Unidade 2 tp3

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Unidade 2: Tópico 3
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Neste tópico iremos abordar o estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidade de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-lo.
Bem, vamos começar esta aula falando um pouco de Análise Combinatória.
O objetivo principal da Análise Combinatória é desenvolver técnicas que permitam a contagem do número de elementos de um conjunto.
À primeira vista, você pode estar pensando que isso é desnecessário; de fato, você tem até certa razão. Se o número de elementos que queremos contar é pequeno, a contagem pode ser feita de forma direta. Entretanto, se o número de elementos a serem contados for grande, esse trabalho torna-se quase impossível sem o uso de métodos específicos de contagem.
Por exemplo: imagine que queremos determinar quantos números de três algarismos distintos podem ser formados a partir dos dígitos 1, 2 e 3. Nesse caso, por simples enumeração (listagem dos números), podemos ver que os números que satisfazem às condições impostas são: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Portanto, podem ser formados 6 números.
Agora, imagine que se queira determinar quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados a partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.
Você percebeu que, neste caso, é muito mais trabalhoso obter todas as respostas para essa situação? Podemos fazer a enumeração: 1234, 1235, 1236, 1237, ... , 8763, 8764, 8765. Mas a pergunta inicial ainda ficou sem resposta: quantos números existem nessa listagem?
Acompanhe também os seguintes problemas:
· De quantos modos distintos podemos arrumar quinze pessoas em fila indiana?
· De quantas formas diferentes podem ser sorteados os números da Mega-Sena?
· Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 20 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas por questão?
Tais problemas podem ser resolvidos quase sempre por meio de um raciocínio simples e sem exigir o uso de fórmulas complicadas.
É isto que procuramos mostrar nos exemplos a seguir:
EXEMPLO 1
Uma bandeira, com o formato do desenho abaixo, deve ser pintada utilizando duas dentre as três cores disponíveis: branco, cinza e preto. De quantas maneiras diferentes isso pode ser feito?
Para resolver o problema vamos inicialmente listar todas as bandeiras que podem ser formadas utilizando as três cores indicadas.
É importante seguir um procedimento sistemático para listar todas as possíveis bandeiras. Assim, poderemos ter certeza de não ter esquecido nenhuma possibilidade e não ter repetido alguma bandeira.
Para tal, devemos identificar as diferentes decisões a serem tomadas e examinar todas as possibilidades para cada uma dessas decisões. No caso desse problema, uma forma natural para planejar o preenchimento da bandeira é a seguinte:
1 - Escolher a cor a ser utilizada para a parte externa da bandeira.
2 - A seguir, escolher a cor a ser utilizada na estrela, que é a parte interna da bandeira.
A primeira decisão pode ser feita de 3 modos diferentes, já que a cor externa pode ser qualquer uma das três cores disponíveis: branco, cinza ou preto. No entanto, observe que, uma vez tomada essa decisão, a cor que foi escolhida não poderá mais ser utilizada na estrela interna.
Por exemplo, se a cor preta foi a cor escolhida para parte externa, a cor interna só poderá ser cinza ou branca.
Agora, podemos listar todas as possíveis bandeiras, que serão 6:
Com a cor externa branca:
Com a cor externa cinza:
Com a cor externa preta:
Poderíamos ter empregado o seguinte raciocínio para contar o número de possíveis bandeiras, sem precisar listá-las:
A cor externa pode ser escolhida de três modos diferentes. Qualquer que seja esta escolha, a cor escolhida não poderá mais ser utilizada e restarão ainda duas outras cores. Portanto, a cor da estrela poderá ser escolhida apenas de dois modos.
Logo, o número total de possibilidades é: 3 x 2 = 6.
A resposta ao nosso problema é que existem seis maneiras diferentes para pintar essa bandeira.
O exemplo resolvido ilustra o procedimento do PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM.
Mas em que consiste este princípio?
Considere uma ação que é constituída de duas etapas sucessivas, em que a 1ª etapa pode ser realizada de n maneiras distintas e, para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de m maneiras distintas. Nessas condições, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dada por n x m.
Naturalmente este princípio pode ser generalizado para ações constituídas por mais do que duas etapas sucessivas. No entanto, devemos observar que, se a ação é constituída de três etapas sucessivas, a 2ª etapa só poderá ser realizada depois que a 1ª etapa já tenha sido realizada e a 3ª etapa só poderá ser realizada depois que a 2ª etapa tenha sido realizada.
EXEMPLO 2
Considere a mesma bandeira do exemplo 1. Essa bandeira deve ser pintada utilizando duas dentre quatro cores disponíveis. De quantas maneiras diferentes isto pode ser feito?
Observe que o problema continua sendo composto por duas ações distintas: pintar a parte externa da bandeira e pintar a parte interna da bandeira. Mas agora o número de cores disponíveis é maior.
Número de possibilidades para a cor na parte externa: 4
Número de possibilidade para a cor na parte interna: 3
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4 x 3 = 12
Portanto, agora existem 12 maneiras diferentes de pintar a bandeira.
EXEMPLO 3
De quantas maneiras diferentes podemos pintar a bandeira a seguir utilizando 3 cores diferentes dentre 4 cores disponíveis?
Observe que, neste caso, o problema é constituído por 3 etapas distintas: pintar a parte externa da bandeira, pintar a estrela e pintar o círculo.
Número de possibilidades para a cor na parte externa: 4
Número de possibilidades para a cor da estrela: 3
Número de possibilidades para a cor do círculo: 2
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4 x 3 x 2 = 24.
Portanto, existem 24 maneiras diferentes de pintar a bandeira com as quatro cores disponíveis.
Veja agora mais alguns exemplos de problemas de contagem que podem ser facilmente resolvidos sem a necessidade de fórmula, apenas utilizando o Princípio Fundamental da Contagem:
EXEMPLO 4
Um grupo de oito atletas participa de uma importante corrida. De quantas maneiras diferentes podem ser distribuídos os prêmios de primeiro, segundo e terceiro lugares nesta corrida?
Observe que o problema é constituído por 3 etapas distintas. Devemos escolher o vencedor da prova, depois devemos escolher o segundo colocado e posteriormente escolher o terceiro colocado.
Como o total de atletas é igual a 8, existem 8 possibilidades para a escolha do vencedor. Uma vez feita esta escolha, restam 7 atletas competindo e portanto são 7 escolhas possíveis para o segundo colocado. Uma vez feita também esta escolha, restam 6 atletas competindo, e temos 6 escolhas possíveis para o terceiro colocado. Resumindo esse raciocínio:
Número de possibilidades para o vencedor: 8
Número de possibilidades para o segundo colocado: 7
Número de possibilidades para o terceiro colocado: 6
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 8 x 7 x 6 = 336
Portanto, existem 336 maneiras diferentes de distribuir os prêmios de primeiro, segundo e terceiro lugares nessa corrida.
EXEMPLO 5
Quantas palavras contendo três letras distintas podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?