) 1
d) 2
e) 1+e
Usamos a regra do produto para obter a derivada e substituímos os valores x = 1 e y = 1 no resultado.
PERGUNTA 7
A equação do plano tangente à superfície dada por z = x² + y², no ponto P = (1, 1, 2), é:
a) z = 2x – 2y -2 
b) z = -2x +2y - 2
c) z = -2x = 2y - 1
d) z = 2x + 2y - 1
e) z = 2x + 2y - 2
Aplicação direta da equação para determinação do plano tangente a uma superfície em um ponto.
PERGUNTA 8
O vetor gradiente da função no ponto P = (1,1) é dado por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Aplicação direta da equação para o vetor gradiente em um ponto:
PERGUNTA 9
A taxa máxima de variação da função no ponto P = (1,1) é dada por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
A taxa máxima de variação da função no ponto correspondente ao módulo do vetor gradiente determinado neste mesmo ponto:
PERGUNTA 10
Se z = x² + 3y, com x = sem(t) e y= , então é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Derivada de função composta, primeira regra da cadeia:
QUESTIONÁRIO DA VÍDEO AULA - UNIDADE 2
1. Calculando a integral , obtemos:
a) 
b) 
c) 
d)
e) 
2. Resolvendo a integral para , obtemos:
a)
b) 
c) 
d) 
e) 
3. A área delimitada no primeiro quadrante pelas curvas y = x e y = x³ é dada por:
a) 0,25.
b) 0,25.
c) 0,5.
d) 0,5.
e) 1,0.
4. Calculando a integral , em que R é a região do semiplano superior limitado pelas circunferências x² + y² = 4 e x² + y² = 9, obtemos :
a)
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTIONÁRIO UNIDADE 2
PERGUNTA 1
Calculando a integral dupla , obtemos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Integramos primeiro em x, substituindo os limites para x, e a seguir integramos em y, substituindo os limites para y.
PERGUNTA 2
A integral dupla , em que , resulta em:
a) 115/2
b) 75/2
c) 105/2 
d) 119/2 
e) 59/2
Fazemos dA = dxdy, por exemplo, e procedemos à integração substituindo os limites apropriados.
PERGUNTA 3
A integral , em que R é a região limitada pelas retas x = 0 e y = 1, e pela parábola y = x², corresponde a:
a) 2/3
b) 1/6
c) 5/6
d) 3/2
e) 6/5
PERGUNTA 4
A integral , em que D é a região limitada pelas curvas y = x² e y = , é dada por:
a) 1/4
b) 1/2
c) 3/4 
d) 3/8 
e) 5/8
Integramos primeiro em y e depois em x, observando os limites de integração:
PERGUNTA 5
O volume do sólido compreendido sob a superfície descrita por z = 4x + 9y² e acima das curvas y = 5x² e y = x² + 4 vale, aproximadamente:
a) 377,43
b) 237,61
c) 388,11
d) 438,37
e) 359.14
PERGUNTA 6
A área limitada pelas curvas y = 4x² e y = x² + 12 vale: 
a) 16
b) 32
c) 36
d) 48
e) 60
PERGUNTA 7
Em coordenadas polares, a integral , em que a região de integração D está acima do eixo x e dentro da circunferência x² + y² = 16, vale:
a) ???????
b) 
c) 
d) 
e) 
Substituímos x, y e dydx por seus correspondentes em coordenadas polares:
PERGUNTA 8
Calculando, em coordenadas polares, o volume do sólido compreendido entre o plano Oxy e a superfície z = 16 – x² - y², obtemos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Substituímos x, y e dydx por seus correspondentes em coordenadas polares:
PERGUNTA 9
A integral,, em coordenadas polares, em que D é o semiplano superior limitado pelos círculos x² + y² = 4 e x² + y² = 5, vale:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Escrevemos x, y e dA em coordenadas polares e efetuamos a integração.
PERGUNTA 10
A integral , em coordenadas polares, em que D é o semiplano superior limitado pelos círculos x² + y² = 1 e x² + y² = 4, vale
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTIONÁRIO DA VÍDEO AULA - UNIDADE 3
1. Uma solução para a equação diferencial é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Resolvendo a equação diferencial , obtemos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. A solução da equação diferencial é dada por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Uma cultura tem inicialmente 1.000 bactérias. Em 1h o número medido de bactérias é 1.500. Se a taxa de crescimento for proporcional ao número de bactérias P(t) presente no instante t, o tempo necessário para triplicar o número de bactérias é:
a) 2,49 h.
b) 2,50 h.
c) 2,71 h.
d) 2,79 h.
e) 2,83 h.
2,71 h. O tempo não depende do número inicial de bactérias.
QUESTIONÁRIO UNIDADE 3
PERGUNTA 1
Equações diferenciais são equações envolvendo uma função incógnita e uma ou amis de suas derivadas. São classificadas em ordinárias quando a função incógnita depende de apenas uma variável independente; ou parciais quando a função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes. A ordem de uma equação diferencial corresponde à ordem da mais alta derivada contida na equação. Com base no exposto, assinale a alternativa incorreta:
Notação: 
a) é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem
b) é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem
c) é uma equação diferencial parcial de segunda ordem.
d) é uma equação diferencial parcial de segunda ordem. 
e) é uma equação diferencial ordinária de terceira ordem.
É uma equação diferencial ordinária (pois a única variável independente é x) e de segunda ordem, pois a maior derivada é y’’.
PERGUNTA 2
A função é solução de qual equação diferencial?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Basta substituir a função dada na equação e verificar a igualdade:
PERGUNTA 3
A solução geral da equação diferencial y’ = cos(5x) é:
a) y(x) = -1/5 sen (5x) + C
b) y(x) = 1/5 sen(5x) + C
c) y(x) = sen (5x) + C
d) y(x) = - sen (5x) + C
e) y(x) = sen² (5x) + C
É uma equação diferencial de variáveis separáveis:
y’ = dy/dx = cos(5x) >>>> dy = cos (5x) dx >>>> y = 1/5 sen (5x) + C
PERGUNTA 4
Resolvendo a equação diferencial (4x² + 12) y’ = x, obtemos:
a) y(x) = ln (4x² + 12) + C 
b) y(x) = 0,25 ln (4x² + 12) + C
c) y(x) = 0,125 ln (4x² + 12) + C
d) y(x) = 0,75 ln (4x² + 12) + C
e) y(x) = 0,51 ln (4x² + 12) + C
Equação diferencial de variáveis separáveis:
PERGUNTA 5
Um corpo à temperatura inicial de 24ºC é colocado em local que está à temperatura de 5ºC. Após 5 minutos, a temperatura do corpo é igual a 16ºC. Podemos afirmar que a temperatura do corpo após q0 minutos é de, aproximadamente:
a) 14,37ºC
b) 12,37ºC
c) 11,37ºC
d) 13,37ºC
e) 15,37ºC
Resolvemos a equação diferencial de variáveis separáveis e usamos as informações fornecidas no enunciado.
PERGUNTA 6
A solução geral da equação diferencial exata xdx + ydy = 0 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Usamos o método de solução de equações diferenciais exatas:
PERGUNTA 7
A solução particular para a equação diferencial 2xdx + 6dy = 0, para a condição inicial y(0) = 4, é dada por:
a) x² + 6y = 24
b) x² + 6y = 12
c) x² - 6y = 24
d) x² - 6y = 12
e) x² + 6y = 6
Resolvemos a equação geral (diferencial exata)e aplicamos a condição inicial:
PERGUNTA 8
A solução particular para a equação diferencial cos(x) dx + y³dy = 0, para a condição inicial y(0) = 4, é dada por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolvemos a equação geral (variáveis separáveis) e aplicamos a condição inicial:
PERGUNTA 9
Resolvendo a equação diferencial linear de primeira ordem xy’+5y = 3x², obtemos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Usamos a técnica do fator integrante para resolver a equação:
PERGUNTA 10
Um corpo com massa m = 80kg é abandonado em repouso de uma grande altura, sofrendo queda livre com atrito viscoso. Sabendo-se que g = 10 m/s² e k = 8 kg/s, e que a equação diferencial que descreve a velocidade do corpo em função do tempo é dada por: , podemos afirmar que a expressão para a velocidade do corpo em função do tempo é dada por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolvemos a equação diferencial utilizando o método do fator integrante: