11 FIGURAS E SOMBRAS

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ATIVIDADE 11: FIGURAS E SOMBRAS. 
 
 
OBJETIVOS: Identificar experimentalmente, propriedades de 
 transformações de figuras que caracterizam a 
 afinidade e a projetividade. 
 
PARTE 1: SOL E LÂMPADA. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-11. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Entregue a cada aluno, com antecedência de pelo menos uma 
semana, a folha-tipo I-11, que contém um roteiro de observações. Marque o 
dia em que os alunos irão debater suas conclusões a respeito dessas 
experimentações. 
 
I) Com relação aos lápis, levante questões do tipo: 
- As sombras dos dois lápis, variaram em função de 
terem sido iluminadas pelo Sol ou pela lâmpada? 
- Houve mudanças em função do horário de observação, 
com relação à luz solar? 
- E qual foi a influência da posição da lâmpada? 
 Destaque que em ambos os casos, uma “reta” teve como 
sombra uma outra “reta”. Pergunte se isso sempre ocorre e indague o que 
acontece se colocarmos o lápis em frente a uma panela de aço inoxidável: a 
imagem refletida será sempre reta? Ou pode ser curva? 
 
 Em Matemática, essas “transformações”, em que retas se 
transformam em retas, são chamadas PROJETIVIDADE. 
 
II) Com relação a tela de arame, exposta ao Sol pergunte: 
- A forma e o tamanho da sombra variam de acordo 
com o horário em que a observação é feita? De que 
modo? 
- Foram observadas sombras retangulares? Em forma 
de paralelogramo? Em forma de losango? E em forma 
de trapézio? 
 Em todas as observações feitas à luz do Sol, deve-se 
 
evidenciar que retas paralelas na tela, continuam paralelas na sombra. Ao 
 
quadrado, sempre corresponderam sombras com lados paralelos dois a dois. 
 
 Além disso, se o lado de cada quadradinho corresponde a 1 do lado da tela, 
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essa proporção se repete na sombra. Também, se a área de cada quadrinho 
 
corresponde a 1 da área total da tela, o mesmo acontece quando comparamos 
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essas áreas na sombra. 
 No caso da posição b), ao meio dia, a sombra e a tela são 
praticamente idênticas. 
 III ) Com relação à tela exposta à luz de uma lâmpada, 
questione: 
 - A forma e o tamanho da sombra variaram em função 
 de quê? O que se observa quanto mais longe fica a 
 lâmpada da tela? 
 - Que tipos de sombras foram observadas? Eram 
 sempre paralelogramos? 
 
 Nas diferentes observações, os alunos deverão perceber que 
ao quadrado na tela não correspondem mais um paralelogramo, mas um 
quadrilátero qualquer ( trapézios ). Também não se mantém sempre a 
proporcionalidade de segmentos, nem de áreas. 
 
 
 
 
 É possível obter, com a luz da lâmpada, uma imagem num 
plano paralelo ao da tela, de modo que a imagem seja semelhante ao objeto. 
 
 
 
 
 
 
 Solicite aos alunos que comparem as imagens da tela nesta 
situação descrita acima e naquela em que a tela é exposta ao Sol ao meio-dia, 
na posição b). Não adiante ainda as denominações “congruências” e 
“semelhanças”, mas explore o que têm em comum e o que têm de diferente. 
 
 Essas transformações que observamos à luz da lâmpada, em 
que a única propriedade que se mantém sempre, é a de que, às 
PROJETIVIDADE. Já as transformações que, além disso, também conservam 
o paralelismo são chamadas “afinidade”. Assim, portanto, as afinidades são 
casos particulares das “projetividades”. Essas denominações não precisam ser 
dadas aos alunos, mas apenas basta observar propriedades. 
 
 
PARTE 2: TRIÂNGULOS, RETÂNGULOS E CÍRCULOS. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Arame para fabricação de figuras. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Solicite aos alunos que formem grupos de 3 elementos e que 
cada um construa, respectivamente, um triângulo eqüilátero, um retângulo e 
uma circunferência, de arame, que serão observados ao Sol, em diferentes 
horários. 
 Oriente os alunos para que desenhem as sombras, marquem 
pontos e façam medidas para responder às seguintes perguntas. 
 
 
 
 
 - A sombra do triângulo eqüilátero é sempre um triângulo 
 eqüilátero? 
 - A sombra de uma mediana qualquer do triângulo, continua 
 sendo mediana do “triângulo sombra”? 
 - Ao baricentro ( encontro das medianas ) do triângulo 
 podemos fazer corresponder ao baricentro do “triângulo 
 sombra”? 
 - A sombra do retângulo pode ser um trapézio? 
 - A sombra de uma diagonal do retângulo, o que 
 corresponde? 
 - E o que ocorre com a sombra do ponto de encontro das duas 
 diagonais do retângulo? 
 - O que acontece com a sombra do círculo? 
 - O que se pode associar ao centro do círculo, em sua 
 sombra? 
 
PARTE 3: PUXA E ESTICA. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Um pedaço de elástico de 5 cm de largura, 
 ou de borracha ( esticável ). 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Solicite a cada aluno que desenhe, com esferográfica no 
pedaço de elástico ou de borracha, uma figura como esta: 
 
 
 Em seguida, transformarão essa figura ( esticando em 
diferentes direções ) e farão o desenho do resultado, para observar as 
características da figura em cada transformação. 
 
 
 Dentre as transformações, eles deverão descobrir uma em que 
as medidas dos ângulos da figura, sejam preservadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para completar esta atividade, proponha à classe uma 
pesquisa sobre a vida e a obra de Tales de Mileto, cujas descobertas têm 
muito a ver com as sombras. 
 Se houver possibilidade, exiba o vídeo da série História da 
Matemática exibido pelo programa TV-Escola, na RTC. 
 
FOLHA-TIPO I-11 
Figuras e sombras. 
 
 1.- Coloque dois lápis e coloque-os 
na posição vertical, sobre uma tábua, usando 
 um pouco de cola para fixá-los: 
 Observe a sombra desses lápis: 
 a).- Sob a iluminação da luz do Sol, 
em diferentes horários, num dia de Sol 
( é claro! ) 
 b).- Sob a iluminação de uma lâmpada em diferentes distâncias da 
mesma e em diferentes localizações. 
 Anote os resultados de suas experimentações. Faça desenhos que as 
representem. 
 
 2.- Faça uma tela de arame ou 
madeira , formando figuras quadradas, como 
indica a figura. 
 
 a).- Observe a sombra dessa tela, sob a iluminação solar, nos 
seguintes casos, em diferentes horários, incluindo o meio-dia. 
 
 I )- A tela é apoiada sobre um de seus lados, perpendicularmente 
ao plano do chão: 
 
 II )- A tela é colocada paralelamente em relação ao plano do chão, 
a uma certa distância dele ( 20 cm, aproximadamente ): 
 
 
 
 
FOLHA-TIPO I-11a 
 
 
 
 
 III )- A tela é apoiada sobre um de seus vértices e a diagonal que 
parte desse vértice é perpendicular ao plano do chão. 
 
 
 
 
 b).- Observe a sombra dessa tela, sob a iluminação de uma 
lâmpada nos mesmos três casos do item a). 
 
 Anote os resultados de suas experimentações e faça desenhos 
que as representem.