Aula04b-Convergencia

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Modelagem Ambiental e Aplicações
Convergência, Consistência e Estabilidade
 
Consistência, Convergência e 
Estabilidade
● Para verificar em que condições a solução 
numérica de uma equação diferencial se 
aproxima o “suficiente” da solução real, 
devemos analisar a consistência das equações 
de diferenças finitas e a estabilidade e a 
convergência do método numérico utilizado.
 
Consistência
● Já vimos que quanto maior a resolução espacial ou 
temporal (quanto menor Δx ou Δt), menor o erro de 
truncamento (ELT).
● Na verdade, uma aproximação por diferenças finitas é 
CONSISTENTE com uma equação diferencial quando o 
erro de truncamento (ELT) tende a zero se Δx e/ou Δt 
tendem a zero.
● Algumas equações de diferenças finitas não são 
consistentes com a equação diferencial que se quer 
representar, ou pelo menos não em qualquer caso. Por 
isso é importante verificar a consistência de uma 
aproximação antes de utilizá-la.
 
Convergência
● Caso, conforme Δx e/ou Δt tendem a zero, a 
solução numérica se aproxime da solução 
exata da equação diferencial, então ela é 
CONVERGENTE.
● A consistência é condição necessária para a 
convergência.
● Se um esquema numérico não é convergente, 
é inútil, pois sua solução não se aproxima da 
solução real.
 
Estabilidade
● “Um método numérico ESTÁVEL é aquele no 
qual os erros ou perturbações na solução não 
são amplificados sem limite.” (Fortuna, 2000).
● Quando os erros são amplificados, a solução 
pode “explodir”, levando a resultados que em 
nada representam a realidade, já que a 
amplificação vem dos erros do método numérico. 
● A estabilidade está ligada ao crescimento ou 
decrescimento dos erros introduzidos aos 
cálculos.
 
Estabilidade
● Os erros podem vir de condições de fronteira ou 
iniciais que foram aproximadas de forma incorreta 
ou do acúmulo de arredondamento pelo 
computador.
● Erros nas condições de fronteira ou iniciais devem 
ser evitados, mas erros de arredondamento não 
podem ser evitados, devendo então ser 
controlados.
● Os erros de arredondamento podem ser 
controlados se forem seguidos CRITÉRIOS DE 
ESTABILIDADE de métodos numéricos.
 
Critérios de Estabilidade
● Os critérios são as condições que garantem a 
estabilidade do sistema.
● São derivados das equações diferenciais e das 
aproximações.
● Eles podem ser determinados às vezes por um 
estudo das equações de diferenças finitas. 
● Quando isso não é possível, eles podem ser 
determinados através de experimentos 
numéricos. 
 
Classificação de Estabilidade
● Condicionalmente estáveis: se satisfazem 
determinada condição, são estáveis.
● Incondicionalmente estáveis: são sempre 
estáveis.
● Incondicionalmente instáveis: são sempre 
instáveis. Não devem ser utilizados.
 
Condição de fronteira
● Na aula anterior vimos que a discretização de uma 
região R produz uma matriz de pontos de grade. 
Vimos também, para uma Equação de Diferenças 
Finitas, podemos que escolher entre usar 
diferenças atrasadas, progressivas ou centrais. 
● Para todas essas alternativas, precisamos sempre 
de 2 pontos para calcular a diferença.
● Como fazer na região de fronteira, onde não 
temos os 2 pontos?
 
Condição de fronteira
● Exemplo:
Como calcular em I = 0 / j = 0?
Como calcular em i = IM / j = JM?
 
Condição de fronteira
● Temos que determinar uma condição de 
fronteira.
● Exemplos de condições:
– Zero-gradiente: C(0) = C(1) ou C(IM) = C(IM-1)
– Condição não reflexiva
– Condição reflexiva
– Condição em loop 
 
Condição Inicial
● Para fenômenos transientes, ou seja, que 
evoluem no tempo, é necessário prescrever a 
condição inicial.
● Essa condição dá o estado inicial das variáveis 
a serem consideradas.
 
Exemplo de discretização
● Evolução no tempo. Condição inicial N0 = 100. 
r = 0,2.
0 2 4 6 8 10 12
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Crescimento exponencial
N
N dt = 0,1
N dt = 1
tempo
iin
d
iv
íd
u
o
s
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