Calculo 1-180

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- Resposta: O volume de uma esfera é dado pela fórmula \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), onde 
\(r\) é o raio. 
 
204. Qual é a solução para a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0 \)? 
 - Resposta: A solução é \( y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 
205. Se \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\), qual é a derivada de \(f(x)\)? 
 - Resposta: A derivada de \(f(x)\) é \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\), usando a regra da 
cadeia e a derivada da raiz quadrada. 
 
206. Qual é o volume de uma pirâmide com base quadrada de lado \(a\) e altura \(h\)? 
 - Resposta: O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula \(V = \frac{1}{3}a^2h\), onde 
\(a\) é o lado da base e \(h\) é a altura. 
 
207. Qual é a solução para a equação diferencial \( y' + 2y = 0 \)? 
 - Resposta: A solução é \( y = Ce^{-2x} \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
 
208. Se \(A\) é uma matriz hermitiana, o que isso implica sobre os elementos de \(A\)? 
 - Resposta: Implica que \(A\) é uma matriz simétrica. 
 
209. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \)? 
 - Resposta: À medida que \(x \to \infty\), a função logarítmica cresce mais lentamente 
do que qualquer função polinomial, então a expressão se aproxima de \(0\). 
 
210. Resolva a equação \(2^x - 3(2^{-x}) = 0\). 
 - Resposta: Podemos reescrever a equação como \(2^x - \frac{3}{2^x} = 0\), que é uma 
equação quadrática em \(2^x\). Resolvendo a equação quadrática, obtemos \(2^x = 3\) ou 
\(2^x = -3\). No entanto, \(2^x\) é sempre positivo, então a única solução é \(2^x = 3\), o 
que implica que \(x = \log_2(3)\). 
 
211. Qual é a área da região delimitada pela curva \(y = \tan(x)\), o eixo \(x\) e as linhas \(x 
= -\frac{\pi}{4}\) e \(x = \frac{\pi}{4}\)? 
 - Resposta: A integral de \(\tan(x)\) não converge na região especificada devido a 
descontinuidades, então a área não é definida.