Origem dos Números e Operações na História

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Metodologia de 
Ensino de Matemática: 
Números, Operações, 
Grandezas e Medidas
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Edvonete Souza de Alencar
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Márcia Ota
A Origem dos Números e Operações
A Origem dos Números e Operações
 
 
• Compreender a construção dos números e operações como uma produção sócio-histórico-
-cultural; e
• Perceber as regularidades e divergências do desenvolvimento histórico entre as civilizações 
na origem do número e das operações.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• A Origem do Número;
• Senso Numérico e Número Natural;
• Sistemas de Numeração;
• As Operações na História.
UNIDADE A Origem dos Números e Operações
Contextualização
Você já deve ter ouvido falar que nossos antepassados utilizavam diversos 
recursos para quantificar os objetos. Alguns faziam uso de escritas pictóricas, 
marcações em ossos, utilização do próprio corpo para fazer medições de terras 
e tantas outras maneiras.
Apresentaremos o texto de Lima (1990) como um dos muitos exemplos históricos 
que pode ser relacionado aqui com a história dos números e operações, mostrando-
-nos como os números estão presentes em situações do cotidiano e são importantes 
para a resolução de situações-problema, bem como os aspectos históricos podem 
auxiliar no ensino dos números e operações.
Produção ver a possibilidade de colocar texto na íntegra em destaque que foi reti-
rado do capitulo Iniciação ao conceito de fração e o desenvolvimento de conservação 
de quantidade do livro Aprender pensando de Carraher (1990).
Números fracionários e medição de terras
A história refere-se a antigas civilizações que necessitaram da expressão numérica 
da medição das terras que margeavam os rios que eram fundamentais para a sobre-
vivência desses povos. As terras eram propriedades do Estado que as arrendava, sob 
contrato, as famílias, observando que o tamanho da área a explorar era proporcional 
a força de trabalho do grupo familiar. Em razão da diversidade das áreas, o Estado 
viu-se na contingência de criar sistemas rigorosos de fiscalização que assegurassem 
o cumprimento das leis referentes à produção e minimizassem as possibilidades de 
os interesses do Estado serem lesados.
A medida e sua expressão numérica foram, portanto, uma resposta às relações do indiví-
duo com o estado que cobrava imposto com base na propriedade da terra. As exigências 
de medição impuseram a criação de padrões de medidas ou unidades. Essa unidade, 
por outro lado, levantaram o fato de que é raro a unidade ( ou padrão) caber um 
número inteiro de vezes na grandeza a medir. O mais frequente é aplicar-se a uni-
dade sobre a grandeza a ser medida e somar uma parte inferior à unidade considerada.
Os medidores de então reconheceram que o instrumento numérico conhecido – nú-
meros inteiros- era insuficiente para exprimir bem as medidas, isto é, o mais aproxi-
mado possível do real. Para obter uma maior aproximação da medida real da gran-
deza ( comprimento área e etc. ) foi forçoso subdividir a unidade num certo número 
de partes iguais. Têm-se aí as frações da unidade.
Era preciso criar um novo instrumento numérico que pudesse exprimir sempre a 
medida da grandeza por um número. Para superar a impossibilidade dos números 
inteiros ante a medida, cria-se um novo instrumento numérico: os números fracio-
nários. Agora, é possível medir sempre uma grandeza, tomando a unidade e as fra-
ções dessa unidade. Como se vê, existe uma relação entre o modo de tratar fração 
hoje com a própria história da utilização da fração. Daí ao fato de o estudo de frações 
estar sempre ligado à área de figuras geométricas (LIMA , 1990, p. 82).
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Diante das reflexões viabilizadas por esse texto, podemos observar como a cons-
trução do número foi necessária para o desenvolvimento da humanidade. 
Além disso, esse texto nos possibilita buscarmos investigações e curiosidades histó-
ricas que fazem termos mais interesse e compreensão pela disciplina de Matemática. 
Entre as curiosidades podemos destacar:
Você Sabia?
Na civilização antiga, antes da existência das medidas convencionais, as medidas do rei 
eram utilizadas como padrão para a época.
Isto posto, esta unidade nos mostra a importância de sabermos como os números 
e as operações foram surgindo na história para que possamos pensar o quanto esses 
aspectos são importantes para nossas vidas.
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UNIDADE A Origem dos Números e Operações
A Origem do Número
Os números e as operações surgiram com a necessidade de contagem e de me-
dição. Acredita-se, desse modo, que a ideia do número já existe desde os tempos 
pré-históricos. Historicamente, comprova-se tal afirmação devido à descoberta de 
desenhos existentes nas cavernas, assim como marcações em ossos encontrados que 
indicavam o registro do número.
Figura 1 – Desenhos de cavernas Figura 2 – Marcações nos ossos 
Algumas marcações de fósseis encontradas na história foram: o Osso Ishango do 
ano 18000 a 20000 a.C encontrado na África e está em exposição em Bruxelas 
Bélgica, no Real Instituto Belga de Ciências Naturais. Esse fóssil é importante, pois 
contém possíveis marcações que, segundo cientistas, vão além da contagem. Há tam-
bém o osso de Lebombo que foi encontrado na Tchecoslováquia e possui, segundo 
estudiosos, cerca de 35 mil anos.
A evolução desses registros se deu com o passar dos anos, tal fato ocorreu para 
se ter melhores registros dos números e das operações realizadas no dia a dia. Essa 
evolução fez com que surgissem os sistemas de numeração e cada civilização cons-
truiu a sua com um conjunto de regras específicas.
Como posso utilizar a história dos números e operações em sala de aula? Que importância 
os aspectos históricos possuem para o desenvolvimento e a formação de aprendizagens dos 
alunos? Coloque suas reflexões no fórum de discussão.
Mendes (2009) relata que os aspectos históricos podem ser instrumentos de en-
sino que estimulem a investigação em sala de aula, dando maior significado ao con-
teúdo matemático para o aluno. Com isso, o conhecimento histórico, relacionado 
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aos conteúdos matemáticos, possibilita que o aluno possa ser o protagonista de sua 
aprendizagem, pois esta permite a reflexão sobre o passado e o presente. 
Alguns outros aspectos merecem ser discutidos para evidenciar a importância de se 
conhecer seu surgimento. Uma das indagações que será foco de nossa próxima seção 
é “Quem surgiu primeiro o registro pictórico e nos ossos ou o senso numérico?”
Senso Numérico e Número Natural
Apesar dos exemplos de registros citados acima, acredita-se que:
• O senso numérico tenha surgido antes mesmo das descobertas dos registros 
ósseos e de cavernas;
• Os primeiros indícios de senso numérico foram a comparação de quantidade 
entre objetos, podendo identificar quais dos conjuntos teria maior quantidade.
Em animais, também é possível observar o senso numérico, no qual se percebe a 
conservação dos objetos que possuem quantidade de até quatro elementos.
Ifrah a esse respeito cita um exemplo muito interessante quando nos relata que o Castelão, 
ao ver um ninho de corvo na torre, resolveu caçá-lo. O castelão tentava caçar o corvo todos 
os dias, mas nunca conseguia caçá-lo e tinha suas tentativas frustradas. 
Com isso, o Castelão pensou em uma estratégia: levar com ele mais dois companheiros à torre, 
para que ao tentar caçar o corvo e ele viesse a fugir, o homem ficaria escondido para tentar 
pegar o pássaro, mas o corvo se escondeu até que o homem desistisse e fosse embora. 
Assim, o Castelão foi aumentando a quantidade de homens e o mesmo aconteceu. Até que, 
quando o Castelão colocou cinco pessoas, o corvo foi pego, pois não conseguiu distinguir a 
presença, utilizando-se desta quantidade.
Nesse exemplo citado por Ifrah (1997), percebe-se que o senso numérico animal 
faz a comparação entre quantidades. Com isso, os animais assim como os seres hu-
manos primitivos, eram capazes de identificar pequenas quantidades.
Com a ampliação das quantidades, o surgimento do comércioe da agricultura 
ocasionou a necessidade da ampliação das quantidades. Em algumas atividades diá-
rias, tais como saber a quantidade do rebanho, de guerreiros de diferentes tribos era 
necessário mais do que possuir o senso numérico era preciso saber contar. A con-
tagem surge na história quando a sociedade começa a ter propriedade privada e, 
portanto, os donos precisavam cuidar de seus bens.
Inicialmente, ocorreu a enumeração que é a comparação entre elementos de con-
juntos distintos. Com isso, vê-se que não há ainda contagem abstrata, em que apa-
rece o número. Nessa situação, a comparação é feita por correspondência de um 
elemento para um elemento.
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UNIDADE A Origem dos Números e Operações
Figura 3 – Correspondência um a um ou biunívoca
A figura nos mostra que a comparação entre objetos de um – a um, também, é 
chamada de correspondência biunívoca.
Biunívoca: é relação entre cada elemento de um conjunto com apenas um elemento do 
outro conjunto.
Assim, percebe-se que o que estabelece a comparação não são os objetos, 
mas a quantidade deles que está em jogo. Com isso, em um primeiro momento, 
o homem não se dá conta desse processo de correspondência e de sua relação 
numérica. No entanto, posteriormente, criou-se a necessidade para representar 
as quantidades.
Ifrah (1997) nos relata que, no século XIX, em aldeias da Nova Guiné, realizavam a conta-
gem iniciando no dedo mínimo da mão direita, depois os outros dedos dessa mão, depois o 
pulso, cotovelo, ombro, orelha e olho do lado direito. Após, passa-se para o olho esquerdo 
e inicia-se voltando a contagem, orelha, ombro, cotovelo, pulso e dedos da mão. Essa tribo 
correspondia os objetos a cada parte do corpo.
Muitas civilizações utilizavam partes do corpo para fazer contagem. Por isso, acre-
dita-se que as contagens se deram com a ajuda das mãos e sua representação, inicial-
mente, deu-se para indicar o número 5 com o desenho de uma mão e o número 10 
com o desenho de duas mãos. E a sequência de 15,20, 25 e as demais foram repre-
sentadas com a junção de mãos.
Cabe observar que apresentamos aqui dois conceitos importantes: enumeração e 
numeração. No primeiro, há uma contagem concreta e no segundo, há uma sequên-
cia que é seguida oralmente.
• Enumeração: ato de enumerar . Relacionar (ROCHA, 2005, p. 280);
• Numeração: parte da aritmética que trata dos números. Ato de numerar. Sequência nu-
mérica (ROCHA , 2005, p. 496).
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Podemos concluir, assim, que o conceito de numero natural é formado por dois 
aspectos do número: a cardinalidade e a ordinalidade. Os números cardinais indicam 
o número em si, o valor absoluto e os números ordinais indicam ordem.
Qual proposta de atividade posso desenvolver com meus alunos para que eles, em um pri-
meiro momento, realizem contagens ou operações, utilizando meios não convencionais e, 
posteriormente, identifiquem a importância de se utilizar a convenção numérica estabele-
cida pela sociedade?
Para isso, proponho a leitura do livro Matemática e Investigação em sala de aula de Mendes 
(2009) na seção O modelo adotado para as atividades históricas nas p. 96-98.
Sistemas de Numeração
Várias civilizações desenvolveram sistemas de numeração para a representação 
da variação de quantidades. Sabemos que um dos primeiros registros para se repre-
sentar a quantidade foi realizado em caverna e ossos e infere-se que sua origem é de 
40 mil anos atrás.
Posteriormente, surgiu o agrupamento, consequentemente, o uso do corpo e das 
mãos para realizar comparações entre as quantidades dos conjuntos. 
Salienta-se que havia outras civilizações que faziam identificação dos números 
com a utilização de palavras.
Alguns dos sistemas de numeração são anteriores ao sistema de escrita. O artigo, a seguir, 
apresenta as civilizações e seus sistemas de numeração. Disponível em: https://bit.ly/2DhIAw3
Apresentaremos, a seguir, alguns dos sistemas de numeração desenvolvidos por 
essas civilizações: o binário, o egípcio, o mesopotâmico, o maia, o romano e o 
indo-arábico.
O Sistema de Numeração Binário antecipou as contagens decimais. No entanto, 
para a representação de grandes quantidades, esse sistema de numeração, torna-se 
limitado. Além disso, percebe-se a importância desse sistema para a tecnologia, prin-
cipalmente nos computadores que utilizam de tal recurso, pois seu funcionamento é 
feito por transitores fechados e abertos e tantos outros.
Outro exemplo que podemos citar é o sistema de numeração binário utilizado pelos 
índios da tribo Arara, que se dirigem à quantidade de 1 a 8, utilizando-se de quantida-
des um e dois. Para o número 1 – anane, número 2 – adak, número 3 – adak anane, 
número 4 – adak adak, número 5 – adak adak anane, número 6 – adak adak adak, 
número 7 – adak adak adak anane, número 8 – adak adak adak adak.
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UNIDADE A Origem dos Números e Operações
O Sistema de Numeração Egípcio possui mais facilidade em lidar com números 
maiores. Os egípcios possuíam excelente habilidade para medir e contar, podemos 
comprovar isso com a construção das pirâmides. Nesse sistema de numeração, os 
números de 1 a 9 são representados por bastões. Já para representar o 10, desenha-
vam um calcanhar invertido. 
A seguir, apresentamos uma figura com os símbolos utilizados pelos egípcios 
que por meio de adições realizavam os registros numéricos ate 99. Para o 100, o 
símbolo utilizado era uma cobra enrolada e a flor representava o 1000. Havia ain-
da mais símbolos como o em formato de dedo, de peixe e de figura humana para 
quantidades maiores.
Figura 4
O sistema de numeração mesopotâmico possui a escrita cuneiforme que continha 
cunhas para fazer as marcas nas placas de argila. Com essas marcas, estes escre-
viam os números de 0 a 10 e com escritas sucessivas faziam os números de 1 a 59. 
Assim, esse sistema era sexagesimal e encontramos ainda sinais desse sistema de 
numeração em nosso dia a dia, na contagem do tempo e na medição de circunferên-
cia. Após, apresentamos uma tabela com o sistema de numeração egípcia.
Figura 5
O sistema de numeração da civilização maia construiu um sistema vigesimal, uti-
lizando pontos e barras. Seus símbolos iam até 19 e para a construção de números 
maiores, havia uma escrita vertical. Após, apresentamos os números maias.
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Figura 6
Para a escrita de números maiores, apresentamos os exemplos na figura a seguir:
Figura 7
O Sistema de Numeração Romano, por ser ensinado nas escolas, é um dos mais 
populares. Esse sistema utiliza letras latinas com combinação das mesmas para a repre-
sentação dos números. Salientamos que os números romanos representavam normal-
mente resultados finais de contagens. A seguir, apresentamos os números romanos.
Tabela 1 – Número Romanos
I 1 XXI 21 XLI 41 LXI 61 LXXXI 81
II 2 XXII 22 XLII 42 LXII 62 LXXXII 82
III 3 XXIII 23 XLIII 43 LXIII 63 LXXXIII 83
IV 4 XXIV 24 XLIV 44 LXIV 64 LXXXIV 84
V 5 XXV 25 XLV 45 LXV 65 LXXXV 85
VI 6 XXVI 26 XLVI 46 LXVI 66 LXXXVI 86
VII 7 XXVII 27 XLVII 47 LXVII 67 LXXXVII 87
VIII 8 XXVIII 28 XLVIII 48 LXVIII 68 LXXXIII 88
IX 9 XXIX 29 XLIX 49 LXIX 69 LXXXIX 89
X 10 XXX 30 L 50 LXX 70 XC 90
XI 11 XXXI 31 LI 51 LXXI 71 XCI 91
XII 12 XXXII 32 LII 52 LXXII 72 XCII 92
XIII 13 XXXIII 33 LIII 53 LXXIII 73 XCIII 93
XIV 14 XXXIV 34 LIV 54 LXXIV 74 XCIV 94
XV 15 XXXV 35 LV 55 LXXV 75 XCV 95
XVI 16 XXXVI 36 LVI 56 LXXVI 76 XCVI 96
XVII 17 XXXVII 37 LVII 57 LXXII 77 XCVII 97
XVIII 18 XXXVIII 38 LVIII 58 LXXIII 78 XCVIII 98
XIX 19 XXXIV 39 LIX 59 LXXIX 79 XCIX 99
XX 20 XL 40 LX 60 LXXX 80 C 100
D 500
M 1000
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UNIDADE A Origem dos Números e Operações
O sistema indo-arábico tornou-se o sucessor dos sistemas citados anteriormente, 
pois possibilita maior habilidade para registro e na resolução das operações. Sua ori-
gem se deu pelos Indus e posteriormente foram trazidos para o Ocidente, onde houve 
a expansão de sua utilização. Por possuir a base decimal, apresentam as demais civi-
lizações os números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. Como homenagem, a Al-khwarizmi 
chamou-se essessímbolos de algarismos. Esse sistema de numeração não necessita 
de repetições ou a utilização de adições como nos sistemas anteriores, pois há um 
símbolo diferente para cada representação do número.
O procedimento de contagem indiano funcionava de modo curioso. Os Indus faziam um bu-
raco no chão e colocavam gravetos um a um que representassem a quantidade. No entanto, 
quando esse buraco atingia a quantidade de 10, fazia-se outro buraco ao lado do primeiro e 
colocavam somente um graveto que simbolizava o dez.
Apresentamos, assim, a tabela com os símbolos com os números indo-arábicos.
Tabela 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Com isso, percebe-se que o sistema de numeração indo-arábico possui sistema 
posicional, ou seja, o valor numérico depende da posição que o número ocupa. 
Percebe-se ainda que o zero, em algumas das civilizações, não aparece, como no 
caso da numeração egípcia e romana. Em outras, como na mesopotâmica, é utiliza-
do como possibilidade de posições intermediárias.
Diante das apresentações dos diversos sistemas de numeração, podemos pensar 
em maneiras de como apresentá-las aos alunos. Entre as mais utilizadas, podemos 
citar: a apresentação de curtas-metragens aos alunos, contendo essas histórias e suas 
numerações, a leitura de pequenos textos, jogos contendo os diferentes sistemas de 
numeração, além de rodas de conversa, nas quais os alunos podem observar no 
ambiente, em jornais e revistas, onde há números diferentes do que utilizamos e por 
que estes aparecem, ou mesmo demonstração de cartazes para comparação dos 
diferentes sistemas de numeração.
Vemos, assim, que além da importância de conhecermos a história de como 
houve o surgimento dos números, é importante verificar como as operações foram 
sendo construídas.
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As Operações na História
Observamos que as operações sempre estiveram presentes implicitamente nas 
construções dos sistemas de numerações decimais das civilizações. Em alguns casos, 
percebemos mais diretamente a presença das operações na participação da configu-
ração do registro numérico. 
No Egito, a operação mais utilizada era a adição e as operações de divisão e mul-
tiplicação eram realizadas pela realização de duplicações. Assim, podemos citar o 
exemplo de uma multiplicação de 23 X 12. Inicialmente, adiciona 23 a ele mesmo, 
que dá como resultado 46. Após, adiciona 46 a ele mesmo, que dá como resultado 
92 e adiciona novamente o resultado por ele mesmo, que dá como resultado 184. 
Para se obter o resultado, soma-se os dois últimos resultados : 184 + 92 = 276.
Há ainda outro método criando pelos Indus e divulgado pelos árabes: o gelosia.
Figura 8
Nesse método, multiplica-se cada algarismo e coloca-se cada resultado em cada 
parte. Após calcular todos, adicionam-se os algarismos, seguindo a flecha transversal. 
Assim, no exemplo dado: 123 X 12 = 1476.
Percebe-se que as operações em algumas civilizações foram mais exploradas e 
utilizavam métodos diversificados aos da atualidade.
No final da Idade Média, havia dois tipos de matemáticos:
• Os religiosos que estudavam e se formavam em colégios de padres; e
• Os das universidades que futuramente iriam lidar com o comércio e negócios das cidades.
A história dos números é muito interessante e nos mostra a sua importância para 
a disciplina de Matemática, pois demonstra o percurso de desenvolvimento do co-
nhecimento e proporciona maior compreensão sobre a mesma.
Ouça o áudio de Ireneu Bicudo na Revista Ciência para Crianças, disponível no link a se-
guir, que nos mostra a história dos números: https://bit.ly/3iKCoNh
Importante notar que essa indicação pode ser utilizada em sala de aula para contextualizar 
um primeiro contato com a construção histórica dos números.
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UNIDADE A Origem dos Números e Operações
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Números e Operações
CENTURION, M. Números e Operações, Série Didática, Editora Scipione, 1994.
Dos Sistemas de Numeração às operações básicas com números naturais
MORETTI, M. T. Dos Sistemas de Numeração às operações básicas com 
números naturais, UFSC, 1999.
 Leitura
Portal do Professor
https://bit.ly/3iFdHSy
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Referências
DIAS, M. da S. Números e Operações: elementos lógico-históricos para atividade 
de ensino. Curitiba, InterSaberes, 2012. 
IFRAH, G. A História Universal dos Algarismos: a inteligência dos homens conta-
da pelos números e pelo cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. 
LIMA. Iniciação ao conceito de fração e o desenvolvimento da conservação de qua n-
tidade In: CARRAHER, T. Aprender pensando. Petrópolis, Vozes, 1990.
MENDES ,I. A. Matemática e Investigação em sala de aula: Tecendo redes cog-
nitivas na aprendizagem. Editora Livraria da Física, 2009.
MUNHOZ, M. de O. Propostas metodológicas para o ensino de matemática.
Curitiba, InterSaberes, 2013.
PIRES, C. M. C. Números Naturais e Operações. São Paulo: Editora Melhoramen-
tos, 2013.
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