Produtos Notáveis e Fatoração

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Produtos notáveis e fatoração
Produtos notáveis são um grupo de produtos que aparecem de forma
recorrente em cálculos algébricos, e cujo uso simplifica bastante os cálculos.
Todos esse produtos notáveis são consequências da propriedade distributiva
do produto em relação à soma:
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d .
Produto de binômios com um termo comum
(x + a) · (x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab .
Observação: Transformar ax + bx em (a + b)x consiste em colocar em
evidência o x pois ele é termo comum das duas parcelas da soma.
Quadrado da soma de dois termos
(x + y)2 = (x + y) · (x + y) = x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2
Quadrado da diferença de dois termos
(x− y)2 = (x− y) · (x− y) = x2 − xy − yx + y2 = x2 − 2xy + y2
Produto da soma pela diferença de dois termos
(x + y) · (x− y) = x2 − xy + yx− y2 = x2 − y2
Cubo da soma de dois termos
(x + y)3 = (x + y) · (x + y)2 = (x + y) · (x2 + 2xy + y2)
= x3 + 2x2y + xy2 + yx2 + 2xy2 + y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
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Módulo II Unidade 3 
 
Nivelamento de Matemática 
Cubo da diferença de dois termos
(x− y)3 = (x− y) · (x− y)2 = (x− y) · (x2 − 2xy + y2)
= x3 − 2x2y + xy2 − yx2 + 2xy2 − y3
= x3 − 3x2y + 3xy2 − y3
Exemplos:
(a) (abc+ 3) · (abc+ 5) = (abc)2 + (3 + 5) · abc+ 3 · 5 = a2b2c2 + 8abc+ 15
(b) (x− 3) · (x + 3) = x2 − 32 = x2 − 9
(c) (2a + 5b)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 5b + (5b)2 = 4a2 + 20ab + 25b2
(d)
(
x2 + 1
x
)3
= (x2)3 + 3 · (x2)2 · 1
x
+ 3x2 ·
(
1
x
)2
+
(
1
x
)3
= x6 + 3x4 · 1
x
+ 3x2 · 1
x2 + 1
x3 = x6 + 3x3 + 3 + 1
x3 .
Por tratar-se de igualdades, elas são válidas nos “dois sentidos”, isto é,
por exemplo: (a+b)·(a−b) = a2−b2 e a2−b2 = (a+b)·(a−b). Dependendo
do contexto pode nos ser útil efetuar o produto ou, inversamente, fatorá-lo.
Fatorar significa exatamente transformar uma expressão algébrica em outra
equivalente na forma de um produto. Assim, por exemplo, ao escrevermos
que x2 − 8x + 16 = (x− 4)2 estamos fatorando a expressão x2 − 8x + 16.
Essas fatorações são feitas, em geral, reconhecendo-se o uso dos produtos
notáveis acima listados ou da propriedade distributiva.
Listaremos à seguir alguns dos casos mais usuais de fatoração:
1) ax + ay = a(x + y) Fator comum em evidência;
2) x2 − y2 = (x + y) · (x− y) Diferença de dois quadrados;
3) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Trinômio quadrado perfeito;
4) a2 − 2ab + b2 = (a− b)2 Trinômio quadrado perfeito;
5) x3 − y3 = (x− y) · (x2 + xy + y2) Diferença de dois cubos;
6) x3 + y3 = (x + y) · (x− xy + y2) Soma de dois cubos.
Exemplos:
1) Fatore a expressão 15x2y3 − 3x2y − 6xy.
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Nivelamento de Matemática 
Resolução:
Observe que nas três parcelas dessa expressão há um fator comum: 3xy.
Podemos então, usando a propriedade distributiva do produto em relação à
soma, colocar esse fator em evidencia, fatorando a expressão. Assim:
15x2y3 − 3x2y − 6xy = 3xy · (5xy2 − x− 2) .
2) Fatore a expressão y3 + 10y2 + 25y.
Resolução:
Primeiro colocamos y em evidencia:
y3 + 10y2 + 25y = y · (y2 + 10y + 25) .
Em seguida reconhecemos que y2+10y+25 é um trinômio quadrado perfeito,
ou seja, é uma expressão da forma (a+b)2. Aqui: a = y e b = 5. Portanto,
y2 + 10y + 25 = (y + 5)2 e segue que:
y3 + 10y2 + 25y = y · (y + 5)2 .
3) Fatore a expressão: a4k − b4k.
Resolução:
Essa expressão é uma “diferença de dois quadrados” e se fatora como um
produto da soma pela diferença:
a4k − b4k = (a2k + b2k) · (a2k − b2k) .
Observe que a expressão (a2k − b2k) é outra diferença de quadrados e,
portanto, também pode ser fatorada:
(a2k − b2k) = (ak + bk) · (ak − bk) .
Assim, temos:
a4k − b4k = (a2k + b2k) · (ak + bk) · (ak − bk) .
4) Escreva a expressão a4 + b4 como um produto de dois fatores.
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Nivelamento de Matemática 
Resolução:
Aqui temos uma fatoração não-trivial. Primeiramente vamos transformar
a expressão a4 +b4 num trinômio quadrado perfeito, usando de um processo
conhecido como “completamento de quadrados”:
a4 + b4 = (a2)2 + (b2)2 = (a2)2 + (b2)2 + 2a2b2 − 2a2b2 = (a2 + b2)2 − 2a2b2 .
O completamento de quadrados foi feito somando-se e subtraindo-se o termo
2a2b2 que era o termo que faltava para obtermos a expressão (a2 + b2)2.
Voltando à expressão algébrica, temos:
a4 + b4 = (a2 + b2)2 − 2a2b2 = (a2 + b2)2 − (
√
2ab)2 ,
que é uma diferença de dois quadrados e pode novamente ser fatorada:
a4+b4 = (a2+b2)2−2a2b2 = (a2+b2)2−(
√
2ab)2 = (a2+b2+
√
2ab)·(a2+b2−
√
2ab).
Racionalização
Em algumas situações necessitamos simplificar expressões que envolvem
radicais no denominador de um número. A técnica mais comum nesses casos
é a de racionalização. Por exemplo, para racionalizarmos uma expressão do
tipo
a√
b
multiplicamos o numerador e o denominador por
√
b:
a√
b
=
a ·
√
b√
b ·
√
b
=
a
√
b
b
.
Já para racionalizarmos uma expressão do tipo
a
b +
√
c
multiplicamos numerador e denominador pela expressão (b−
√
c), chamada
de conjugado de (b+
√
c). Note que (b+
√
c) · (b−
√
c) é um produto da
soma pela diferença e é equivalente a b2 − (
√
c)2 = b2 − c, assim:
a
b +
√
c
=
a · (b−
√
c)
(b +
√
c) · (b−
√
c)
=
a · (b−
√
c)
b2 − c
.
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Nos dois casos vistos acima, multiplicamos o numerador e o denominador
das frações pela mesma expressão e, por isso, não alteramos as frações.
Exemplos:
a)
2√
2
=
2√
2
·
√
2√
2
=
2
√
2
2
=
√
2
b)
√
3√
3− 1
=
√
3√
3− 1
·
√
3 + 1√
3 + 1
=
√
3(
√
3 + 1)
(
√
3)2 − (1)2
=
3 +
√
3
3− 1
=
3 +
√
3
2
c)
5√
6 + 1
=
5√
6 + 1
·
√
6− 1√
6− 1
=
5(
√
6− 1)
(
√
6)2 − (1)2
=
5(
√
6− 1)
5
=
√
6− 1
5
 
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