Álgebra booleana

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Álgebra booleana: operações básicas, leis de Morgan.
A Álgebra Booleana é um ramo da matemática que trata das operações e manipulações de expressões que envolvem variáveis booleanas, ou seja, variáveis que podem ter apenas dois valores: verdadeiro (1) e falso (0). Vamos abordar as operações básicas da Álgebra Booleana e as Leis de Morgan:
### Operações Básicas:
1. **Conjunção (AND):** Representada pelo símbolo \( \cdot \) ou \( \& \), a operação AND entre duas variáveis booleanas \( A \) e \( B \) é verdadeira (1) apenas quando ambas as variáveis são verdadeiras, ou seja, \( A \cdot B = 1 \) se \( A = 1 \) e \( B = 1 \), caso contrário, \( A \cdot B = 0 \).
2. **Disjunção (OR):** Representada pelo símbolo \( + \) ou \( \vee \), a operação OR entre duas variáveis booleanas \( A \) e \( B \) é verdadeira (1) quando pelo menos uma das variáveis é verdadeira, ou seja, \( A + B = 1 \) se \( A = 1 \) ou \( B = 1 \), caso contrário, \( A + B = 0 \).
3. **Negação (NOT):** Representada pelo símbolo \( ' \) ou \( \sim \), a operação NOT em uma variável booleana \( A \) inverte seu valor, ou seja, \( \overline{A} = 1 - A \). Se \( A = 1 \), então \( \overline{A} = 0 \), e se \( A = 0 \), então \( \overline{A} = 1 \).
### Leis de Morgan:
As Leis de Morgan são importantes identidades na Álgebra Booleana que relacionam as operações de conjunção e disjunção com a negação. As leis afirmam o seguinte:
1. **Primeira Lei de Morgan:** A negação de uma conjunção é equivalente à disjunção das negações das variáveis individuais. Matematicamente, \( \overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B} \).
2. **Segunda Lei de Morgan:** A negação de uma disjunção é equivalente à conjunção das negações das variáveis individuais. Matematicamente, \( \overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B} \).
Essas leis são muito úteis na simplificação de expressões booleanas e na construção de circuitos lógicos.
Por exemplo, considere a expressão \( \overline{(A \cdot B)} \). Usando a Primeira Lei de Morgan, podemos reescrever isso como \( \overline{A} + \overline{B} \). Isso significa que a negação de \( A \) E \( B \) é equivalente a \( A \) OU \( B \) negados individualmente.
Da mesma forma, a expressão \( \overline{(A + B)} \) pode ser simplificada usando a Segunda Lei de Morgan para \( \overline{A} \cdot \overline{B} \), o que significa que a negação de \( A \) OU \( B \) é equivalente a \( A \) e \( B \) negados individualmente.