Derivadas implícitas e Taxas Relacionadas-8

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18/06/2020 Derivadas implícitas e Taxas Relacionadas
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Lição 08
Derivadas implícitas e Taxas
Relacionadas
Matemática
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1. Introdução
Até agora, sabemos derivar funções que são expressas na forma y=f(x) . Agora, iremos determinar
uma maneira de derivar expressões que não tenham a variável y isolada (explicitada) em um dos
membros. São exemplos dessas expressões x + y =1 , x y-y x=x-y , entre outras funções. Em
algumas situações, é inconveniente ou, até mesmo, impossível de explicitar a variável y nessas
expressões. O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma expressão, sem a
necessidade de explicitá-la.
Para entendermos como isso se dá, inicialmente, vamos “definir” funções implícitas e, em seguida,
iniciaremos o conceito de derivadas implícitas.
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Para você conhecer um pouco mais sobre funções implícitas, acesse o link.
https://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp6_2.php
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2. Função Implícita
3. Derivada de Funções Implícitas
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Contudo, há uma outra maneira de obter esta derivada, a qual se encontra organizada abaixo, em
forma de etapas:
Exemplo 01: Encontre a derivada de x +y =1
1ª etapa: derive os dois lados da equação dada sem isolar a variável y. Nesta etapa, pode ser
necessário usar as regras de derivação, incluindo a regra da cadeia:
Exemplo 03: a produção de uma certa fábrica é Q =2x +x y+y unidades, onde x é o número de
homens-horas de trabalho especializado e o y é o número de homens -horas de trabalho não
especializado. No momento, a mão de obra disponível é constituída por 30 homens-horas de
trabalho especializado e 20 homens-hora de trabalho não especializado. Sabendo que, para os
valores de x e y acima, teremos Q (30,20) = 80.000, use a derivada implícita para determinar a
taxa de variação de mão de obra não especializada (y) em relação à mão de obra especializada (x).
Para conhecer um pouco mais sobre derivadas implícitas, acesse o link.
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https://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp7.php
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Desenho representando uma Fábrica.
4. Taxas Relacionadas e Resolução de
Problemas
As taxas relacionadas podem ser entendidas como um conjunto de taxas de variação instantânea
que estão ligadas entre si por uma mesma variável independente. Por exemplo: na equação
L(x)=R(x)-C(x), que define o lucro por meio da diferença entre receita e o custo, observamos que
lucro, receita e custo dependem da quantidade produzida (x). Desta forma, mostramos que a taxa
de variação do lucro, em função da quantidade produzida, está relacionada com a taxa de variação
da receita e do custo.
Exemplo 01 (adaptado- Stewart- 221): uma escada com 5m de comprimento está apoiada em uma
parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, quão
rápido o topo da escada estará escorregando para baixo na parede quando a base da escada estiver
a 3 m da parede?
Desenho representando uma escada apoiada numa parede.
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Para facilitar a compreensão e a resolução de problemas envolvendo taxas relacionadas,
utilizaremos as seguintes estratégias:
1. Leia cuidadosamente o problema;
2. Se possível, faça um diagrama;
3. Introduza uma notação. Atribua símbolos para todas as grandezas que são funções do tempo;
4. Expresse a informação dada e a taxa pedida em termos das derivadas;
5. Escreva uma equação que relacione as várias grandezas do problema. Se necessário, use a
geometria da situação para eliminar uma das variáveis por substituição (como no Exemplo 3);
6. Use a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados da equação em relação a t.;
7. Substitua a informação dada na equação resultante e resolva-a para determinar a taxa
desconhecida.
Vamos resolver alguns exemplos aplicando a estratégia sugerida.
Exemplo 02: uma tempestade no mar danificou uma plataforma de petróleo, produzindo um
vazamento de 60m /min que forma uma mancha circular com 25 cm (0,25 m) de espessura. Qual é
a taxa de aumento do raio da mancha quando o raio é de 70 metros (adaptado de HOFFMANN E
BRADLEY, 2010)?
Solução:
Sendo R= raio do círculo ; h= espessura da mancha; V= volume do petróleo sobre o mar:
Resposta: quando o raio for de 70m, a taxa de variação será, aproximadamente, de 0,55 m/min.
Exemplo 03: o raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume
está aumentando quando o diâmetro for de 80 mm?
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Desenho representando uma Plataforma.
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Desenho representando uma esfera.
5. Conclusão
Aqui, estudamos derivadas implícitas e Taxas Relacionadas. Neste tópico, foi possível perceber que
nem sempre conseguimos isolar y em função de x para, em seguida, derivar explicitamente.
Contudo, aprendemos que, mesmo sem explicitar a função, podemos derivá-la por meio da técnica
de derivação implícita. Estudamos também as taxas relacionadas e a aplicação da mesma em
situações problema, nas quais duas variáveis relacionam-se com uma terceira.
6. Referências
Funções logarítmica e exponencial. Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2019.
Disponível em: <https://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp6_2.php.>
Funções logarítmica e exponencial. Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2019.
Disponível na Internet em <https://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp7.php.>
HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de
Janeiro: LTC, 2010.
STEWART, James. Cálculo, volume I. 7ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Introdução às taxas Relacionadas / Matemática
/ Khan Academy. 7min12. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-
diff-contextual-applications-new/ab-4-4/v/rates-of-change-between-radius-and-area-of-circle>.
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YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Diferenciação implicita / Matemática / Khan
Academy. 9min45. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-
differentiation-2-new/ab-3-2/v/implicit-differentiation-1>
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Derivada de segunda ordem / Matemática /
Khan Academy. 2min28. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-
home/taking-derivatives-calc/higher-order-derivatives-calc/v/second-derivatives?modal=1>