Derivadas implícitas

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Derivadas implícitas.
A técnica de derivadas implícitas é usada quando uma função é expressa implicitamente em vez de explicitamente. Isso significa que a variável dependente não está isolada, mas sim misturada com a variável independente em uma equação. Vamos explorar como calcular derivadas implícitas passo a passo.
### Conceito de Derivadas Implícitas:
Quando temos uma equação que relaciona as variáveis \( x \) e \( y \) de forma implícita, como por exemplo \( x^2 + y^2 = 25 \), podemos derivar implicitamente essa equação para encontrar \( \frac{dy}{dx} \), a derivada de \( y \) em relação a \( x \).
### Passo 1: Derivação em Ambos os Lados da Equação:
Começamos derivando ambos os lados da equação em relação a \( x \), usando a regra da cadeia sempre que a variável dependente \( y \) aparecer:
\[ \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25) \]
### Passo 2: Aplicar a Regra da Cadeia:
Para derivar \( y^2 \) em relação a \( x \), usamos a regra da cadeia:
\[ 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]
### Passo 3: Isolar a Derivada \( \frac{dy}{dx} \):
Agora isolamos \( \frac{dy}{dx} \) na equação obtida:
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{0}{2y} \]
\[ \frac{dy}{dx} = 0 \]
### Exemplo:
Considere a equação \( x^2 + y^2 = 25 \). Ao derivar implicitamente ambos os lados em relação a \( x \), obtemos:
\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]
\[ 2y \frac{dy}{dx} = -2x \]
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} \]
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]
### Aplicações:
- As derivadas implícitas são utilizadas quando a variável dependente não pode ser expressa explicitamente em termos da variável independente.
- São aplicadas em problemas de geometria, física e engenharia onde as relações entre variáveis são dadas implicitamente.
Dominar as derivadas implícitas é essencial para resolver problemas complexos onde as relações entre variáveis não são diretamente expressas. Essa técnica é fundamental no cálculo avançado e em diversas áreas científicas e tecnológicas.