Uma introdução às funções de variável complexa no ensino médio

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Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 46, p. 645-661, ago. 2013
Uma Introdução às Funções de Variável Complexa
no Ensino Médio: uma possibilidade através do uso
de animações interativas
An Introduction to Complex Variable Functions in High
School: a possibility through the use of interactive
animations
Larissa Weyh Monzon*
Maria Alice Gravina**
Resumo
Este artigo apresenta a concepção e a construção de produto educacional que trata de
números complexos e funções. Na concepção levou-se em consideração o importante
papel que tem os sistemas de representação semiótica no processo de aprendizagem da
matemática. A construção resultou em site web com coletânea de animações interativas
que fazem uso de sistemas dinâmicos de representação algébrica e geométrica. O produto
foi testado com turma de alunos do terceiro ano do ensino médio, e os resultados
obtidos mostram que com o apoio de ferramentas digitais de mediação semiótica é
possível não só introduzir novos conteúdos no programa da matemática escolar, mas
também novas propostas de ensino.
Palavras-chave: Números Complexos e Funções. Sistemas Dinâmicos de Representação
Semiótica. Registros Algébrico e Geométrico.
* Mestre em Ensino de Matemática, Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande
do Sul (UFRGS), Porto Alegre, RS, Brasil. Professora de matemática da Escola Municipal de Ensino
Fundamental Monteiro Lobato/Novo Hamburgo e Escola de Ensino Médio Nossa Senhora de Fátima/
Sapucaia do Sul. Endereço para correspondência: Rua Lopes Trovão, 333, Torre 1 apto 204, CEP:
93320-500, Novo Hamburgo, RS, Brasil. E-mail: tuquinha.monzon@gmail.com.
** Doutora em Informática na Educação, Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação
(UFRGS), Porto Alegre, RS, Brasil. Professora do Instituto de Matemática da UFRGS. Endereço para
correspondência: Av. Bento Gonçalves 9500, Prédio A, CEP: 91509-900, Porto Alegre, RS, Brasil.
E-mail: gravina@mat.ufrgs.br.
ISSN 0103-636X
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Abstract
This paper presents the design and construction of an educational material that focuses
on complex numbers and functions. The design of the material took into account the
important role of semiotic systems of representation in the process of learning
mathematics. The construction resulted in a web site with a collection of interactive
animations that make use of dynamical systems of algebraic and geometric representation.
The product was tested with a group of students in the third year of high school, and the
results show that, with the help of digital tools of semiotic mediation, it is possible not
only to introduce new mathematics subjects in school, but also new forms of teaching
and learning.
Keywords: Complex Numbers and Functions. Dynamic Systems of Semiotic
Representation. Algebraic and Geometric Registers.
1 Introdução
Dentre os conteúdos que fazem parte do programa da matemática escolar,
estão aqueles que podem ser trabalhados, de forma natural, em situações que os
tornam mais interessantes, tais como aquelas de caráter interdisciplinar ou de
resolução de problemas. Mas, há, também, conteúdos com um forte componente
abstrato, visto que as situações de aplicações estão além daquelas que podem
ser tratadas na matemática escolar. Dentre esses conteúdos, incluímos o assunto
números complexos.
No período de realização do Mestrado em Ensino de Matemática, a
primeira autora deste artigo, como professora de Ensino Médio, se colocou o
desafio de responder as perguntas: a) como tornar o estudo de números
complexos mais interessante para os alunos? b) como implementar um estudo
introdutório de funções de variável complexa no ensino médio, fazendo intensa
transição entre aspectos algébricos e geométricos? As perguntas foram
respondidas na dissertação Números complexos e funções de variável
complexa no Ensino Médio – uma proposta didática com o uso de objetos
de aprendizagem, apresentada no Programa de Pós Graduação em Ensino de
Matemática do Instituto de Matemática da UFRGS, em abril de 2012. Como
parte do trabalho da dissertação, foi construído o site Números Complexos, um
produto que contém animações interativas, tratando de representações de números
complexos, de operações com números complexos e de funções de variável
complexa, disponível em <http://www.ufrgs.br/espmat no link Biblioteca Virtual>.
O produto foi usado na experiência de ensino, em turma do terceiro ano do
Ensino Médio, que validou a proposta didática.
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Neste artigo, inicialmente, tratamos do importante papel que os sistemas
de representação (linguagem natural, signos e figuras) têm na aprendizagem da
matemática. Depois, apresentamos o produto Números Complexos com suas
diferentes animações interativas, e buscamos mostrar o quanto as manipulações
dinâmicas dos sistemas de representação podem ajudar no processo de
aprendizagem. Os resultados positivos da experiência realizada nos permitiram
validar o produto, e é assim que nos sentimos confiantes para fazer a sua
divulgação.
2 Os sistemas de representação e a aprendizagem da matemática
É de forma recorrente que encontramos na literatura pesquisas sobre o
importante papel dos sistemas de representação semiótica no processo de
aprendizagem da matemática1. Conforme Ernest (2006), sendo a semiótica o
estudo dos signos que participam em diferentes contextos das atividades humanas,
é natural considerar o processo de aprendizagem da matemática também sob
esta perspectiva. Ernest avança na definição do que seria um sistema semiótico
no contexto específico da matemática, explicitando três componentes: um
conjunto de símbolos que são expressos através da fala ou do texto, e do desenho;
um conjunto de regras de produção de signos, incluindo, aqui, aquelas que tratam
da organização do discurso que faz uso da composição de signos; um conjunto
de relações entre os signos e seus significados. Essa definição procura abarcar
as características dos textos, símbolos e desenhos que se integram ao discurso
lógico que produz e cristaliza o conhecimento matemático.
Usando a história da matemática, Duval (2006) observa o quanto o
desenvolvimento das representações semióticas é essencial para a evolução do
conhecimento matemático, ou seja, os sistemas de representação são parte da
produção de novo conhecimento. Mas a preocupação maior desse autor é quanto
ao papel dos sistemas de representação semiótica no processo de aprendizagem
da matemática. Na sua teoria introduz a ideia de registro: é um sistema que,
além de representar conceitos e ideias, tem regras de funcionamento que
permitem a realização de processos matemáticos que levam a novos conceitos
e ideias2. Os objetos matemáticos, no geral, são expressos através de diferentes
registros, e dentre eles, destacamos: o registro algébrico com suas regras de
funcionamento que, por exemplo, levam às resoluções de equações; o registro
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1 Vale, aqui, referir o volume 61 da revista Educacional Studies in Mathematics, inteiramente
dedicado a este tema.
2 Duval esclarece que nem todo sistema de representação é um registro, e esse seria o caso, por
exemplo, do código binário ou do alfabeto.
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geométrico com regras de tratamento que levam a identificação dos elementos
pertinentes de uma figura, e, dentro desse registro, inclui-se o de natureza gráfica
dado por sistema de coordenadas cartesianas e curvas que nele são desenhadas;
o registro discursivo em linguagem natural, e também com símbolos, com suas
regras convencionais de comunicação.
Outro conceito que tem relevância na teoria de Duval (2006) é o de
transformação, que explicita o quanto a atividade matemática consiste,
essencialmente, de transformações sobre as representações. As transformações
se desdobram em doistipos: tratamentos, caso em que acontecem dentro de um
mesmo registro; conversões, caso em que as transformações transitam entre
dois diferentes registros. É nas conversões, muito mais do que nos tratamentos,
que estão as maiores dificuldades cognitivas dos alunos; e mais, são as conversões
que encerram, de modo contundente, os processos que caracterizam a atividade
matemática. Um exemplo de dificuldade documentado pelo autor é quanto à
conversão da reta desenhada no plano cartesiano (registro gráfico) para sua
equação (registro algébrico) e vice-versa.
Por sua vez, o trabalho de Fischbein (1994) apresenta a explicitação da
dificuldade nas conversões, quando ele introduz a ideia de conceito figural
com dois componentes: o conceitual e o figural. O componente conceitual,
com maior ou menor grau de formalismo, se apresenta em linguagem natural e/
ou simbólica; já o componente figural é de natureza visual (forma, posição,
tamanho) e se expressa através do desenho. É a fusão adequada desses
componentes que garante a construção de ideias geométricas. Diríamos que a
teoria de Duval está em linha de continuidade com a ideia de Fischbein e traz
avanços no entendimento da complexidade do processo de aprender matemática,
pois a sua teoria evidencia que é o trabalho com muitas conversões entre
diferentes registros que vai subsidiar a construção do conhecimento.
É pertinente observar que os sistemas de representação tem um duplo
papel. A evolução do saber matemático depende de sistemas de representação
que cristalizam e geram novos conceitos e ideias, mas são esses mesmos sistemas
de representação que devem ser aprendidos pelo aluno, para que ele possa ter
acesso ao saber matemático. Ou seja, de um lado tem-se o matemático no
processo de criação de representações que veiculam ideias e procedimentos
matemáticos; e, de outro lado, tem-se o aluno na situação de aprendiz de conceitos
e procedimentos que dependem de entendimento dos sistemas de representação.
Segundo Duval (2006, p.126): “o pensamento matemático depende da sinergia
cognitiva dos registros (…) a coordenação dos registros fornece como que uma
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extensão das capacidades mentais”, e diríamos que tal constatação se aplica
tanto ao matemático quanto ao aprendiz.
É evidente que os sistemas de representação tornam-se mais ou menos
versáteis na veiculação de conceitos e processos, dependendo do suporte que
se tem a disposição. Hoje, com as mídias digitais, os sistemas se tornam dinâmicos
e, assim, facilitam o processo de apropriação de seu funcionamento; e mais,
oferecem a possibilidade de manipulações que transitam de um registro a outro.
Mas, mesmo tendo-se o suporte digital para os sistemas de
representação, Bartolini Bussi e Mariotti (2008) questionam o posicionamento
bastante corrente de que os sistemas de representação, implementados com as
mídias digitais, são suficientes para garantir a aprendizagem da matemática. É
sob perspectiva vygotskiana, na qual linguagem e signos são meios que dão
suporte à internalização - um processo cognitivo de natureza sociocultural que
transforma experiências individuais interpessoais em experiências intrapessoais
(VYGOTSKY,1998), que as autoras falam nas ferramentas de mediação
semiótica. São recursos tecnológicos que incorporam sistemas de representação
e que podem mediar processos de aprendizagem da matemática. Mas o que as
autoras discutem é que não basta tal recurso para que se dê o processo de
aprendizagem, explicando que, por um lado, ao manipular o recurso, o aluno
constrói significados individuais, e por outro lado, de antemão, no recurso está
contida a intencionalidade de um saber matemático. E a questão que se coloca
é: como garantir que a construção dos significados individuais estão na direção
do saber matemático? Partindo do pressuposto que é o especialista, no caso o
professor, que tem condições de avaliar o potencial de mediação do recurso,
reservam a expressão ferramenta de mediação semiótica para indicar um
recurso tecnológico a ser usado em situação didática concebida para a
aprendizagem de determinado conteúdo matemático – ou seja, o professor já
conhece, de antemão, o potencial semiótico do recurso no que diz respeito à
construção do saber matemático em questão.
As autoras avançam na caracterização de um possível modelo de situação
didática que faz uso de uma tal ferramenta de mediação: inicialmente, os alunos
recebem as atividades a serem exploradas e se engajam em manipulações que
concorrem para construção de significados individuais; a isto, segue-se momento
de construção coletiva de significados, a ser conduzido pelo professor. Esse
modelo, tanto no momento da exploração quanto no momento de construção
coletiva, considera a importância de esquemas de uso sintonizados com habilidades
cognitivas que caracterizam a atividade matemática. Nesse sentido, o modelo
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pressupõe que haja o planejamento das atividades a serem exploradas com o
recurso digital, pois é no engajamento às tarefas propostas que progressivamente
emergem e se desenvolvem os esquemas de uso. As considerações teóricas
das autoras convergem para a tese de que a apropriação dos sistemas de
representação digitais e dinâmicos depende de situações didáticas planejadas e
é assim que os alunos desenvolvem habilidades para aprender matemática com
as ferramentas de mediação semiótica.
Nossa intenção é ir além desse modelo de situação didática. Com a
Internet tem-se a explosão da possibilidade de aprendizado com autonomia. É
pensando nesse cenário que desenvolvemos o produto educacional a ser
apresentado na próxima sessão.
3 Um produto para o ensino de números complexos e funções
Foi levando em consideração a importância do sistema de representação
semiótica no processo de aprendizagem que iniciamos o trabalho de concepção
e construção do produto didático para o ensino de números complexos e funções,
tendo clareza sobre a necessidade de que contemple: a) recursos para conversões
entre registros; b) recursos para o desenvolvimento de esquemas de uso
sintonizados com os procedimentos que caracterizam o pensamento matemático.
Conforme já mencionado, o produto resultou no site Números Complexos
disponível em <http://www.ufrgs.br/espmat> no link Biblioteca Virtual. Na Figura
1 vê-se a sua interface.
Figura 1 – Site Números Complexos
O material se organiza através de barra de navegação vertical, disposta
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à esquerda da tela e consiste de animações interativas3, acompanhadas de
explicações e de questões a serem exploradas pelo usuário. No material também
foram incluídos recortes da coletânea de vídeos Dimensions: une promenade
mathematique 4; esses recortes são explicações sobre números complexos e
funções que, no vídeo, são apresentadas dentro do propósito maior de explorar
interações e processos fractais.
Nesta seção, vamos nos deter na apresentação das animações interativas,
pois é nelas que está o diferencial do produto. Na concepção das animações,
diferentes aspectos foram considerados: procuramos tirar proveito do dinamismo
das figuras, e de forma tal que o usuário pode manipular a animação de acordo
com seu interesse e dificuldade, transitando entre registros algébrico e
geométrico; diferentes graus de liberdade de manipulação foram estabelecidos,
conduzindo a aprendizagem de situações simples as mais elaboradas; foi
estabelecido um cuidadoso padrão de cor, texto e acabamento e, assim, em
cada animação o que se apresenta de novo são, essencialmente, conceitos e
processos matemáticos.
A denominação animação interativa trata de registrar o duplo aspecto
do material: é uma animação que se produz mediante manipulação de elementos
que estão na tela do computador – no caso, números complexos. Na literatura,
tal tipo derecurso, vem sendo referido como objeto de aprendizagem: um
recurso educacional multimídia, com possibilidades de manipulação e efeitos
dinâmicos, voltado para a aprendizagem de um conteúdo específico (WILEY,
2009).
Na concepção do produto também levamos em consideração que
somente a animação pode não ser suficiente para o aprendizado. Conforme
discutido na sessão anterior, é importante o desenvolvimento de esquemas de
uso dos sistemas de representação que concorrem para a construção de saberes;
as intervenções do professor, sem dúvida, têm importante papel nesse processo.
Mas tivemos o propósito de ir adiante, desenvolvendo um material que pode
propiciar a aprendizagem com autonomia. Assim, além dos diferentes graus de
liberdade de manipulação, que foram intencionalmente implementados, cada
animação é acompanhada de conjunto de questões a serem exploradas, intitulado
Para Pensar, e a solicitação é feita de forma tal que o aluno é provocado a
manipular a animação e a desenvolver esquemas de uso que ajudam no
3 As animações foram produzidas com o software GeoGebra, de domínio público. Este software está
disponível para download em <http://www.geogebra.org/cms/>.
4 O vídeo foi produzido por Jos Leys, Étienne Ghys e Aurélien Alvarez e encontra-se disponível em
<http://www.dimensions-math.org/Dim_PT.htm>.
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entendimento do conteúdo. No conjunto de questões também foram incluídas
aquelas que provocam esquemas de uso na direção de raciocínios
generalizadores. No quadro teórico de Bartolini Bussi e Mariotti (2008),
classificaríamos o produto como uma ferramenta de mediação semiótica, com a
característica adicional de favorecer aprendizagens com maior autonomia por
parte do usuário.
Nas animações têm-se elementos que são manipuláveis e seu movimento
desencadeia efeitos sobre outros elementos. Os primeiros funcionam como
variáveis independentes, e são sempre marcados com a cor azul; os elementos
que funcionam como variáveis dependentes sempre são marcados em vermelho5.
No menu Introdução é apresentado o número imaginário i, conforme a
ideia de Argand (1768 – 1822) que está no vídeo 5 da coletânea Dimensions: se
multiplicar um número real por (-1) corresponde a giro, de 180º, de pontos em
torno da origem da reta real, então por que não introduzir um número cujo efeito
de multiplicação, nos pontos, corresponda a metade desse giro? Com essa noção
de giro de 90º em torno da origem, tem-se, de forma natural, a característica que
define o número i: .
Após a introdução do número imaginário i, tem-se no menu
Representações duas formas de apresentação dos números complexos. Na
primeira animação (Figura 2), os números complexos Z e W podem ser
manipulados e os seus valores se atualizam.
Figura 2 – Número complexo e representação algébrica
As questões do Para Pensar que acompanham a animação tratam de
provocar esquemas de uso que levam ao entendimento da representação a + b
i. Alguns exemplos de questões: encontre números complexos resultantes da
5 Para visualização colorida das animações sugere-se o acesso ao produto em <http://www.ufrgs.br/
espmat> no link Biblioteca Virtual.
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rotação de 90° do número complexo 2+4i; encontre números complexos
que tem a parte imaginária igual ao dobro da parte real e identifique que
tipo de figura formam estes números complexos? Na primeira questão,
inicialmente deve ser localizado o número complexo Z = 2+4i e após o número
W que é a rotação de 90° de Z, seja via efeito geométrico, seja via multiplicação
por i; na segunda questão entra em cena o raciocínio generalizador que trata de
associar aspectos algébricos do número com aspetos geométricos.
Figura 3 – Módulo e argumento de um número complexo
Na segunda animação (Figura 3), de forma intencional, tem-se a
manipulação independente do módulo (r) e do argumento (è) do número complexo
Z; estes parâmetros são manipuláveis no canto superior esquerdo da animação
e desencadeiam dois movimentos em Z - ou giro em torno da origem ou
afastamento/aproximação da origem. O esquema de uso é dirigido para o
entendimento deste par (r, è) e uma das questões do Para Pensar é: encontre
números complexos com r < 3 e 0 < è < 90º e identifique que tipo de figura
formam estes números.
No menu Operações tem-se animações voltadas para o entendimento
das operações de soma e multiplicação, sob os pontos de vista algébrico e
geométrico. A Figura 4 é a tela da animação que veicula o conceito de soma: os
números complexos Z e W podem ser manipulados e a soma Z + W acompanha
as alterações. A animação também disponibiliza os valores de Z, W e Z + W e
os triângulos retângulos que explicam a soma geométrica (ao selecionar-se a
caixa Ver detalhes).
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Figura 4 – Soma de números complexos
Uma das questões que acompanha a animação com a intenção de
provocar esquemas de uso é: encontre Z e W em pelo menos três situações de
forma a obter (Z + W) = 3+3i. Observamos que a solicitação feita obriga o
aluno a manipular os números complexos Z e W, mantendo sob constante atenção
a interpretação geométrica da soma. Na Figura 5 tem-se uma possível escolha
dos números Z e W.
Figura 5 – O número complexo Z + W = 3 + 3 i
Duas são as animações que tratam da multiplicação de números
complexos. Na primeira, ilustrada na Figura 6, os círculos pontilhados servem
para provocar esquema de uso para identificação da relação entre rotação e
multiplicação de números complexos.
Figura 6 – Rotação e multiplicação de números complexos
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No dinamismo tem-se que, conforme Z percorre um determinado círculo
azul, o produto resultante Z.W percorre o círculo vermelho determinado por um
número W fixo6. O dinamismo da animação, como antes, potencializa perguntas
generalizadoras e prepara para o entendimento do produto de dois números
complexos via movimentos de rotação e/ou homotetia.
Figura 7 – Multiplicação via forma trigonométrica
Na segunda animação, relativa à multiplicação, é introduzida a expressão
Z·W = r·q[cos (θ + β) + isen (θ + β)], sendo (r, θ) e (q, β), respectivamente,
o módulo e argumento de Z e W, conforme ilustra a Figura 7. Essa animação
provoca esquemas de uso para o entendimento do produto de números complexos
via módulo e argumento. Exemplos de algumas questões colocadas para o usuário:
encontre Z e W em pelo menos em três situações diferentes de forma que
Z·W= 2 (cos 135º + i sen 135º); encontre Z e W em pelo menos em três
situações diferentes de forma que o módulo de Z . W é igual a um.
O quarto menu da barra de navegação do site, denominado Funções,
trata de uma introdução as funções de variável complexa, com ênfase nos
aspectos geométricos. Nesse menu poucas são as ideias realmente novas, pois
os pré-requisitos para o entendimento das funções F(Z) = Z + A , F(Z) = Z.A,
F(Z ) = Z.Z e F(Z) = 1/Z (são estas que estão disponíveis no menu) são as
representações dos números complexos e as operações.
Para cada uma das funções listadas acima se tem duas animações. Na
primeira delas, pode-se fazer a manipulação da variável independente Z em
determinado conjunto fixo no domínio, e deve ser, então, observado o
comportamento da variável dependente F(Z). Na Figura 8 temos a primeira
animação da função F(Z) = Z.A e como antes, tem-se a convenção para o uso
6 Novamente, para visualização colorida das animações sugere-se o acesso ao produto em <http://
www.ufrgs.br/espmat> no link Biblioteca Virtual.
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656 MONZON, L. W.; GRAVINA, M. A.das cores - a variável independente Z é marcada em azul e a variável dependente
F(Z) azul é marcada em vermelho7.
Figura 8 – A função F(Z) = Z.A agindo no polígono azul
Ao deslocar-se Z no polígono menor tem-se, em sincronia, o movimento
de F(Z) e o dinamismo da animação evidencia o efeito produzido pela
transformação que produz o polígono maior – uma rotação seguida de dilatação.
É intencionalmente que a manipulação do parâmetro A é feita no canto superior
esquerdo da animação, pois com esse esquema de uso os alunos são provocados
a entender que para cada valor do número complexo A tem-se uma determinada
transformação, que é a composta de uma rotação com uma homotetia. As
questões que acompanham a animação também provocam na direção desse
entendimento, e, a título de exemplo, transcrevemos algumas delas: a) encontre
3 valores de A para que F(Z) tenha o efeito de rotacionar de 90º o polígono
azul; b) 3 valores de A para que F(Z) tenha o efeito de reduzir pela metade
o polígono azul.
Na segunda animação cabe ao usuário fazer a escolha de estratégias de
exploração, pois o número complexo Z pode ser movimentado com liberdade.
Nessa animação é possível usar o recurso Habilitar Rastro para melhor observar
o comportamento de Z e F(Z), conforme Z é manipulado. Na Figura 9 tem-se o
efeito da transformação F(Z) = Z.Z quando Z percorre um segmento horizontal
azul e quando percorre um quadrado azul. Vê-se no efeito do dinamismo que o
comportamento de F(Z) = Z.Z é bem mais complicado que o comportamento de
F(Z) = Z.A.
7 O domínio e a imagem da função estão sendo representados no mesmo plano complexo; este é o
tipo de representação usada na coletânea de vídeos Dimensions.
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Figura 9 – A função F(Z) = Z.Z
Na apresentação do produto procuramos mostrar o quanto as diferentes
animações interativas têm intencionalidade de aprendizagem. Vale realçar a
diferença que existe entre esse tipo de recurso e um software no qual se pode
trabalhar com muitos conteúdos de matemática, mas nos quais a aprendizagem
depende muito das orientações do professor. Na linha de pesquisa que trata do
processo de ensino e aprendizagem através de suportes digitais (software, objetos
de aprendizagem, animações interativas) diríamos que estamos avançando na
direção da aprendizagem com autonomia. Isso porque o usuário tem uma
ferramenta que dá suporte a explorações, inicialmente, feitas sob a orientação
de questões provocativas. As questões contribuem para o desenvolvimento de
esquemas de uso e, assim, o usuário pode prosseguir com outras manipulações,
na direção de perguntas generalizadoras que dificilmente se colocariam frente a
material didático na forma de texto estático.
4 Uma experiência com o produto e os resultados
O produto foi testado com turma de terceiro ano do Ensino Médio noturno,
em escola da rede estadual no município de Campo Bom, RS, em 2011. Foram
onze encontros, distribuídos em um mês, totalizando 12 horas, e participaram 26
alunos. Os encontros aconteceram no laboratório de informática da escola, onde
havia disponível um computador para cada aluno.
O próprio menu de navegação do produto definiu a sequência de
atividades implementada na experiência. A rotina de trabalho, nos diferentes
encontros, assim se organizou: inicialmente, aconteceu a exploração individual
das animações, orientada pelas questões do Para pensar; então, os alunos
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redigiram suas respostas na Folha de Atividades entregue pela professora8,
contendo as mesmas questões exploradas. Esse material, junto com as
observações registradas pela professora, constituiu o material de análise da
experiência e de validação do produto. Os vídeos sobre o conteúdo foram
assistidos pelo grande grupo no início da atividade; nas exibições dos vídeos,
grande foi a atenção dos alunos, o que indica que esse recurso poderia ser mais
utilizado nas aulas de matemática. Ao longo dos encontros, as intervenções da
professora foram, essencialmente, para esclarecer dúvidas dos alunos; em poucos
momentos foram feitas intervenções no grande grupo e, no geral, os alunos
avançaram nas atividades com bastante autonomia.
A experiência permitiu constatar que o produto é adequado para
desencadear processo de aprendizagem que contempla trabalho com os registros
algébrico e geométrico. E mais, foi possível observar que, a partir da manipulação
das animações, os alunos foram constantemente provocados nas conversões de
registro e, assim, desenvolveram esquemas de uso na direção do ensino almejado
– entender as ideias matemáticas em diferentes sistemas de representação. No
que segue, destacamos alguns dos momentos que evidenciam esse resultado.
De início, apontamos que a introdução do conceito de número complexo
através da ideia de Argand fez com que os alunos, de imediato, colocassem em
relação os registros algébrico e geométrico, e aqui foi fundamental a explicação
apresentada no video Dimensions. Quanto ao uso da animação que trata da
representação de número complexo, trazemos como ilustração a resolução que
os alunos apresentaram para a questão: encontre os dois números complexos
resultantes da rotação de 90° do número complexo 2+4i. Alguns alunos
identificaram geometricamente, via manipulação na animação, os números
correspondentes a rotação de Z = 2+4i; outros fizeram a multiplicação i.Z e -
i.Z e, então, localizaram esses números na tela da animação.
Nas questões provocativas quanto a raciocínios generalizadores (que
tipo de figura formam os números complexos com parte real igual à parte
imaginária?; que tipo de figura formam os números complexos que tem
parte imaginária igual ao dobro da parte real?) os alunos manipularam Z e
W, controlando a relação entre componentes real e imaginária, e identificaram
as retas passando pela origem que responde as perguntas. Novamente, vê-se
que a manipulação da animação propicia esquemas de uso que colocam em
ação os registros algébrico e geométrico.
8 A professora é a primeira autora do artigo. Uma caraterística do Mestrado Profissionalizante em
Ensino de Matemática do IMUFRGS é ser o professor o próprio investigador, no trabalho de
dissertação.
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Quanto aos conceitos de módulo e argumento de número complexo Z, a
possibilidade de manipular na animação, de forma independente os dois
parâmetros, evidenciou que a alteração do primeiro aproxima ou afasta Z da
origem, e que a alteração do segundo resulta em giro de Z em torno da origem.
Comparada com uma apresentação estática desses conceitos, na animação tem-
se o diferencial das dinâmicas imagens visuais.
Nas animações relativas às operações, as explorações conduzidas pelas
questões Para Pensar exigiram dos alunos raciocínios matemáticos muito
diferentes daqueles que se fazem presente nos tradicionais exercícios de somar
e multiplicar números complexos. Isso porque o processo de exploração
potencializa perguntas generalizadoras. Por exemplo, para responder a questão:
encontre Z e W em pelo menos três situações de forma a obter (Z + W) =
3+3i, alunos puderam observar, geometricamente, que aumentos nos valores
parte real/parte imaginária de Z implicam em equivalente diminuição nos valores
parte real/parte imaginária de W e, foi depois dessa constatação, que trataram
de apresentar valores específicos para Z e W. Vê-se, nessa atitude, esquemas
de uso na direção de raciocínios generalizadores.
 Uma vez entendidas as operações com números complexos, os alunos
trabalharam sem maiores dificuldades com a função F(Z) = Z+A. Diríamos que
a ideia realmente nova no menu Funções é que, diferentemente das funções de
uma variável real, o entendimento do comportamento da função não pode ser
registrado em um gráfico, visto que o conjunto de pontos na forma (Z, F(Z))
está no espaço de dimensãoquatro. Assim o entendimento do comportamento
da função exige a análise da ação de F sobre certos subconjuntos do seu domínio.
Com a primeira animação, os alunos exploraram o efeito da transformação sobre
conjunto de números complexos que formam um polígono e, aqui, o esquema de
uso provocado pelas questões visava o entendimento do papel do número
complexo A, o que direcionou os alunos para o trabalho com família de funções
a um parâmetro. Na segunda animação, agora com liberdade para movimentar
A e Z, os alunos trabalharam com questões provocativas quanto a raciocínios
generalizadores.
A título de exemplo, trazemos uma das questões: faça A = 2 - 3i e
localize Z para que F(Z) tenha partes real e imaginária iguais. Essa questão
poderia ser resolvida via raciocínio puramente algébrico, mas estando frente à
animação, os alunos naturalmente trataram de localizar um primeiro valor de Z
e, feito isso, continuaram com as manipulações de modo a obter novos valores
de Z, e assim identificaram a reta formada pelo conjunto solução.
Uma Introdução às Funções de Variável Complexa no Ensino Médio: uma possibilidade...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 46, p. 645-661, ago. 2013
660 MONZON, L. W.; GRAVINA, M. A.
De uma forma geral, foi possível observar que frente às animações
interativas, acompanhadas das questões Para Pensar, os alunos se colocaram
em situação de exploração que conduziu ao desenvolvimento de esquemas de
uso cada vez mais elaborados e na direção de resoluções dentro de espírito
generalizador. É importante que se diga que, no momento de elaboração das
questões, foi preciso antecipar, com atenção, os esquemas de uso que seriam
provocados, e esse é um dos aspectos que contribuiu para que o produto se
mostrasse propício para aprendizagem com bastante autonomia.
5 Considerações finais
Os resultados obtidos com a experiência que fez uso do produto
educacional Números Complexos indicam que a tecnologia digital pode muito
ajudar na compreensão de conceitos e ideias matemáticas que não fazem parte
do programa de matemática da escola. Com esse produto é possível ampliar o
universo das funções que podem ser estudadas na escola. E, vale observar, o
estudo dos processos interativos com funções de variável complexa, tão simples
como F(Z) = Z.Z +A, é um assunto de pesquisa do século XX, que deu origem
ao entendimento dos fractais e de suas apreciadas figuras. Por si só, esse fato
pode tornar o estudo dos números complexos mais interessante.
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Submetido em Agosto de 2012.
Aprovado em Março de 2013.
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