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190 Cálculo Numérico
e
V Ty =
 1 1 · · · 1
x1 x2 · · · xN


y1
y2
...
yN

=
 ∑N
j=1 yj∑N
j=1 xjyj
 = w. (7.19)
b) Sejam xi 6= xj duas abscissas diferentes. Então, a i-ésima e j-ésima linhas na
matriz V são linearmente independentes e, portanto, o posto de V é igual a 2.
Por fim, V TV é não singular, pois, se u é tal que V TV u = 0, então
0 = uTV TV u = (V u)T (V u) = (V u) · (V u)⇒ V u = 0. (7.20)
Agora, V u = 0 é uma combinação linear das linhas de V igual a zero, logo
u = 0, pois as linhas de V são linearmente independentes como mostrado
antes. Concluímos que se V TV u = 0, então u = 0, isto é, V TV é não singular.
♦
Exercícios
E 7.1.1. Sejam dados o conjunto de pontos {(0,23,−0,54), (−0,30,−0,54),
(0,04,−0,57)}. Encontre a função f(x) = a1 +a2x que melhor se ajusta no sentido
de mínimos quadrados aos pontos dados. Faça, então, um gráfico com os pontos e
o esboço da função ajustada.
E 7.1.2. Seja dado o conjunto de pontos {(−0,35, 0,2), (0,15,−0,5), (0,23, 0,54),
(0,35, 0,7)}. Encontre a função f(x) = a1 + a2x que melhor se ajusta no sentido
de mínimos quadrados aos pontos dados. Faça, então, um gráfico com os pontos e
o esboço da função ajustada.
E 7.1.3. Seja dado o conjunto de pontos {(−1,94, 1,02), (−1,44, 0,59), (0,93,−0,28),
(1,39,−1,04)}. Encontre a função f(x) = a1 +a2x que melhor se ajusta no sentido
de mínimos quadrados aos pontos dados. Então, responda cada item:
a) Encontre o valor de f(1).
b) Encontre o valor de f(0,93).
c) Encontre o valor de |f(0,93)− (−0,28)|.
d) Encontre o valor do resíduo R = ∑N
j=1(f(xj)− yj)2.
Forneça os valores calculados com 7 dígitos significativo por arredondamento.
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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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7.2. AJUSTE LINEAR GERAL 191
7.2 Ajuste linear geral
O problema geral de ajuste linear consiste em dada uma família F gerada
pelo conjunto de m funções {f1(x), f2(x), . . . , fm(x)} e um conjunto de n pares
ordenados {(x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn)}, calcular os coeficientes a1, a2, . . ., am
tais que a função dada por
f(x) =
m∑
j=1
ajfj(x) = a1f1(x) + a2f2(x) + . . .+ amfm(x) (7.21)
minimiza o resíduo
R =
n∑
i=1
[f(xi)− yi]2 . (7.22)
Aqui, a minimização é feita por todas as possíveis escolhas dos coeficientes a1, a2,
. . ., am.
Com o objetivo de tornar a desenvolvimento mais claro, vamos escrever R como
a soma dos resíduos parciais:
R =
n∑
i=1
Ri, onde Ri := [f(xi)− yi]2 . (7.23)
Do fato que f(xi) = ∑m
j=1 ajfj(xi), temos que cada resíduo pode ser escrito como
Ri =
 m∑
j=1
ajfj(xi)− yi
2
. (7.24)
A fim de encontrar o ponto de mínimo, resolvemos o sistema oriundo de igualar
a zero cada uma das derivadas parciais de R em relação aos m coeficientes aj, isto
é, devemos resolver:
∂R
∂a1
= 2
n∑
i=1
∂Ri
∂a1
= 2
n∑
i=1
 m∑
j=1
ajfj(xi)− yi
 f1(xi) = 0, (7.25)
∂R
∂a2
= 2
n∑
i=1
∂Ri
∂a2
= 2
n∑
i=1
 m∑
j=1
ajfj(xi)− yi
 f2(xi) = 0, (7.26)
... (7.27)
∂R
∂am
= 2
n∑
i=1
∂Ri
∂am
= 2
n∑
i=1
 m∑
j=1
ajfj(xi)− yi
 fm(xi) = 0. (7.28)
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