Introdução à Matemática

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INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA 
APRESENTAÇÃO
CURRÍCULO LATTES
Professora Genilda de Lourdes Maurício Guimarães
● Especialista em Didática e Metodologia do Ensino.
● Graduada em Licenciatura em Matemática.
● Tempo de atuação como professora no Estado do Paraná 40 anos.
● Disciplina de Matemática para as turmas de 1º e 2º graus.
● Professora Conteudista do Curso de Licenciatura em Matemática no Ensino a
distância (UniFCV/UniFatecie).
Professora Vanice Vieira Fernandes
● Especialista em Tecnologias Aplicadas ao Ensino a Distância.
● Especialista em Gestão e Docência no Ensino Superior.
● Cursando Segunda Licenciatura em Pedagogia.
● Graduada em Licenciatura em Matemática.
● Tutora Educacional (UniFCV).
● Professora Conteudista do Curso de Licenciatura em Matemática no Ensino a
distância (UniFCV/UniFatecie).
#CURRÍCULO LATTES#
APRESENTAÇÃO DA APOSTILA
Olá, caro(a) acadêmico(a)!
Seja bem-vindo(a) à disciplina de Introdução à Matemática para o curso de
Licenciatura em Matemática. Você já venceu algumas etapas de seu curso e chegou
até aqui, meus parabéns!
Ao escrever um material didático, a primeira coisa que nos vem à mente é seu
público-alvo. Na composição desta apostila, em nenhum momento tivemos a pretensão
de chegar a um material definitivo, o qual servisse de base para todos os demais, mas
de produzir um material que atraísse os estudantes àquela que, por vezes, é
considerada a matéria mais difícil.
Sempre que foi possível, optamos pela simplicidade. Dessa maneira, ainda que
tenha escapado de certa rigidez matemática, esperamos que este material fomente a
vontade de descobrir e desenvolver a nobre ciência de Carl Friedrich Gaus.
Uma das características mais marcantes da Matemática é o extenso uso de
notações para expressar ideias e conceitos dessa ciência. A capacidade de
compreender e se expressar usando esses símbolos e criar sua própria nota é
fundamental para o seu desenvolvimento matemático.
Para compor este material, organizamos uma introdução, seguida de quatro
unidades criteriosamente analisadas, selecionadas para dar sustentação à presente
discussão, conclusão, referências, leituras complementares, indicações de livros,
filmes, entre outros.
● Unidade I, intitulada "Conjuntos", com os subtópicos: Conceito e definição
de conjuntos. Extensão ou enumeração. Compreensão. Diagrama de
Venn-Euler. Pertinência. Conjuntos especiais: conjunto vazio, conjunto
unitário, conjunto numérico, conjunto universo, conjunto complementar.
Subconjuntos, continência e igualdade de conjuntos. Operações com
conjuntos: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença entre
conjuntos, complementar de um conjunto. Conjunto das partes de um
conjunto.
● Unidade II, intitulada "Funções", com os subtópicos: Conceito e definição
de função. Notação de função. Domínio de uma função. Tipos de função:
simetria, função par, função ímpar, crescimento de uma função.
Classificação das funções: função injetora, função sobrejetora, função
bijetora, função composta, função inversa. Funções de primeiro e
segundo graus: função polinomial do primeiro grau, raiz de uma função do
primeiro grau, funções do primeiro grau e seus gráficos, função polinomial
do segundo grau, raízes de uma função do segundo grau, funções do
segundo grau e seus gráficos, funções polinomiais, raízes das funções
polinomiais, função exponencial, gráficos de funções exponenciais, base
da função dada pelo número .𝑒
● Unidade III, intitulada "Equações Exponenciais e Logarítmicas", com os
subtópicos: Potenciação e propriedades. Produto de potenciação: produto
de potência de bases iguais, Potência de uma potência, potência de um
produto, quociente de potência de bases iguais, potência com expoente
negativo, potência de um quociente. Equações e Inequações
Exponenciais: equação exponencial, inequação exponencial. Logaritmo.
Propriedades de logaritmos: logaritmo do produto, logaritmo do quociente,
logaritmo de potência, mudança de base de logaritmo. Equações
logarítmicas. Inequações logarítmicas.
● Unidade IV, intitulada “Progressões”, com os subtópicos: Progressões
aritméticas (PA). Conceito e Classificação. Fórmula do termo geral de
uma PA Fórmula da soma dos termos de uma PA. Progressões
geométricas (PG). Fórmula geral da PG. Fórmula da soma dos termos de
uma PG finita. Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita. Diferença
entre PA e PG.
Mas atenção: conhecer símbolos matemáticos e saber usá-los corretamente,
não significa que você é um matemático ou sabe fazer matemática. Assim como
conhecer a notação musical não significa que você é um músico ou sabe fazer música.
Por outro lado, não conhecer a notação matemática ou não saber usá-la do modo
correto poderá lhe trazer dificuldades de aprendizado (de novas ideias matemáticas) e
impedir você de desenvolver todo o seu potencial.
Bons estudos a todos!
Professora Genilda de Lourdes Maurício Guimarães
UNIDADE I
CONJUNTOS
Professora Genilda de Lourdes Maurício Guimarães
Professora Vanice Vieira Fernandes
Plano de Estudo:
• Conceito e definição de conjuntos;
• Extensão ou enumeração;
• Compreensão;
• Diagrama de Venn-Euler;
• Pertinência;
• Conjuntos especiais: conjunto vazio, conjunto unitário, conjunto numérico, conjunto
universo, conjunto complementar;
• Subconjuntos, continência e igualdade de conjuntos;
• Operações com conjuntos: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença
entre conjuntos, complementar de um conjunto;
• Conjunto das partes de um conjunto.
Objetivos de Aprendizagem:
• Descrever e representar conjuntos;
• Estabelecer a relação de pertinência ou não entre um elemento e um conjunto;
• Determinar o conjunto das partes de um conjunto;
• Determinar à união, interseção, diferença entre conjuntos;
• Conhecer o Diagrama de Venn-Euler;
• Representar e reconhecer subconjuntos.
INTRODUÇÃO
Prezado(a) acadêmico(a)!
Seja bem-vindo(a) à Unidade I da disciplina de Introdução à Matemática, para
o curso de Licenciatura em Matemática. Nesta primeira unidade, intitulada "Conjuntos",
abordaremos os seguintes itens: Conceito e definição de conjuntos. Extensão ou
enumeração. Compreensão. Diagrama de Venn-Euler. Pertinência. Conjuntos
especiais: conjunto vazio, conjunto unitário, conjunto numérico, conjunto universo,
conjunto complementar. Subconjuntos, continência e igualdade de conjuntos.
Operações com conjuntos: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença
entre conjuntos, complementar de um conjunto. Conjunto das partes de um conjunto.
Espero que estes textos colaborem para a sua melhor compreensão sobre o
tema de nossa primeira unidade.
Boa leitura!
1 CONCEITO E DEFINIÇÃO DE CONJUNTOS
Na década de 1970, em meio à Guerra Fria, avanços da então União das
Repúblicas Socialistas Soviéticas (URSS) levaram os Estados Unidos a rever o
currículo de Matemática. Surgiu, então, a matemática moderna, que teve como
principal componente uma teoria que unificava álgebra, aritmética e geometria: a teoria
de conjuntos.
Mas o que são os conjuntos? Conjunto é um agrupamento de termos com
características parecidas. Como comparação, pense numa coleção de objetos.
Neste tópico, não entraremos em nenhuma abordagem axiomática complicada
da Teoria dos Conjuntos, e conter-nos-emos em aceitar o seguinte: um conjunto é
qualquer coleção, dentro de um todo de objetos definidos e distinguíveis, chamados
elementos, de nossa intuição ou pensamento. Esta definição intuitiva de um conjunto
foi dada primeiramente por Georg Cantor (1845-1918), que criou a teoria dos conjuntos
em 1895. (SAMPAIO, 2016).
(a) O conjunto de todas as cadeiras na sala de aula de Teoria dos Conjuntos;
(b) O conjunto de todos os estudantes desta universidade;
(c) O conjunto das letras a, b, c e d;
(d) O conjunto das regras de uso do laboratório de informática;
(e) O conjunto de todos os números racionais cujo quadrado é 2;
(f) O conjunto de todos os números naturais;
(g) O conjunto de todos os números reais entre 0e 1. (SAMPAIO, 2016).
Um conjunto que contém apenas um número finito de elementos é chamado um
conjunto finito; um conjunto infinito é um conjunto que não é finito. Exemplos de (a) a
(e) acima são todos de conjuntos finitos, e Exemplos (f) e (g) são de conjuntos infinitos.
(SAMPAIO, 2016).
Conjuntos são frequentemente designados fechando-se entre chaves os
símbolos que representam seus elementos, quando for possível fazê-lo. Assim, o
conjunto no Exemplo (c) é e o conjunto no Exemplo (f) pode ser denotado{𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑}
por . O conjunto do Exemplo (e) não tem elementos; um tal conjunto é{1, 2, 3,...}
chamado o conjunto vazio, sendo denotado pelo símbolo . (SAMPAIO, 2016).⊘
Para simbolizar os conjuntos usamos uma letra maiúscula do nosso alfabeto
latino, e letras minúsculas para denotar elementos. Estudaremos agora as formas
como os conjuntos podem ser representados.
1.1 Extensão ou enumeração
Os elementos são colocados entre parênteses ou chaves e separados por
vírgula ou ponto e vírgula.
Fonte: Oliveira (2016, p. 14).
_____________________________________________________________________
Observação
A ordem dos elementos não importa e eles nunca se repetem no conjunto.
______________________________________________________________________
1.2 Compreensão
Muitas vezes é mais fácil e rápido representar um conjunto por meio de uma
propriedade:
Fonte: Oliveira (2016, p. 14).
____________________________________________________________________
Observação:
A barra (|) lê-se: tal que, de maneira que, de modo que. Ou seja, o conjunto é formado
por x elementos que apresentam determinadas propriedades.
_____________________________________________________________________
1.3 Diagrama de Venn-Euler
Para ilustrar definições, resultados e demonstrações da teoria de conjuntos, é
muito comum usar uma representação gráfica por curvas fechadas simples, tais como
círculos, ovais ou poligonais. Tal representação recebe o nome de diagrama de Venn.
(KIRILOV, 2017).
Em outras palavras conjuntos podem ser representados graficamente por
diagramas de Venn-Euler, que são regiões planas delimitadas por curvas fechadas.
Eventualmente os elementos podem ser explicitados no interior do diagrama.
(OLIVEIRA, 2016).
Num diagrama de Venn, os elementos do conjunto são indicados por pontos
internos da região delimitada por essas curvas e os elementos que não pertencem ao
conjunto são representados por pontos externos a essa região, como no exemplo
abaixo.
Exemplo:
O diagrama de Venn, abaixo, auxilia na identificação de quais elementos estão
em cada um dos conjuntos e , enquanto que o elemento não𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑑} 𝐵 = {𝑏, 𝑐, 𝑒} 𝑓
pertence a nenhum desses conjuntos.
Fonte: adaptado de Kirilov (2017, p. 25).
O estilo usado no diagrama de Venn acima é o mais comum, o universo U foi
representado por um retângulo e os demais conjuntos por círculos contidos nesse
retângulo. Note que neste modelo de visualização nenhum elemento pode ser
representado por pontos exatamente em cima de uma curva fechada que delimita uma
região (nas fronteiras).
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Importante: Diagramas de Venn são excelentes ferramentas para nos ajudar a
visualizar um problema, principalmente para gerar exemplos e contra-exemplos.
Entretanto, argumentos e raciocínios baseados em diagramas de Venn não servem
como demonstração da validade de uma proposição. (KIRILOV, 2017, p. 25).
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1.4 Pertinência
Relação entre um elementos e um conjunto: ou um elemento faz parte de um
conjunto (pertence) ou não faz (não pertence).
Símbolos:
∈= 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒
∉ = 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒
Definição: quando um dado objeto é elemento de um conjunto , dizemos que𝑏 𝐵
.𝑏 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎 𝐵
Notação: empregamos o símbolo , chamado de símbolo de pertinência, para∈
notar a relação de pertinência entre um elemento e um conjunto. Para o contrário da
pertinência, empregamos o símbolo .∉
Exemplos:
1 ∈ {1, 2, 3, 4}
1∉{𝑥|𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟}
}5 ∈ {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 í𝑚𝑝𝑎𝑟
10∉{𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜}
1.5 Conjuntos especiais
a) Conjunto vazio: É o conjunto sem elementos. É notado pelo símbolo . Os⊘
Conjuntos vazios devem ser explicitados com o par de chaves sem elementos.
Exemplos:
⊘ = {}
Se é um conjunto vazio, então .𝐴 𝐴 = {}
b) Conjunto unitário: É o conjunto com um único elemento.
Exemplos:
𝐴 = {1}
𝐵 = {𝑎}
𝐶 = {𝐵𝑖𝑎}
c) Conjuntos numéricos: São conjuntos constituídos de números.
Exemplos:
Conjunto dos números naturais (inteiros não negativos) ou 𝑁 = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros ou 𝑍 = {... − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,...}
Conjunto dos números racionais ou (número racionais são aquelas que𝑄 
podem ser expressos na forma de uma razão de inteiros, como 1/3, − 7/11
etc… Dízimas periódicas como também são racionais)0, 445544...
Conjunto dos números reais ou (conjunto dos números racionais eℜ
irracionais)
Conjunto dos números complexos ou .𝐶
SAIBA MAIS
Para saber mais sobre os conjuntos numéricos, em especial conjunto dos
números naturais, conjunto dos números inteiros, números racionais, geratriz de uma
dízima periódica, conjunto dos números irracionais, números reais, intervalos e
operações com intervalos, acessa o livro intitulado “Matemática” do autor Carlos
Alberto Maziozeki De Oliveira, páginas 22-25.
Fonte: Oliveria (2016).
#SAIBA MAIS#
d) Conjunto Universo: Denotado por , é o conjunto que contém todos os∪
elementos de interesse para um determinado problema.
e) Conjunto complementar de um conjunto em relação a . É o conjunto de𝐴 ∪
todos os elementos do conjunto universo que não pertencem a .∪ 𝐴
1.6 Subconjuntos, continência e igualdade de conjuntos
Um conjunto pode estar dentro de outro (contido) ou não (não contido), da
mesma maneira que pode ter outro dentro dele (contém) ou não ( não contém).
Símbolos:
⊂= 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜
⊃= 𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚
⊄ = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜
⊅ = 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚
Dessa maneira:
Fonte: Oliveira (2016, p. 15).
A parte aberta do símbolo deve estar voltada para o conjunto maior. Quando
ambos têm o mesmo número de elementos, tanto faz usar os símbolos ou .⊂ ⊃
______________________________________________________________________
Observações
1. Quando um conjunto não tem elementos, dizemos que ele é vazio e é representado
por {} ou .⊘
2. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
______________________________________________________________________
Definição: Se todo elemento de um conjunto pertence a um conjunto , então é𝐴 𝐵 𝐴
denominado subconjunto de .𝐵
A definição de subconjunto denota uma relação de continência entre conjuntos.
Se é subconjunto de , podemos dizer de forma equivalente que está contido em𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
, contém , ou ainda é parte de .𝐵 𝐴 𝐵 𝐴
Notação: Se é subconjunto de (ou “ está contido em ”, ou “ contém ”), então𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴
notamos . Caso contrário, notamos . O símbolo é chamado de símbolo𝐴 ⊂ 𝐵 𝐴 ⊄ 𝐵 ⊂
de continência.
Exemplo:
Se e , então , pois os elementos 1 e 2 de A𝐴 = {1, 2} 𝐵 = {1, 2, 3} 𝐴 ⊂ 𝐵 
pertencem a B. Por outro lado, temos , pois nem todos os elementos de B𝐵 ⊄ 𝐴
pertencem a A (há, neste caso, uma exceção, o elemento 3).
É importante observar que a relação de continência expressa pelo símbolo ⊂
envolve dois conjuntos apenas, nunca um elemento e um conjunto ou dois elementos.
Definição: Se A é subconjunto de B e B é subconjunto de A, então dizemos que
A e B são iguais quando e , então .𝐴 ⊂ 𝐵 𝐵 ⊂ 𝐴 𝐴 = 𝐵
Assim, e , logo .{1, 2} ⊂ {1, 2} {1, 2} ⊃ {1, 2} {1, 2} = {1, 2}
1.7 Operações com conjuntos
O estudo das operações entre conjuntos vem da facilidade que elas trazem para
a resolução de problemas numéricos do cotidiano. Utilizaremos algumas ferramentas
gráficas, como o diagrama de Venn-Euler, para definir as principaisoperações entre os
mais conjuntos, sendo elas: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença
entre conjuntos e complementar de um conjunto.
1.7.1 União (ou reunião) de conjuntos
Símbolo: ∪
Chamamos de união de dois conjuntos A e B o conjunto formado por(𝐴 ∪ 𝐵)
todos os elementos de A e de B.
Matematicamente:
𝐴 ∪ 𝐵 = { 𝑋 ∈ ℜ | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplos:
Nos diagramas de Venn-Euler apresentados, 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3}.
Fonte: Oliveira (2016, p. 16).
1.7.2 Intersecção de conjuntos
Símbolo: ∩
Chamamos de intersecção entre dois conjuntos A e B o conjunto(𝐴 ∩ 𝐵)
formado pelos elementos comuns a ambos os conjuntos, ou seja, aqueles que
aparecem nos dois ao mesmo tempo.
Matematicamente:
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplos
Fonte: Oliveira (2016, p. 16-17).
1.7.3 Diferença entre conjuntos
Símbolo: −
Pela diferença de dois conjuntos A e B chegamos a um terceiro conjunto,
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não a B.
Matematicamente:
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ ℜ| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
Exemplos:
Fonte: Oliveira (2016, p. 17).
1.7.4 Complementar de um conjunto
Símbolo: 𝐶
𝐴
𝐵
Se , então , ou seja, se for subconjunto de , então o𝐵 ⊂ 𝐴 𝐶
𝐴
𝐵 = 𝐴 − 𝐵 𝐵 𝐴
complementar de em relação a será calculado pela diferença de conjuntos .𝐵 𝐴 𝐴 − 𝐵
“De uma maneira informar, podemos dizer que o complementar é o conjunto dos
elementos que faltam para que o menor conjunto se transforme no maior”. (OLIVEIRA,
2016, p. 16-17).
Exemplos:
Fonte: Oliveira (2016, p. 18).
1.8 Conjunto das partes de um conjunto
Símbolo: 𝑃
É o conjunto formado por todos os subconjuntos possíveis de um dado conjunto.
Por definição, o conjunto vazio é subconjunto dele mesmo, ou seja, .⊘⊂⊘
______________________________________________________________________
Importante: Na teoria dos conjuntos, a existência do conjunto das partes não é tida
como óbvia. Como a existência de um conjunto das partes não é consequência do
axioma da especificação, um novo axioma é necessário; este axioma é habitualmente
chamado o Axioma do Conjunto das Partes e pode ser assim enunciado: Para cada
conjunto, existe um conjunto de conjuntos que consiste de todos os subconjuntos do
conjunto dado. (SAMPAIO, 2016).
______________________________________________________________________
Por exemplo, se , então . Ou seja, para𝐴 = {1, 2} 𝑃(𝐴) = {⊘, {{1}, {2}, {1, 2}}
chegarmos ao número de subconjuntos de um conjunto, basta calcularmos 2 elevado
ao número de elementos do conjunto. Dessa maneira, sabendo que , então𝑛(𝐴) = 2
.𝑛𝑃(𝐴) = 2² = 4
Se calcularmos os subconjuntos das letras da palavra , veremos que o𝐶𝐴𝑆𝐴
conjunto será formado por .Como esse conjunto tem 3 elementos, o número de{𝐶, 𝐴, 𝑆}
subconjuntos será dado por .2³ = 8
______________________________________________________________________
Observações
1. Muitas vezes, representamos as operações entre conjuntos como regiões dentro
deles. Assim, podemos representar as operações a seguir desta forma:
Fonte: Oliveira (2016, p. 19).
2. Exercícios que apresentam elementos de 2 ou 3 conjuntos são mais facilmente
resolvidos quando representados por diagramas, começando pelas interseções.
______________________________________________________________________
Exemplos:
1. Entre 100 pessoas pesquisadas, 60 usam a marca A e 70 a B. Sabendo que 50
usam ambas as marcas, quantas pessoas não usam nenhuma delas?
Fonte: Oliveira (2016, p. 19).
Assim, 20 + 50 + 10 +nenhuma = 100, logo 20 pessoas não utilizam nenhuma
das marcas.
Resposta: 20 pessoas não usariam nenhuma delas.
2. Um jornal entrevistou certo número de pessoas sobre suas opções de viagem de
férias e chegou às seguintes respostas:
● 40 pessoas disseram viajar à Europa;
● 40 pessoas preferiam os Estados Unidos;
● 35 pessoas desejam viajar pelo Brasil;
● 25 viajariam para Europa e Estados Unidos;
● 20 viajariam para Brasil e Estados Unidos;
● 15 disseram que viajariam aos três destinos;
● 10 não gostam de viajar.
Quantas pessoas foram entrevistadas?
Fonte: Oliveira (2016, p. 19).
Assim, .𝑛 = 10 + 5 + 5 + 10 + 15 + 5 + 10 + 10 = 70
Resposta: Ao todo 70 pessoas foram entrevistadas.
REFLITA
Muitas das falhas da vida acontecem quando as pessoas não percebem o quão perto
estão quando desistem. (Thomas Edison).
#REFLITA#
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado(a) acadêmico(a),
Chegamos ao final da Unidade I, na qual estudamos “um pouco” sobre: Conceito
e definição de conjuntos. Extensão ou enumeração. Compreensão. Diagrama de
Venn-Euler. Pertinência. Conjuntos especiais: conjunto vazio, conjunto unitário,
conjunto numérico, conjunto universo, conjunto complementar. Subconjuntos,
continência e igualdade de conjuntos. Operações com conjuntos: união de conjuntos,
intersecção de conjuntos, diferença entre conjuntos, complementar de um conjunto.
Conjunto das partes de um conjunto.
Assim, convidamos você, estudante, a consultar as indicações de leitura
complementar, filmes e as referências, de modo a aprofundar seu conhecimento.
Boa leitura!
LEITURA COMPLEMENTAR
Acadêmico(a) para complementar seu estudo sobre conjuntos, consulte as fontes
indicadas a seguir.
● CANDAL, D. Fundamentos de Matemática. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
Disponível em:
https://profhubert.yolasite.com/resources/LIVRO%20PROPRIET%C3%81RIO%2
0%E2%80%93%20Fundamentos%20da%20matematica.pdf Acesso em: 02
ago. 2021.
● VASCONCELOS, V. F. Teoria dos Conjuntos - um estudo introdutório. Trabalho
de Conclusão e Curso. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. 2018.
Disponível em:
https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/23976/1/teoriaconjuntos.pdf
Acesso em: 02 ago. 2021.
● MARQUES, G. da C.Fundamentos de Matemática I. Introdução à Teoria dos
Conjuntos. Disponível em:
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_01.pdf Acesso em: 02
ago. 2021.
https://profhubert.yolasite.com/resources/LIVRO%20PROPRIET%C3%81RIO%20%E2%80%93%20Fundamentos%20da%20matematica.pdf
https://profhubert.yolasite.com/resources/LIVRO%20PROPRIET%C3%81RIO%20%E2%80%93%20Fundamentos%20da%20matematica.pdf
https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/23976/1/teoriaconjuntos.pdf
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_01.pdf
LIVRO
• Título.
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
• Autor.
Fernando Ferreira
• Editora.
Editora InterSaberes
• Sinopse
Ao contrário do que se imagina, o estudo da matemática é simples, desde que seja
realizado de maneira criteriosa. Assim, é fundamental ter como base uma sequência
lógica de conteúdos, com textos que dialogam com o estudante e exemplos de
exercícios resolvidos. Esta obra tem o propósito de facilitar o estudo da matemática.
Por isso, os temas presentes são abordados de forma didática e descomplicada, com
ilustrações e propostas de exercícios. Embarque nesta jornada repleta de novos
conhecimentos e descubra quanto o estudo da matemática pode ser prazeroso e
empolgante.
FILME/VÍDEO
• Título.
O Jogo da Imitação
• Ano.
2014
• Sinopse.
Baseado na história real de Alan Turing, matemático considerado o pai da computação,
o filme é sobre sua atuação na Segunda Guerra Mundial. Com um grupo de
pesquisadores, ele busca decodificar as as mensagens enviadas pelos alemães para o
exército, ajudando os ingleses a prever as próximas ações no conflito.
Além desse desafio, Turing tem dificuldade de se relacionar com as pessoas ao seu
redor, mas para desvendar as codificações deve aprender a trabalhar em equipe.
• Link do vídeo (se houver).
Disponível na Netflix, no Google Play e no YouTube.
REFERÊNCIAS
KIRILOV, A. Introdução a Teoria de Conjuntos - para estudantes que estão
ingressando na Matemática. 14 de novembro de 2017. Disponível em:
file:///C:/Users/agele/Downloads/itc01-UFPR-2017.pdf. Acesso em: 03 ago. 2021.
LUIZ, R. Operações com conjuntos. Brasil Escola. Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm Acesso em:
03 ago. 2021.OLIVEIRA, C. A. M. de. Matemática. Curitiba: Editora InterSaberes, 2016. (Coleção
EJA: Cidadania Competente, v.6). [Livro eletrônico]. https://plataforma.bvirtual.com.br/ .
Acesso em:
SAMPAIO, J. O Conceito de Conjunto. In. _____. Notas de aula da Disciplina
Introdução à Teoria dos Conjuntos. 2016. UFSCar. Disponível em
https://www.dm.ufscar.br/profs/sampaio/itc.html. Acesso em: 03 ago. 2021.
UNIDADE II
FUNÇÕES
Professora Genilda de Lourdes Maurício Guimarães
Professora Vanice Vieira Fernandes
Plano de Estudo:
• Conceito e definição de função;
• Notação de função;
• Domínio de uma função;
• Tipos de função: simetria, função par, função ímpar, crescimento de uma função;
• Classificação das funções: função injetora, função sobrejetora, função bijetora, função
composta, função inversa;
• Funções de primeiro e segundo graus: função polinomial do primeiro grau, raiz de
uma função do primeiro grau, funções do primeiro grau e seus gráficos, função
polinomial do segundo grau, raízes de uma função do segundo grau, funções do
segundo grau e seus gráficos, funções polinomiais, raízes das funções polinomiais,
função exponencial, gráficos de funções exponenciais, base da função dada pelo
número .𝑒
Objetivos de Aprendizagem:
• Entender o que é função e sua notação;
• Entender o que é domínio e imagem;
• Perceber a diferença entre funções crescentes e decrescentes;
• Reconhecer funções de primeiro e de segundo graus, polinomiais e exponenciais;
• Entender gráficos dos tipos de funções;
• Extrair raízes das funções polinomiais.
INTRODUÇÃO
Prezado(a) acadêmico(a)!
Seja bem-vindo(a) à Unidade II da disciplina de Introdução à Matemática, para
o curso de Licenciatura em Matemática. Nesta segunda unidade, intitulada "Funções",
estudaremos os seguintes itens: Conceito e definição de função. Notação de função.
Domínio de uma função. Tipos de função: simetria, função par, função ímpar,
crescimento de uma função. Classificação das funções: função injetora, função
sobrejetora, função bijetora, função composta, função inversa. Funções de primeiro e
segundo graus: função polinomial do primeiro grau, raiz de uma função do primeiro
grau, funções do primeiro grau e seus gráficos, função polinomial do segundo grau,
raízes de uma função do segundo grau, funções do segundo grau e seus gráficos,
funções polinomiais, raízes das funções polinomiais, função exponencial, gráficos de
funções exponenciais, base da função dada pelo número .𝑒
Espero que estes textos colaborem para a sua melhor compreensão sobre o
tema de nossa primeira unidade.
Boa leitura!
1 CONCEITO E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
O conceito de função é um das noções mais fundamentais da Matemática é
geralmente apresentado às pessoas de uma forma intuitiva, algo como: uma função de
em é uma regra que associa a cada elemento de um único elemento do conjunto𝐴 𝐵 𝐴
. (KIRILOV, 2017).𝐵
O maior problema nesse modo de apresentar o conceito de função é estabelecer
precisamente o que se entende por “uma regra”. Uma forma honesta de evitar esse
problema é usar a linguagem de conjuntos e relações que desenvolvemos até aqui
para definir precisamente o conceito de função. (KIRILOV, 2017).
Estudante, você pode pensar em uma função como uma máquina, na qual os
valores do domínio são colocados dentro da máquina (que faz papel da função) para𝑥
produzir os valores da imagem. Para indicar que vem de uma função de , usamos𝑦 𝑦 𝑥
a notação de função de Euler, dada por (você pode ler “ igual a de ” ou𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑓 𝑥
“o valor de em ” . Aqui, é a variável independente e é a variável𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
dependente. Vide figura 1.
Figura 1 - Um diagrama de uma “máquina”para compreender função
Fonte: adaptado de Bonafini (2019, p.65).
Uma função pode ser escrita como a relação entre os elementos do domínio e
os elementos da imagem. A Figura 2(a) mostra uma função que relaciona elementos do
domínio com os elementos da imagem . A Figura 2(b) apresenta uma relação que𝑋 𝑌
não é de uma função, uma vez que a regra de que o elemento associa a um único𝑥
1
elemento de não ocorre.𝑌
Figura 2 O diagrama em (a) retrata uma relação de em , que é uma função. O diagrama em𝑋 𝑌
(b) retrata uma relação de em , que não é uma função𝑋 𝑌
Fonte: adaptado de Bonafini (2019, p. 66).
A unicidade do valor da imagem é muito importante para você, acadêmico(a)
entender seu comportamento. Saber que e, posteriormente, verificar que𝑓(2) = 8
é uma contradição. O que acontece é que jamais teremos uma função𝑓(2) = 4
definida por fórmula ambígua como .𝑓(𝑥) = 3𝑥 ± 2
Outra forma de observar funções é graficamente. O gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥)
é o conjunto de todos os pontos , com pertencente ao domínio de . Você(𝑥, 𝑓(𝑥)) 𝑥 𝑓
pode visualizar os valores do domínio sobre o eixo horizontal , como também os𝑥
valores da imagem sobre o eixo vertical , tomando como referência os pares𝑦
ordenados do gráfico de .(𝑥, 𝑦) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
SAIBA MAIS
Acadêmico(a), acesse os links abaixo, para saber mais sobre funções, domínio e
imagem.
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/funcao.htm
#SAIBA MAIS#
REFLITA
Você sabe como reconhecer funções a partir de gráficos? Lembrem-se de que para
que o conjunto represente uma função, cada elemento do domínio deve ter no máximo
um elemento correspondente no contradomínio.
Fonte: A autora (2021).
#REFLITA#
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/conceito-de-funcoes.html
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/funcao.htm
1.2 Notação de função
Estudante para apresentarmos uma função, precisaremos de três componentes:
1) O primeiro conjunto, em que escolhemos os elementos para os quais
procuraremos as imagens correspondentes. Esse conjunto é o domínio
da função.
2) O segundo conjunto, em que procuramos as imagens dos elementos do
domínio. Esse conjunto é o contradomínio da função.
3) A sentença matemática que conduz os elementos do domínio até a
imagem correspondente a ele no contradomínio.
com𝑓: 𝐷 → 𝐶𝐷 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Vejamos alguns exemplos:
(a) Consideremos os conjuntos e . Vamos𝐴 = {0, 1, 2, 3, 5} 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
definir a função de em com . Tomamos um elemento do𝑓 𝐴 𝐵 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
conjunto A, representado por , substituímos este elemento na sentença ,𝑥 𝑓(𝑥)
efetuamos as operações indicadas e o resultado será a imagem do elemento ,𝑥
representada por .𝑦
𝑓: 𝐴 → 𝐵
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
(b) Consideremos os conjuntos e . Vamos𝐴 = {− 1, 1, 2, 5} 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 17, 24, 33}
definir a função de em com . Assim, teremos os dados a𝑓 𝐴 𝐵 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1
seguir.
A imagem do elemento representada por ,ou− 1 𝑓(− 1) = (− 1) 2 − 1 = 0
seja, o par .(− 1, 0) ∈ 𝑓
A imagem do elemento representa por , ou seja, o par1 𝑓(1) = 12 − 1 = 0
.(1, 2) ∈ 𝑓
A imagem do elemento representa por , ou seja, o par2 𝑓(2) = 22 − 1 = 3
.(2, 3) ∈ 𝑓
A imagem do elemento representada por , ou seja, o par5 𝑓(5) = 52 − 1 = 24
.(5, 24) ∈ 𝑓
Notemos aqui, estudante que existem dois elementos do conjunto com uma𝐴
mesma imagem no conjunto . Isso é permitido pela definição de função. O que não𝐵
pode ocorrer é um mesmo elemento com mais de uma imagem ou um elemento sem
imagem.
𝑓: 𝐴 → 𝐵; 𝑢 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1
______________________________________________________________________
Observação
No estudo das funções é muito frequente utilizarmos, tanto para primeiro
conjunto como para segundo conjunto de uma função, o conjunto dos números reais.
Nessas condições, convencionou-se que podemos omitir a colocação dos dois
conjuntos e a função será denominada, simplesmente, função real. Para uma função
real, basta apresentarmos a sentença matemática que relaciona os elementos do
domínio às imagens no contradomínio.
Exemplo:
Para apresentarmos a função de em com , bata apenas𝑓 𝑅 𝑅 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3
dizermos que é uma função real com .𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3
1.3 Domíniode uma função
O domínio de uma função é representado pelos valores de que podemos𝑥
aplicar na função. Normalmente, dizemos que uma função é uma relação de emℜ ℜ
ou . Isso significa que tanto no domínio todos os números são reais, mas há𝑓: ℜ → ℜ
exceção.
Considere a seguinte função:
.𝑓(𝑥) = 1𝑥
Se for , então e não existe divisão por zero. Temos, portanto, um𝑥 0 𝑓(0) = 10
caso de exceção. Assim, devemos explicitar o domínio como sendo 𝑑𝑜𝑚(𝑓) = ℜ − {0}
ou .ℜ*
Outro exemplo é . Perceba que essa função não permite que seja𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥
negativo. Note que não é um número real. Logo, .𝑓(− 1) = − 1 𝑑𝑜𝑚(𝑓) = ℜ
Observe que devemos excluir do domínio os valores para os quais a função não
está definida.
SAIBA MAIS
Você sabia que existem regras de cálculo do domínio?
Para ampliar seus conhecimentos sobre a temática indicamos a leitura do livro
intitulado “Matemática” do autor Carlos Alberto Maziozeki De Oliveira, páginas 38-39.
Fonte: Oliveria (2016).
#SAIBA MAIS#
1.4 Tipos de função
Antes de abordarmos os tipos de função, precisamos ter bem claro um conceito
utilizado na sua classificação: a simetria.
1.4.1 Simetria
Em matemática, quando falamos em simetria, pensamos sempre em um
referencial. Por exemplo, os pontos B, C e D no gráfico, a seguir, são os simétricos do
ponto A em relação aos eixos X,Y e em relação à origem, nessa ordem. (OLIVEIRA,
2016).
Fonte: Oliveira (2016, p. 41).
Em outras palavras, o simétrico de um ponto é outro ponto que está a uma
mesma distância de certo referencial, só que do lado oposto.
1.4.2 Função par
Uma função é par se para todo do seu domínio . O gráfico𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑓(− 𝑥)
desse tipo de função é simétrico em relação ao eixo .𝑌
Veja alguns exemplos:
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
(b) 𝑦 − 𝑥²
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥⁴ − 𝑥²
______________________________________________________________________
Observação
Uma função polinomial é par quando todos os expoentes da variável são pares. Assim,
é par; enquanto que não é.𝑓(𝑥) = 2𝑥6 − 5𝑥4 + 3𝑥2 𝑦 = 2𝑥² − 5𝑥
______________________________________________________________________
1.4.3 Função ímpar
Uma função é ímpar quando . Em relação ao gráfico, o de𝑓(𝑥) = − 𝑓(− 𝑥)
uma função ímpar será simétrica em relação à origem.
Veja alguns exemplos:
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥³
(b) 𝑓(𝑥) = 1𝑥
(c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
______________________________________________________________________
Observação
1. Uma função polinomial é ímpar quando todos os expoentes da variável foram
ímpares. Desse modo, é ímpar, mas𝑓(𝑥) = 2𝑥5 − 2𝑥3 − 5𝑥 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥 = 1
não é, pois pode ser escrita como .𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥 = 1𝑥0
2. Quando a função não apresenta nenhuma dessas características, dizemos que ela
não é par nem ímpar.
______________________________________________________________________
1.4.4 Crescimento de uma função
Outro conceito de função que você estudante vai entender de forma fácil
graficamente é a propriedade de ser crescente, decrescente ou constante sobre um
intervalo.
Definição: Uma função é crescente sobre um intervalo se, para quaisquer dois𝑓
valores de no intervalo, uma variação positiva em resulta em uma variação positiva𝑥 𝑥
em .𝑓(𝑥)
(a) Função crescente: Quando para todo do domínio ,𝑥 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
dizemos que a função é crescente. Observe os gráficos, a seguir,
característicos desse tipo de função.
Na prática, basta analisar o gráfico da esquerda para a direita e verificar se ele
está subindo.
Definição: Uma função é decrescente sobre um intervalo se, para quaisquer dois𝑓
valores de no intervalo, uma variação positiva em resulta em uma variação negativa𝑥 𝑥
em .𝑓(𝑥)
(b) Função decrescente: Quando, para todo do domínimo𝑥
, dizemos que a função é decrescente. Perceba que,𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
nesse caso, os gráficos descem da esquerda para a direita.
Definição: Uma função é constante sobre um intervalo se, para quaisquer dois𝑓 
valores de no intervalo, uma variação positiva em resulta em uma variação nula em𝑥 𝑥
.𝑓(𝑥)
(c) Função constante: Quando .𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)
SAIBA MAIS
Temos quatro maneiras de representar uma função:
1. Verbalmente através de uma frase que descreve como a variável de entrada
está relacionada com a variável de saída;
2. Numericamente por uma tabela ou uma lista de pares ordenados que
correspondem aos valores de entrada juntamente com valores de saída;
3. Graficamente através dos pontos em um gráfico em que a entrada é
representada no eixo horizontal e os valores de saída são representados pelo
eixo vertical;
4. Algebricamente por uma equação por uma equação contendo as variáveis de
interesse.
Fonte: Bonafini (2019, p. 69).
#SAIBA MAIS#
1.5 Classificação das funções
Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu
comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Confira a
seguir os principais tipos.
1.5.1 Função injetora (ou injetiva)
Uma função é injetora se qualquer implicar . Ou seja, se𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)
tomarmos dois elementos diferentes do domínio, suas imagens também serão
diferentes. É importante observar que isso só ocorre se a função for crescente ou
decrescente em todo seu domínio.
Função crescente e injetora
Função não crescente e não injetora
1.5.2 Função sobrejetora
É toda função em que , ou seja, a imagem da função é o𝐼𝑚(𝑓) = 𝐶𝑑𝑜𝑚(𝑓)
segundo conjunto todo. Qualquer será imagem de algum .𝑦 𝑥
Observe os gráficos a seguir. A função é sobrejetora, pois, para qualquer que(𝐼)
seja o , existe um , tal que .𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)
A função (II) não é sobrejetora, pois existe que não é imagem de nenhum .𝑦 𝑥
Fonte: adaptado de Oliveira (2016, p. 48).
Em diagramas:
Sobrejetora, .𝐶𝑑𝑜𝑚(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓)
Fonte: adaptado de Oliveira (2016, p. 48).
Não é sobrejetora, pois existe elemento de B que não é imagem de nenhum
elemento de A.
1.5.3 Função bijetora
Uma função será bijetora quando for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. A
função do primeiro grau, cujo gráfico é uma reta, é bijetora. A função do segundo grau,
cujo gráfico é uma parábola, não é bijetora.
1.5.4 Função composta
Quando desejamos associar duas ou mais funções, trabalhamos com a
composição de funções. Vide o exemplo de Oliveria (2016, p. 49) abaixo:
Nesse ponto, é interessante lembrarmos dos produtos notáveis:
Fonte: adaptado de Oliveira (2016, p. 50).
1.5.5 Função inversa
Uma função admite inversa, ou seja, é inversível, se, e somente se, for bijetora.
Esse tipo de função é representado por ou .𝑓−1(𝑥) 𝑦−1
Uma maneira prática de analisar uma função inversa é lembrar do máximo: o
que faz, desfaz.𝑓 𝑓−1
A imagem de uma é o domínio da outra:
Fonte: adaptado de Oliveira (2016, p. 50).
1.6 Funções de primeiro e segundo graus
Figura 3 - Mapa mental sobre funções de 1 grau
Fonte: Elaborado pela autora (2021).
Figura 4 - Mapa mental sobre funções de 2 grau
Fonte: Elaborado pela autora (2021).
1.6.1 Função polinomial do primeiro grau
A função polinomial do grau 1 é qualquer função dada pela expressão:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
onde e são constantes e . Em outras palavras, onde coeficiente angular, e𝑎 𝑏 𝑎 ≠ 0 𝑎 𝑏
, coeficiente linear, são números reais, com , para todo .𝑎 ≠ 0 𝑥 ∈ ℜ
Se nessa função e denominamos essa função de identidade, onde𝑎 = 1 𝑏 = 0
.𝑓(𝑥) = 𝑥
Você, estudante, sabia que a função polinomial do primeiro grau também é
conhecida como função afim.
1.6.1.2 Raiz de uma função do primeiro grau
A raiz de uma função do grau 1 é o valor para qual , tal que podemos𝑓(𝑥) = 0
escrever:
0 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Onde:
𝑥 = − 𝑏𝑎
Exemplo: Considere a função
.𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3
Determine:
a) Os coeficientes angular e linear da função.
Para determinar os coeficientes basta você estudante comparar a expressão
acima com a equação e diretamente temos que e𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎 = 5
.𝑏 = − 3
b) A raiz desse polinômio.
No caso da raiz de uma função do primeiro grau, bastaque usemos a equação
e assim escrever:𝑥 = − 𝑏𝑎
ou𝑥 = − (−3) 5 = 
3 
5 0, 6
SAIBA MAIS
A criação do termo função é atribuída ao alemão Gottfried Leibniz, que usou a
palavra para descrever uma quantidade relacionada a uma curva, inclinação ou um
ponto qualquer situado sobre ela. Leibniz e Isaac Newton são considerados os pais do
cálculo moderno, em particular o desenvolvimento integral e regra do produto. Genial,
Leibniz também desenvolveu trabalhos nos campos da lei, religião, política, história,
literatura, lógica, metafísica e filosofia.
Fonte: Oliveira (2016, p. 79).
#SAIBA MAIS#
1.6.1.3 Funções do primeiro grau e seus gráficos
Uma função do grau 1 é uma função polinomial de grau 1 e, assim, tem a forma:
, onde e são constantes e .𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 ≠ 0
Se, em vez de , utilizarmos como o coeficiente principal e considerarmos a𝑎 𝑚
notação , então essa equação passa a ser familiar, pois representa uma reta𝑦 = 𝑓(𝑥)
inclinada dada por:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
O coeficiente angular de uma reta não vertical que passa pelos pontos𝑚 (𝑥
1
, 𝑦
1
)
e é dado por .(𝑥
2
, 𝑦
2
) 𝑚 =
𝑌
2
−𝑌
1
𝑋
2
−𝑋
1
A equação da reta que passa pelo ponto e tem coeficiente angular é(𝑥
1
𝑦
1
) 𝑚
. Essa é a equação geral da reta.𝑦 − 𝑦
−1
= 𝑚 (𝑥 − 𝑥
1
)
Retas verticais não são gráficos de funções porque elas falham no teste da linha
vertical. Uma reta no plano cartesiano é o gráfico de uma função do primeiro grau se, e
somente se, ela é uma reta inclinada ou uma reta horizontal.
A taxa média de variação de uma função entre e , com𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏
, é .𝑎 ≠ 𝑏 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎
A função do primeiro grau definida para todos os números reais tem uma taxa
média de variação constante, diferente de zero, entre quaisquer dois pontos sobre seu
gráfico.
Quando a função está definida para valores de que sejam maiores ou iguais a𝑥
zero, então podemos dizer que o valor inicial da função é do por . Nesse caso, se𝑓(0)
, então o início do gráfico está no ponto , localizado no eixo vertical .𝑓(0) = 𝑏 (0, 𝑏) 𝑦
Ela é chamada simplesmente de taxa de variação da função do primeiro grau. O
coeficiente angular na fórmula é a taxa de variação da função do𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
primeiro grau.
Fonte: Bonafini (2012, p. 74).
1.6.1.4 Função polinomial do segundo grau
A função polinomial do grau 2 é qualquer função dada pela expressão:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Onde , que determina a concavidade da parábola, , que define a inclinação da curva,𝑎 𝑏
e , ponto em que a parábola intercepta o eixo são números reais, com , para𝑐 𝑦 𝑎 ≠ 0
todo .𝑥 ∈ ℜ
1.6.1.5 Raízes de uma função do segundo grau
As raízes de uma função polinomial do grau 2 são valores importantes para
análise da parábola, eles podem ser obtidos pela relação.
𝑥 = −𝑏± 𝑏
2−4𝑎𝑐
2𝑎
Onde o termo é denominado de discriminante e é representado pela𝑏2 − 4𝑎𝑐
letra grega delta maiúsculo , tal que:(∆)
● Se o discriminante for maior que zero obteremos duas raízes reais;(∆ > 0)
● Se o discriminantes for igual à zero obtemos apenas uma única raiz(∆ = 0)
real;
● Se o discriminante for menor que zero não haverá raízes reais.(∆ < 0)
1.6.1.6 Funções do segundo grau e seus gráficos
Uma função do segundo grau (também conhecida como função quadrática) é
uma função polinomial de grau 2 da forma , onde e são𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎, 𝑏 𝑐
constantes reais e . Você estudante pode observar que o gráfico de toda função𝑎 ≠ 0
do segundo grau é uma parábola de concavidade para cima ou para baixo, porque é
derivado do gráfico da função por uma sequência de translações, reflexões,𝑓(𝑥) = 𝑥2
“esticamentos” e “encolhimentos”.
Figura 5: O gráfico de mostrado com (a) e (b)𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) =− (1/2)𝑥2 + 3
.ℎ(𝑥) = 3(𝑥 + 2) 2 − 1
Fonte: adaptado de Bonafini (2012, p. 75).
O gráfico de , com , é uma parábola com concavidade para𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 𝑎 > 0
cima. Quando , o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo.𝑎 < 0
Independentemente do sinal de , o eixo vertical é a reta de simetria para o gráfico de𝑎 𝑦
. A reta de simetria para uma parábola é seu eixo de simetria. O ponto sobre𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
a parábola que cruza seu eixo de simetria é o vértice da parábola. Pelo fato de uma
função do segundo grau ser sempre uma parábola com concavidade para cima ou para
baixo, seu vértice é sempre o ponto mais baixo ou o ponto mais alto da parábola. O
vértice de é sempre a origem, como pode ser visto na Figura 6.𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
Figura 6: O gráfico de para a(a) e (b) .𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 𝑎 > 0 𝑎 < 0
Fonte: adaptado de Bonafini (2012, p. 75).
Expandindo e comparando os coeficientes resultantes𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ) 2 + 𝑘
com a forma quadrática padrão , onde os expoentes de são𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑥
organizados em ordem decrescente, obtendo assim a fórmula para e .ℎ 𝑘
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ) 2 + 𝑘
= 𝑎(𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2) + 𝑘
= 𝑎𝑥2 + (− 2𝑎ℎ)𝑥 + (𝑎ℎ2 + 𝑘)
= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Como e na última linha desenvolvida anteriormente, você𝑏 =− 2𝑎ℎ 𝑐 = 𝑎ℎ2+𝑘
estudante tem e . Usando essas fórmulas, qualquer funçãoℎ = − 𝑏/2𝑎 𝑘 = 𝑐 − 𝑎ℎ2
do segundo grau pode ser reescrita na forma𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ) 2 + 𝑘
Essa é a forma canônica para uma função do segundo grau, o que torna fácil a
identificação do vértice e o eixo de simetria do gráfico da função.
O valor de também é conhecido como .𝑘 −(𝑏
2+4𝑎𝑐)
2𝑎
Fonte: Bonafini (2012, p. 74).
1.6.1.7 Funções polinomiais
Acadêmico(a) uma função polinomial de grau zero é função constante e o
gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo . Uma função polinomial de grau 1 é𝑥
uma função do primeiro grau, seu gráfico é uma reta inclinada. Uma função polinomial
de grau 2 é uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola. Considere agora
funções polinomiais de graus mais altos. Estas incluem as funções cúbicas (polinomiais
de grau 3) e funções quárticas (polinomiais de grau 4). Já vimos que uma função
polinomial de grau pode ser escrita na forma𝑛
, com .𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑛 
𝑥𝑛 + 𝑎
𝑛−1 
𝑥𝑛−1 + ... + 𝑎
2 
𝑥2 + 𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
 𝑎
𝑛
≠ 0
Abaixo você estudante pode ver algumas definições importantes associadas às
funções polinomiais e a essa equação.
Definição: O vocabulário dos polinômios
Cada monômio na soma é um termo do polinômio.(𝑎
𝑛
𝑥𝑛 + 𝑎
𝑛−1
𝑥𝑛−1, ..., 𝑎
0
)
Uma função polinomial escrita nessa forma, com termos apresentado graus
descendentes, está na forma-padrão.
As constantes são os coeficientes do polinômio.𝑎
𝑛
, 𝑎
𝑛−1
, ..., 𝑎
0
O termo é o termo principal e é o termo constante.𝑎
𝑛
𝑥𝑛 𝑎
0
Toda função polinomial está definida e é contínua para todos os números reais.
Além de os gráficos serem sem quebra, pulo nem buraco, eles também não têm
“bicos”. Gráficos típicos de funções cúbicas e quárticas são demonstrados nas figuras 6
e 7.
Imagine retas horizontais passando através dos gráficos nas figuras 7 e 8, como
se fosse o eixo horizontal . Cada intersecção corresponde a uma raiz da função.𝑥
Podemos concluir que funções cúbicas têm, no máximo, três raízes, e as funções
quárticas têm, no máximo, quatro raízes. As funções cúbicas apresentam, no máximo,
dois extremos locais, e as funções quárticas, três extremos locais. Essas observações
generalizam o resultado.
Figura 7: Gráfico de quatro funções cúbicas típicas: (a) dois com coeficientes principal positivo
e (b) com coeficiente principal negativo
Fonte: adaptado de Bonafini (2012, p. 83).
Figura 8: Gráficos de quatro funções quárticas típicas: (a) dois com coeficiente principal
positivo e (b) dois com coeficiente principal negativo
Fonte: adaptado de Bonafini (2012, p. 83).
1.6.1.8 Raízes das funções polinomiais
Encontrar as raízes de uma função é equivalente a encontrar os valores de𝑓 𝑥
por onde o gráfico de passa no eixo horizontal , que são as soluções da𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥
equação . Uma ideia é fatorar a função polinomial.𝑓(𝑥) = 0
Se uma função polinomial é apresentadana forma fatorada, cada fator𝑓 
corresponde a uma raiz , e se é um número real, então o par ordenado(𝑥 − 𝑘) 𝑥 = 𝑘 𝑘
é um ponto por onde o gráfico passa no eixo horizontal .(𝑘, 0) 𝑥
Quando o fator é repetido, como na função , você𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2) 3(𝑥 − 1) 2
pode considerar que a função polinomial tem uma raiz repetida. A função tem duas𝑓 
raízes repetidas. O fato ocorre três vezes, então é uma raiz de multiplicidade .𝑥 − 2 2 3
De maneira similar, é uma raiz de multiplicidade . A definição seguinte generaliza− 1 2
esse conceito.
Definição: Multiplicidade de uma raiz de uma função polinomial.
Se é uma função polinomial e é um fato de , mas não𝑓 (𝑥 − 𝑐) 𝑚 𝑓 (𝑥 − 𝑐) 𝑚−1
é., então é uma raiz de multiplicidade de .𝑐 𝑚 𝑓
Uma raiz de multiplicidade é uma raiz repetida. Observe na Figura 9 que𝑚 ≥ 2
o gráfico de encosta no eixo horizontal no par ordenado𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2) 3(𝑥 + 1) 2 𝑥
e cruza o mesmo eixo no par ordenado . Isso também pode ser(− 1, 0) (2, 0)
generalizado.
Figura 9: O gráfico de .𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2) 3(𝑥 + 1) 2
Fonte: adaptado de Bonafini (2012, p. 85).
Fonte: Bonafini (2012, p. 85).
SAIBA MAIS
Você sabia que a autoria das funções polinomiais de 1 a 4 grau é incerta?
Os italianos Ciccolò Tartaglia e Girolamo Cardano disputam o posto. Tartaglia
ganhou uma competição para resolver as equações cúbicas. Cardano publicou primeiro
a solução, mesmo tendo jurado que não faria isso. Pobre, Tartaglia - que significa gago
em italiano - ficou gago por um golpe de um soldado francês em seu rosto. Como não
conhecia seu nome pela família paterna, decidiu adotar o nome que o destino lhe dera.
Fonte: Bonafini (2012, p. 87).
#SAIBA MAIS#
1.6.1.9 Função exponencial
É dito que uma função é exponencial, quando ela é escrita como:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
Onde é um número constante e diferente de zero e a principal característica dessa𝑎
função é que a parte variável, representada por , se encontra no expoente.𝑥
Para calcular o valor da função exponencial para um valor determinado𝑎 𝑥
eleva-se a base ao expoente e multiplica-se a base por ela mesma o valor do𝑎 𝑥
expoente considerado.
Exemplo: Considere a função:
𝑓(𝑥) = 2𝑥
sendo determine o valor da função nessa condição.𝑥 = 5
Nessa condição teremos:
𝑓(5) = 25
𝑓(5) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
𝑓(5) = 32
Um problema comum é que em algumas situações é conhecido o valor da
função e da base, mas não é conhecido o seu expoente. Nessa situação deve-se
reescrever o valor encontrado com a base correspondente, a fim de determinar o valor
do expoente.
1.6.1.10 Gráficos de funções exponenciais
Estudante você pode perceber que as funções e envolvem𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) = 2𝑥
uma base e uma potência, porém com características diferentes.
● Para , a base é a variável e o expoente é a constante ; é tanto𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑥 2 𝑓
uma função potência como uma função monomial conhecida.
● Para , a base é a constante e o expoente é a variável ; é uma𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 𝑥 𝑔
função exponencial. Veja a Figura 9.
Figura 10: Esboço de 𝑔(𝑥) = 2𝑥
Fonte: adaptado de Bonafini (2012, p. 88).
A definição das funções exponenciais é: sejam e constantes reais, uma𝑎 𝑏
função exponencial em é uma função que pode ser escrita na forma𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑎 . 𝑏𝑥
onde é diferente de zero, é positivo e . A constante é o valor de quando𝑎 𝑏 𝑏 ≠ 1 𝑎 𝑓
e é a base.𝑎𝑥 = 0 𝑏
Para conhecer uma função exponencial caro(a) estudante você precisa
conhecer suas características. Funções exponenciais estão definidas e são contínuas
para todos os números reais.
Não existe propriedade de potenciação para expressar o valor de uma função
exponencial quando o expoente é . Por exemplo, se , então𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑓(𝑥) = 2𝑥
, porém você estudante sabe que o significa? O que pode-se fazer são𝑓(π) = 2π 2π
apenas aproximações, como mostra a Tabela 1:
Tabela 1: Valores de para números racionais aproximando por .𝑓(𝑥) = 2𝑥 π 3, 14159265
𝑥 3 3,1 3,14 3,141 3,1415 3,14159
2𝑥 8 8,5... 8,81... 8,821... 8,8244... 8,82496...
Fonte: A autora (2021)
Tabela 2: Valores para uma função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 . 𝑏𝑥
Fonte: adaptado de Bonafini (2012, p. 91).
Na tabela 2 vemos que, quando cresce uma unidade, o valor da função é𝑥
multiplicado pela base . Essa relação acarreta a seguinte fórmula recursiva.𝑏
Fonte: Bonafini (2012, p. 92).
1.6.1.11 A base da função dada pelo número 𝑒
A função é uma função de crescimento exponencial. Vamos fazer um𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
resumo também para essa função exponencial.
Fonte: Bonafini (2012, p. 94).
Como é crescente, então é uma função de crescimento exponencial;𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
logo . Mas o que é o número ?𝑒 > 1 𝑒
A letra é a inicial do último nome de Leonhard Euler (1707-1783), que foi quem𝑒
introduziu a notação. Como tem propriedades especiais de cálculo que𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
simplificam muitas contas, então é a base natural da função exponencial, que é𝑒
chamada de função exponencial natural, vide Figura 11.
Figura 11: O gráfico de .𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
Fonte: adaptado de Bonafini (2012, p. 94).
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado(a) acadêmico(a),
Chegamos ao final da Unidade II, no qual estudamos brevemente sobre:
Conceito e definição de função. Notação de função. Domínio de uma função. Tipos de
função: simetria, função par, função ímpar, crescimento de uma função. Classificação
das funções: função injetora, função sobrejetora, função bijetora, função composta,
função inversa. Funções de primeiro e segundo graus: função polinomial do primeiro
grau, raiz de uma função do primeiro grau, funções do primeiro grau e seus gráficos,
função polinomial do segundo grau, raízes de uma função do segundo grau, funções do
segundo grau e seus gráficos, funções polinomiais, raízes das funções polinomiais,
função exponencial, gráficos de funções exponenciais, base da função dada pelo
número .𝑒
Assim, convidamos você, estudante, a consultar as indicações de leitura
complementar, filmes e as referências, de modo a aprofundar seu conhecimento.
Boa leitura!
LEITURA COMPLEMENTAR
Acadêmico(a) para complementar seu estudo sobre funções, consulte as fontes
indicadas a seguir.
● MUNDO EDUCAÇÃO. Função. Disponível em:
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/funcao.htm Acesso em: 05 de
agosto de 2021.
● MARQUES, G. da C.Fundamentos de Matemática I.Funções. Disponível em:
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_02.pdf Acesso em: 05 de
agosto de 2021.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/funcao.htm
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_02.pdf
LIVRO
• Título.
Funções
• Autor.
Heliana Cloccia Campiteli e Vicente Coney Campiteli
• Editora.
• Sinopse .
Destinado a professores de matemática do ensino fundamental e médio, este livro
aborda o conceito de função, um dos temas mais centrais da matemática, destacando
a importância da utilização de recursos significativos, obtidos através de episódios da
história da matemática, de fatos do dia-a-dia e de objetos concretos, como ferramentas
pedagógicas.
FILME/VÍDEO
• Título.
Uma Mente Brilhante (A Beautiful Mind)
• Ano.
• Sinopse.
O filme conta a história do matemático norte-americano John Nash (1928-2015). Na
constante busca por uma “ideia original”, Nash transforma seus estudos na
Universidade de Princeton em obsessão, causando problemas de relacionamento. Sua
incrível capacidade de decifrar códigos e padrões acaba lhe rendendo um emprego no
governo norte-americano. Aos 21 anos, formulou um teorema que provou sua
genialidade, tornando- aclamado. Mas, acometido pela esquizofrenia, se transforma em
um homem sofrido e atormentado. Após anos de luta para se recuperar, ele consegue
retornar à sociedade e acaba sendo premiado com o Nobel.
• Link do vídeo (se houver).
WEB
• Funções: Noções Básicas (Aula 1 de 15). Aula inicial sobre o assunto funções. Uma
noção básica sobre o assunto, sem perder o foco no aprofundamento.
• Link do site.
https://www.youtube.com/watch?v=SPZqQ5qn3P0
https://www.youtube.com/watch?v=SPZqQ5qn3P0REFERÊNCIAS
BONAFINI, F. C. (Org.). Matemática. 2 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil,
2019. https://plataforma.bvirtual.com.br/
KIRILOV, A. Introdução a Teoria de Conjuntos - para estudantes que estão
ingressando na Matemática. 14 de novembro de 2017. Disponível em:
file:///C:/Users/agele/Downloads/itc01-UFPR-2017.pdf Acesso em: 03 de agosto de
2021.
OLIVEIRA, C. A. M. de. Matemática. Curitiba: Editora InterSaberes, 2016. (Coleção
EJA: Cidadania Competente, v.6). [Livro eletrônico]. https://plataforma.bvirtual.com.br/
SHIGUEKIYO, C. T. Enciclopédia do estudante: matemática I. São Paulo: Moderna,
2008.
UNIDADE III
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Professora Genilda de Lourdes Maurício Guimarães
Professora Vanice Vieira Fernandes
Plano de Estudo:
• Potenciação e propriedades;
• Produto de potenciação: produto de potência de bases iguais, Potência de uma
potência, potência de um produto, quociente de potência de bases iguais, potência com
expoente negativo, potência de um quociente;
• Equações e Inequações Exponenciais: equação exponencial, inequação exponencial.
• Logaritmo;
• Propriedades de logaritmos: logaritmo do produto, logaritmo do quociente, logaritmo
de potência, mudança de base de logaritmo;
• Equações logarítmicas;
• Inequações logarítmicas.
Objetivos de Aprendizagem:
• Estudar os seguintes conteúdos: potenciação e suas propriedades, equações e
inequações exponenciais, definição de logaritmo, propriedades de logaritmos e
equações logarítmicas, inequações logarítmicas.
INTRODUÇÃO
Prezado(a) acadêmico(a)!
Seja bem-vindo(a) à Unidade III da disciplina de Introdução à Matemática,
para o curso de Licenciatura em Matemática. Nesta primeira unidade, intitulada
"Equações Exponenciais e Logarítmicas", estudaremos os seguintes itens: Potenciação
e propriedades. Produto de potenciação: produto de potência de bases iguais, Potência
de uma potência, potência de um produto, quociente de potência de bases iguais,
potência com expoente negativo, potência de um quociente. Equações e Inequações
Exponenciais: equação exponencial, inequação exponencial. Logaritmo. Propriedades
de logaritmos: logaritmo do produto, logaritmo do quociente, logaritmo de potência,
mudança de base de logaritmo. Equações logarítmicas. Inequações logarítmicas.
Espero que estes textos colaborem para a sua melhor compreensão sobre o
tema de nossa primeira unidade.
Boa leitura!
1 POTENCIAÇÃO E PROPRIEDADES
A potenciação também pode ser chamada de exponenciação, e é a
representação da multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo, ou seja, é a
multiplicação de fatores iguais.
É possível escrever a definição de potenciação da seguinte maneira: Seja o
número pertencente ao conjunto dos números reais e o número pertencente ao𝑎 𝑛
conjunto dos números naturais, tal que elevado a é igual ao número multiplicado𝑎 𝑛 𝑎
por ele mesmo vezes:𝑛
e𝑎 ∈ ℜ 𝑛 ∈ ℵ
𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. ...
vezes𝑛
Chamamos o número , que é o número multiplicado por ele mesmo, de𝑎
base. Chamamos o número , que é o número de vezes que a base é multiplicada, de𝑛
expoente. O resultado da multiplicação será a potência.
1.1 Produto de potenciação
1.1.1 Produto de potência de bases iguais:
𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Essa propriedade indica que quando temos a multiplicação de potências com a
mesma base, deve-se manter a base e somar os expoentes.
1.1.2 Potência de uma potência:
(𝑎𝑚) 𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛
Essa propriedade indica que, quando temos a potência de uma potência, a base
permanece e os expoentes são multiplicados.
1.1.3 Potência de um produto:
(𝑎 . 𝑏) 𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛
A terceira propriedade indica que podemos transformar a potência do produto
em um produto de potências.
1.1.4 Quociente de potência de bases iguais:
,𝑎
𝑚
𝑎
𝑛 = 𝑎
𝑚−𝑛 𝑎 ≠ 0
Quando temos o quociente de potência de bases iguais, devemos manter a base
e subtrair os expoentes.
1.1.5 Potência com expoente negativo:
,𝑎−𝑛 = 1𝑎( ) 𝑛 𝑎 ≠ 0
Essa propriedade indica que, quando o expoente da potência é negativo,
trocamos o lugar entre o numerador e o denominador da base e o expoente torna-se
positivo.
1.1.6 Potência de um quociente:
,𝑎𝑏( ) 𝑛 = 𝑎
𝑛
𝑏𝑛
𝑏 ≠ 0
A última propriedade apresentada indica que, para a potência de um quociente,
deve-se transformá-la em um quociente de potências.
1.2 Equações e Inequações Exponenciais
1.2.1 Equação exponencial
Toda equação que apresenta a incógnita no expoente é denominada de equação
exponencial. Ela deve ter a base maior do que zero e esta base deve ser diferente de
1.
Veja os exemplos abaixo:
2𝑥+3 = 8 4𝑥 = 64
Para resolver uma equação exponencial podemos transformar a igualdade dada
em potências de bases iguais, e assim trabalhamos apenas com os expoentes,
"simplificando" as bases dos dois lados da igualdade:
𝑎𝑥 = 𝑎𝑦
𝑥 = 𝑦
Veja o exemplo:
2𝑥+3 = 8
2𝑥+3 = 23
𝑥 + 3 = 3
𝑥 + 3 − 3 = 3 − 3
𝑥 = 0
CASO HIPOTÉTICO
Vamos pensar neste caso hipotético para entendermos a equação exponencial:
Fonte: adaptado de Elias; et.al. (2020, p. 62).
Resolução:
1 000 . 2𝑡 = 512 000
2𝑡 = 512 0001 000
2𝑡 = 512
2𝑡 = 29
𝑡 = 9
Desse modo, podemos concluir que se passaram 9 horas para que a cultura
tenha atingido o número de bactérias.512 000
Estudante, algumas equações exponenciais demandam o uso de propriedades
de potência antes da fatoração. Observe:
2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 384
Para resolvermos essa equação adotar algumas propriedades de potências.
Estudante, a multiplicação de potências de mesma base resulta na soma de expoentes.
Assim, podemos transformar as somas dos expoentes em multiplicações de potências:
2𝑥+2 = 2𝑥 . 22
2𝑥+3 = 2𝑥 . 23
Se fizermos a substituição na equação original, teremos:
2𝑥 . 22 + 2𝑥. 23 = 384
O próximo passo é colocarmos o fator comum em evidência e resolver a
equação:
2𝑥. (22 + 23) = 384
2𝑥. (4 + 8) = 384
2𝑥. 12 = 384
2𝑥 = 38412
2𝑥 = 32
2𝑥 = 25
𝑥 = 5
Caso a equação apresente subtração no expoente, é possível utilizarmos a
propriedade de quociente de potência de bases iguais. Vejamos o exemplo a seguir:
Fonte: adaptado de Elias et al. (2020, p. 64).
1.2.2 Inequação exponencial
Toda inequação que apresenta a incógnita no expoente é denominada de
inequação exponencial. Vale lembrar que as inequações são desigualdades, e auxiliam
a determinar um intervalo, de maneira que uma desigualdade dada seja válida, como
no exemplo abaixo:
𝑥2 < 35
A inequação apresentada acima não é exponencial porque não apresentou
incógnita no expoente. Vejamos outro exemplo, agora de uma inequação exponencial:
2𝑥+4 > 8
2𝑥+4 > 23
𝑥 + 4 > 3
𝑥 + 4 − 4 > 3 − 4
𝑥 > − 1
Ao analisarmos a reta dos números reais, a resolução desta inequação fica à
direita do número :− 1
Fonte: Adaptado de Elias, Rocha e Nesi (2020, p. 19).
Para resolver uma inequação exponencial é preciso levar em consideração sua
base. São duas situações:
1. 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦 → 𝑥 > 𝑦 (𝑠𝑒 𝑎 > 1)
Quando a base for maior do que , o sinal se mantém ao simplificar as bases,1
como no exemplo dado anteriormente.
2. 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦 → 𝑥 < 𝑦 (𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1)
Quando as bases iguais estiverem entre zero e , ao simplificar essas bases, o1
sinal inverte, como no exemplo abaixo:
 12( ) (𝑥−1) ≥ 12( ) 2 
Perceba que , ou seja, está entre zero e . Sendo assim, o sinal12 = 0, 5 1
precisa ser invertido ao simplificarmos as bases:
𝑥 − 1 ≤ 2
𝑥 − 1 + 1 ≤ 2 + 1
𝑥 ≤ 3
3 LOGARITMO
Nem sempre tivemos calculadoras e todos os outros recursos tecnológicos que
nos auxiliam em cálculos variados. Antigamente, desenvolver longos cálculos com
multiplicação e divisão eram tarefas complexas, até mesmo, para grandes
matemáticos. Vários cientistas estudaram métodos que pudessem simplificar tais
cálculos e, assim, no ano de 1614, John Napier (1550-1617) elaborou a primeira tábua
de logaritmos.
Figura 1: Tábua de logaritmos
Fonte: adaptado de Elias et al. (2020, p. 67).
Napier percebeu que poderia simplificar determinadoscálculos ao transformar
multiplicações em somas e divisões em subtrações por meio das propriedades de
potenciação.
Por exemplo, suponha que você, estudante, deseje calcular . Ao substituir32 . 64
esses números e utilizar a propriedade da multiplicação de potências de mesma base,
você obteria: .25. 26 = 211
Caso você, estudante, saiba o valor de , não terá êxito no cálculo do produto,211
mas, se houvesse uma tabela com os resultados de potências, saberia o valor de
. Foram tabelas como essa que auxiliaram os matemáticos durante anos em32 . 64
cálculos de multiplicação e divisão com números com muitos algarismos.
Basicamente, nesse raciocínio, há a substituição de um número considerado de
difícil resolução por uma potência. Para isso, escolhia-se uma base e encontrava-se o
expoente apropriado. Assim, para substituir o número do nosso exemplo, primeiro32
era determinada a base a ser utilizada e, em seguida, o expoente que validaria a
substituição. A esse procedimento, foi dado o nome de logaritmo .(𝑙𝑜𝑔)
O logaritmo de na base , então, é o número , já que deve ser o expoente32 2 5 5 
de para o resultado ser , ou seja: .2 32 𝑙𝑜𝑔
2
32 = 5
A operação inversa à potenciação é denominada logaritmo. Podemos escrever
a definição de logaritmo da seguinte maneira:
para e positivos e para .𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔
𝑎 
𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 ≠ 1
Temos que: é a base do logaritmo, é o logaritmando, e é o logaritmo. O uso𝑎 𝑏 𝑥
de logaritmo auxilia a resolver equações ou inequações exponenciais cujas bases são
diferentes, e quando não conseguimos transformá-las de maneira que fiquem iguais.
Como a seguinte equação:
2𝑥 = 3
Para uma maior compreensão em relação ao conteúdo de logaritmo, vemos um
exemplo abaixo:
𝑙𝑜𝑔
625
5 = 𝑥
625𝑥 = 5
54( ) 𝑥 = 5
1
2
54𝑥 = 5
1
2
4𝑥 = 12
4𝑥. 14 =
1
2 . 
1
4
𝑥 = 18
SAIBA MAIS
Em homenagem a Napier, foi dado o nome de ao log de base𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 
. Também conhecido como , tem como base o𝑒 (𝑙𝑜𝑔
𝑒
𝑏 = 𝑙𝑛𝑏) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
número irracional 𝑒 = 2, 71828...
#SAIBA MAIS#
3.1 Propriedades de Logaritmos
Agora, vamos conhecer as propriedades dos logaritmos que são capazes de
auxiliar na resolução de exercícios que envolvam .𝑙𝑜𝑔
3.1.1 Logaritmo do produto
Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos será
igual a soma do logaritmo de cada um destes números, ou seja:
𝑙𝑜𝑔
𝑐
(𝑎. 𝑏) = 𝑙𝑜𝑔
𝑐
𝑎 + 𝑙𝑜𝑔
𝑐
𝑏
Para e e para e .𝑐 > 0 𝑐 ≠ 1 𝑎 > 0 𝑏 > 0
3.1.2 Logaritmo do quociente
Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos será
igual a diferença entre o logaritmo de cada um destes números, ou seja:
𝑙𝑜𝑔
𝑑
𝑚
𝑛( ) = 𝑙𝑜𝑔𝑑𝑚 − 𝑙𝑜𝑔𝑑𝑛
Para e e para e .𝑑 > 0 𝑑 ≠ 1 𝑚 > 0 𝑛 > 0
3.1.3 Logaritmo de potência
Um logaritmo para o qual o seu logaritmando é uma potência, pode ser reescrito
de maneira que o expoente do logaritmando passe a multiplicar o logaritmo dado, sem
o expoente, ou seja:
𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑏𝑛 = 𝑛. 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑏
Para e e para .𝑎 > 0 𝑎 ≠ 1 𝑏 > 0
Para utilizar as propriedades logarítmicas dadas acima, é preciso que os
logaritmos estejam em uma mesma base; contudo, existem situações nas quais
encontramos logaritmos com bases diferentes. Para trabalhar com estes logaritmos,
precisamos primeiramente transformá-los de maneira que suas bases fiquem iguais.
Para isso, fazemos um processo de mudança de base.
3.1.4 Mudança de base de logaritmo
Sejam os números reais , e positivos e e , temos:𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 ≠ 1 𝑐 ≠ 1
𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑏 =
𝑙𝑜𝑔
𝑐
𝑏
𝑙𝑜𝑔
𝑐
𝑎
Exemplos:
1. Expresse na base o logaritmo dado:5
𝑙𝑜𝑔
3
7 =
𝑙𝑜𝑔
5
7
𝑙𝑜𝑔
5
3
2. Calcule sabendo que e :𝑙𝑜𝑔
15
5 𝑙𝑜𝑔
45
3 = 𝑎 𝑙𝑜𝑔
45
5 = 𝑐
𝑙𝑜𝑔
15
5 = 
𝑙𝑜𝑔
45
5
𝑙𝑜𝑔
45
15 = 
𝑐
𝑙𝑜𝑔
45
(3.5) =
𝑐
𝑙𝑜𝑔
45
3+𝑙𝑜𝑔
45
5 = 
𝑐
𝑎+𝑐
3.2 Equações Logarítmicas
Uma equação que tenha a variável no logaritmo, seja na base do logaritmo, seja
no logaritmando, ou nos dois, será chamada de equação logarítmica. Para resolver
esse tipo de equação, podemos utilizar as propriedades apresentadas anteriormente,
bem como a definição.
Vejamos algumas formas com que se apresentam essas equações:
1. Se tivermos uma equação na qual a igualdade for logaritmos de bases iguais,
podemos simplificá-la, igualando somente o logaritmando, ou seja:
𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑏 = 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑐
𝑏 = 𝑐
É preciso verificar se a condição de existência do logaritmo é atendida.
Lembramos que a base deve ser maior do que zero e diferente de , e lembrando1
especialmente que o logaritmando deve ser maior do que zero.
2. Se tivermos uma equação na qual a igualdade for entre um logaritmo e um
número real, aplicamos a definição de logaritmo e resolvermos a equação, ou
seja:
𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑏 = 𝑥 → 𝑎𝑥 = 𝑏
3. Em algumas equações podemos substituir o logaritmo presente por uma
variável, para resolvê-las. Veja o exemplo abaixo:
3. 𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 + 𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 = 8
Por substituição tomamos e aplicamos na equação acima:𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 = 𝑦
3. 𝑦 + 𝑦 = 8
4𝑦 = 8
𝑦 = 84
𝑦 = 2
Como , temos que:𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 = 𝑦
𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 = 2
Pela definição:
32 = 𝑥
9 = 𝑥
SAIBA MAIS
Como vimos, o logaritmo pode ser utilizado para resolver equações
exponenciais que não podem ser colocadas na mesma base: .2𝑥 = 3
Para resolver essa equação, precisamos conhecer o valor de alguns logaritmos
e aplicar suas propriedades:
𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 𝑙𝑜𝑔3
𝑥. 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔3
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔3𝑙𝑜𝑔2
Nesse caso, utilizaríamos o valor do logaritmo de e do logaritmo de para3 2
determinar o valor de .𝑥
Vejamos, estudante, outra aplicação do conteúdo de nossa unidade.
Determinados estudos indicam que a temperatura de um produto que acabou de sair
do forno precisa reduzir para para que ele possa ser tocado pelas mãos65º 𝐶
humanas, sem que aconteçam queimaduras. A temperatura de um bolo de cenoura,
por exemplo, é dada pela expressão: .𝑇 = 200. 2−0,8𝑡 + 25
Nessa expressão, representa a temperatura e o tempo transcorrido, em𝑇 𝑡
minutos, após a retirada do bolo do forno. Dado , qual o tempo necessário𝑙𝑜𝑔 2 = 0, 30
para que possa segurar um pedaço desse bolo, sem se queimar?
Nesse caso, teremos o valor de .𝑇 = 65º 𝐶 
Logo:
65 = 200. 2−0,8𝑡 + 25
40 = 200. 2−0,8𝑡
40
200 = 2
−0,8𝑡
1
5 = 2
−0,8𝑡
5−1 = 2−0,8𝑡
Nesse momento, podemos utilizar logaritmo:
𝑙𝑜𝑔5−1 = 𝑙𝑜𝑔2−0,8𝑡
− 1. 𝑙𝑜𝑔5 = − 8, 8𝑡. 𝑙𝑜𝑔2
− 1. 𝑙𝑜𝑔2 102 = − 0, 8𝑡. 𝑙𝑜𝑔2
− 1. (𝑙𝑜𝑔10 − 𝑙𝑜𝑔2) = − 0, 8𝑡. 𝑙𝑜𝑔2
− 1. (1 − 0, 30) = − 0, 8𝑡. 0, 30
− 0, 70 = − 0, 24𝑡
0,70
0,24 = 𝑡
𝑡 ≅2, 917 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ≅ 2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒 55 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Fonte: Elias, Rocha e Nesi (2020).
#SAIBA MAIS#
3.3 Inequações Logarítmicas
As inequações têm incógnitas envolvidas com logaritmo são chamadas de
inequações logarítmicas. Observe alguns exemplos:
(a)𝑙𝑜𝑔
3
𝑥 > 10
(b) 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 5) < 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 2
(c) 𝑙𝑜𝑔
0,7
𝑥 > 12
Assim como procedemos de modo diferente conforme a base das inequações
exponenciais, nas inequações logarítmicas devemos observar os valores das bases
para definirmos se manteremos ou invertemos o sinal da desigualdade.
𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑥 > 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑦 → 𝑥 > 𝑦 (𝑠𝑒 𝑎 > 1)
Quando a base for maior que , o sinal se mantém.1
𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑥 > 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑦 → 𝑥 < 𝑦 (𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1)
Quando as bases iguais estiverem entre e , o sinal inverte-se.0 1
Além disso, devemos verificar a condição de existência de ao resolver𝑙𝑜𝑔
inequações. Veja este exemplo:
𝑙𝑜𝑔
0,1
(𝑥 − 5) > 𝑙𝑜𝑔
0,1
2
Devemos observar se base e logaritmando atendem às seguintes condições:
● A base é positiva e diferente de e está entre e .1 0 1
● O logaritmando é maior que .0
Ou seja, . Logo, .𝑥 − 5 > 0 𝑥 > 5
Com a base está entre e , devemos inverter o sinal da inequação:0 1
𝑥 − 5 < 2
𝑥 < 2 + 5
𝑥 < 7
Desse modo, temos duas condições para analisar: 1) condição de existência
e 2) inequação . Observe a Figura 2 a seguir.𝑥> 5 𝑥 > 7
Figura 2: Reta numérica com as condições da inequação logarítmica
Fonte: adaptado de Elias; et.al. (2020, p. 76).
Por fim, podemos perceber que, para satisfazer às duas condições ao mesmo
tempo, teremos um intervalo aberto, que vai de até , representado na Figura 3.5 7
Figura 3: Reta numérica com a solução da inequação logarítmica
Fonte: adaptado de Elias; et.al. (2020, p. 76).
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado(a) acadêmico(a),
Chegamos ao final da Unidade III, no qual estudamos brevemente sobre:
Potenciação e propriedades. Produto de potenciação: produto de potência de bases
iguais, Potência de uma potência, potência de um produto, quociente de potência de
bases iguais, potência com expoente negativo, potência de um quociente. Equações e
Inequações Exponenciais: equação exponencial, inequação exponencial. Logaritmo.
Propriedades de logaritmos: logaritmo do produto, logaritmo do quociente, logaritmo de
potência, mudança de base de logaritmo. Equações logarítmicas. Inequações
logarítmicas.
Os conteúdos desta unidade podem auxiliar em situações cotidianas, pois
encontramos crescimento e decrescimento exponencial em variados acontecimentos
do nosso dia a dia.
Assim, convidamos você, estudante, a consultar as indicações de leitura
complementar, filmes e as referências, de modo a aprofundar seu conhecimento.
Boa leitura!
LEITURA COMPLEMENTAR
Acadêmico(a), para complementar seu estudo sobre Equações Exponenciais e
Logarítmicas, consulte as fontes indicadas a seguir.
● GOUVEIA, R. Função Logarítmica. 2021. Disponível em:
https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/ Acesso em: 10 ago. 2021.
● TANAKA, H. S. Equação exponencial. 2021. Disponível em:
https://www.todoestudo.com.br/matematica/equacao-exponencial Acesso em: 10
ago. 2021.
● MARTINS, E. B.; PEREIRA, A. C. C.; FONSECA, P. H. S. Redescobrindo o
conceito de logaritmo por meio da construção da régua de cálculo linear. Revista
Eletrônica Debates em Educação Científica e Tecnológica, v.6,n.3,p.47-65,
Setembro, 2016.
https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/
https://www.todoestudo.com.br/matematica/equacao-exponencial
LIVRO
• Título.
Organizações exponenciais: Por que elas são 10 vezes melhores, mais rápidas e mais
baratas que a sua (e o que fazer a respeito).
• Autor.
Michael S. Malone (Autor), Salim Ismail (Autor), Yuri Van Geest (Autor), Gerson
Yamagami (Tradutor)
• Editora.
Alta Books
• Sinopse .
Bem-vindo à época das mudanças exponenciais, o melhor momento para se viver. É o
momento em que a concorrência não é mais a empresa multinacional no exterior, mas
o cara em uma garagem no Vale do Silício ou em Bandra (Mumbai), utilizando as mais
recentes ferramentas on-line para projetar e imprimir a partir da nuvem sua última
criação. Essas empresas estão cada vez mais rápidas, contam com pessoas cada vez
mais capazes de se reinventar a uma velocidade ímpar. São pessoas e empresas
extremamente criativas. Como aproveitar todo esse poder criativo? Como construir
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uma empresa que seja tão ágil, hábil e inovadora como as pessoas que farão parte
dela? Como competir nesse acelerado mundo novo? Como se organizar para
expandir? A resposta é a organização exponencial.
FILME/VÍDEO
• Título.
O Homem que Viu o Infinito
• Ano.
2015
• Sinopse.
Outra película baseada numa história real. Dessa vez o público conhece a vida do
matemático indiano Srinivasa Ramanujan (1887–1920), um dos mais influentes do
século XX. De origem humilde e sem formação acadêmica, ele contribuiu para a
matemática com diversos trabalhos, como teoria dos números e séries infinitas. O
filme mostra sua relação de amizade com Godfrey Harold Hardy e o conflito entre a
razão (matemática) e a crença de que suas teorias eram de origem divina
REFERÊNCIAS
ELIAS, A. P. de A. J.; et.al. Fundamentos de Matemática. Curitiba: InterSaberes,
2020.
ELIAS, A. P. de A. J.; ROCHA, F. S. M.; NESI, T. L. Fundamentos de matemática.
Curitiba: Contentus, 2020.
UNIDADE IV
PROGRESSÕES
Professora Genilda de Lourdes Maurício Guimarães
Professora Vanice Vieira Fernandes
Plano de Estudo:
• Progressões aritméticas (PA);
• Conceito e Classificação;
• Fórmula do termo geral de uma PA;
• Fórmula da soma dos termos de uma PA;
• Progressões geométricas (PG);
• Fórmula geral da PG;
• Fórmula da soma dos termos de uma PG finita;
• Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita;
• Diferença entre PA e PG.
Objetivos de Aprendizagem:
• Abordar os seguintes conteúdos: progressões aritméticas e progressões geométricas.
INTRODUÇÃO
Prezado(a) acadêmico(a).
Seja bem-vindo(a) à Unidade IV da disciplina de Introdução à Matemática,
para o curso de Licenciatura em Matemática. Nesta primeira unidade, intitulada
“Progressões”, abordaremos os seguintes itens: Progressões aritméticas (PA). Conceito
e Classificação. Fórmula do termo geral de uma PA Fórmula da soma dos termos de
uma PA. Progressões geométricas (PG). Fórmula geral da PG. Fórmula da soma dos
termos de uma PG finita. Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita. Diferença
entre PA e PG.
Espero que estes textos colaborem para a sua melhor compreensão sobre o
tema de nossa primeira unidade.
Boa leitura!
1 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA)
Progressões aritméticas (PA) é uma sequência de números onde a diferença
entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é
chamada de razão da PA.
Todos os dias deparamo-nos com situações do tipo:
● O juro da poupança neste ano será de 0,5% ao mês.
● A compra de certo bem material gera um carnê com 24 parcelas de R
$120,35.
No primeiro caso, o montante é encontrado multiplicando mês a mês o capital
por um valor fixo e, no segundo, o valor pago é o resultado da soma das parcelas
pagas.
Sequências ou sucessões são conjuntos, finitos ou não, cujos elementos são
dispostos entre parênteses e separados por vírgulas (ou ponto e vírgulas, quando
forem números decimais):
● (0, 1, 2, 3, 4)
● (− 2, 0, 8, − 19, − 1, 0, 2, 7)
● (1,1,1,1,1,....)
● (1,4,9,16,25,36,49)
Toda sequência pode ser escrita como , em que representa(𝑎
1
, 𝑎
2
, 𝑎
3
, ..., 𝑎
𝑛
, ...) 𝑎
o termo e é o índice, que indica a posição do termo, sempre contando da esquerda𝑛
para a direita.
Assim, considerando a sequência , então , é o mesmo que(1, 5, 9, 13, 17) 𝑎
2
+ 𝑎
5
; e , .5 + 17 = 22 𝑎
3
− 𝑎
4
9 − 13 = − 4
É possível encontrar uma sequência com base em uma fórmula geral. Por
exemplo, veja como os cinco primeiros termos da sequência ,𝑎
𝑛
= 5𝑛 + 1 𝑛 ⊂ ℵ *
foram encontradas:
𝑎
1
= 5 . 1 + 1 = 6
𝑎
2
= 5 . 2 + 1 = 11
𝑎
3
= 5 . 3 + 1 = 16
𝑎
4
= 5 . 4 + 1 = 21
𝑎
5
= 5 . 5 + 1 = 26
SAIBA MAIS
Sequências numéricas 241 Na Matemática, estudamos conjuntos numéricos
(conjuntos cujos elementos são números) quando os elementos desses conjuntos são
dispostos obedecendo a uma determinada regra, o que chamamos de sequência
numérica.
As sequências numéricas estão estreitamente associadas aos processos de
contagem e ao desenvolvimento dos sistemas de numeração. Toda sequência
numérica possui uma ordem para organização dos seus elementos, assim podemos
dizer que em qualquer sequência os elementos são dispostos da seguinte forma:
ou , onde é o primeiro elemento,(𝑎
1
, 𝑎
2
, 𝑎
3
, 𝑎
4
, ..., 𝑎
𝑛
, ...)