Paper

Prévia do material em texto

2
A teoria dos números na formação de professor de matemática: Teorema fundamental da aritimética. 
Djalma Luís Alves Pontes; Francisco Talvanes Alves Pontes; Verônica dos santos Braga¹ 
Leandro hordina²
RESUMO 
Esta produção academica descreve como um grupo de estudantes de graduação em matemática compreende alguns conceitos da teoria dos números, incluindo números primos e o Teorema Fundamental da Aritmética. Utilizando uma abordagem qualitativa, foram recolhidas respostas a duas questões de dez sujeitos, as quais foram analisadas quanto aos conceitos de transparência/opacidade expressos numericamente, para verificar se existia coerência entre os conceitos elencados nas respostas a que se devia abordar a questão. Este artigo, portanto, destaca as estratégias utilizadas pelos participantes do estudo em relação aos problemas envolvendo números naturais primos e a importância de os professores de matemática terem conhecimento formal da teoria dos números em sua formação. Além disso, elementos emergentes sugerem que apelos à intuição (o que nem sempre é verdade) e apelos a soluções prescritas são consideráveis ​​em contextos de pesquisa igual nos trabalhos descritos nas referencias. 
Palavras-chave
Representações numéricas; Números primos; Educação matemática; Teoria dos números.
1. INTRODUÇÃO
A aritmética, muitas vezes referida como a parte fundamental da teoria dos números, tem o seu principal ponto de partida em Euclides (1665) e Leonhard Euler (1707-1783), que a tornaram um dos principais pilares da matemática. A partir do início do século XIX, a aritmética transformou-se em teoria dos números, que começou a sofrer desenvolvimentos extraordinários graças ao trabalho de Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Esses são os quatro protagonistas da história que vamos contar aqui. Gauss se deve à frutífera ideia de decompor os números naturais em anéis de números algébricos. Essa ideia foi muito desenvolvida nas obras de Ernsi Kummer, Richard Dedekind e Leopold Kronecker, dando início ao que hoje é conhecido como teoria algébrica dos números.
Por outro lado, também no século XIX, os trabalhos de Lejeune Dirichlet e Bernhard Riemann usaram técnicas de análise de números reais e complexos, para entender melhor a distribuição de números primos, abrindo caminho para a análise teórica dos números. Hoje existe uma terceira abordagem, a geometria aritmética, cujos métodos são retirados da geometria algébrica e cujos predecessores foram Emil Artin, Helmut Hasse, Louis-Joel Model e André Weir. Este último método provou ser muito frutífero, provando teoremas profundos na teoria dos números, culminando em uma publicação de 1995 por Andrew Wiles do chamado Último Teorema de Fermat.
O tema abordado por sua vez é de fundamental importância para a matemática que estudamos atualmente. Vários pesquisadores contribuíram de forma significativa para que a matemática continuasse avançando de uma forma bastante positiva. Talvez alguém que esteja de alguma forma ligado ao processo de formação de professores de matemática não perceba a falta de relevância de temas e conteúdos relacionados à teoria elementar dos números. Nesse sentido, reconhecer que os professores de matemática do ensino fundamental devem ter conhecimentos dessa natureza parece, à primeira vista, um problema resolvido. Visto por outro ângulo, no entanto, o tema da pesquisa acadêmica parece não merecer muita atenção: acaba sendo considerado muito simplista, lidando com questões como separabilidade e primalidade, e de fato muito pouca investigação tem sido feita nesse campo. Portanto, nesta produção acadêmica tentamos destacar alguns elementos que apontam para a importância dos tópicos relacionados à teoria dos números na formação de professores, dando a forma de representação numérica e a importância dos domínios conceituais na formação de professores como uma visão deste contexto.
O interesse pelos números e suas propriedades acompanhou o desenvolvimento das mais diversas civilizações que conhecemos, desde os primeiros momentos de seu desenvolvimento. Na obra de Euclides “os elementos”, a matemática grega é considerada geometria por natureza, os números são representados por segmentos de linha reta. O Livro começa com as regras para determinar o máximo divisor comum de dois números. Vários outros resultados apareceram nesses livros, incluindo a prova de que existem infinitos números primos.
Talvez o matemático amador mais eminente tenha sido Pierre de Fermat (1601-1665), considerado o fundador da moderna teoria dos números. Fermat estudou direito e trabalhou em Toulouse como advogado e conselheiro do conselho local. Sua afirmação mais famosa é conhecida como Último Teorema de Fermat, e não foi provada até recentemente, em 1995, por Andrew Wiles. A declaração do teorema afirma que não há inteiros diferentes de zero , a, b, c tais que an + bn = cn para n > 2. Fermat é escrito no espaço de um livro que fornece uma prova simples para esta afirmação, mas as margens não são suficientes para escrevê-lo. A prova de Fermat pode estar incorreta porque a questão permaneceu sem resposta por muito tempo. No entanto, muitos elementos teóricos da matemática foram desenvolvidos como resultado de tentativas de resolvê-la. 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A aritmética e teoria dos números são áreas da matemática que visam principalmente estudar números inteiros. Entre eles, tem-se tópicos como divisibilidade, números primos e o famoso Teorema Fundamental da Aritmética. Neste método, ainda temos aplicações importantes da matemática, como equações diofantino e congruente. 
A teoria dos números pode ser considerada em termos de geometria como um dos mais antigos estudos em matemática, testemunhou Euclides ao dedicar alguns capítulos de “Os Elementos” a este tema. Outro Matemáticos historicamente importantes que trabalharam nesta pesquisa Foi Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que disse que a teoria dos números era rainha da matemática.
De fato, por diferentes trajetórias, o percurso histórico responsável pela consolidação de temas relacionados à teoria dos números contribui para a escola por meio da inserção no curso a longo prazo. Seria de se esperar que o treinamento de professores em programas de licenciatura em matemática tivesse ampla exposição a elementos relacionados à teoria dos números, mas esse não é o caso. Resende (2007), em seu levantamento de temas relacionados ao tema abordado, menciona que as possibilidades de formação abertas por esse ramo da matemática são negligenciadas nos mais diversos setores escolares. Seria um desperdício lamentável abrir mão das oportunidades de aprendizado abertas pela exploração do assunto: por exemplo, usar a teoria dos números em um ambiente escolar pode, “[...] criar oportunidades, através da abordagem de tópicos como decomposição em primos e divisibilidade, para propor problemas fecundos que desenvolvam a compreensão conceitual da Matemática” (MACHADO; MARANHÃO; COELHO, 2005, p. 26).
A teoria dos números, parte da qual é chamada de aritmética na escola primária e o conceito original de geometria, são a porta de entrada das pessoas para a cultura matemática. Embora as evidências sobre esse assunto sejam escassas, sua importância é inegável, porque pelas razões mais óbvias podem-se identificar elementos de aritmética básica em todos os lugares. Portanto, o trabalho numérico inicial deve estar intimamente relacionado com os problemas matemáticos mais relevantes na formação de professores de matemática.
Tópicos de Teoria dos Números estão presentes na educação básica, sendo que os números naturais e os inteiros ocupam grande parte dos currículos de matemática nesse nível e o seu ensino tem questões próprias que não podem ser desconsideradas na formação do professor; a Teoria dos Números é um espaço propício para o desenvolvimento de ideias matemáticas relevantes relativas aos números naturais e algumas também estendidas aos inteiros, presentes na matemática escolar, como a recorrência, aindução matemática, a divisibilidade; a Teoria dos Números é um campo propício para uma abordagem mais ampla da prova, porque oferece ricas oportunidades para a exploração dos diferentes tipos de provas, permitindo ao licenciando perceber que a prova tem diferentes funções e que, no ensino, não deve ser compreendida da mesma forma que na pesquisa em matemática. (Resende, 2007, p. 7)
Apesar de sua relevância para a formação de futuros professores, observa-se que a teoria dos números não é considerada um tema importante de pesquisa em educação matemática, como se pode constatar pelo escasso número de pesquisas realizadas sobre o tema. No entanto, no âmbito da aprendizagem de tópicos na gama dos números naturais é importante e requer apropriação por professores de matemática de seus pressupostos epistemológicos e respectivas estratégias de ensino em sua formação. Por outro lado, é preciso considerar que, ao chegarem à escola, as crianças não enfrentarão os números e as operações básicas a eles relacionadas como fatos inéditos, o que fará com que seu ensino gradativamente leve em consideração essa premissa.
Neste sentido, afirmam Friederich, Kruger e Nehring (2009, p. 4):
As crianças ao chegarem à escola, já possuem certa noção dos números e algumas operações básicas, portanto o estudo dos números, como objeto matemático, precisa envolver o reconhecimento da existência de diferentes tipos de números e de suas representações e classificações, por exemplo: os números primos, compostos, pares, ímpares, fracionários etc. É importante salientar que partir dos conhecimentos que as crianças possuem não significa restringir-se a eles, pois é papel da escola ampliar esse universo de conhecimento e dar condições a elas de estabelecerem vínculos entre o que conhecem e os novos conteúdos que vão construir.
uma aprendizagem signicativ
Entretanto, para lidar com os exemplos e problematizações esboçados na fala do autor acima, deve-se demonstrar domínio dos temas relevantes. Dessa forma, a teoria dos números visa identificar os conhecimentos e dificuldades demonstrados pelos alunos por meio da problematização dos conceitos/propriedades dos números primos.
Nesse sentido, o trabalho de Zazkis e Liljedahl (2004) discute o papel das representações no contexto dos números naturais. No seu trabalho, os autores apresentam e analisam os dados obtidos a partir de um inquérito também realizado a professores do ensino básico em formação com enfoque na sua compreensão dos números primos para identificar fatores que suportem essa compreensão. O argumento utilizado na análise dos dados foi o de que a falta de transparência na representação dos números primos constitui uma barreira à sua compreensão.
A ideia é emprestada do trabalho de Lesh, Behr e Post (1987). Referindo-se às representações múltiplas dos números racionais, os autores apontam que eles "incorporam" estruturas matemáticas, no sentido de que são descritos em termos materiais. Desta forma, os sistemas representacionais podem ser vistos como opacos ou transparentes. Nesse sentido, transparente significa para o autor nem mais nem menos do que a ideia ou estrutura que ele expressa, enquanto opaco significa enfatizar alguns aspectos da ideia ou estrutura e ocultar de outros. Dentre todas as possibilidades, isso dependerá de uma estratégia de ensino que, por exemplo, explore os pontos fortes de um determinado sistema representacional e minimize suas fragilidades – fatores que, segundo os autores, são críticos para a aquisição e uso do pensamento matemático.
Portanto, o trabalho de Zazkis e Liljedahl (2004) pode ser considerado um marco importante para o conceito de representações transparentes e opacas utilizado neste estudo. A partir da aplicação desse conceito às representações numéricas, o autor considera que todas as representações dessa natureza são opacas, mas possuem a característica de transparência. Para ilustrar uma afirmação semelhante, os autores apontam que representar o número 784 como 282 enfatiza que é um quadrado perfeito, mas de alguma forma oculta a capacidade do número de ser divisível por 98. Ou seja, por representar 784 como 282, a propriedade de 784 é transparente por ser um quadrado perfeito, e a propriedade desse número divisível por 98 é opaca. No que diz respeito ao trabalho aqui discutido, os sujeitos foram introduzidos em atividades envolvendo recursos representados numericamente.
No mesmo estudo, Oliveira (2007) observou a complementaridade entre dados qualitativos e quantitativos. Para os autores, embora a abordagem seja descritiva na medida em que visa compreender o significado que as pessoas atribuem ao fenômeno em estudo, dada a importância do processo, dados quantitativos podem completar o processo. No caso deste estudo, a compreensão e dificuldade com números primos e conceitos AFT puderam ser observadas nos protocolos produzidos pelos sujeitos e em suas apresentações. Os sinais apresentados na análise são de natureza qualitativa onde são importantes respostas e desenvolvimentos de natureza aritmética que podem ser vistos como quantitativos em certa medida
3. METODOLOGIA
	O presente estudo apresenta abordagem qualitativa, visto buscar um aprofundamento maior na compreensão dos fenômenos estudados, interpretando-os seguindo a perspectiva dos próprios sujeitos que participam da situação.
 A coleta de dados foi realizada por meio de uma pesquisa bibliográfica sobre o tema “Elementos da Aritmética e teoria dos números”, no decorrer desse 6º Semestre, objetivando conhecer e identificar as possibilidades de contribuir com o conhecimento relativo às origens da matemática vinculando às práticas pedagógicas voltadas ao estudo desse componente curricular, nas diferentes etapas da educação básica. 
Inicialmente, procedeu-se à seleção da bibliografia e, após análise minuciosa do referencial selecionado, passou-se à elaboração do texto, ao qual se relacionou a análise de imagens, buscando com isso aprofundar a interpretação proposta. As reflexões construídas a partir das etapas descritas fundamentam a conclusão do estudo, o qual permite afirmar que o ensino da Matemática pode contribuir positivamente para a construção de uma percepção mais ampla sobre sua importância.
Este trabalho é baseado em pesquisas na Internet que auxiliaram nas buscas do tema proposto. Por meio de texto e conteúdo, são examinados dados e biografias de cada um dos principais pensadores matemáticos, bem como suas contribuições para o desenvolvimento da matemática na atualidade.
Os conceitos centrais considerados na pesquisa aqui demonstrada referem-se à transparência e opacidade das representações numéricas, com base em referenciais do Processo de Grupo de Ensino e Aprendizagem Matemática.
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
5. CONCLUSÃO
Utilize este campo para fazer a finalização do seu trabalho. Aproveite para expor suas conclusões sobre a pesquisa. 
REFERÊNCIAS
Agora chegou a vez de referenciar os autores utilizados nas citações. Insira nesse quadro as referências utilizadas de acordo com as configurações apresentadas.
Lembre-se: As referências devem ser classificadas em ordem alfabética
1 Nome dos acadêmicos
2 Nome do Professor tutor externo
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI - Curso (Código da Turma) – Prática do Módulo I - dd/mm/aa