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Zeros de uma função polinomial de segundo grau, do tipo
1ª SÉRIE
Aula 7 – 3º Bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Forma canônica da função polinomial de segundo grau;
Zeros da função polinomial de segundo grau. 
Utilizar a definição de zeros da função polinomial de segundo grau em diferentes contextos.
Conteúdo
Objetivo
Habilidade: (EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Estimativa de tempo para o desenvolvimento das seções:
Para começar: 10 minutos
Foco no conteúdo: 10 minutos
Na prática: 15 minutos
Aplicando: 10 minutos
Coeficientes de uma função polinomial de segundo grau
Disponibilizamos um applet, no qual será possível revisar todas as características dos coeficientes de uma função polinomial de segundo grau e sua representação gráfica. Clique na figura e acesse o applet e responda às questões a seguir: 
Técnica: “Virem e Conversem”
Tempo: 10 minutos
Para começar
Ao deslizar o controle do coeficiente a, o que você observou?
Ao deslizar o controle do coeficiente b, o que você observou?
Ao deslizar o controle do coeficiente c, o que você observou?
Para começar
Correção
Ao deslizar o controle do coeficiente a, o que você observou?
 
- Quanto maior for o valor do controle a, mais a abertura da parábola irá diminuir e também percebe-se que a concavidade da parábola está voltada para cima. 
- Quanto menor for o valor do controle a, mais a abertura da parábola irá aumentar e, para valores negativos (a < 0), a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Para começar
Correção
Ao deslizar o controle do coeficiente b, o que você observou?
- Aumentando o valor do controle b, percebe-se a variação do ramo decrescente da parábola.
- Diminuindo o valor do controle b, percebe-se que, quando b = 0, o vértice da parábola coincide com a origem do plano cartesiano e, à medida que diminuímos os valores, percebe-se a variação do ramo crescente da parábola.
Para começar
Correção
Ao deslizar o controle do coeficiente c, o que você observou?
- Aumentando o valor do controle c, percebe-se que a parábola intercepta o eixo das ordenadas em valores positivos.
- Diminuindo o valor do controle c, percebe-se que, quando fixamos o controle em zero, a parábola interceptará origem do plano cartesiano e, quando continuamos a diminuir, ela interceptará o eixo das ordenadas em valores negativos.
Para começar
Dizemos que uma expressão algébrica está na forma canônica quando ela está escrita na sua forma mais simples ou quando ela expõe algo de grande importância.
1 – Forma canônica de uma função polinomial de segundo grau
Clique no link e veja a demonstração:
Tempo: 10 minutos
https://curt.link/TcF4mLE. 
Foco no conteúdo
2 – Zeros ou raízes de uma função polinomial de segundo grau
Os zeros ou raízes da função polinomial de segundo grau são os valores de x reais, tais que f(x) = 0 e, portanto, representam as soluções da equação de segundo grau: 
Para determinar os zeros da equação, utilizaremos a forma canônica.
Foco no conteúdo
Foco no conteúdo
3 – Quantidade de raízes
A quantidade de raízes reais para a equação de segundo grau 
 fica condicionada ao fato de a ser real. Assim, temos três casos a considerar: 
1º) , a equação apresentará duas raízes reais distintas.
Foco no conteúdo
2º) , a equação apresentará duas idênticas:
Foco no conteúdo
Determine os zeros reais das funções:
Atividade 1
Técnica: “Todo Mundo Escreve!”
Tempo: 15 minutos
Na prática
Correção
Na prática
Correção
Na prática
Correção
Na prática
a. Determine os valores de m para que a função polinomial de segundo grau tenha dois zeros reais e distintos.
Atividade 2
b. Determine os valores de m para que a equação não tenha raízes reais. 
Na prática
Correção
a. Determine os valores de m para que a função polinomial de segundo grau tenha dois zeros reais e distintos.
Para que a função tenha dois zeros reais e distintos, é necessário que o discriminante da equação seja maior que zero.
Na prática
Correção
Considerando que a função é uma função polinomial do segundo grau e os zeros da função são números reais e distintos, temos: 
Na prática
b. Determine os valores de m para que a equação 
não tenha raízes reais. 
Correção
Na prática
Confrontando resultados
A seguir, apresentamos um aplicativo elaborado em uma planilha eletrônica que realiza o cálculo das raízes de uma equação do segundo grau. Determine os zeros das funções ao lado e confronte com o resultado com o programa: 
https://curt.link/RpuCyzf 
Técnica: “Mostre-me!”
Tempo: 10 minutos
Aplicando
Utilizamos a definição de zeros da função polinomial de segundo grau em diferentes contextos.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 97328
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
23
IEZZI, Gelson, HAZZAN, Samuel. Fundamentos da Matemática Elementar, V. 4, 8ª ed. São Paulo: Atual, 2013. 
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 3 – https://curt.link/FKYq06W
Slide 8 – https://curt.link/FjOdTt5 
Slide 22 – https://curt.link/gSuJaBG
Referências
Material 
Digital
(
)
éù
D
æöæö
=+-
êú
ç÷
ç÷
èø
èø
ëû
2
2
b
fxax
2a
4a
2
a0
2
2
22
22
2
2
b
axbxc0ax0 
2a
4a
bb
x0x
2a2a
4a4a
bb
xx
2aa2a
4a
bb
xx
2a2a2a
¹
éù
D
æö
++=Û+-=Û
êú
ç÷
èø
ëû
DD
æöæö
Û+-=Û+=Û
ç÷ç÷
èøèø
DD
æö
Û+=Û+=±Û
ç÷
èø
D-±D
Û=-±Û=
12
bb
x e x
2a2a
-+D--D
==
12
b
xx
2a
==-
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
111
22
3x7x20
a3,b7,c2
b4ac7432492425
0, então a equação possui duas raízes re
ais e distintas.
b7257512
xxxx2
2a2366
725752
xx
236
-+=
==-=
D=-××ÞD=--××ÞD=-ÞD=
D>
-±D--++
=Þ=Þ=Þ==
×
----
==Þ=
×
(
)
2
6
¸
(
)
2
1
3
1
S2,
3
¸
=
ìü
=
íý
îþ
(
)
(
)
(
)
2
22
x3x40
a1,b3,c1
b4ac34149167
0 A equação não possui raízes reais.
-+-=
=-==-
D=-××ÞD=-×-×-ÞD=-ÞD=-
D<Þ
(
)
(
)
(
)
{
}
2
2
2
121212
x4x40
a1, b4, c4
b4ac441416160
0 A equação possui duas raízes reais e i
guais.
b44
xxxxxx2
2a212
S2
-+=
==-=
D=-××ÞD=--××ÞD=-ÞD=
D=Þ
-
==-Þ==-Þ===
××
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
am, b2m1, cm2
b4ac
2m14mm2
==-=-
D=-××Þ
ÞD=--××-
2
4m
ÞD=
2
4m14m
-+-
8m
4m1
+Þ
ÞD=+
m0 e 4m10, ou seja:
1
m0 e m
4
¹+>
¹>-
Considerando que a função é uma função p
olinomial de segundo grau,
e a equação não tenha raiz real: 
m0 e 4m10
ou seja:
1
m0 e m
4
¹+<
¹<-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=-+-
=++
=-++
=--
=-
=-+
2
2
2
2
2
2
a. fxx7x12
b. fxx4x4
c. fxx1,5x1
d. fxx2x1
e. fx2x4x
f. fxx2x2