AULA 6 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Fernanda Fonseca 
 
 
CONVERSA INICIAL 
 Nesta aula, estudaremos o que são e quais são as características das 
sequências numéricas e de diferentes tipos de séries. Buscaremos compreender 
como esse processo matemático permite descrever fenômenos naturais, motivo 
pelo qual ele permeia a atuação dos profissionais de diferentes áreas da 
engenharia, das ciências, da matemática e de outros campos de conhecimento. 
As sequências e séries nos permitem representar problemas mais 
complexos de forma mais simples, possibilitando simplificar funções complexas 
e visando trabalhar de forma rápida e eficaz com situações-problema, 
principalmente com o uso de recursos computacionais. 
TEMA 1 – SEQUÊNCIA 
 Uma sequência nada mais é do que uma lista de números organizados de 
forma determinada (Thomas, 2012). O estudo da sequência é de suma 
importância para compreendermos futuramente a composição e a aplicação de 
séries infinitas. 
 Em uma sequência, cada elemento é denominado termo da sequência. 
Esses termos, por sua vez, podem ser representados por valores de 𝑎𝑎𝑛𝑛, em que 
𝑛𝑛 é o índice do termo, indicando a sua posição na sequência. 
𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3,𝑎𝑎4, … ,𝑎𝑎𝑛𝑛 
 Vamos observar a sequência de exemplo a seguir: 
5, 10, 15, 20, 25, 30, … , 5𝑛𝑛 
 Nesse caso, o primeiro termo é dado por 𝑎𝑎1 = 5, o segundo termo é dado 
por 𝑎𝑎2 = 10, o terceiro termo é dado por 𝑎𝑎3 = 15, até o enésimo termo, dado por 
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 5𝑛𝑛. 
 Veja que o comportamento dessa sequência pode ser descrito pela 
fórmula 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 5𝑛𝑛 para 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, 4, … Essa forma de representação da sequência 
por uma função 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) caracteriza o termo geral. Veja que, nesse caso, o 
domínio da sequência (dado pelos valores de 𝑛𝑛) é composto pelos números 
naturais não nulos. 
 
 
3 
 Ao representar graficamente uma sequência, essa é composta por valores 
pontos no plano cartesiano. Os pontos são dados por 
(1; 𝑎𝑎1), (2; 𝑎𝑎2), (3; 𝑎𝑎3), … , (𝑛𝑛; 𝑎𝑎𝑛𝑛). Para o exemplo da sequência 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 5𝑛𝑛, os 
pontos podem ser representados, conforme o gráfico da Figura 1. 
Figura 1 – Representação da sequência numérica dada por 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 5𝑛𝑛 
 
 Uma sequência pode ter seus termos se aproximando de um único valor 
à medida que o índice 𝑛𝑛 aumenta. Nesse caso, a sequência é dita convergente. 
No entanto, há sequências cujos termos crescem continuamente à medida que 
o índice 𝑛𝑛 aumenta ou que oscilam entre valores distintos. Nesses casos, a 
sequência é dita divergente. 
 Veja a sequência dada por 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 5𝑛𝑛 em que {5, 10, 15, 20, 25, 30, … , 5𝑛𝑛}. Os 
valores tendem a crescer continuamente, não se aproximando de um valor único, 
mas tendendo ao infinito positivo. Por isso a sequência é dita divergente. 
 Agora vamos observar uma sequência dada por 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1
2𝑛𝑛
 em que 
�1
2
, 1
4
, 1
8
, 1
10
, 1
14
, … , 1
2𝑛𝑛
�. Veja que os termos assumem valores cada vez mais 
próximos de zero. Nesse caso, essa sequência é denominada convergente, pois 
converge para um único valor que é zero. 
 
 
4 
 Outro exemplo de sequência divergente pode ser observado no caso em 
que 𝑎𝑎𝑛𝑛 = (−1)𝑛𝑛 em que {−1, +1,−1, +1,−1, +1, … , (−1)𝑛𝑛}. Nessa lista de 
valores, os números oscilam entre −1 e +1, não convergindo para nenhum valor 
único. Por isso, essa sequência também é denominada divergente. 
1.1 Limites de sequência 
 Quando uma sequência converge para um limite L, diz-se que: 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝐿𝐿 
 Isso ocorre quando, para um 𝜖𝜖 > 0, existir um número N de forma que há 
um |𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝐿𝐿| < 𝜖𝜖 para todo 𝑛𝑛 > 𝑁𝑁. 
 Quando a sequência não tem limite, diz-se que é divergente. Seguimos 
as mesmas regras de limites de funções para limites de sequências. Quando o 
limite de uma sequência recai em uma indeterminação do tipo 0
0� 𝑜𝑜𝑜𝑜 ∞ ∞⁄ , 
podemos utilizar a Regra de L’Hôpital (Equação 1). 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
= lim
𝑛𝑛→∞
𝑓𝑓′(𝑥𝑥)
𝑔𝑔′(𝑥𝑥)
 (1) 
 Outros pontos a serem considerados sobre limites de sequências são: 
• Se modificarmos ou ignorarmos um número finito de termos da sequência, 
o limite permanece o mesmo 
• Se 𝐶𝐶 for uma constante e 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝐶𝐶 para todo 𝑛𝑛, então lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝐶𝐶. 
Saiba mais 
Teorema do confronto para sequências 
Ao considerarmos as sequências {𝑎𝑎𝑛𝑛}, {𝑏𝑏𝑛𝑛} 𝑒𝑒 {𝑐𝑐𝑛𝑛} de forma que 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≤ 𝑏𝑏𝑛𝑛 ≤
𝑐𝑐𝑛𝑛 para todo 𝑛𝑛 maior que um índice 𝑁𝑁, teremos que: se lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
𝑐𝑐𝑛𝑛 = 𝐿𝐿, 
podemos afirmar que lim
𝑛𝑛→∞
𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝐿𝐿. 
 Vamos entender melhor por meio de alguns exemplos! 
 
 
 
 
 
 
5 
Exemplo 1 
Verifique se as sequências numéricas a seguir são convergentes ou 
divergentes e determine o limite das sequências divergentes. 
a) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 − 1 
b) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3
2𝑛𝑛²
+ 1 
c) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1−2𝑛𝑛
1+2𝑛𝑛
 
d) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛
2𝑛𝑛
 
Resolução 
a) lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
[2𝑛𝑛 − 1] 
Analisando a tendência de 𝑛𝑛, temos que: 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
[2𝑛𝑛 − 1] = +∞ 
b) lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
3
2𝑛𝑛²
+ 1 = +1 
Analisando a tendência de 𝑛𝑛, temos que: 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
�
3
2𝑛𝑛²
+ 1� = 0 + 1 = +1 
c) lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
1−2𝑛𝑛
1+2𝑛𝑛
 
Veja que esse limite recai em uma indeterminação ∞ ∞⁄ , o que permite 
que utilizemos o Regra de L’Hôpital para realização do limite. 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
1 − 2𝑛𝑛
1 + 2𝑛𝑛
= lim
𝑛𝑛→∞
−2
+2
= −1 
d) lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
𝑛𝑛
2𝑛𝑛
 
Veja que esse limite recai novamente em uma indeterminação ∞ ∞⁄ , o que 
permite que utilizemos o Regra de L’Hôpital para realização do limite também 
nesse caso. 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
𝑛𝑛
2𝑛𝑛
= lim
𝑛𝑛→∞
1
2𝑛𝑛 ∙ ln (2)
= 0 
 
 
6 
1.2 Sequência definida recursivamente 
 Algumas sequências têm seu termo 𝑎𝑎𝑛𝑛 definido com base em seu termo 
predecessor 𝑎𝑎𝑛𝑛−1. Por exemplo, a sequência dada por 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1
2
�𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑥𝑥
𝑎𝑎𝑛𝑛−1
�, que 
representa o método de Herão para determinação da raiz quadrada de um 
número 𝑥𝑥. Ao adotarmos uma estimativa para o valor da raiz √𝑥𝑥, que assume o 
valor de 𝑎𝑎0, podemos estimar cada termo baseado em seu termo antecessor na 
sequência numérica. Esse tipo de sequência é definido recursivamente. 
Exemplo 2 
Utilizando o método de Herão, estime o valor de √2 e de √3 no intervalo 
[1; 2] com precisão de 𝜀𝜀 ≤ 10−2 para os valores estimados. 
Resolução 
Como os valores tanto da raiz de √2 quanto de √3 estão contidos no 
intervalo [1; 2], adotaremos como estimativa inicial o valor médio desse intervalo 
𝑎𝑎0 = 1,5. 
Para a √2, tem-se que 𝑥𝑥 = 2. Logo, a sequência é definida pelo termo 
geral dado por 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1
2
�𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 2
𝑎𝑎𝑛𝑛−1
�. 
O primeiro termo da sequência (𝑛𝑛 = 1) será dado por: 
𝑎𝑎1 =
1
2 �
𝑎𝑎0 +
2
𝑎𝑎0
� 
𝑎𝑎1 =
1
2 �
1,5 +
2
1,5�
 
𝑎𝑎1 = 1,416667 
Verificando o critério de parada, o erro absoluto entre 𝑎𝑎0 e 𝑎𝑎1 é: 
𝜀𝜀1 = |𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎0| 
𝜀𝜀1 = |1,416667 − 1,5| 
𝜀𝜀1 = 0,083333 > 10−2 ⇒ 𝑁𝑁ã𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 
O segundo termo da sequência (𝑛𝑛 = 2) será dado por: 
𝑎𝑎2 =
1
2 �
𝑎𝑎1 +
2
𝑎𝑎1
� 
 
 
7 
𝑎𝑎2 =
1
2 �
1,416667 +
2
1,416667�
 
𝑎𝑎2 = 1,414216 
Verificando o critério de parada, o erro absoluto entre 𝑎𝑎0 e 𝑎𝑎1 é: 
𝜀𝜀2 = |𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1| 
𝜀𝜀2 = |1,414216 − 1,416667| 
𝜀𝜀1 = 0,002451 < 10−2 ⇒ 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 
Logo, adotaremos √2 = 1,414216. 
Para √3, tem-se que 𝑥𝑥 = 3. Logo, a sequência é definida pelo termo geral 
dado por 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1
2
�𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 3
𝑎𝑎𝑛𝑛−1
�. 
O primeiro termo da sequência (𝑛𝑛 = 1) será dadopor: 
𝑎𝑎1 =
1
2 �
𝑎𝑎0 +
3
𝑎𝑎0
� 
𝑎𝑎1 =
1
2 �
1,5 +
3
1,5�
 
𝑎𝑎1 = 1,75 
Verificando o critério de parada, o erro absoluto entre 𝑎𝑎0 e 𝑎𝑎1 é: 
𝜀𝜀1 = |𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎0| 
𝜀𝜀1 = |1,75 − 1,5| 
𝜀𝜀1 = 0,25 > 10−2 ⇒ 𝑁𝑁ã𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 
O segundo termo da sequência (𝑛𝑛 = 2) será dado por: 
𝑎𝑎2 =
1
2 �
𝑎𝑎1 +
3
𝑎𝑎1
� 
𝑎𝑎2 =
1
2 �
1,75 +
3
1,75�
 
𝑎𝑎2 = 1,732143 
Verificando o critério de parada, o erro absoluto entre 𝑎𝑎0 e 𝑎𝑎1 é: 
𝜀𝜀2 = |𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎1| 
𝜀𝜀2 = |1,732143 − 1,75| 
𝜀𝜀1 = 0,017857 > 10−2 ⇒ 𝑁𝑁ã𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 
 
 
 
8 
O terceiro termo da sequência (𝑛𝑛 = 3) será dado por: 
𝑎𝑎3 =
1
2 �
𝑎𝑎2 +
3
𝑎𝑎2
� 
𝑎𝑎3 =
1
2 �
1,732143 +
3
1,732143�
 
𝑎𝑎3 = 1,732051 
Verificando o critério de parada, o erro absoluto entre 𝑎𝑎0 e 𝑎𝑎1 é: 
𝜀𝜀3 = |𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2| 
𝜀𝜀3 = |1,732051 − 1,732143| 
𝜀𝜀1 = 0,00009 < 10−2 ⇒ 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 
Logo, adotaremos √3 = 1,732051. 
 Algumas sequências definidas recursivamente tratam de termos fatoriais. 
Por exemplo, vejamos a sequência {1, 2, 6, 24, 120, … }. Observe que cada 
elemento da lista remete ao fatorial 𝑛𝑛!, ou seja, 
1! = 1 
2! = 2 ∙ 1 = 2 
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 
4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
 Nesse caso, definimos o termo geral dessa sequência como 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛!. 
Saiba mais 
Sequência de Fibonacci 
Figura 2 – Fibonacci 
 
Créditos: Alevtina_Vyacheslav/Shutterstock. 
 
 
9 
No final do século XII, Leonardo de Pisa – mais conhecido como Fibonacci 
– percebeu um padrão matemático quando observou a evolução de uma 
população de coelhos em um período de um ano, gerada a partir de um único 
casal da espécie. Considerando que nenhum coelho morra no processo, quando 
os coelhos passam à maturidade sexual e estão aptos para procriar a partir do 
terceiro mês, a quantidade de casais de coelhos mês a mês cresce segundo uma 
mesma ordem. Nesse caso, os termos da sequência serão dados pela soma dos 
dois termos anteriores. 
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,… 
Diante disso, a Sequência de Fibonacci é representada por a_n=a_(n-
1)+a_(n-2), iniciando com os termos 0 e 1. 
A partir do quarto termo, a razão entre o termo e seu antecessor é sempre 
próxima de 1,6. Por esse motivo, esse valor ficou conhecido como número de 
ouro ou proporção áurea, amplamente utilizada no campo da arte e da 
arquitetura, pois as proporções geram objetos com aparência agradável para o 
ser humano. Por esse motivo, Leonardo da Vinci também chama essa sequência 
de Divina Proporção. 
A Sequência de Fibonacci pode ser observada em diversos fenômenos 
da natureza e na formação de organismos vivos. Além de ser aplicada em 
inúmeros casos da matemática, como também na ciência da computação e na 
teoria de jogos. 
Ao representar os termos da sequência como quadrados e organizá-los 
geometricamente, é possível construir um retângulo com características 
específicas chamado de retângulo de ouro. Nele, é possível traçar uma espiral 
perfeita – denominada Espiral de Fibonacci –, quando um arco é traçado dentro 
de cada um dos quadrados. 
Figura 3 – Espiral de Fibonacci 
 
Créditos: Bobnevv/Shutterstock. 
 
 
10 
1.3 Sequências limitadas e monotônicas 
 Dizemos que uma sequência é limitada quando apresenta um termo 
limitante superior ou inferior na sequência numérica. Desse modo, quando existe 
um valor 𝑀𝑀 para o qual 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≤ 𝑀𝑀 para todo 𝑛𝑛, diz-se que essa sequência é limitada 
superiormente. Entretanto, quando existe um valor 𝑚𝑚 para o qual 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≥ 𝑚𝑚 para 
todo 𝑛𝑛, diz-se que essa sequência é limitada inferiormente. 
 Por exemplo, podemos observar uma sequência numérica dada por 
𝑎𝑎𝑛𝑛 =
1
2 ∙ 𝑛𝑛!
⇒ �
1
2
,
1
4
,
1
12
,
1
48
,
1
240
, … � 
 Veja que a sequência é limitada superiormente pelo valor 𝑀𝑀 = 1
2
, pois 
todos os termos da sequência são menores ou iguais a 1
2
. 
 Agora, vamos analisar o exemplo da sequência numérica dada por: 
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 + 3 ⇒ {5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, … } 
 Nesse caso, a sequência é limitada inferiormente pelo valor 𝑚𝑚 = 5, pois 
todos os termos da sequência são maiores ou iguais a 5. 
 Sequências que são limitadas superior e inferiormente de forma 
simultânea são denominadas sequências limitadas. E sequências que não são 
limitadas nem superiormente nem inferiormente, são chamadas de ilimitadas. 
 Toda sequência convergente é limitada, entretanto nem toda sequência 
limitada converge para um único valor. 
 Denominamos sequência monotônica quando essa lista de valores é 
crescente ou decrescente. Ou seja, uma sequência é crescente quando 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≤
𝑎𝑎𝑛𝑛+1 para todo 𝑛𝑛. Por exemplo, a sequência {1, 2, 3, 4, 5, … } é uma sequência 
crescente porque cada termo sempre é maior ou igual ao seu antecessor. O 
mesmo acontece com a sequência numérica {1, 1, 1, 1, 1, … }, que também é 
classificada como uma sequência crescente porque cada termo é maior ou igual 
ao seu antecessor – no caso, igual ao antecessor. 
Uma sequência é decrescente quando 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 ≤ 𝑎𝑎𝑛𝑛 para todo 𝑛𝑛. Por 
exemplo, a sequência �1
2
, 1
4
, 1
12
, 1
48
, 1
240
, … � é uma sequência decrescente poque 
cada termo sempre é menor ou igual ao seu antecessor. O mesmo acontece com 
a sequência numérica {1, 1, 1, 1, 1, … }, que também é classificada como uma 
 
 
11 
sequência decrescente porque cada termo é menor ou igual ao seu antecessor 
– no caso, igual ao antecessor. 
Veja que a sequência {1, 1, 1, 1, 1, … } é tanto crescente quanto 
decrescente, por isso é caracterizada como uma sequência monotônica, assim 
como as outras duas sequências analisadas. 
Sequência monotônica → �
{1, 2, 3, 4, 5, … } ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒
�1
2
, 1
4
, 1
12
, 1
48
, 1
240
, … � ⇒ 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒
{1, 1, 1, 1, 1, … } ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒
 
Sequências numéricas como {−1, +1,−1, +1, … }, que oscilam em torno 
de um valor, não são nem crescentes nem decrescentes, não caracterizando 
sequências monotônicas. Uma sequência monotônica e limitada é sempre 
convergente. 
TEMA 2 – SÉRIES NUMÉRICAS 
 Definimos uma série como uma soma dos termos de uma sequência, ou 
seja, uma série infinita é dada pela soma dos termos de uma sequência infinita 
(Equação 2). Quando a série contempla a soma apenas dos 𝑛𝑛 primeiros termos 
da sequência, essa série é denominada 𝑛𝑛-ésima soma parcial (Thomas, 2012). 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛 + ⋯ (2) 
 Com o aumento de 𝑛𝑛, busca-se definir o valor para o qual a série 
converge, assim como se procura definir um padrão para os termos da série. 
 Por exemplo, vamos observar a série dada por 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = 1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+
1
81
+
1
243
+ ⋯ 
 Vamos analisar com base em cada termo da série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Tabela 1 – Análise dos termos de uma série (1) 
𝒂𝒂𝒏𝒏 
Valor do 
Termo 
Soma parcial 
Expressão sugerida 
para representar a 
soma parcial 
𝒂𝒂𝟏𝟏 1 𝑆𝑆1 = 1 3
2
−
1
2
 
𝒂𝒂𝟐𝟐 4
3
 𝑆𝑆2 = 1 +
1
3
 
3
2
−
1
6
 
𝒂𝒂𝟑𝟑 13
9
 𝑆𝑆3 = 1 +
1
3
+
1
9
 
3
2
−
1
18
 
𝒂𝒂𝟒𝟒 40
27
 𝑆𝑆4 = 1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
 
3
2
−
1
54
 
𝒂𝒂𝒏𝒏 
(𝒏𝒏-ésimo termo) 
3𝑛𝑛 − 1
2 ∙ 3𝑛𝑛−1
 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 1 +
1
3 +
1
9 +
1
27 + ⋯+
1
3𝑛𝑛−1 
3
2
−
1
2 ∙ 3𝑛𝑛−1
=
3𝑛𝑛 − 1
2 ∙ 3𝑛𝑛−1
 
 
Veja que essa série segue um padrão que permite observar que o 𝑛𝑛-ésimo 
termo é dado por 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3𝑛𝑛−1
2∙3𝑛𝑛−1
. Veja que podemos observar que essa série 
converge para 3 2� . 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
3𝑛𝑛 − 1
2 ∙ 3𝑛𝑛−1
. = lim
𝑛𝑛→∞
�
3
2
−
1
2 ∙ 3𝑛𝑛−1�=
3
2
 
Por isso, dizemos que a soma dessa série infinita é 3 2� . 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = 1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+
1
81
+
1
243
+ ⋯ =
3
2
 
 Uma série infinita como a da Equação 2 pode ser representada como um 
somatório de termo 𝑎𝑎𝑛𝑛 (Equação 3), cujo resultado é dado pelo limite 𝐿𝐿 para o 
qual a soma parcial da série converge. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛 + ⋯ ⇒ 𝑆𝑆𝑛𝑛 = �𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
= 𝐿𝐿 (3) 
 Quando a soma parcial da série não converge para nenhum valor 𝐿𝐿, diz-
se que a série é divergente. 
 
 
 
 
13 
Exemplo 3 
Determine a expressão para o 𝑛𝑛-ésimo termo da série infinita: 
𝑆𝑆𝑛𝑛 =
5
2
+
5
6
+
5
12
+
1
4
+ ⋯ 
Determine também o valor da soma se a série for convergente. 
Resolução 
Veja que a série 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 5
2
+ 5
6
+ 5
12
+ ⋯ pode ser reescrita como: 
𝑆𝑆𝑛𝑛 =
5
1 ∙ 2
+
5
2 ∙ 3
+
5
3 ∙ 4
+ ⋯ 
Vamos agora analisar cada termo da série para identificarmos um padrão 
que descreve o 𝑛𝑛-ésimo termo. 
Tabela 2 – Análise dos termos de uma série (2) 
𝒂𝒂𝒏𝒏 
Valor do 
Termo 
Soma parcial 
Expressão sugerida 
para representar a 
soma parcial 
𝒂𝒂𝟏𝟏 
5
2
 𝑆𝑆𝑛𝑛 =
5
2
 5 −
5
2
 
𝒂𝒂𝟐𝟐 10
3
 𝑆𝑆𝑛𝑛 =
5
2
+
5
6
 5 −
5
3
 
𝒂𝒂𝟑𝟑 15
4
 𝑆𝑆𝑛𝑛 =
5
2
+
5
6
+
5
12
 5 −
5
4
 
𝒂𝒂𝒏𝒏 
(𝒏𝒏-ésimo termo) 
5𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
 𝑆𝑆𝑛𝑛 =
5
2 +
5
6 +
5
12 + ⋯+
5
𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) 5 −
5
𝑛𝑛 + 1
=
5𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
 
 
O 𝑛𝑛-ésimo termo dessa série será dado por: 
𝑎𝑎𝑛𝑛 =
5𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
 
 
 
 
 
14 
Veja que esse termo tende a um valor 𝐿𝐿, para o qual a série converge, 
dado por: 
𝐿𝐿 = lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
5𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
= lim
𝑛𝑛→∞
�5 −
5
𝑛𝑛 + 1�
= 5 
Isso significa que a soma 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 5
2
+ 5
6
+ 5
12
+ ⋯ pode ser representada por 
um somatório de 𝑎𝑎𝑛𝑛 que será igual a 𝐿𝐿, ou seja: 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
5𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
∞
𝑛𝑛=1
= 5 
TEMA 3 – SÉRIE TELESCÓPICA, SÉRIE GEOMÉTRICA E SÉRIE HARMÔNICA 
 Ao nos depararmos com séries numéricas, alguns padrões são bastante 
comuns, o que nos permite tratá-los de acordo com suas características 
específicas. 
 Neste momento, vamos analisar alguns tipos de séries bastante comuns, 
que podem ser observadas em fenômenos naturais, como a série telescópica, a 
série geométrica e a série harmônica. 
3.1 Série telescópica 
 A série telescópica é caracterizada por uma soma finita na qual pares de 
termos consecutivos se cancelam, ficando reduzida a seus termos inicial e final 
(Dantas, 2013). Ela adquire esse nome pelo fato de aproximar (da mesma forma 
que um telescópio) esses dois termos a serem somados. 
Essa série tem o formato dado pela Equação 4. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �(𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑎𝑎𝑛𝑛+1)
𝑁𝑁
𝑛𝑛=1
= 𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎𝑁𝑁+1 (4) 
 Observe o exemplo. 
Exemplo 4 
Vamos calcular a soma dada pela série telescópica 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
1
𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)
∞
𝑛𝑛=1
 
 
 
15 
Resolução 
Veja que essa série é infinita, sendo que a soma de uma série telescópica 
deve ser finita. Por isso, vamos determinar a soma dessa série até um termo 𝑘𝑘. 
𝑆𝑆 = �
1
𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)
𝑘𝑘
𝑛𝑛=1
 
𝑆𝑆 = ��
1
𝑛𝑛
−
1
(𝑛𝑛 + 1)�
𝑘𝑘
𝑛𝑛=1
 
𝑆𝑆 = �
1
1
−
1
2�
+ �
1
2
−
1
3�
+ �
1
3
−
1
4�
… + �
1
𝑘𝑘
−
1
(𝑘𝑘 + 1)� 
𝑆𝑆 =
1
1
−
1
(𝑘𝑘 + 1) 
Como a série infinita 𝑘𝑘 tende ao infinito, podemos determinar que: 
𝑆𝑆 = lim
𝑘𝑘→∞
�
1
1
−
1
(𝑘𝑘 + 1)� = 1 
Logo: 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
1
𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)
∞
𝑛𝑛=1
= 1 
3.2 Série geométrica 
 Chamamos de séries geométricas as séries que apresentam o seguinte 
formato (Equação 5). 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐2 + ⋯+ 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛−1 + ⋯ = �𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛−1
∞
𝑛𝑛=1
 (5) 
 Em que 𝑎𝑎 e 𝑐𝑐 são números reais, sendo a um valor não nulo (𝑎𝑎 ≠ 0). Essa 
série também pode ser escrita como 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=0 (Thomas, 2012). 
 Veja que a convergência desse tipo de série está relacionada ao valor da 
razão 𝑐𝑐. Se |𝑐𝑐| < 1, a Série Geométrica converge para 𝑎𝑎
(1−𝑟𝑟)
. Se |𝑐𝑐| ≥ 1, a Série 
Geométrica será divergente. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛−1
∞
𝑛𝑛=1
=
𝑎𝑎
(1 − 𝑐𝑐) 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 |𝑐𝑐| < 1 
 
 
16 
 De forma mais genérica, podemos determinar a soma de uma série 
geométrica não iniciando com seu termo 𝑎𝑎1. Podemos definir a soma com base 
em outro termo 𝑎𝑎𝑛𝑛 com 𝑛𝑛 = 𝑀𝑀. Nesse caso, teremos a soma dada pela Equação 
6. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = � 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛−1
∞
𝑛𝑛=𝑀𝑀
= 𝑎𝑎 ∙
𝑐𝑐𝑀𝑀−1
(1 − 𝑐𝑐) (6) 
Quando nos deparamos com séries geométricas divergentes, podemos 
definir uma soma parcial de seus termos por meio da Equação 7. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛−1
𝑁𝑁
𝑛𝑛=1
= 𝑎𝑎 ∙
(1 − 𝑐𝑐𝑁𝑁+1)
(1 − 𝑐𝑐) 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐 ≠ 1 (7) 
Quando 𝑐𝑐 = 1, temos que a soma é dada por 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛−1𝑁𝑁
𝑛𝑛=1 = 𝑁𝑁 ∙ 𝑎𝑎. 
Vamos observar alguns exemplos para entendermos melhor. 
Exemplo 5 
Ao analisar a queda de um objeto parcialmente elástico a partir de uma 
altura ℎ, um engenheiro observa que a altura máxima atingida pelo objeto, cada 
vez que ele atinge o solo, é reduzida devido à perda de energia, conforme mostra 
a Figura 4. 
Figura 4 – Objeto parcialmente elástico 
 
Créditos: Oleksandr Panasovskyi/Shutterstock. 
 
 
17 
Para determinar a distância total percorrida, o engenheiro soma cada 
trajeto de subida e descida realizado pelo corpo. 
𝑆𝑆 = ℎ + 2 ∙ �
3
4
ℎ� + 2 ∙ �
9
16
ℎ� + 2 ∙ �
27
64
ℎ� + ⋯ 
Qual a distância total percorrida pelo corpo para uma altura inicial ℎ =
6𝑚𝑚? 
Resolução 
É possível observar que a soma definida pelo engenheiro caracteriza uma 
série infinita. Veja que parte dessa soma caracteriza uma série geométrica 
quando reescrita de outra forma 
𝑆𝑆 = ℎ + 2 ∙ �
3
4
ℎ� + 2 ∙ �
9
16
ℎ� + 2 ∙ �
27
64
ℎ� + ⋯ 
𝑆𝑆 = ℎ + 2 ∙ �
3
4�
ℎ + 2 ∙ �
3
4�
2
ℎ + 2 ∙ �
3
4�
3
ℎ + ⋯ 
𝑆𝑆 = ℎ + 2 ∙ ��
3
4�
∙ ℎ + �
3
4�
2
∙ ℎ + �
3
4�
3
∙ ℎ + ⋯� 𝑆𝑆é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝐺𝐺𝑒𝑒𝑜𝑜𝑚𝑚é𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 
Veja que para essa série geométrica teremos 𝑎𝑎 = ℎ e 𝑐𝑐 = 3
4� (cujo 
módulo é menor que 1), ou seja, essa parte da soma que caracteriza uma série 
geométrica que converge para, sendo que 𝑀𝑀 = 2 pois a série inicia no termo 𝑎𝑎2 
da Equação 6. 
𝑎𝑎 ∙
𝑐𝑐𝑀𝑀−1
1 − 𝑐𝑐
=
ℎ𝑐𝑐
1 − 𝑐𝑐
 
Logo: 
𝑆𝑆 = ℎ + 2 ∙ �
ℎ ∙ �3
4� �
1 − 3
4�
� 
Ao adotarmos ℎ = 6𝑚𝑚, teremos que a distância total será dada por: 
𝑆𝑆 = 6 + 2 ∙ �
6 ∙ �3
4� �
1 − 3
4�
� 
𝑆𝑆 = 42 𝑚𝑚 
Nesse caso, o engenheiro encontrará como a distância total percorrida 
pelo corpo de 42 m. 
 
 
18 
Exemplo 6 
O mesmo engenheiro do exemplo anterior resolveu agora explorar um 
objeto utópico. Ele imaginou um corpo elástico que, a cada colisão, em vez de 
perder energia, receberia um impulso, o que faria com que a altura máxima 
atingida crescesse com cada choque com o solo, conforme mostra a Figura 5. 
Figura 5 – Objeto utópico 
 
Da mesma forma que para o exemplo anterior, o engenheiro resolveu 
determinar a distância total percorrida. Desse modo, ele soma cada trajeto de 
subida e descida realizado pelo corpo. Entretanto, como a altura máxima do 
objeto aumentava a cada colisão, ele percebeu que esse valor tendia ao infinito. 
Por esse motivo, limitou-se a determinar a distância total percorrida pelo corpo 
até ele atingir o solo pela décima vez. 
𝑆𝑆 = ℎ + 2 ∙ �
5
3
ℎ� + 2 ∙ �
25
9
ℎ� + 2 ∙ �
125
27
ℎ� + ⋯ 
Qual é a distância total calculada pelo engenheiro adotando que o corpo 
utópico partiu de uma altura inicial ℎ = 0,10 𝑐𝑐𝑚𝑚 e até ele atingir o solo pela 
décima vez? 
Resolução 
Novamente é possível observar que a soma definida pelo engenheiro 
caracteriza uma série infinita. Veja que parte dessa soma caracteriza uma série 
geométrica quando reescrita de outra forma 
𝑆𝑆 = ℎ + 2 ∙ �
5
3
ℎ� + 2 ∙ �
25
9
ℎ� + 2 ∙ �
125
27
ℎ� + ⋯ 
𝑆𝑆 = ℎ − 2ℎ + 2ℎ + 2 ∙ �
5
3�
ℎ + 2 ∙ �
5
3�
2
ℎ + 2 ∙ �
5
3�
3
ℎ + ⋯ 
 
 
19 
𝑆𝑆= ℎ − 2ℎ + 2 ∙ �ℎ + �
5
3�
ℎ + �
5
3�
2
ℎ + �
5
3�
3
ℎ + ⋯�𝑆𝑆é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑜𝑜𝑚𝑚é𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 
Veja que para essa série geométrica teremos 𝑎𝑎 = ℎ e 𝑐𝑐 = 5
3� (cujo 
módulo é maior que 1), ou seja, essa parte da soma que caracteriza uma série 
geométrica que diverge. Nesse caso, a décima colisão com o solo ocorre quando 
𝑁𝑁 = 11. Logo, adotando a Equação 7, 
𝑎𝑎 ∙
(1 − 𝑐𝑐𝑁𝑁+1)
(1 − 𝑐𝑐) = ℎ ∙
�1 − �5
3� �
12
�
�1 − 5
3� �
 
Então: 
𝑆𝑆 = ℎ − 2ℎ + 2 ∙ �ℎ ∙
�1 − �5
3� �
12
�
�1 − 5
3� �
� 
Adotando ℎ = 0,10 𝑚𝑚, tem-se que: 
𝑆𝑆 = −0,10 + 2 ∙ �0,10 ∙
�1 − �5
3� �
12
�
�1 − 5
3� �
� 
𝑆𝑆 = 137,418097 𝑚𝑚 
Nesse caso, o engenheiro encontrará como a distância total percorrida 
pelo corpo utópico de 137,418097 m. 
3.3 Série harmônica 
 A série harmônica recebe esse nome decorrente de uma analogia com as 
relações harmônicas musicais. Caracteriza uma série divergente infinita. 
Entretanto, intuitivamente parece que converge para zero, uma vez que os 
termos da série decrescem, porém a soma dos termos cresce gradativamente, 
mas cada vez mais lentamente decorrente da atenuação dos termos (Ávila, 
1995). 
Esse comportamento pode ser observado na Figura 6, no qual a série 
cresce progressivamente, mas tem esse crescimento amenizado para cada 
termo da soma. 
 
 
 
20 
Figura 6 – Série harmônica 
 
 Veja o caso da série da Figura 6. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
1
𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ ⋯ 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
1
𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
= 1 +
1
2
+ �
1
3
+
1
4�
+ �
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8�
+ ⋯ 
 Nessa soma, teremos: 
�1
3
+ 1
4
� > 1
2
 e �1
5
+ 1
6
+ 1
7
+ 1
8
� > 1
2
 
Podemos, então, definir que essa série infinita é: 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = 1 +
1
2
+ �
1
3
+
1
4�
+ �
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8�
+ ⋯ > 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+ ⋯ = ∞ 
Ou seja, a soma 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 1
𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1 tende ao infinito, por isso, é divergente. 
3.4 Convergência e divergência 
 Um fator que pode levar uma série a ser divergente é que seus termos 
não diminuem, como observamos no caso do Exemplo 6. Isso significa que seus 
termos sempre crescem, fazendo com que a soma cresça sempre que se somam 
seus termos. 
 Para esse tipo de série numérica, podemos verificar a convergência ou a 
divergência pelo Teste do 𝑛𝑛-ésimo termo (Thomas, 2012). 
Se 𝑎𝑎𝑛𝑛 → 0 para uma série dada por 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 , então essa série é 
convergente. 
 
 
21 
Se lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 não existe ou é diferente de zero para uma série dada por 𝑆𝑆𝑛𝑛 =
∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 , então essa série é divergente. 
Outro método é o teste da comparação. Para séries com termos 
positivos, se 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≥ 0, então a série ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é convergente, desde que sua 
sequência de somas parciais seja limitada. Nesse caso, considerando 0 ≤ 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≤
𝑏𝑏𝑛𝑛, ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é convergente se ∑ 𝑏𝑏𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é convergente, e ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é divergente se 
∑ 𝑏𝑏𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é divergente. 
Temos ainda o Teste da Integral. Nesse método, fazemos a transposição 
da soma da série ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=𝑁𝑁 para uma integração de 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑓𝑓(𝑛𝑛), conforme mostra 
a Equação 8, sendo 𝑓𝑓(𝑛𝑛) uma função contínua para a qual 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 (sendo 𝑁𝑁 um 
número inteiro positivo). 
�𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=𝑁𝑁
⇒ � 𝑓𝑓(𝑛𝑛)𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
𝑁𝑁
 (8) 
Se essa integral ∫ 𝑓𝑓(𝑛𝑛)𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑁𝑁 converge, então a série ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=𝑁𝑁 também 
converge. Se essa integral ∫ 𝑓𝑓(𝑛𝑛)𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑁𝑁 diverge, então a série ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=𝑁𝑁 também 
diverge (Thomas, 2012). 
Exemplo 7 
Verifique a convergência da série dada por ∑ 1
𝑛𝑛2
∞
𝑛𝑛=1 com o teste da integral. 
Resolução 
Seguindo a Equação 8, vamos escrever a soma descrita pela série como 
uma integração. 
�
1
𝑛𝑛2
∞
𝑛𝑛=1
⇒ �
1
𝑛𝑛2
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
1
 
�
1
𝑛𝑛2
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
1
= lim
𝑏𝑏→∞
�
1
𝑛𝑛2
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏
1
 
�
1
𝑛𝑛2
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
1
= lim
𝑏𝑏→∞
�−
1
𝑛𝑛
�
1
𝑏𝑏
� 
�
1
𝑛𝑛2
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
1
= lim
𝑏𝑏→∞
�
1
𝑏𝑏
−
1
1
� 
 
�
1
𝑛𝑛2
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
1
= 0 +
1
1
 
 
 
22 
�
1
𝑛𝑛2
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
1
= 1 
Veja que essa integração converge para um valor finito, logo, a série 
∑ 1
𝑛𝑛2
∞
𝑛𝑛=1 é convergente. 
Exemplo 8 
Verifique a convergência da série dada por ∑ 1
𝑛𝑛∙ln (𝑛𝑛)
∞
𝑛𝑛=2 com o teste da 
integral. 
Resolução 
Seguindo a Equação 8, vamos escrever a soma descrita pela série como 
uma integração. 
�
1
𝑛𝑛 ∙ ln (𝑛𝑛)
∞
𝑛𝑛=2
⇒ �
1
𝑛𝑛 ∙ ln (𝑛𝑛)
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
2
 
�
1
𝑛𝑛 ∙ ln (𝑛𝑛)
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
2
= lim
𝑏𝑏→∞
�
1
𝑛𝑛 ∙ ln (𝑛𝑛)
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏
2
 
�
1
𝑛𝑛 ∙ ln (𝑛𝑛)
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
2
= lim
𝑏𝑏→∞
[ln (ln(𝑛𝑛))|2𝑏𝑏] 
�
1
𝑛𝑛 ∙ ln (𝑛𝑛)
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
2
= lim
𝑏𝑏→∞
[ln (ln(𝑏𝑏) − ln (ln(2)] 
�
1
𝑛𝑛 ∙ ln (𝑛𝑛)
𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
2
= ∞ 
Veja que essa integração resulta em um valor infinito, logo a integral 
diverge da mesma forma que a série ∑ 1
𝑛𝑛∙ln (𝑛𝑛)
∞
𝑛𝑛=2 é divergente. 
A série analisada no Exemplo 7 é denominada série p e é definida pela 
Equação 9. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
1
𝑛𝑛𝑝𝑝
∞
𝑛𝑛=1
=
1
1𝑝𝑝
+
1
2𝑝𝑝
+
1
3𝑝𝑝
+ ⋯+
1
𝑛𝑛𝑝𝑝
+ ⋯ (9) 
Sendo p um valor real. Para esse tipo de função, se 𝑝𝑝 > 1, a série é 
convergente, mas, se 𝑝𝑝 ≤ 1, a série é divergente (Thomas, 2012). 
 É possível observar que a série harmônica 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 1
𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1 é divergente por 
meio desse método, porque 𝑝𝑝 = 1. 
 
 
23 
Temos ainda o Teste da Razão. Se é uma série 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 composta 
por termos positivos tem lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛+1
𝑎𝑎𝑛𝑛
= 𝐿𝐿, podemos afirmar que se 𝐿𝐿 < 1, a série é 
convergente. Se 𝐿𝐿 > 1, a série é divergente. Mas se 𝐿𝐿 = 1, não podemos concluir 
nada sobre sua convergência. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
⇒ lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛+1
𝑎𝑎𝑛𝑛
= 𝐿𝐿 (10) 
Exemplo 9 
Verifique a convergência da série dada por 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 1
𝑛𝑛2
∞
𝑛𝑛=1 com o teste da 
razão. 
Resolução 
Segundo a Equação 10, teremos que: 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
1
𝑛𝑛2
∞
𝑛𝑛=1
⇒ lim
𝑛𝑛→∞
1
(𝑛𝑛 + 1)2�
1
𝑛𝑛2�
= lim
𝑛𝑛→∞
𝑛𝑛2
(𝑛𝑛 + 1)2 
Esse limite cai em uma indeterminação do tipo ∞ ∞⁄ , por isso utilizaremos 
o Método de L’Hôpital para resolver esse limite. 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑛𝑛2
(𝑛𝑛 + 1)2 = lim
𝑛𝑛→∞
2𝑛𝑛
2(𝑛𝑛 + 1) = lim
𝑛𝑛→∞
2
2
= 1 
Como nesse caso o limite 𝐿𝐿 = 1, por esse método não seria possível 
definir se a série é convergente ou divergente. 
Exemplo 10 
Verifique a convergência da série dada por 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑛𝑛
2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1 com o teste da 
razão. 
Resolução 
Segundo a Equação 10, teremos que: 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
𝑛𝑛
2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
⇒ lim
𝑛𝑛→∞
(𝑛𝑛 + 1)
2𝑛𝑛+1�
𝑛𝑛
2𝑛𝑛�
= lim
𝑛𝑛→∞
2𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 + 1)
2𝑛𝑛+1 ∙ 𝑛𝑛
= lim
𝑛𝑛→∞
(𝑛𝑛 + 1)
2𝑛𝑛
 
Esse limite cai em uma indeterminação do tipo ∞ ∞⁄ , por isso utilizaremos 
o Método de L’Hôpital para resolver esse limite. 
 
 
24 
lim
𝑛𝑛→∞
(𝑛𝑛 + 1)
2𝑛𝑛
= lim
𝑛𝑛→∞
1
2
=
1
2
 
Como nesse caso o limite 𝐿𝐿 = 1
2� podemos afirmar que essa série é 
convergente pois 𝐿𝐿 < 1. 
 O Teste da Raiz também se mostra como um método para definição da 
convergência ou divergência de uma série cujos termos são positivos. Esse teste 
permite a verificação da convergência da série 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 pelo limite dado por 
lim
𝑛𝑛→∞
�𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐿𝐿. Podemos afirmar que se 𝐿𝐿 < 1, a série é convergente. Se 𝐿𝐿 > 1, a 
série é divergente. Mas se 𝐿𝐿 = 1, não podemos concluir nada sobre sua 
convergência. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �𝑎𝑎𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
⇒ lim
𝑛𝑛→∞
�𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐿𝐿 (11) 
Exemplo 11 
Verifique a convergência da série dada por 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑛𝑛
2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1 com o teste da 
raiz. 
Resolução 
Segundo a Equação 11, teremos que: 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �
𝑛𝑛
2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
⇒ lim
𝑛𝑛→∞
�
𝑛𝑛
2𝑛𝑛
𝑛𝑛
= lim
𝑛𝑛→∞
𝑛𝑛1 𝑛𝑛�
2
=
1
2
 
Como nesse caso o limite é 𝐿𝐿 = 1
2,� podemos afirmar que essa série é 
convergente, pois 𝐿𝐿< 1. 
 Por fim, quando nos deparamos com uma série alternada, ou seja, com 
termos positivo e negativos que se alternam consecutivamente, é necessário 
tratar com o conceito de convergência absoluta e convergência condicional. 
Saiba mais 
Convergência absoluta: uma série ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é absolutamente 
convergente se ∑ |𝑎𝑎𝑛𝑛|∞
𝑛𝑛=1 também é convergente. 
Convergência condicional: uma série ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é condicionalmente 
convergente se ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 for convergente mas ∑ |𝑎𝑎𝑛𝑛|∞
𝑛𝑛=1 for divergente. 
 
 
25 
A série alternada 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ (−1)𝑛𝑛+1 ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é então dita convergente se 
atender a duas condições: se 𝑎𝑎1 ≥ 𝑎𝑎2 ≥ 𝑎𝑎3 ≥ ⋯ e se 𝑎𝑎𝑛𝑛 tender a zero (Equação 
12). 
�
𝑎𝑎1 ≥ 𝑎𝑎2 ≥ 𝑎𝑎3 ≥ ⋯ ≥ 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 → 0 𝑞𝑞𝑜𝑜𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑛𝑛 → ∞ (12) 
Exemplo 12 
Verifique se a série alternada dada por 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ (−1)𝑛𝑛+1 ∙ 𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é 
convergente ou divergente. 
Resolução 
Para verificar as condições de convergência na Equação 12, vamos abrir 
os termos 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 da série alternada em análise. 
𝑆𝑆𝑛𝑛 = �(−1)𝑛𝑛+1 ∙ 𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=1
= 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ⋯ 
Veja que essa série não atende à primeira condição de convergência, pois 
1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < ⋯ 
A segunda condição também não é atendida, uma vez que: 
lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim
𝑛𝑛→∞
𝑛𝑛 = ∞ 
Ou seja, 𝑎𝑎𝑛𝑛 → ∞ quando 𝑛𝑛 → ∞, e não a zero como prediz a condição. 
Logo, a série alternada 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ (−1)𝑛𝑛+1 ∙ 𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=1 é divergente. 
TEMA 4 – SÉRIE DE POTÊNCIAS E EXPANSÃO EM SÉRIES 
 Algumas funções que são infinitamente deriváveis podem ser expandidas 
como séries de potências, que, em muitos casos, permitem uma aproximação 
polinomial da função geradora da série. 
 Vamos compreender melhor o que são as séries de potências para 
observarmos algumas que são amplamente utilizadas nos ramos da engenharia, 
da computação, das ciências e da matemática. 
 
 
 
 
 
26 
4.1 Série de potências 
 Uma série de potências é uma série infinita centrada em 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 dada pela 
Equação 13. Essa série tem com centro c, e coeficientes 𝑎𝑎0,𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3, … ,𝑎𝑎𝑛𝑛, … 
são constantes. 
𝑆𝑆𝑛𝑛(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 (13) 
Para podermos utilizar uma série de potências, é preciso saber para quais 
valores de x a série converge. Toda série é convergente em 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐, mas também 
pode ser convergente num intervalo simétrico em torno desse centro 𝑐𝑐. 
 Vejam que, se adotarmos 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 e 𝑐𝑐 = 0, recaímos em uma série 
geométrica de cujo primeiro termo é 1 e a razão é 𝑥𝑥. Essa série converge para 
1
(1 − 𝑥𝑥)� sendo |𝑥𝑥| < 1, conforme podemos observar na figura. 
𝑆𝑆𝑛𝑛(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑥𝑛𝑛 + ⋯ =
1
1 − 𝑥𝑥
 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 − 1 < 𝑥𝑥 < 1 
Figura 7 – Série de potências 
 
 
 
27 
 Quando definimos uma região em torno do centro c na qual a série 
converge, definimos o raio de convergência. Para uma série 𝑆𝑆𝑛𝑛(𝑥𝑥) =
∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=0 , existem três possibilidades para o raio de convergência (𝑅𝑅) 
(Thomas, 2012): 
• 𝑅𝑅 = 0 → A série 𝑆𝑆𝑛𝑛(𝑥𝑥) converge somente em 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐; 
• 𝑅𝑅 = ∞ → A série 𝑆𝑆𝑛𝑛(𝑥𝑥) é convergente para todo 𝑥𝑥 real; 
• Existe um 𝑅𝑅 > 0 de modo que a série 𝑆𝑆𝑛𝑛(𝑥𝑥) diverge quando |𝑥𝑥 − 𝑐𝑐| > 𝑅𝑅 ou 
converge absolutamente quando |𝑥𝑥 − 𝑐𝑐| < 𝑅𝑅. Entretanto, a série pode 
convergir ou não em uma das extremidades dada por 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 − 𝑅𝑅 e 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 +
𝑅𝑅. 
Para determinarmos o valor desse raio de convergência (Equação 14), 
vamos supor que existe 𝑐𝑐 = lim
𝑛𝑛→∞
�𝑎𝑎𝑛𝑛+1
𝑎𝑎𝑛𝑛
�. Nesse caso, existe um raio de 
convergência dado por 𝑅𝑅 = 1
𝑟𝑟
. Observe que, quando 𝑐𝑐 tende ao infinito, o raio de 
convergência 𝑅𝑅 é nulo, mas quando 𝑐𝑐 tende a zero, o raio de convergência 𝑅𝑅 é 
infinito. 
𝑐𝑐 = lim
𝑛𝑛→∞
�
𝑎𝑎𝑛𝑛+1
𝑎𝑎𝑛𝑛
� ⇒ 𝑅𝑅 =
1
𝑐𝑐
 (14) 
Exemplo 13 
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série 
𝑆𝑆𝑛𝑛(𝑥𝑥) = ∑ (𝑥𝑥 + 5)𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=0 . 
Resolução 
Veja que para essa série de potências, 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 e o centro 𝑐𝑐 = −5 pela 
Equação 13. 
�𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= �(𝑥𝑥 + 5)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 𝑒𝑒 𝑐𝑐 = −5 
 
Nesse caso, pela Equação 14, teremos que: 
𝑐𝑐 = lim
𝑛𝑛→∞
�
𝑎𝑎𝑛𝑛+1
𝑎𝑎𝑛𝑛
� ⇒ 𝑐𝑐 = lim
𝑛𝑛→∞
�
1
1
� = 1 
 
 
 
 
28 
Logo: 
𝑅𝑅 =
1
𝑐𝑐
⇒ 𝑅𝑅 =
1
1
= 1 
Uma vez que sabemos que o raio de convergência 𝑅𝑅 = 1, podemos 
determinar os intervalos de convergência da série. 
A série será convergente absolutamente se |𝑥𝑥 − 𝑐𝑐| < 𝑅𝑅, então: 
|𝑥𝑥 + 5| < 1 
−1 < 𝑥𝑥 + 5 < 1 
−6 < 𝑥𝑥 < −4 
A série converge absolutamente quando −6 < 𝑥𝑥 < −4. 
A série será divergente se |𝑥𝑥 − 𝑐𝑐| > 𝑅𝑅, então: 
|𝑥𝑥 + 5| > 1 ⇒ �𝑥𝑥 < −6
𝑥𝑥 > −4 
A série diverge quando 𝑥𝑥 < −6 𝑒𝑒 𝑥𝑥 > −4. 
Analisando a convergência nas extremidades, do intervalo de 
convergência −6 < 𝑥𝑥 < −4, veremos que: 
Para 𝑥𝑥 = −6, 
�(𝑥𝑥 + 5)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= �(−6 + 5)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= �(−1)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
⇒ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐𝑔𝑔𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 (𝑆𝑆é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎) 
Para 𝑥𝑥 = −4, 
�(𝑥𝑥 + 5)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= �(−4 + 5)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= �(+1)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
⇒ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐𝑔𝑔𝑒𝑒𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒 
 Observe que a série geométrica com |𝑐𝑐| < 1 permite reescrevê-la com 
uma série de potências, substituindo 𝑥𝑥 por 𝑐𝑐, tendo |𝑥𝑥| < 1. 
�𝑎𝑎 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
=
𝑎𝑎
(1 − 𝑐𝑐) (𝑆𝑆é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑜𝑜𝑚𝑚é𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎) ⇒ 
𝑎𝑎
1 − 𝑥𝑥
= �𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 (𝑆𝑆é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑜𝑜𝑎𝑎ê𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐) (15) 
 De modo semelhante, podemos reescrever várias outras séries de 
potências com base nesse modelo. 
 
 
29 
Exemplo 14 
Escreva a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2
1−𝑥𝑥2
 como uma série de potências. 
Resolução 
Comparando a função, podemos substituir 𝑥𝑥 por 𝑥𝑥2 e 𝑎𝑎 = 2 no modelo de 
série de potências da Equação 15. Nesse caso, teríamos: 
𝑎𝑎
1 − 𝑥𝑥
= �𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
⇒
2
1 − 𝑥𝑥2
= � 2 ∙ (𝑥𝑥2)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 
2
1 − 𝑥𝑥2
= � 2 ∙ 𝑥𝑥2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 2 + 2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥6 + ⋯ 
Quando 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2, teremos que: 
𝑐𝑐 = lim
𝑛𝑛→∞
�
𝑎𝑎𝑛𝑛+1
𝑎𝑎𝑛𝑛
� ⇒ 𝑐𝑐 = lim
𝑛𝑛→∞
�
2
2
� = 1 
Então, o raio de convergência será dado por 𝑅𝑅 = 1
𝑟𝑟
⇒ 𝑅𝑅 = 1 . 
Podemos então definir o intervalo de convergência dessa série. 
|𝑥𝑥2| < 1 ⇒ −1 < 𝑥𝑥 < 1 
Nas extremidades: 
• Para 𝑥𝑥 = −1, ∑ 2 ∙ (−1)2𝑛𝑛,∞
𝑛𝑛=0 que é uma série divergente. 
• Para 𝑥𝑥 = 1, ∑ 2 ∙ (1)2𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=0 , que também é uma série divergente. 
As séries de potências dadas por 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑥𝑥) = ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛∞
𝑛𝑛=0 e com raio de 
convergência 𝑅𝑅 > 0, são deriváveis no intervalo aberto ]𝑐𝑐 − 𝑅𝑅; 𝑐𝑐 + 𝑅𝑅[. Suas 
derivadas e antiderivadas podem então ser realizadas termo a termo. 
𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐) + 𝑎𝑎2 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑎𝑎3 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)3 + ⋯ 
𝑓𝑓𝑛𝑛′(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛−1
∞
𝑛𝑛=0
= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 ∙ 2 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐) + 𝑎𝑎3 ∙ 3 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑎𝑎4 ∙ 4 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)3 … 
𝑓𝑓𝑛𝑛′′(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 − 1) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=0
= 𝑎𝑎2 ∙ 2 ∙ 1 + 𝑎𝑎3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐) + 𝑎𝑎4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + ⋯ 
Veja que a 𝑛𝑛-ésima derivada, para todo 𝑛𝑛, será dada por 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛! ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛 
+ a soma dedos termos (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐) com um fator. Mas como essas relações são 
válidas para 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐, podemos afirmar que 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛! ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛. 
 
 
 
30 
Reescrevendo, podemos dizer que: 
𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛! ∙ 𝑎𝑎𝑛𝑛 ⇒ 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑥𝑥)
𝑛𝑛!
 
 Isso significa que podemos representar a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)representada pela 
série de potências como mostra a Equação 16. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑐𝑐) + 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐) +
𝑓𝑓′′(𝑐𝑐)
2!
∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + ⋯+
𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑐𝑐)
𝑛𝑛!
∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛 + ⋯ (16) 
4.2 Série de Taylor e Série de MacLaurin 
 Considerada uma das séries mais importantes pela sua ampla aplicação. 
A Série de Taylor consiste em uma série de potências dada pela Equação 16. A 
Série de Taylor (Equação 17) é gerada por uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) na qual 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐, ou 
seja, centrada em 𝑐𝑐. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑐𝑐)
𝑛𝑛! ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 𝑓𝑓(𝑐𝑐) + 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐) +
𝑓𝑓′′(𝑐𝑐)
2!
∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + ⋯+
𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑐𝑐)
𝑛𝑛!
∙ (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑛𝑛 + ⋯ (17) 
 Quando assumimos que a Série de Taylor centrada em zero, ou seja, 
quando 𝑐𝑐 = 0, a série é denominada Série de MacLaurin (Equação 18). 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
𝑓𝑓(𝑛𝑛)(0)
𝑛𝑛!
∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓′(0) ∙ 𝑥𝑥 +
𝑓𝑓′′(0)
2!
∙ 𝑥𝑥2 +
𝑓𝑓′′′(0)
3!
∙ 𝑥𝑥3 + ⋯+
𝑓𝑓(𝑛𝑛)(0)
𝑛𝑛!
∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛 + ⋯ (18) 
 A Série de Taylor e a Série de MacLaurin têm raio de convergência dado 
pela limitação superior 𝑅𝑅 = lim
𝑛𝑛→∞
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑝𝑝|𝑎𝑎𝑛𝑛|1 𝑛𝑛� . 
 As Séries de Taylor permitem representar funções mais complexas – 
como as funções trigonométricas, as funções logarítmicas e as funções 
exponenciais – como funções mais simples, ou seja, como funções polinomiais 
chamadas Polinômios de Taylor de ordem 𝑛𝑛. 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
Tabela 3 – Séries de Taylor 
𝑒𝑒𝑥𝑥 = �
𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛!
∞
𝑛𝑛=0
 
cos(𝑥𝑥) = �
(−1)𝑛𝑛
(2𝑛𝑛)!
𝑥𝑥2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 
sen(𝑥𝑥) = �
(−1)𝑛𝑛
(2𝑛𝑛 + 1)!
𝑥𝑥2𝑛𝑛+1
∞
𝑛𝑛=0
 
cosh(𝑥𝑥) = �
1
(2𝑛𝑛)!
𝑥𝑥2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 
senh(𝑥𝑥) = �
1
(2𝑛𝑛 + 1)!
𝑥𝑥2𝑛𝑛+1
∞
𝑛𝑛=0
 
 A representação de funções complexas como séries de Taylor é bastante 
utilizada no ramo da computação, uma vez que convertem em funções de rápido 
processamento. 
Exemplo 15 
Escreva a Série de Taylor da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
(1−𝑥𝑥2)
 centrada em zero. 
Resolução 
Vamos primeiramente derivar a função geradora 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para 𝑐𝑐 = 0 (Série 
de MacLaurin). 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
1
(1 − 𝑥𝑥2) ⇒ 𝑓𝑓(0) = 1 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
2𝑥𝑥
(1 − 𝑥𝑥2)2
⇒ 𝑓𝑓′(0) = 0 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) =
2
(1 − 𝑥𝑥2)2 +
8𝑥𝑥2
(1 − 𝑥𝑥2)3 ⇒ 𝑓𝑓′′(0) = 2 
𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) =
24
(1 − 𝑥𝑥2)3 +
48𝑥𝑥3
(1 − 𝑥𝑥2)4 ⇒ 𝑓𝑓′′′(0) = 0 
Veja que as derivadas de ordem par são dadas por 𝑓𝑓(2𝑛𝑛)(0) = 𝑛𝑛!, e as 
derivadas de ordem ímpar são dadas por 𝑓𝑓(2𝑛𝑛+1)(0) = 0. 
Logo, pela Equação 18, teremos que: 
1
(1 − 𝑥𝑥2) = 1 + 0 ∙ 𝑥𝑥 +
2
2!
∙ 𝑥𝑥2 +
0
3!
∙ 𝑥𝑥3 + ⋯ 
Ou seja: 
 
 
32 
1
(1 − 𝑥𝑥2) = �
𝑓𝑓(2𝑛𝑛)(0)
𝑛𝑛!
∙ 𝑥𝑥2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 
1
(1 − 𝑥𝑥2) = �
𝑛𝑛!
𝑛𝑛!
∙ 𝑥𝑥2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 
1
(1 − 𝑥𝑥2)
= �𝑥𝑥2𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥6 + ⋯ 
Na Tabela 4, podemos observar os Polinômios de Taylor de diferentes 
ordens 𝑛𝑛. 
Tabela 4 – Polinômios de Taylor de diferentes ordens n 
𝑦𝑦 =
1
(1 − 𝑥𝑥2) 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑛𝑛çã𝑜𝑜 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎 
𝑛𝑛 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 =
1
(1 − 𝑥𝑥2) = 1 
𝑛𝑛 = 1 ⇒ 𝑦𝑦 =
1
(1 − 𝑥𝑥2) = 1 + 𝑥𝑥2 
𝑛𝑛 = 2 ⇒ 𝑦𝑦 =
1
(1 − 𝑥𝑥2) = 1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 
𝑛𝑛 = 3 ⇒ 𝑦𝑦 =
1
(1 − 𝑥𝑥2) = 1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥6 
𝑛𝑛 = 4 ⇒ 𝑦𝑦 =
1
(1 − 𝑥𝑥2) = 1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥6 + 𝑥𝑥8 
Figura 10 – Expansão de Taylor da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
(1 − 𝑥𝑥2)� centrada em 𝑐𝑐 = 0 
 
 
 
33 
TEMA 5 – USO DAS SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 
Expressar um número ou uma função como uma soma infinita de termos 
é um objetivo bastante procurado em toda matemática, pois facilita os cálculos 
e a análise dos dados (Cunha et al., 2012). 
A elaboração de algoritmos para cálculo de funções complexas, como as 
funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais, comumente utilizam séries 
que representam funções polinomiais que tornam o cálculo mais rápido 
utilizando apenas operações básicas como a soma, a subtração, a multiplicação 
e a divisão, como vimos no estudo de Séries de Taylor. Isso permite ao recurso 
computacional utilizado realizar a operação com grande aproximação e de forma 
eficiente. 
Da mesma forma, os números decimais periódicos também podem ser 
representados por séries geométricas, por exemplo. 
6,717171 … = 6 +
71
100
+
71
(100)2 +
71
(100)3 + ⋯ 
Podemos escrever essa série da seguinte forma: 
6,717171 … = 6 +
71
100
∙ �1 +
1
100
+
1
(100)2 +
1
(100)3 + ⋯�𝑆𝑆é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 𝐺𝐺𝑒𝑒𝑜𝑜𝑚𝑚é𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 �
𝑎𝑎 = 1
𝑐𝑐 = 1
100� 
6,717171 … = 6 +
71
100
∙ �(1) ∙ �
1
100
�
𝑛𝑛−1∞
𝑛𝑛=1
 
Essa série geométrica converge para: 
�(1) ∙ �
1
100
�
𝑛𝑛−1∞
𝑛𝑛=1
=
1
�1 − 1
100� �
 
�(1) ∙ �
1
100
�
𝑛𝑛−1∞
𝑛𝑛=1
=
1
0,99
 
Logo, podemos escrever o número decimal como 
6,717171 … = 6 +
71
100
∙ �
1
0,99�
 
6,717171 … = 6 +
71
99
 
6,717171 … =
665
99
 
 
 
34 
 Na natureza, podemos observar corpos com geometrias que se repetem 
em diferentes escalas. Esse comportamento geométrico é denominado fractal 
(Figura 8). 
Figura 8 – Fractais na natureza 
Samambaia 
 
 
Brócolis romanesco 
 
 
 
 
Créditos: Shade Design/Shutterstock; Dewin ID/Shutterstock; Kaiskynet Studio/Shutterstock; 
Ravi/Shutterstock; J_K/Shutterstock; Natali Zakharova/Shutterstock. 
O fractal é um objeto que pode ser dividido em partes cada vez menores 
mas semelhantes ao objeto original. Esse padrão mostra-se recorrente como um 
processo iterativo infinito, cuja geometria não pode ser representada totalmente, 
pois “sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores repetindo-se 
um determinado padrão com ligeiras e constantes variações de si mesmo no seu 
interior. [...] Assim, os fractais têm cópias aproximadas de si em seu interior” 
(Kindel, 2013, p. 3). 
Um fractal muito conhecido é o floco de neve de Helga von Koch (Figura 
9), uma figura cuja curva tem comprimento infinito e que engloba uma superfície 
de área finita. Essa figura é gerada a partir de um triângulo equilátero (Estágio 
inicial). Substituindo cada aresta por outras quatro arestas cujo comprimento é 
igual a um terço do comprimento da aresta inicial, a figura toma a forma do 
Estágio 1, como mostra a Figura 9. Os próximos estágios surgem repetindo esse 
processo 𝑛𝑛 vezes. 
 
 
 
 
 
 
35 
Figura 9 – Floco de neve de Koch 
 
Supondo que no estágio inicial a aresta do triângulo tenha comprimento 
ℓ, a cada estágio, o comprimento da aresta torna-se 4
3
ℓ. Para calcular o perímetro 
𝑃𝑃 da figura, é necessário somar o comprimento de todas as arestas que a 
compõem, ou seja, o perímetro será dado por 𝑃𝑃𝑛𝑛 = 4
3
𝑃𝑃𝑛𝑛−1. Veja que o perímetro 
pode ser caracterizado por uma sequência numérica. 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎: 𝑛𝑛 = 0 ⇒ 𝑃𝑃0 = 3ℓ 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 1: 𝑛𝑛 = 1 ⇒ 𝑃𝑃1 =
4
3
𝑃𝑃0 =
4
3
(3ℓ) = 4ℓ 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 2: 𝑛𝑛 = 2 ⇒ 𝑃𝑃2 =
4
3
𝑃𝑃1 =
4
3
�
4
3
(3ℓ)� = �
4
3�
2
(3ℓ) =
16
3
ℓ 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 3: 𝑛𝑛 = 3 ⇒ 𝑃𝑃3 =
4
3
𝑃𝑃2 =
4
3 �
4
3
�
4
3
(3ℓ)�� = �
4
3�
3
(3ℓ) =
64
9
ℓ 
𝑛𝑛 − é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜: 𝑃𝑃𝑛𝑛 =
4
3
𝑃𝑃𝑛𝑛−1 = �
4
3�
𝑛𝑛
(3ℓ) =
4𝑛𝑛
3𝑛𝑛−1
ℓ 
𝑆𝑆𝑒𝑒𝑞𝑞𝑜𝑜ê𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎: 𝑃𝑃𝑛𝑛 =
4
3
𝑃𝑃𝑛𝑛−1 = �3ℓ; 4ℓ; 
16
3
ℓ; … ; 
4𝑛𝑛
3𝑛𝑛−1
ℓ� 
Veja que, a cada estágio, são acrescentadas quatro novas arestas a cada 
aresta anterior, ou seja, são acrescidos um triângulo a cada quatro arestas, 
compondo mais quatro arestas para o próximo estágio. Por esse motivo, o 
número de triângulos 𝑁𝑁 é dado por 𝑁𝑁𝑛𝑛 = 3 ∙ 4𝑛𝑛−1. 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 1: 𝑛𝑛 = 1 ⇒ 𝑁𝑁1 = 3 ∙ 41−1 = 3 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 2: 𝑛𝑛 = 2 ⇒ 𝑁𝑁2 = 3 ∙ 42−1 = 12 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 3: 𝑛𝑛 = 3 ⇒ 𝑁𝑁3 = 3 ∙ 43−1 = 48 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 4: 𝑛𝑛 = 4 ⇒ 𝑁𝑁4 = 3 ∙ 44−1 = 192 
𝑛𝑛 − é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜:𝑁𝑁𝑛𝑛 = 3 ∙ 4𝑛𝑛−1 
𝑆𝑆𝑒𝑒𝑞𝑞𝑜𝑜ê𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎: 𝑁𝑁𝑛𝑛 = 3 ∙ 4𝑛𝑛−1 = {3; 12; 48; 192; … ; 3 ∙ 4𝑛𝑛−1} 
 
 
36 
 Podemos observar esse padrão também em relação à área da região 
delimitada pela curva. A cada triângulo que é acrescido nas arestas da figura, 
temos um acréscimo de 1
9� da área do triângulo acrescentado no estágio 
anterior. Por esse motivo, a área acrescentada é dada por 𝐴𝐴𝑛𝑛 = 1
9𝑛𝑛
∙ 𝑁𝑁𝑛𝑛 ∙ 𝐴𝐴0 ⇒
𝐴𝐴𝑛𝑛 = 1
9𝑛𝑛
∙ (3 ∙ 4𝑛𝑛−1) ∙ 𝐴𝐴0. 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎: 𝑛𝑛 = 0 ⇒ 𝐴𝐴0 =
√3
4
ℓ2 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 1: 𝑛𝑛 = 1 ⇒ 𝐴𝐴1 =
1
91
∙ (3 ∙ 41−1) ∙ 𝐴𝐴0 =
3
9
𝐴𝐴0 =
𝐴𝐴0
3
 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 2: 𝑛𝑛 = 2 ⇒ 𝐴𝐴2 =
1
92
∙ (3 ∙ 42−1) ∙ 𝐴𝐴0 =
3 ∙ 4
92
∙ 𝐴𝐴0 =
4
9
∙
𝐴𝐴0
3
 
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜 3: 𝑛𝑛 = 3 ⇒ 𝐴𝐴3 =
1
93
∙ (3 ∙ 43−1) ∙ 𝐴𝐴0 =
3 ∙ 42
93
∙ 𝐴𝐴0 = �
4
9�
2
∙
𝐴𝐴0
3
 
𝑛𝑛 − é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎á𝑔𝑔𝑐𝑐𝑜𝑜: 𝐴𝐴𝑛𝑛 =
1
9𝑛𝑛
∙ (3 ∙ 4𝑛𝑛−1) ∙ 𝐴𝐴0 = �
4
9�
𝑛𝑛−1
∙
𝐴𝐴0
3
 
𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝐴𝐴0 +
𝐴𝐴0
3
+
4
9
∙
𝐴𝐴0
3
+ �
4
9�
2
∙
𝐴𝐴0
3
+ ⋯+ �
4
9�
𝑛𝑛−1
∙
𝐴𝐴0
3
 
Veja que a área total pode ser representada por uma série geométrica em 
que 𝑎𝑎 = 𝐴𝐴0
3� e 𝑐𝑐 = 4
9� . 
𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝐴𝐴0 + �
𝐴𝐴0
3
∙ �
4
9�
𝑛𝑛−1∞
𝑛𝑛=1
= 𝐴𝐴0 +
𝐴𝐴0
3
+
4
9
∙
𝐴𝐴0
3
+ �
4
9�
2
∙
𝐴𝐴0
3
+ ⋯+ �
4
9�
𝑛𝑛−1
∙
𝐴𝐴0
3
 
Como a série converge para: 
�
𝐴𝐴0
3 ∙ �
4
9�
𝑛𝑛−1∞
𝑛𝑛=1
=
𝐴𝐴0
3�
1 − 4
9�
 
�
𝐴𝐴0
3 ∙ �
4
9�
𝑛𝑛−1∞
𝑛𝑛=1
=
𝐴𝐴0
3�
5
9�
 
�
𝐴𝐴0
3 ∙ �
4
9�
𝑛𝑛−1∞
𝑛𝑛=1
=
3
5
𝐴𝐴0 
Então, teremos que: 
𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝐴𝐴0 + �
3
5
𝐴𝐴0� 
𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 =
8
5
𝐴𝐴0 
 
 
37 
Apesar de o perímetro dessa figura ser infinito, a área total é finita e tende 
a: 
𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 =
8
5
�
√3
4
ℓ2� 
𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 =
2√3
5
ℓ2 
 Outra aplicação comum das séries é na resolução de equações 
diferenciais. No caso de um problema de valor inicial (PVI), podemos resolvê-lo 
com o uso de uma série de potências. 
 Considere uma função dada pela Equação 19. 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 (19) 
Logo, as derivadas de ordem 𝑛𝑛 são dadas por: 
𝑦𝑦′ = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
∞
𝑛𝑛=0
 
𝑦𝑦′′ = 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 − 1)𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=0
 
… 
 Essas relações deverão ser substituídas no PVI. 
 Vamos acompanhar melhor um exemplo. 
Exemplo 16 
Encontre a função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para o PVI a seguir utilizando série de 
potências. 
�
�̈�𝑦 − 2𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0
𝑦𝑦(0) = 3
�̇�𝑦(0) = 1
 
Resolução 
Reescrevendo a equação diferencial �̈�𝑦 − 2𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0 pela função dada pela 
Equação 19 e suas derivadas, teremos o que se segue. 
 
 
38 
�𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 − 1)𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=0
− 2𝑥𝑥�𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 0 
�𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 − 1)𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=0
= 2𝑥𝑥�𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
 
�𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 − 1)𝑥𝑥𝑛𝑛−2
∞
𝑛𝑛=0
= � 2𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛+1
∞
𝑛𝑛=0
 
2𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎3𝑥𝑥 + 12𝑎𝑎4𝑥𝑥2 + 20𝑎𝑎5𝑥𝑥3 + 30𝑎𝑎6𝑥𝑥4 + 42𝑎𝑎7𝑥𝑥5 … = 0 + 2𝑎𝑎0𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎1𝑥𝑥2 + 2𝑎𝑎2𝑥𝑥3 + 2𝑎𝑎3𝑥𝑥4 + 2𝑎𝑎4𝑥𝑥5 + ⋯ 
Igualando os termos, tem-se que: 
2𝑎𝑎2 = 0 ⇒ 𝑎𝑎2 = 0 
6𝑎𝑎3 = 2𝑎𝑎0 ⇒ 𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎0
3� 
12𝑎𝑎4 = 2𝑎𝑎1 ⇒ 𝑎𝑎4 = 𝑎𝑎1
6� 
20𝑎𝑎5 = 2𝑎𝑎2 ⇒ 𝑎𝑎5 = 𝑎𝑎2
10� = 0 
30𝑎𝑎6 = 2𝑎𝑎3 ⇒ 𝑎𝑎6 = 𝑎𝑎3
15� = 𝑎𝑎0
45� 
42𝑎𝑎7 = 2𝑎𝑎4 ⇒ 𝑎𝑎7 = 𝑎𝑎4
21� = 𝑎𝑎1
126� 
… 
Logo: 
𝑦𝑦 = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2 ∙ 𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎3 ∙ 𝑥𝑥3 + 𝑎𝑎4 ∙ 𝑥𝑥4 + 𝑎𝑎5 ∙ 𝑥𝑥5 + 𝑎𝑎6 ∙ 𝑥𝑥6 + 𝑎𝑎7 ∙ 𝑥𝑥7 + ⋯ 
𝑦𝑦 = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 ∙ 𝑥𝑥 +
𝑎𝑎0
3
∙ 𝑥𝑥3 +
𝑎𝑎1
6
∙ 𝑥𝑥4 +
𝑎𝑎0
45
∙ 𝑥𝑥6 +
𝑎𝑎1
126
∙ 𝑥𝑥7 + ⋯ 
𝑦𝑦 = �𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑥𝑛𝑛
∞
𝑛𝑛=0
= 𝑎𝑎0 �1 +
1
3
∙ 𝑥𝑥3 +
1
45
∙ 𝑥𝑥6 + ⋯� + 𝑎𝑎1 �𝑥𝑥 +
1
6
∙ 𝑥𝑥4 +
1
126
∙ 𝑥𝑥7 + ⋯� 
𝑦𝑦 = 𝑎𝑎0 �1 +
1
3
∙ 𝑥𝑥3 +
1
45
∙ 𝑥𝑥6 + ⋯� + 𝑎𝑎1 �𝑥𝑥 +
1
6
∙ 𝑥𝑥4 +
1
126
∙ 𝑥𝑥7 + ⋯� 
Pelas condições iniciais, tem-se que: 
𝑦𝑦(0) = 𝑎𝑎0 �1 +
1
3
∙ (0)3 +
1
45
∙ (0)6 + ⋯� + 𝑎𝑎1 �(0) +
1
6
∙ (0)4 +
1
126
∙ (0)7 + ⋯� = 3 
𝑎𝑎0 = 3 
 
 
 
39 
�̇�𝑦 = 𝑎𝑎0 �𝑥𝑥2 +
2
15
∙ 𝑥𝑥5 + ⋯� + 𝑎𝑎1 �1 +
4
6
∙ 𝑥𝑥3 +
7
126
∙ 𝑥𝑥6 + ⋯� 
�̇�𝑦(0) = 𝑎𝑎0 �𝑥𝑥(0)2 +
2
15
∙ (0)5 + ⋯� + 𝑎𝑎1 �1 +
4
6
∙ (0)3 +
7
126
∙ (0)6 + ⋯� = 1 
𝑎𝑎1 = 1 
Por fim, substituindo os valores de 𝑎𝑎0 = 3 e 𝑎𝑎1 = 1 na equação de 𝑦𝑦 =
𝑓𝑓(𝑥𝑥), teremos a solução desse PVI é dada por: 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 �1 +
1
3
∙ 𝑥𝑥3 +
1
45
∙ 𝑥𝑥6 + ⋯� + �𝑥𝑥 +
1
6
∙ 𝑥𝑥4 +
1
126
∙ 𝑥𝑥7 + ⋯� 
FINALIZANDO 
 Nesta aula, estudamos as características de sequências numéricas e de 
diferentes tipos de séries. Compreendemos também que o uso de sequências e 
séries nos permite representar problemas mais complexos de forma mais 
simples. Estudamos ainda métodos de verificação da convergência e da 
divergência dessas sequências e séries, uma vez que conhecer essa 
convergência permite simplificar ainda mais a representação das funções 
desejadas. 
 A representação de diferentes fenômenos naturais segue padrões que 
podem ser descritos por sequências e séries, o que torna indispensável o estudo 
aprofundado desse processo matemático para as diferentes áreas da 
engenharia, das ciências, da matemática, entre outras. 
O objetivo desse estudo é compreender como funções complexas podem 
ser reescritas de forma simplificada, permitindo que sejam trabalhadas 
rapidamente, principalmente com o uso de recursos computacionais. 
 
 
 
40 
REFERÊNCIAS 
ÁVILA, G. A série harmônica e a fórmula de Euler-MacLaurin. Matemática 
Universitária, n. 19, p. 55-63, dez. 1995. 
CUNHA, A. C. et al. Análise da lentidão da divergência da série harmônica: 
uma contradição à nossa intuição. Campina Grande: Universidade Federal de 
Campina Grande, 2012. 
DANTAS, H. L. C. Somas telescópicas. Dissertação (Mestrado Profissional em 
Matemática) – Programa de Pós-Graduação em Matemática. Universidade 
Federal Rural de Pernambuco. Recife, 2013. 
KINDEL, D. S. Investigações em sala de aula de matemática: a geometria 
fractal e as sequencias numéricas infinitas. Minicurso apresentado no IV 
Congresso Internacional de Ensino da Matemática, Canoas – RS, out. 2013. 
THOMAS, G. B. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. 
v. 2. 
	Conversa inicial
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS