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MI NI STÉRI O DA EDUCAÇÃO UNI VERSI DADE FEDERAL DE SANTA MARI A COORDENADORI A DE ENSI NO MÉDI O E TECNOLÓGI CO COLÉGI O POLI TÉCNI CO DA UFSM Apostila de Topografia Prof. M. Sc. Eng. Florestal Erni José Milani Santa Maria 2009 1 1. APRESENTAÇÃO Esse material tem a finalidade de buscar um aprendizado prático da topografia, de maneira a oferecer aos interessados uma iniciação na área, por essa razão não será um documento completo e muitas explicações teóricas de certa forma ficaram um pouco prejudicadas, pois se não fosse dessa maneira o número de horas deveria em muito ser aumentado. Fica, portanto o alerta para que posteriormente o aluno continue a buscar aquelas informações complementares e necessárias. 2. OPERAÇÕES TOPOGRÁFICAS As operações topográficas podem ser divididas em 4 etapas: ˜ Levantamento: É quando se obtém as medidas angulares e lineares; ˜ Cálculo: Transformação das medidas obtidas no levantamento em coordenadas, área e volume; ˜ Desenho: É a etapa onde se faz a representação das coordenadas; ˜ Locação: Confirmação no campo dos dados levantados e calculados. 3. ÂNGULOS DA MENSURAÇÃO: ˜ Horizontais; ˜ Verticais. Ângulo: É dado pela diferença de direção entre duas retas que se encontram em um determinado ponto chamado de vértice. 2 3.1. Ângulo Horizontal: É o ângulo medido segundo o plano horizontal. ˜ Sentido dos Ângulos Horizontais: Em mensuração, o sentido positivo de um ângulo horizontal é o sentido horário. 3.2. Ângulo Vertical: É o ângulo medido segundo o plano vertical. ˜ São 3 tipos de ângulos verticais: - Ângulo de altura ou de Inclinação Vertical (β); - Ângulo Zenital (Ζ); - Ângulo Nadiral (Ν). 3.2.1. Ângulo de Altura: É o ângulo que vai da linha do horizonte, até a direção tomada. ˜ É positivo quando contado acima da linha do horizonte; ˜ É negativo quando contado para baixo do plano horizontal. 3 3.2.2. Ângulo Zenital É o ângulo que vai da linha do zênite, até a direção tomada. 3.2.3. Ângulo Nadiral É o ângulo que vai da linha do Nadir, até a direção tomada. 4. MEDIDA DA DISTÂNCIA A distância em topografia é sempre a projeção no plano. As distâncias em topografia podem ser medidas de quatro maneiras mais comuns. ˜ Direta; ˜ Indireta Taqueométrica; ˜ Indireta Trigonométrica; ˜ Eletrônica. 4 4.1. Distância Inclinada e Distância Horizontal )'( )(. cos Dhip Dadjcat=β βcos'.DD = D ́= distância inclinada entre P e Q. D = distância horizontal entre P e Q. β = ângulo de altura da direção P e Q Então: βcos'.DD = → Somente para pontos próximos, que se possa desconsiderar a curvatura da terra. 4.2. Medida Direta da Distância: É a medida feita com o Diastímetro, de preferência leve e com boa resistência, os mais comuns são as trenas “fiber-glass”. Como com o diastímetro não temos o ângulo para reduzir ao horizonte, devemos tomar alguns cuidados, veja na figura. 5 4.2.1. Principais Erros na Medição Direta ˜ Catenária ˜ Inclinação do diastímetro ˜ Inclinação das balizas ˜ Erro de alinhamento 4.3. Medida Indireta da Distância: 4.3.1. Método Taqueométrico: É a medida feita nos fios estadimétricos do aparelho. Retículo: ˜ No plano: 6 Na figura acima a’b’ = h → distância que separa o retículo superior do inferior na ocular, mas que por fabricação geralmente vale 1/100 de f. f = distância focal da objetiva F = foco exterior da objetiva c = distância que vai do centro ótico do aparelho à objetiva C = c + f (constante do aparelho) = 0 d = distância que vai do foco à mira AB = H = diferença da leitura superior e inferior M = leitura do retículo Médio A distância horizontal entre P e Q será: D = d + C Então: a’Fb’ ≅ AFB a b f AB d ' ' = onde a’b’ = h E AB = H d . h = H . f e h f = 100 d H f h = . à d H f f = . 100 à d = H . f . 100 / f então: d = H . 100 D = C + d D = H . 100 + C D = H . 100 Dessa forma podemos determinar uma distância de modo indireto, mas no plano. 7 ˜ Quando o terreno é inclinado: cos . ( ' ) ( ) β = cat Adj A M hip AM A M AM' .cos= β B M BM' .cos= β )(cos'' cos.' cos.' β β β BMAMMBMA BMMB AMMA +=+ = = + = A’B’=AB(cos β) A’B’=H . cosβ D’ = A’B’ . 100 + C D’ = H . cosβ . 100 + C (= 0) D’ = H . 100 . cosβ ββ β β cos.cos.100. cos'. ' cos hD DD D D = = = ou ZSenHD 2.100.= D = H . 100 . cos 2 β ou, ainda: NSenHD 2.100.= 8 Exercícios: a) Calcule a distância entre o ponto A e o ponto B, sendo que a diferença de leitura dos fios estadimétricos foi 1,25m e o ângulo de altura (β) = 10º15’00” b) Calcule a distância tendo as seguintes informações: Vért. LS LM Li Âng. Zenital Dist.(m) 1 2,632 2,0 1,368 86º10’00” 2 2,457 2,0 1,543 81º40’00” 3 2,238 2,0 1,762 83º15’00” 4.3.2. Método Trigonométrico Este método se baseia em visar com o fio nivelador a parte inferior da mira falante (régua) e anotar o ângulo zenital correspondente (Z1), posteriormente visar a parte mais superior possível da régua e também anotar o ângulo zenital correspondente (Z2). Obs: É recomendável mirar novamente a parte inferior da régua, porém sem repetir a mesma leitura, e anotar o ângulo zenital (Z3). Com isso é possível medir duas vezes a mesma distância. Os valores devem ser muito próximos, e sendo assim, é recomendável que se use a média aritmética entre eles. 9 Exemplo: LM1= 0,10 → Z 1 = 91º25’20” LM2= 3,90 → Z 2 = 87º04’40” LM3= 0,20 → Z 3 = 91º18’40” Cálculo m gZgZ LMLM aD 083,50 )024827559,0(051046668.0 10,090,3 1cot2cot 12 1 = −− −= − −= m gZgZ LMLM bD 045,50 )0228872,0(051046668.0 20,090,3 3cot2cot 32 1 = −− −= − −= m bDaD D 064,50 2 045,50083,50 2 11 1 =+=+= 4.4. Medição Eletrônica da Distância: É a obtenção da distância através da medida do número de ondas com um determinado comprimento, ondas essas emitidas por um Distanciômetro e rebatidas por um prisma. Cada aparelho tem seu próprio manual para que possamos operá-los. 10 5. MEDIÇÃO DE ÂNGULOS Os ângulos são medidos normalmente com teodolitos, mas podemos também deduzi-los quando conhecidos as distâncias do triângulo. 5.1. Medição de Ângulo com Trena e Balizas: Através do teorema dos cossenos, temos: ˜ Medidas dos lados do triângulo: a2 = b2 + c2 − 2bc * Cos A b2 = a2 + c2 − 2ac * Cos B c2 = a2 + b2 − 2ab * Cos C Exercício: Calcule os ângulos A, B e C do triângulo cujos lados são: AB = 23m, BC = 28 m e AC = 30m então: a = 28m, b = 30m e c = 23m. Isolando-se o ângulo temos: −+= bc acb ArcCosA 2 222 −+= 23*30*2 282330 222 ArcCosA A = 62°08’05,66” −+= ac bca ArcCosB 2 222 −+= 23*28*2 302328 222 ArcCosB B = 71°17’51,47” −+= ab cba ArcCosC 2 222 −+= 30*28*2 233028 222 ArcCosC C = 46°34’02,87” ∑ ++= CBAAi ∑ °= 180Ai 6 ÂNGULOS TOPOGRÁFICOS NO PLANO HORIZONTAL: Os ângulos topográficos podem ser observados ou calculados, sendo que se entende como observados os ângulos medidos através de instrumentos no campo e os calculados aqueles deduzidos através de cálculo de escritório. 11 Os ângulos topográficos no plano horizontal podem ser: ˜ Geométricos: - Internos; - Deflexão; - Irradiados. ˜ Geográficos: - Azimute; - Rumo. 6.1 Ângulos Geométricos 6.1.1 Ângulos Internos: São os ângulos voltados para dentro da poligonal fechada. Esses ângulos variam de zero à 360° e seu somatório em uma poligonal fechada deve ser igual a 180°( n - 2 ), sendo n o número de vértices dessa poligonal. Resumindo: ∑ Ai = 180° (n - 2) Porém ao medirmos os ângulos no campo estamos sempre sujeitos a cometer erros e como limite de tolerância para ângulos medidos com teodolitos usamos T= 1’ n , sendo n o número de vértices e T a tolerância. OBS.: Quando os levantamentos apresentam erros iguais ou menores do que a tolerância se faz a distribuição desses erros, e para erros acima desse limite, deve-se repetir a obtenção dos dados de campo. A distribuição pode ser de várias maneiras, o técnico pode usar aquela que julgue mais lógica. Indicaremos aqui uma maneira simples e rápida, que é compensar até um minuto por vértice, a partir do vértice que corresponde a menor distância. 6.1.1.1 Método de Levantamento Planimétrico, com ângulos internos: O método de levantamento planimétrico que usa os ângulos internos é o caminhamento perimétrico. Esse método consiste em andarmos em todo o perímetro do polígono, medindo a distância horizontal de cada alinhamento e os ângulos internos de cada vértice. Por uma questão de comodidade andamos sempre no sentido anti-horário. 12 Para a orientação de nossa planta precisamos ainda medir pelo menos o azimute de um alinhamento. 6.1.2 Ângulo de Deflexão: O ângulo de deflexão é aquele obtido a partir do prolongamento do alinhamento até o alinhamento seguinte, portanto podendo estar a direita ou esquerda, usados em poligonais abertas, porém para averiguação de sua precisão a poligonal terá que ser fechada. No caso de fecharmos a poligonal, os limites de tolerância bem como sua distribuição segue o que já apresentamos no capítulo anterior. Quando a poligonal for fechada saberemos que os ângulos foram bem medidos quando o Σ ΣAdD AdE≠ = °360 6.1.3 Ângulos Irradiados: Os ângulos irradiados normalmente são medidos no campo de forma acumulada, zerando-se o aparelho somente no vértice 1, e medindo-se posteriormente nos demais vértices. 6.1.3.1 Método de Levantamento Planimétrico, com ângulos irradiados: O método de levantamento planimétrico que usa os ângulos irradiados é a irradiação ou coordenadas polares. Esse método consiste em instalar o aparelho num ponto onde possamos enxergar todos os vértices. Zeramos o aparelho no primeiro vértice após medimos os demais vértices sempre da esquerda para direita, portanto no sentido horário. Medimos a distância do aparelho, até cada um dos vértices. Para a orientação de nossa planta, precisamos ainda medir pelo menos o azimute de um alinhamento. 13 6.2 Ângulos Geográficos 6.2.1 Azimute: O azimute é o ângulo formado a partir do Norte até o alinhamento, contando sempre no sentido horário, varia de zero à 360° . OBS.: O azimute de um alinhamento deve vir do campo, os demais azimutes se calcula a partir dos ângulos geométricos 6.2.2 Rumo: É o menor ângulo formado do Norte ou do Sul, o mais próximo, até o alinhamento, portanto contando no sentido horário ou anti-horário, varia de zero à 90° e deve sempre vir acompanhado das letras que lhe dão orientação. Assim: 1o quadrante - R NE 2o quadrante - R SE 14 3o quadrante - R SW 4o quadrante - R NW Ø Por não ter tanta importância nesse trabalho, não aprofundaremos o assusto sobre Rumo, pois trabalharemos sempre com o azimute. 7. DETERMINAÇÃO DO AZIMUTE NO CAMPO ˜ Azimute magnético: A determinação do azimute magnético é possível através de uma bússola, a qual nos indica o Norte Magnético. Procedimento: Com a bússola acoplada ao teodolito instalado no vértice, direcionamos para o Norte e zeramos o aparelho, após visamos a baliza de vante e medimos o azimute. ˜ Azimute verdadeiro: (Com uma visada ao sol). Procedimento: Com o teodolito instalado no vértice, zeramos o aparelho na baliza de vante, e após visamos o sol, tapando a objetiva para evitar riscos a retina, observar o ensinamento na prática. Da visada ao sol preenchemos a seguinte caderneta: Data: ______________ Hora legal da observação: ______________ Ângulo horizontal (α): ______________ Ângulo vertical (Z): ______________ Localização (latitude ϕ): ______________ a = 90 + d d = declinação magnética ϕ = latitude b = 90 + ϕ Z = ângulo zenital c = Z Manhã ⇒ Azθ = A Tarde ⇒ Azθ = 360 - A A = Azθ cos cos .cos sen .sen .cosA b c b c A= + 15 cos cos cos .cos sen .sen A a b c b c = − (I) cos a = cos (90 + d) ou sen d cos b = cos (90 + ϕ) ou sen ϕ sen b = sen (90 + ϕ) ou cos ϕ cos c = cos Z sen c = sen Z Substituindo na expressão (I), temos: cos sen sen .cos cos .sen A d Z Z = − ϕ ϕ (II) OBS.: Como a latitude (ϕ) é sempre negativa para o hemisfério sul, podemos usá-la como positiva e trocar o sinal da expressão (II), então: cos sen (sen .cos ) cos .sen A d Z Z = + ϕ ϕ Az (1-2) = 360° - α + Azθ Az (1-2) = 360° - α + Azθ Quando o valor der maior que 360°, devemos subtrair 360° 16 Exemplo: Local: Itaara – RS Data: 12 / 01 / 96 Hora: 17h 40min N = 113°05’00” α = 1°10’20” Latitude: 1° ----- 6,8cm x ----- 4,0cm x = 0°35’17,65” ϕ = 29°35’18” Ângulo Zenital: Z = 180 - N Z = 66°55’00” Declinação: 12 / 01 / 96 = - 21°47’24,4” 13 / 01 / 96 = -21°37’47,3” ____________________ Vd = 0°09’37,1” Vh = Vd / 24 = 0°00’24,05” P2 1) -21°37’47,03” 2) -21°47’24,4” 3) 17h 40min 4) ϕ = 29°35’18” 5) Z = 66°55’00” 6) α = 1°10’20” Az(1-2)= 616°09’49,91” - 360° Az (1-2) = 256°09’50” d = do + (Hl + F) . Vh d = -21°47’24,4” + (17h40min + 3h) . 0°00’24,05” d = -21°39’7,45 cos sen (sen .cos ) cos .sen A d Z Z = + ϕ ϕ cos sen( ' , ") (sen ' ").cos( ' ") cos( ' ").sen( ' ") A = − ° + ° ° ° ° 21 39 7 45 29 3518 66 5500 29 3518 66 55 00 A = 102°39’50” ⇒ Azθ = 257°20’10” Az(1-2) = 360° - α + Azθ Az(1-2) = 360° - 1°10’20” + 257°20’10” Az(1-2) = 256°09’50” OBS.: Essa maneira de determinarmos o azimute, através de uma visada ao sol, é apenas uma maneira prática de obter um valor aproximado, já que não se fez nenhuma correção. 17 Então poderemos melhorar esse resultado, procedendo de uma maneira mais efetiva, ainda que não precise totalmente, devido ao tipo de material disponível para ser usado. Procedimento: Devemos escolher uma mira o mais distante possível, que fique próxima ao horizonte e que se possa ter bem a certeza do ponto visado, pois faremos mais de uma visada e se a mira não for favorável, já é um fator de erro considerável. No mínimo devemos fazer duas observações, mas se quisermos ter mais certeza poderemos fazer quatro seis ou mais observações. Cada observação consta de visadas a mira e depois ao sol com a luneta na posição normal e invertida, e os valores a serem usados são os médios. Exemplo 1: Os dados foram obtidos na aula prática do curso de Técnico em Geomática do Colégio Politécnico da UFSM. Determinação do Azimute Verdadeiro. Método da Distância Zenital Absoluta do Sol Teodolito: T100-Leica precisão de 10” Temperatura: 7°c Latitude(Ф)= 29°43’18,03” S Data: 29/08/2007 Altitude = 88 m PRIMEIRA OBSERVAÇÃO LMD = 44°15’00” LMI =224°14’30” VISADA AO SOL Z’D = 61°47’10” Z’I = 299°25’40” LAD = 141°35’30” LAI = 320°19’50” HLD = 9 h16 m 38 s HLI = 9 h 23 m 20 s SEGUNDA OBSERVAÇÃO LMD = 287°23’20” LMI = 107°22’50” VISADA AO SOL Z’D = 59°57’20” Z’I = 300°39’20” LAD = 22°50’30” LAI = 202°10’10’ HLD = 9 h 26 m 37 s HLI = 9 h 30 m 03 s LMD – Leitura na mira com a luneta na posição direta LMI – Leitura da mira com a luneta na posição invertida Z’D – ângulo zenital com a luneta na posição direta Z’I – ângulo zenital com a luneta na posição invertida 18 LAD – Leitura no astro com a luneta na posição direta LAI – Leitura no astro com a luneta na posição invertidaHLD – Hora legal quando foi feita a leitura no astro com a luneta na posição direta HLI – Hora legal quando foi feita a leitura no astro com a luneta na posição invertida 1. Cálculo do Azimute com os dados da primeira observação: a) Cálculo das médias: a 1) Hora Legal 2 HLIHLD HL += HL = 9 h 19 m 59 s a 2) Leitura na Mira: 2 )180( LMDLMI LM +±= 2 "00'1544)180"30'14224( °+−°=LM LM = 44°14’45” a 3) Leitura no Astro: 2 )180( LADLAI LA +±= 2 "30'35141)180"50'19320( °+−°=LA LA = 140°57’40” a 4) Ângulo Zenital sem correção: 2 ')'360( ' DZIZ Z +−= 2 "10'4761)"40'25299360( ' °+°−=Z Z’ = 61°10’45” b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: α = LA – LM α = 96°42’55” c) Cálculo da Declinação Magnética (δ): Do anuário astronômico retiramos as seguintes informações: Declinação do dia 29 = + 9°34’9,1” Declinação do dia 30 = + 9°12’’50,9” Variação diária = - 0°21’18,2” Variação horária = -0°0’53,26” δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh δ = + 9°23’12,26” CORREÇÕES: d) Correção da Distância Zenital Absoluta: Z = Z’ + R – P d ) Refração: R = Rm . P’.T’ d 1.1) Refração média: Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ Rm = 0°1’49,32” d 1.2) Fator de correção da pressão: Por falta de instrumento para medir a pressão Vamos nos valer de um cálculo empírico, ou seja, descontar a cada 11 metros de altitude 1mm, dos 760mm hg do nível do mar, então: 19 Altitude de 88 metros descontaríamos 8mm, assim: 760-8 = 752 760 ' P P = 760 752 '=P P’ = 0,98947368 d 1.3) Fator de correção da temperatura: T T 00384,01 1 ' + = T’ = 0,973823621 Então a Refração fica: R = Rm.P’.T’ R = 0°1’45,33” d 2) PARALAXE: .).(. 7940586,8 auAterraDist PO = 0100524,1 7940586,8=OP P0 = 8,71” P = P0 . SenZ’ P = 0°0’7,63” Então o Ângulo Zenital corrigido fica: Z = Z’ + R – P Z = 61°12’22,71” e) Cálculo do Azimute do Astro. ) . . ( SenZCos CosZSenSen ArcCosA φ φδ += A = 58°07’29,72” AZSOL = A ( Manhã ) f) Cálculo do Azimute da Mira: AZMIRA = 360 – α + AZSOL AZMIRA = 321°24’34,7” 2. Cálculo do Azimute com os dados da segunda observação: a) Cálculo das médias: a 1) Hora Legal 2 HLIHLD HL += HL = 9 h 28 m 20 s a 2) Leitura na Mira: 2 )180( LMDLMI LM +±= 2 "20'23287)180"50'22107( °++°=LM LM = 287°23’05” a 3) Leitura no Astro: 2 )180( LADLAI LA +±= 2 "30'5022)180"10'10202( °+−°=LA LA = 22°30’20” a 4) Ângulo Zenital sem correção: 2 ')'360( ' DZIZ Z +−= 2 "20'5759)"20'39300360( ' °+°−=Z Z’ = 59°39’00” b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: α = LA – LM α = 95°07’15” 20 c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): Do anuário astronômico retiramos as seguintes informações: Declinação do dia 29 = + 9°34’9,1” Declinação do dia 30 = + 9°12’50,9” Variação diária = - 0°21’18,2” Variação horária = -0°0’53,26” δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh δ = + 9°23’04,85” CORREÇÕES: d) Correção da Distância Zenital Absoluta: Z = Z’ + R – P d 1) Refração: R = Rm . P’.T’ d 1.1) Refração média: Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ Rm = 0°1’42,77” d 1.2) Fator de correção da pressão: pela altitude 760-8 = 752 760 ' P P = 760 752 '=P P’ = 0,98947368 d 1.3) Fator de correção da temperatura: T T 00384,01 1 ' + = T’ = 0,973823621 Então a Refração fica: R = Rm.P’.T’ R = 0°1’39,03” d 2) PARALAXE: .).(. 7940586,8 auAterraDist PO = 0100524,1 7940586,8=OP P0 = 8,71” P = P0 . SenZ’ P = 0°0’7,51” Então o Ângulo Zenital corrigido fica: Z = Z’ + R – P Z = 59°40’31,51” e) Cálculo do Azimute do Astro. ) . . ( SenZCos CosZSenSen ArcCosA φ φδ += A = 56°31’58,88” AZSOL = A ( Manhã ) f) Cálculo do Azimute da Mira: AZMIRA = 360 – α + AZSOL AZMIRA = 321°24’43,8” AZMÉDIO = 321°24’39,2” Exemplo 2: Os dados foram obtidos na aula prática do curso de Técnico em Geomática do Colégio Politécnico da UFSM, em 2005. Determinação do Azimute Verdadeiro. Método da Distância Zenital Absoluta do Sol 21 Teodolito: T100-Leica precisão de 10” Temperatura: 38°c Latitude(Ф)= 29°43’18,6” S Data: 21/11/2005 Altitude = 88 m PRIMEIRA OBSERVAÇÃO LMD = 67°24’40” LMI =247°24’40” VISADA AO SOL Z’D = 39°42’10” Z’I = 319°10’40” LAD = 339°40’00” LAI = 159°00’10” HLD = 15 h12 m 55 s HLI = 15 h 17 m 03 s SEGUNDA OBSERVAÇÃO LMD = 186°25’20” LMI = 06°25’20” VISADA AO SOL Z’D = 41°29’50” Z’I = 317°46’50” LAD = 97°35’30” LAI = 277°05’40’ HLD = 15 h 20 m 06 s HLI = 15 h 24 m 36 s LMD – Leitura na mira com a luneta na posição direta LMI – Leitura da mira com a luneta na posição invertida Z’D – ângulo zenital com a luneta na posição direta Z’I – ângulo zenital com a luneta na posição invertida LAD – Leitura no astro com a luneta na posição direta LAI – Leitura no astro com a luneta na posição invertida HLD – Hora legal quando foi feita a leitura no astro com a luneta na posição direta HLI – Hora legal quando foi feita a leitura no astro com a luneta na posição invertida 1. Cálculo do Azimute com os dados da primeira observação: a) Cálculo das médias: a 1) Hora Legal 2 HLIHLD HL += HL = 15 h 14 m 59 s a 2) Leitura na Mira: 2 )180( LMDLMI LM +±= 2 "40'2467)180"40'24247( °+−°=LM LM = 67°24’40” a 3) Leitura no Astro: 2 )180( LADLAI LA +±= 22 2 "00'40339)180"10'00159( °++°=LA LA = 339°20’05” a 4) Ângulo Zenital sem correção: 2 ')'360( ' DZIZ Z +−= 2 "10'4239)"40'10319360( ' °+°−=Z Z’ = 40°15’45” b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: α = LA – LM α = 271°55’25” c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): Do anuário astronômico retiramos as seguintes informações: Declinação do dia 21 = - 19°53’9,88” Declinação do dia 22 = - 20°06’16,27” Variação diária = - 0°13’6,39” Variação horária = - 0°0’32,77” δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh δ = - 20°03’7,85” CORREÇÕES: d) Correção da Distância Zenital Absoluta: Z = Z’ + R – P d 1) Refração: R = Rm . P’.T’ d 1.1) Refração média: Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ Rm = 0°0’51,09” d 1.2) Fator de correção da pressão: Por falta de instrumento para medir a pressão Vamos nos valer de um cálculo empírico, ou seja, descontar a cada 11 metros de altitude 1 mm, dos 760 mm hg do nível do mar, então: Altitude de 88 metros descontaríamos 8 mm, assim: 760-8 = 752 760 ' P P = 760 752 '=P P’ = 0,989473684 d 1.3) Fator de correção da temperatura: T T 00384,01 1 ' + = T’ = 0,872661267 Então a Refração fica: R = Rm.P’.T’ R = 0°0’44,11” d 2) PARALAXE: .).(. 7940586,8 auAterraDist PO = Dist.à terra = 0,987696 u.a. 1 u.a.= 149,6 milhões de Km 987696,0 7940586,8=OP P0 = 8,90” P = P0 . SenZ’ P = 0°0’5,75” Então o Ângulo Zenital corrigido fica: Z = Z’ + R – P Z = 40°16’23,36” 23 e) Cálculo do Azimute do Astro. ) . . ( SenZCos CosZSenSen ArcCosA φ φδ += A = 86°23’5,7” AZSOL = 360 - A ( Tarde ) AZSOL = 273° 36’54,3” f) Cálculo do Azimute da Mira: AZMIRA = 360 – α + AZSOL AZMIRA = 1°41’29,3” 2. Cálculo do Azimute com os dados da segunda observação: a) Cálculo das médias: a 1) Hora Legal 2 HLIHLD HL += HL = 15 h 22 m 21 s a 2) Leitura na Mira: 2 )180( LMDLMI LM +±= 2 "20'25186)180"20'256( °++°=LM LM = 186°25’20” a 3) Leitura no Astro: 2 )180( LADLAI LA +±= 2 "30'3597)180"40'05277( °+−°=LA LA = 97°20’35” a 4) Ângulo Zenital sem correção: 2 ')'360( ' DZIZ Z +−= 2 "50'2941)"50'46317360( ' °+°−=Z Z’ = 41°51’30” b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: α = LA – LM α = 270°55’15” c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): Do anuário astronômico retiramos as seguintes informações: Declinação do dia 21 = - 19°53’9,88” Declinaçãodo dia 22 = - 20°06’16,27” Variação diária = - 0°13’6,39” Variação horária = -0°0’32,77” δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh δ = - 20°03’11,88” CORREÇÕES: d) Correção da Distância Zenital Absoluta: Z = Z’ + R – P d 1) Refração: R = Rm . P’.T’ d 1.1) Refração média: Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ Rm = 0°0’54,04” 24 d 1.2) Fator de correção da pressão: pela altitude 760-8 = 752 760 ' P P = 760 752 '=P P’ = 0,989473684 d 1.3) Fator de correção da temperatura: T T 00384,01 1 ' + = T’ = 0,872661267 Então a Refração fica: R = Rm.P’.T’ R = 0°0’46,66” d 2) PARALAXE: .).(. 7940586,8 auAterraDist PO = 987696,0 7940586,8=OP P0 = 8,9036” P = P0 . SenZ’ P = 0°0’5,94” Então o Ângulo Zenital corrigido fica: Z = Z’ + R – P Z = 41°52’10,72” e) Cálculo do Azimute do Astro. ) . . ( SenZCos CosZSenSen ArcCosA φ φδ += A = 87°23’56,67” AZSOL = 360 - A (Tarde ) AZSOL = 272°36’3,33” f) Cálculo do Azimute da Mira: AZMIRA = 360 – α + AZSOL AZMIRA = 1°40’48,33” AZMÉDIO = 1°41’08,81” Após determinarmos o azimute de um alinhamento no campo, calculamos os demais: 8. AZIMUTES - ÂNGULOS INTERNOS A determinação do azimute a partir dos ângulos internos já compensados se procede da seguinte maneira: 25 212 180 AiAZAZ +°+= °++= − 180)1( nnn AiAZAZ 212 180 AiAZAZ +°+= °++= − 180)1( nnn AiAZAZ Genericamente: Az (n) = Az (n-1) + Ai (n) ± 180° Então quando somarmos o azimute anterior com o ângulo interno do vértice e o valor for menor do que 180° soma-se 180°; quando essa soma for maior que 180°, subtraímos 180°. 26 OBS.: Caso a soma seja superior a 540° (o que, às vezes, é possível), ao invés de diminuirmos 180°, devemos diminuir 540°, pois senão o azimute calculado ficará com um valor acima de 360°, o que não existe. Exemplo: O exemplo a ser usado aqui foi levantado em aula prática e trabalharemos até o cálculo da área. V Ai Lidos Ai Comp. Azimutes Dist. (m) 1 90°21’40” 90°22’40” 81°18’10” 192,20 2 116°55’35” 116°55’40” 18°13’50” 202,13 3 115°40’30” 115°41’30” 313°55’20” 90,83 4 128°53’40” 128°53’40” 262°49’00” 230,81 5 88°06’30” 88°06’30” 170°55’30” 258,29 539°57’55’ 540°00’00” 974,26 Σ Ai = 180° (n - 2) Σ Ai = 540° T n= ′1 T = ′1 5 T = 0°02’14” ERRO = 540° - 539°57’55” ERRO = 0°02’05” Obs: Cálculo dos ângulos internos: conhecido o azimute Anti-horário → Ain = (180-Azn-1)+Azn Horário → Ain = (180+Azn-1)-Azn 8.1 Prova do Cálculo do Azimute Basta, com o último azimute calculado e com o primeiro ângulo interno, recalcularmos o primeiro azimute, tendo este que ter o valor igual ao primeiro azimute calculado. 27 9. AZIMUTES - ÂNGULOS DE DEFLEXÃO A determinação do Azimute a partir dos ângulos de deflexão pode ser em poligonais abertas ou fechadas, pois o cálculo é o mesmo, assim: Então, de forma genérica podemos dizer que: Az (n) = Az (n - 1) + Ad D Az (n) = Az (n - 1) - Ad E OBS.: Aqui também devemos ter o cuidado, pois pode a soma ultrapassar a 360°, e nesse caso, após somado, se diminui 360°. Também pode ocorrer que na subtração o valor fique negativo, e nesse caso soma-se 360°. Exemplo: Esse exemplo foi medido em aula prática e trabalharemos o cálculo até a área do polígono. 28 Essa poligonal usada no exemplo é fechada, pois só desta forma podemos avaliar os erros contidos, o que não seria possível se a poligonal fosse aberta. V Deflex. lidas Deflex. Comp. Azimutes Dist. (m) 1 89°19’45” E 89°19’45” E 124°27’30” 206,50 2 91°54’35”E 91°54’25”E 32°33’05’ 137,65 3 47º38’50” E 47º38’50” E 344°54’15” 196,06 4 1°39’40” E 1°38’40” E 343°15’35” 71,90 5 129°28’20” E 129°28’20” E 213°47’15” 310,09 360°01’10” 360°00’00” 922,20 Σ dE = 360°01’10” Σ dD = 0°00’00” ≠ = 360°01’10” ERRO = 0°01’10” T n= ′1 T = ′1 5 T = 0°02’14” 9.1 Prova do Cálculo do Azimute Com o valor do último azimute calculado e com o primeiro ângulo de deflexão, recalcular o primeiro azimute. O valor terá que ser o mesmo. 10. AZIMUTES - ÂNGULOS IRRADIADOS A determinação do azimute a partir de ângulos irradiados de forma cumulativa ocorre da seguinte maneira: somando sempre o azimute do primeiro elemento com o ângulo irradiado acumulado, já que ambos são para o mesmo calculado. Da mesma forma, como já explicado, pode passar de 360°, e aí basta que se diminua 360°. 29 Exemplo: Esse exemplo foi medido em aula prática e trabalharemos o cálculo até a área do polígono. V Âng. irrad. Azimutes Ls Lm Li Zenital 1 0°00’00” 155°20’30” 2,732 2,00 1,268 93°10’40” 2 63°20’40” 218°41’10” 2,416 2,00 1,584 86°27’35” 3 124°50’10” 280°10’40” 2,544 2,00 1,456 87°13’30” 4 188°30’20” 343°50’50” 2,816 2,00 1,184 92°10’40” 5 250°10’20” 45°31’20” 2,365 2,00 1,635 94°18’30” 6 305°40’30” 101°01’00” 2,482 2,00 1,518 95°14’50” Posteriormente calcularemos a distância e a área dessa poligonal fechada. 11. CÁLCULO DAS PROJEÇÕES E COORDENADAS Inicialmente devemos definir projeção e coordenada. Projeção x (Px) ⇒ É dado pelo rebatimento do alinhamento sobre o eixo cartesiano X. Projeção y (Py) ⇒ É dado pelo rebatimento do alinhamento sobre o eixo cartesiano Y. Coordenada X ( abcissa) ⇒ É a distância que vai do centro do sistema de eixos cartesianos até o ponto, sobre o eixo X. Coordenada Y ( ordenada) ⇒ É a distância que vai do centro do sistema de eixos cartesianos até o ponto, sobre o eixo Y. D A’ B’ = Projeção x ( Px) D A” B” = Projeção y (Py) D 0 A’ = Coordenada X, abcissa de A (XA) D 0 B’ = Coordenada X, abcissa de B (XB) D 0 A” = Coordenada Y, ordenada de A (YA) D 0 B” = Coordenada Y, ordenada de B (YB) 30 Como vemos: XB – XA = Px ou XB = XA + Px YB – YA = Py ou YB = YA + Py Px = sen Az . d Py = cos Az . d OBS.: Quando conhecemos as coordenadas, podemos calcular os azimutes e as distâncias, assim: - Azimute: TgA XB XA YB YA TgA Px Py A arcTg Px Py ' ' '= − − ∴ = ∴ = ( XB - XA) Px ( YB - YA) Py AZIMUTE + + A’ + - A’ + 180° - - A’ + 180° - + A’ + 360° - Distância: D X X Y YAB B A B A= − + −( ) ( )2 2 , Teorema de Pitágoras. D Px PyAB = +2 2 31 11.1.1 Exemplos de Cálculo de Projeções e Análise do Erro por Quilômetro Retornando o exemplo da página anterior, cujos dados foram medidos por caminhamento perimétrico e já calculamos os azimutes, então: Projeções Calculadas Sobre o eixo x (sen Az . d) Sobre o eixo y (cos Az . d) Correções Proj. Compensadas Vert E (+) W (-) N (+) S (-) ∆x ∆y Px Py 1 189,99 - 29,06 - 0,15 -0,01 190,14 29,05 2 63,23 - 191,98 - 0,05 -0,04 63,28 191,94 3 - 65,42 63,01 - 0,05 -0,01 - 65,37 63,00 4 - 229,00 - 28,86 0,18 -0,01 - 228,82 - 28,87 5 40,74 - - 255,06 0,03 -0,06 40,77 - 255,12 293,96 294,42 284,05 283,92 0,46 -0,13 0,00 0,00 Ex = - 0,46 Ey = 0,13 A soma algébrica das projeções de cada eixo tem que ser igual a zero. Erro Linear El Ex Ey El m= + ∴ =2 2 0 478016736, Erro por Quilometro Ek El L Ek m km Ek m km= ∴ = ∴ = 0 478016736 0 97426 0 49 , , , / Obs: O CREA permite o seguinte limite de erro para levantamentos planimétricos. Até 1 m/ Km ⇒ para terrenos planos Até 2 m/ Km ⇒ para terrenos semi-planos Até 3 m/ Km ⇒ para terrenos inclinados Estando o levantamento dentro do limite de tolerância devemos fazer a compensação, e aqui faremos uma compensação proporcional ao tamanho das projeções, assim: Coeficiente de Correção ˜ Para X: Ccx Ex px Ccx= ∴ = + = Σ 0 46 293 96 294 42 0 0007818076753 , , , , 32 A correção de X será o Ccx, multiplicado por cada projeção X ( veja na tabela), com o valor contrário ao sinal do erro. ˜ Para Y: Ccy Ey py Ccy= ∴ = + = Σ 0 13 284 05 283 92 0 0002288853285 , , , , Procedemos da mesmaforma de X. Após calculado as correções procedemos as compensações, bastando para isso realizar uma soma algébrica entre a correção e sua projeção. 11.2 Cálculo das Coordenadas: A coordenada X ( abscissa) Por definição é a distância que vai do centro do sistema de eixo cartesiano até o ponto, sobre o eixo X. A coordenada Y ( ordenada) Por definição é a distância que vai do centro do sistema de eixo cartesiano até o ponto, sobre o eixo Y. 11.2.1 Cálculo das coordenadas a partir das projeções: Após conhecermos as projeções compensadas dos alinhamentos, portanto sem mais erros de campo, podemos calcular as coordenadas dos vértices. Se não conhecemos o valor das coordenadas do vértice inicial, devemos atribuir um valor de coordenadas locais, que normalmente é zero, assim: X ( n + 1) = Xn + Pxn e Y ( n + 1) = Yn + Pyn Coordenadas Vert Abcissas ( X ) Ordenadas ( Y ) 1 0.00 0.00 2 190.14 29.05 3 253.42 220.99 4 188.05 283.99 5 - 40.77 255.12 590,84 789,15 x2 x2 1181,68 1578,30 33 Cálculo das Projeções e Coordenadas: Exercícios: Para consolidarmos bem o que vimos no capítulo anterior, vamos exercitar usando o exemplo da página anterior, cuja poligonal foi levantada por deflexão. Projeções calculadas Px (sen Az . d) Py (cos Az . d) Correções Proj. Comp. Coordenadas V E (+) W (-) N (+) S (-) ∆x ∆y Px Py X Y 1 170,27 - - 116,84 -0,04 0,06 170,23 -116,78 0,00 0,00 2 74,06 - 116,03 - -0,02 0,06 74,04 116,09 170,23 -116,78 3 - 51,06 189,29 - -0,01 0,10 - 51,07 189,39 244,27 - 0,69 4 - 20,71 68,85 - -0,00 0,04 - 20,71 68,89 193,20 188,70 5 - 172,45 - 257,72 -0,04 0,13 -172,49 -257,59 172,49 257,59 244,33 244,22 374,17 374,56 -0,11 0,39 0,00 0,00 780,19 328,82 Ex = + 0,11 Ey = - 0,39 x2 x2 Ek = 0,44 m/km 1560,38 657,64 11.2.2 Cálculo das Coordenadas no Levantamento por Irradiação: Observe que no caso da irradiação se as coordenadas planimétricas da Estação forem (0; 0) o valor da projeção será igual ao da coordenada, então: X = (Px = Sen Az * d) Y = (Py = Cos Az * d) Vamos calcular as coordenadas do exemplo da página anterior, porém antes teremos que calcular a distância, relembrando a fórmula: D= H * 100 * Cos2 β Ou D= H * 100 * Sen2 Z 34 Vértice Azimute Dist. (m) X Y 1 155°20’30” 145,95 60,89 - 132,64 2 218°41’10” 82,88 - 51,80 - 64,69 3 280°10’40” 108,54 - 106,83 19,18 4 343°50’50” 162,96 - 45,34 156,53 5 45°31’20” 72,59 51,79 50,86 6 101°01’00” 95,59 93,83 - 18,27 12. CÁLCULO DA ÁREA A área pode ser calculada de várias maneiras, aqui veremos três métodos, os mais importantes: ˜ Método trigonométrico ˜ Método analítico por Sarrus ˜ Método analítico por Gauss 12.1 Trigonométrico: Vejamos a área de algumas figuras conhecidas: Quadrado A = L2 Retângulo A = b * h Triângulo retângulo 2 * hb A = Triângulo qualquer ˜ Triângulo Qualquer: Nesse caso devemos encontrar antes o valor da altura (h), que é dada por: 11 1 * )( )(. senipdh dhipotenusa hopostocat senip =∴= Substituindo na fórmula anterior, temos: 2 .. 2 * 112 senipddhb A ∴= 35 2 .. 121 senipdd A = Pelo somatório de todos os triângulos, teremos a área do polígono, assim: AP= Σ AT Exemplo: Vamos calcular a área da irradiação anterior V Irrad. Parc.(ip) Dist. (M) Duplas Áreas (DA) 1 63°20’40” 145,95 10810,73 2 61°29’30” 82,88 7905,03 3 63°40’10” 108,54 15852,58 4 61°40’30” 162,96 10412,95 5 55°29’40” 72,59 5718,13 6 54°19’30” 95,59 11333,22 12.2 Cálculo Analítico - Sarrus Esse é um método matricial, no qual temos, através das coordenadas X e Y, uma matriz de 2° ordem e pelo algoritmo de Sarrus podemos determinar a área, assim: X Y 1* +nn XY X1 Y1 1* +nn YX Y1*X2 X2 Y2 X1*Y2 Y2*X3 X3 Y3 X2*Y3 .. .. .. .. .. Xn Yn .. Yn*X1 X1 Y1 Xn*Y1 Σ 1 = Σ 2 = 2 1 2∑ ∑− =A quando, os pontos estão no sentido horário DA = 62032,65 ÷ 2 A = 31016,33 m2 ou 3ha 10a 16ca 36 Exemplo: Vamos calcular a área do mesmo exercício da irradiação anterior. X Y 1* +nn XY 60,89 - 132,64 1* +nn YX 6870,7520 - 51,80 - 64,69 -3938,9741 6910,8327 - 106,83 19,18 -993,524 - 869,6212 - 45,34 156,53 -16722,0999 8106,6887 51,79 50,86 -2305,9924 4772,1938 93,83 - 18,27 -946,2033 - 1112,4603 60,89 - 132,64 -12445,6112 Σ1 = 24678,3857 Σ2 = -37352,4049 2 1 2∑ ∑− =A A = 31015,3953 m2 ou A = 3ha 10a 15ca A área calculada por Sarrus não da exatamente o mesmo resultado do que o método trigonométrico, por que as coordenadas foram arredondadas. Se calcularmos essa mesma poligonal pelo método analítico de Gauss, dará exatamente o mesmo resultado, do encontrado pelo método de Sarrus. 12.3 Cálculo Analítico - Gauss No método analítico de Gauss, a área de um polígono irregular, é determinada pelo somatório das áreas dos trapézios que ele forma, sendo que as bases são dadas pelas coordenadas, e as alturas pelas projeções do eixo contrário. Assim: 37 A1= 1 1” Py1 = 1” 2” A2= 2 2” E Py2 = 2” 3” A3= 3 3” Py3 = 3” 4” A4= 4 4” Py4 = 4” 1 2AT1= (A1 + A2) . Py1 2AT2 = (A2 + A3) . Py2 2AT3 = (A3 + A4) . Py3 2AT4 = (A4 + A1) . Py4 Podemos observar que onde houve sobreposição, o cálculo ora foi positivo e ora foi negativo, portanto se anulando, restando apenas à área do polígono. Poderíamos demonstrar a área negativa a qual serve de prova para o cálculo, mas isso deixaremos para explicar em sala de aula. 38 Exemplo: Vamos usar como exemplo uma poligonal levantada por caminhamento perimétrico, e que já calculamos as projeções e coordenadas anteriormente, assim: Proj. compensadas Coordenadas(bases) Σ X D. áreas Σ Y D. áreas V Px Py X Y base+base base+base 1 190,14 29,05 0,00 0,00 190,14 5523,567 29,05 5523,567 2 63,28 191,94 190,14 29,05 443,56 85136,9064 250,04 15822,5312 3 -65,37 63,00 253,42 220,99 441,47 27812,61 504,98 -33010,5426 4 -228,82 -28,87 188,05 283,99 147,28 -4251,9736 539,11 -123359,1502 5 40,77 -255,12 -40,77 255,12 -40,77 10401,2424 255,12 10401,2424 0,00 0,00 590,84 789,15 1181,68 124622,3522 1578,30 -124622,3522 x 2 x 2 1181,68 1578,30 A= 62311,1761 m2 A= 6ha 23a 11ca 13. DESENHO DA POLIGONAL CALCULADA Para fazermos a representação de nossa poligonal, vamos nos basear nos valores das coordenadas (X e Y). Teremos que estabelecer uma boa relação entre os valores a serem representados e o tamanho do papel disponível. Essa relação chama-se de ESCALA, no caso escala de redução. A escala é sempre representada com a unidade no numerador e o fator de redução no denominador, assim: E M = 1 mas também é a relação entre os valores no desenho e seus correspondentes no campo, então: E d D = , portanto, podemos dizer que: 1 M d D = onde, M e o fator de redução; d valor desenho e D o valor correspondente no campo. 39 Formatos de papel segundo a ABNT formato A4 210 x 297 formato A3 420 x 297 formato A2 420 x 594 formato A1 841 x 594 formato A0 841 x 1189 Devemos escolher o formato de papel, mas não esquecendo de deixar espaço para as margens e para a legenda. Após basta somarmos o maior valor positivo e o maior valor negativo das coordenadas, tanto para X como para Y, e dividirmos pelo papel útil também para o eixo X e para o eixo Y, com isso teremos o valor de redução. Devemos escolher o maior fator de redução como base para a nossa escala, assim: Exemplo: 1420 2,0 099,283 1839 16,0 77,4042,253 =+= ∴=+= My Mx Como usamos valores inteiros, neste caso a escala recomendada é 1:2000. 40 41 Obs: O desenho normalmente é feito em papel milimetrado,como rascunho e depois passado a limpo com nanquim numa folha transparente, o que servirá de matriz para as cópias heliográficas, as quais devem ser assinadas e junto com o memorial descritivo ser entregues ao proprietário. 14. MEMORIAL DESCRITIVO ˜ Objetivo: Esse memorial destina-se a descrever de forma sucinta o lote de terras, pertencentes a Mário de Almeida, localizada no distrito de Camobi, cidade de Santa Maria -RS. ˜ Descrição: Uma fração de terras de campos e matos, sem benfeitorias, situado no lugar denominado Camobi na cidade de Santa Maria -RS, com área superficial de 62311 m2 ou 6 ha, 23 a, 11ca, com as seguintes medidas e confrontações gerais: Ao Norte uma linha reta por cerca, 230,63 metros com terras de propriedade de João da Silva; Ao Sul uma linha reta por cerca, 192,35 metros com a estrada rural de São Geraldo que leva a Camobi; Ao Leste uma linha quebrada por cerca, 202,10 metros, mais 90,79 metros com terras de José Londero e Ao Oeste uma linha reta, 258,36 metros com terras de propriedade de Manoel de Oliveira. Proprietário: Mário de Almeida, brasileiro, casado, agricultor, portador do CPF n° 1050235-00, residente e domiciliado em Santa Maria, Rua Silva Jardim n° 11. ˜ Conclusão: Além da descrição do referido imóvel acompanha uma planta topográfica, a qual tem por finalidade auxiliar na elucidação dos detalhes acima descritos. Santa Maria, 26/01/2008 Técnico Responsável Engº florestal Erni José Milani CREA 29993 42 15. MÉTODOS COMBINADOS Na medição de área o que mais nos utilizamos são dos métodos combinados pois assim podemos utilizar as vantagens de cada um. Na prática o que nos da a garantia de conferir nosso trabalho é o método de caminhamento perimétrico, porém esse método na maioria das vezes não nos permite andar sobre a divisa, porque nela há cercas ou mesmo sangas, portanto se para a área extra-poligonal, utilizarmos a irradiação conseguiremos uma maior eficiência. Outro caso típico é o levantamento com a estação total, nesse caso para potencializarmos o uso do aparelho temos que trabalhar com coordenadas. Localizando bases no campo para a continuidade do levantamento e irradiando dessas bases. Como meio de comprovação do levantamento devemos fechá-lo no vértice inicial e encontrarmos o mesmo valor de coordenadas, a diferença é o erro cometido. Obs.: Durante o curso faremos exercícios. 16. ALTIMETRIA. É a parte da topografia que nos permite o levantamento do relevo do terreno, ou seja o valor da coordenada Z. Para isso, temos que ter bem presente em nossas mentes o que é: ˜ ALTITUDE: é a distância vertical que vai desde um ponto qualquer da superfície topográfica, até o nível médio do mar. Tido como plano de referência verdadeiro. ˜ COTA: é a distância vertical que vai desde um ponto qualquer da superfície topográfica, até o plano imaginário de referência. Plano particular para um nivelamento. ˜ DESNÍVEL: é a diferença da distância vertical entre dois ou mais pontos da superfície topográfica. Geralmente determinado pela diferença entre as cotas dos pontos em questão, tendo-se o cuidado de indicar se essa diferença é em aclive (+) ou em declive (-). ˜ REFERÊNCIA DE NÍVEL (RN): o RN é um marco geodésico que nos indica o valor das coordenadas, principalmente a altitude do referido ponto. Esses marcos são levantados, pelo SGE (Serviço Geográfico do Exército) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). ˜ TRANSPORTAR UM RN: significa fazermos um nivelamento de precisão desde um RN pré-existente, até o local onde desejamos saber a altitude. 43 ˜ ERRO ALTIMÉTRICO DEVIDO A CURVATURA E REFRAÇÃO: BN = h = B0 - A0 h = B0 – R T = Tgα . R 22 RTBO += Exemplo: Calcule o erro altimétrico devido a curvatura, sendo que o raio médio é de 6370km e o ângulo à partir do centro da terra de ô = 0°30’. Então: D = Tg 0°30’ * 6370000 m D = 55.590,14783 m 22 RTBO += BO = 6.370.242,5592 m h = B0 – R h = 242,5592 m Efeito da refração: R D hR 2 *1306,0 2 = hR = 31,67884995 m Erro devido à curvatura e Refração: h’ = h – hR h’ = 210,88035 m Para simplificar podemos determinar uma constante desta relação, assim: 2 ' D h C = C = 0,06824 * 10-6 / m 44 Assim quando quisermos saber o erro devido a curvatura e refração de modo direto, basta associarmos a distância de visada à essa constante, então: h’ = 0,06824*10-6 / m * D2 Exercícios: Calcule o erro altimétrico devido à curvatura e refração das seguintes visadas: a) 1000 m b) 500 m c) 250 m d) 125 m e) 90 m a) h’ = 0,06824*10-6 / m * D2 h’ = 0,06824*10-6 / m * 10002 m2 h’ = 0,06824*10-6 / m * 1000000 m2 h’ = 0,06824 m ou h’ = 68,24 mm b) h’ = 0,06824 * 10-6 / m * 5002 m2 h’ = 0,01706 m ou h’ = 17,06 mm c) h’ = 4,265 mm d) h’ = 1,066 mm e) h’ = 0,55 mm 17. MÉTODOS DE NIVELAMENTO: ˜ Nivelamento Geométrico. ˜ Nivelamento Trigonométrico. 17.1 Nivelamento Geométrico: o método geométrico é dito direto ou por alturas, pois medimos através de um nível de luneta e um mira falante, a altura dos pontos na superfície topográfica. 45 O nivelamento geométrico se divide em simples e composto. O simples é quando obtemos a altura de todos os pontos a partir de uma única estação. O nivelamento geométrico composto é quando para obter a altura de todos os pontos temos que ter mais de uma estação. 17.1.1 Nivelamento Geométrico Simples ˜ PLANO DE REFERÊNCIA: o plano de referência pode ser verdadeiro ou imaginário, como é mais comum sairmos de um local desconhecido. Citamos o imaginário. ˜ DISTÂNCIA HORIZONTAL: é a distância que separa os pontos, mesmo que não entre no cálculo das coordenadas Z, é fundamental para fazermos o desenho e para cálculos de volume. ˜ PLANO HORIZONTAL DE VISADA: plano definido pelo fio nivelador do aparelho, desde que nivelado. 46 ˜ VISADA DE RÉ: é a primeira visada de uma estação. ˜ VISADA DE VANTE: são todas as demais visadas feitas desta estação. ˜ ALTURA DO INSTRUMENTO NO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO: é a distância vertical que vai desde o plano de visada até o plano de referência. 17.1.1.1 Cálculo da Altura do Instrumento e das Cotas AI = COTA1+ V. RÉ COTA = AI - V.VANTE Exemplo: Para a organização dos dados usamos anotá-los numa caderneta de campo, assim: EST. P.V DH V. RÉ V.VANTE AI COTAS A 1 - 3.742 - 13.742 10 2 20 3.513 10.229 3 30 3.324 10.418 4 30 2.942 10.800 5 30 1.872 11.870 6 25 1.134 12.608 7 20 1.267 12.475 17.1.2 Nivelamento Geométrico Composto É o nivelamento que temos a necessidade de trocar o aparelho de lugar, e para que possamos permanecer com o mesmo levantamento, ou seja, com o mesmo plano de referência, então temos que fazer a ligação entre os nivelamentos simples, e isso é possível com a estaca de amarração, assim: ˜ ESTACA DE AMARRAÇÃO: a estaca de amarração é onde se faz duas leituras, uma de vante e a outra de ré da estação seguinte. Serve de elo de união entre os nivelamentos simples, formando o nivelamento composto. 47 Exemplo: Calcule as cotas dos pontos, da poligonal aberta, pelo método geométrico, cujos dados se encontram na caderneta de campo. Est P. V D. h V. Ré V. Vante Alt. Instr. Cotas A 1 20 3,532 23,532 20,000 2 20 2,733 20,799 3 20 1,967 21,565 4 20 1,122 22,410 B 5 20 2,318 0,544 25,306 22,988 6 20 1,377 23,929 7 20 0,669 24,637 8 20 1,833 23,473 C 9 20 0,638 2,745 23,199 22,561 10 20 1,465 21,734 11 20 2,337 20,862 D 12 20 0,834 3,144 20,889 20,055 13 20 1,562 19,327 14 20 2,278 18,611 15 20 2,937 17,952 Σ v. ré= 7,322 Σ v. van.= 9,37 ≠ 2,048 ≠ 2,048 17.1.2.1 Prova de caderneta de campo A prova docálculo da caderneta de campo se aplica tanto para poligonais abertas ou fechadas, saberemos se o cálculo está certo se a diferença entre a somatório das visadas de ré e o somatório das visadas de vante onde tiver ré mais a última vante, for igual a diferença entre as cotas extremas. 17.1.2.2 Prova do nivelamento: Já a prova do nivelamento só é possível se a poligonal for fechada, mesmo que tenhamos que fechá-la apenas para conferir os dados levantados. Normalmente a cada 2 Km de trecho nivelado se faz o contra nivelamento. 48 ˜ Análise do erro cometido: Segundo a A.G.I ( Associação Geodésica Internacional), podemos classificar os nivelamentos conforme a seguinte ordem: - Nivelamento de alta precisão ⇒ ± 1,5 mm por km - Nivelamento de 1ª ordem ⇒ ± 2,5 mm por km - Nivelamento de 2ª ordem ⇒ ± 10 mm por km - Nivelamento de 3ª ordem ⇒ ± 30 mm por km - Nivelamento de 4ª ordem ⇒ ± 100 mm por km Normalmente nas obras de engenharia em geral, usa-se a precisão ditada pela 2ª e 3ª ordem. Os nivelamentos de alta precisão e de 1ª ordem são usados para transporte de R.N ( Referência de Nível), e certos tipos de nivelamento em instalações industriais. Tolerância: ET = EP mm n onde: n = nº de quilômetros de trecho levantado ET = erro tolerável EP = erro permitido Compensação do erro cometido desde que dentro da tolerância. A compensação do erro se faz normalmente nas visadas de ré, distribuindo o erro de modo a compensá-lo integralmente, para isso temos que ter o cuidado no seu sinal. A compensação terá que ser sempre de sinal contrário ao erro. 49 Exemplo: Calcule as cotas da poligonal fechada abaixo. Es t Pv Dh Ré Vant AI Cota Es t Pv Dh Ré Van AI Cota A 1 -- 1,235 -- 21,235 20,000 A 1 -- 1,237 -- 21,237 20,000 2 20 1,583 19,652 2 20 1,583 19,654 3 20 0,948 20,287 3 20 0,948 20,289 4 20 1,485 19,750 4 20 1,485 19,752 5 20 2,641 18,594 5 20 2,641 18,596 B 6 20 1,425 3,384 19,276 17,851 B 6 20 1,427 3,384 19,280 17,853 7 20 1,893 17,383 7 20 1,893 17,387 8 20 2,378 16,898 8 20 2,378 16,902 C 9 20 1,535 3,144 17,667 16,132 C 9 20 1,537 3,144 17,673 16,136 10 20 1,938 15,729 10 20 1,938 15,735 11 20 2,642 15,025 11 20 2,642 15,031 12 20 1,425 16,242 12 20 1,425 16,248 D 13 20 3,457 0,638 20,486 17,029 D 13 20 3,459 0,638 20,494 17,035 14 20 2,921 17,565 14 20 2,921 17,573 15 20 2,143 18,343 15 20 2,143 18,351 E 16 20 2,985 1,581 21,890 18,905 E 16 20 2,987 1,581 21,900 18,913 17 20 1,321 20,569 17 20 1,321 20,579 F 18 20 3,143 0,687 24,346 21,203 F 18 20 3,145 0,687 24,358 21,213 19 20 2,257 22,089 19 20 2,257 22,101 G 20 20 1,042 1,348 24,040 22,998 G 20 20 1,044 1,348 24,054 23,010 H X1 -- 1,423 3,677 21,786 20,363 H X1 -- 1,425 3,677 21,802 20,377 I X2 -- 1,257 3,814 19,229 17,972 I X2 -- 1,259 3,814 19,247 17,988 J X3 -- 3,834 2,591 20,472 16,638 J X3 -- 3,836 2,591 20,492 16,656 1 -- 0,492 19,980 1 -- 0,492 20,000 Erro Cometido ( EC) = 19,980-20,000 = 0,020 m ou 20mm 2- Da poligonal acima verifique se houve erro. Caso positivo veja se o mesmo está dentro do limite de tolerância para a 3ª Ordem. Erro permitido de 30 mm por quilômetro de trecho, 50 considere o trecho como o total da ida e volta da poligonal. Estando dentro da tolerância compense o erro e recalcule as Cotas. mmET mmET nEPmmET 15,26 76,030 = ×= ×= O erro cometido foi menor do que o tolerável. 3-Calcule as seguintes Diferenças de Nível DN1e15 = DN3e20 = DN1e15 = cota15-cota1 DN3e20 = 23,010-20,289 DN1e15 = 18,351-20 DN3e20 = 2,721 m(+) DN1e15 = 1,649 m(-) DN5e14 = DN7e1 = DN5e14 = 17,573-18,596 DN7e1 = 20-17,387 DN5e14 = 1,023 m(-) DN7e1 = 2,613 m(+) DN19e6 = DN17e5 = DN19e6 = 17,853-22,101 DN17e5 = 18,596-20,579 DN19e6 = 4,248 m(-) DN17e5 = 1,983 m(-) 51 4- Calcule as cotas da poligonal fechada abaixo. E Pv Dh Ré Vant AI Cota E Pv Dh Ré Van AI Cota A 1 -- 1,239 -- 50,000 A 1 -- -- 2 30 1,583 2 30 1,583 3 30 0,948 3 30 0,948 4 30 1,485 4 30 1,485 5 30 2,641 5 30 2,641 B 6 30 1,429 3,384 B 6 30 3,384 7 30 1,893 7 30 1,893 8 30 2,378 8 30 2,378 C 9 30 1,539 3,144 C 9 30 3,144 10 30 1,938 10 30 1,938 11 30 2,642 11 30 2,642 12 30 1,425 12 30 1,425 D 13 30 3,461 0,638 D 13 30 0,638 14 30 2,921 14 30 2,921 15 30 2,143 15 30 2,143 E 16 30 2,989 1,581 E 16 30 1,581 17 30 1,321 17 30 1,321 F 18 30 3,147 0,687 F 18 30 0,687 19 30 2,257 19 30 2,257 G 20 30 1,046 1,348 G 20 30 1,348 H X1 -- 1,427 3,677 H X1 -- 3,677 I X2 -- 1,261 3,814 I X2 -- 3,814 J X3 -- 3,838 2,591 J X3 -- 2,591 1 -- 0,482 1 -- 0,482 52 5-Da poligonal acima verifique se houve erro. Caso positivo veja se o mesmo está dentro do limite de tolerância para a 3ª Ordem. Erro permitido de 30 mm por quilômetro de trecho, considere o trecho como o total da ida e volta da poligonal. Estando dentro da tolerância compense o erro e recalcule as Cotas. 6-Calcule as seguintes Diferenças de Nível DN1e15 = DN3e20 = DN5e14 = DN7e1 = DN19e6 = DN17e5 = 17.2 Nivelamento Trigonométrico O método trigonométrico é dito indireto, pois depende da resolução de um triângulo para que possa saber a diferença de nível (DN) entre o ponto da estação e o ponto que está observado. Assim: 1º Caso (aclive): ˜ Altura do Instrumento No nivelamento trigonométrico a altura do instrumento é a distância vertical que vai desde o centro ótico do aparelho, até a superfície do solo onde o aparelho está instalado. 53 ˜ Leitura É a leitura que fazemos com o fio do meio, que por vezes em nossas cadernetas chamamos também de leitura média (LM). DN = Ai + OM - L (l) Tg OM D β = βTgDOM *= (II) Substituindo (II) em (I), temos: ).( βTgDLAiDN +−= 2º Caso (declive): - DN = OM + L - Ai . (-1) DN = Ai - L - OM DN = Ai - L - (D * Tg β) quando β é usado sem sinal e DN = Ai - L + (D * Tg β) se o β for usado com o seu sinal Assim: DN= Ai - L + (D * Tg β) OBS.: O β deve ser sempre usado com o sinal. 54 ˜ Análise do Método: O método trigonométrico tem sérios problemas com a precisão, pois depende de vários fatores, sendo os principais o ângulo β e a distância horizontal, portanto só é lógico nos casos em que a precisão não é fator primordial, porém com o surgimento de novos aparelhos eletrônicos o método ganhou precisão e passou novamente a oferecer interesse pois através dele temos um grande ganho de tempo nas operações de campo. Exemplo: a) Com o aparelho instalado em A, visou-se o ponto B e obteve-se os seguintes dados: Ai = 1,453 m L = 2,00 m D = 143,25 m Nadiral = 87°10’30” DNAB = ? b) Com o aparelho instalado em A, visou-se o ponto B e obteve-se os seguintes dados: Ai = 1,533 L = 2,00 m D = 97,25 m Zenital = 86°30’40” DNAB = ? 17.2.1 Nivelamento Trigonométrico (por taqueometria) Como já vimos anteriormente, a DN= Ai - L + (D * Tg β) (I) e D= H * 100 * cos2β Nós poderemos substituir a distância na fórmula (I) e teremos: DN+ Ai - L + (H * 100 * cos2β * tgβ) ) cos *cos*100*( 2 β ββ sen H )cos**2*50*( ββsenH Então: DN= Ai - L + ( H * 50 * Sen 2β) DN= Ai - L + (D . tg β) β= 87°10’30” - 90°00’00 β= 2°49’30” (-) DNAB = 1,453 - 2 + (143,25 . tg 2°49’30” DNAB = 7,616 m (-) DN= Ai - L + (D . tgβ) Z= 3°29’20” (+) DNAB = 1,533 - 2 +(97,25 . tg 3°29’20” DNAB = 5,462m (+) sen 2 β 55 Exemplo: Calculea coordenada Z (cota) dos pontos, sabendo-se que as coordenadas da estação são: EST Ai P.V LS LM LI Zenital β DN Cotas(Z) A 1,558 1 2,732 2,00 1,268 93°10’40” 3°10’40”(-) 8,545(-) 91,455 2 2,416 2,00 1,584 86°27’35” 3°32’25”(+) 4,686(+) 104,686 3 2,544 2,00 1,456 87°13’30” 2°46’30”(+) 4,819(+) 104,819 4 2,816 2,00 1,184 92°10’40” 2°10’40”(-) 6,639(-) 93,361 5 2,365 2,00 1,635 94°18’30” 4°18’30”(-) 5,911(-) 94,089 6 2,482 2,00 1,518 95°14’50” 5°14’50”(-) 9,221(-) 90,779 17.2.2 Nivelamento Trigonométrico (com dados obtidos por Distanciômetro eletrônico) Nesse caso é importante observar que a distância medida é a inclinada, portanto para reduzi-la ao plano devemos multiplicá-la pelo cosseno do ângulo de altura (β). Assim: D = D’ * Cos β (I) e DN = Ai – hr + ( D * Tg β ) (II) Substituindo-se (I) em (II), temos: )*cos'*( ββ TgDhrAiDN +−= ) cos *cos'*( β ββ sen DhrAiDN +−= )'*( βSenDhrAiDN +−= Exemplo: Calcule a coordenada Z (cota) dos pontos, sabendo-se que as coordenadas da estação são: A (0; 0; 100) EST Ai Hr P.V D’ Zenital β DN Cotas(Z) A 1,515 1,70 1 151,44 87°51’40” 2°08’20”(+) 5,467(+) 105,467 2 128,27 88°12’20” 1°47’40”(+) 3,832(+) 103,832 3 83,41 91°04’40” 1°04’40”(-) 1,754(-) 98,246 4 42,50 93°12’30” 3°12’30”(-) 2,564(-) 97,436 56 17.3. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO: Quando o ângulo vertical usado é o Zenital. 17.3.1. Com distância horizontal direta. ).( CotgZDLAiDN +−= 17.3.2. Com distância horizontal por taqueometria. ZSenHD 2.100.= ( I ) e ).( CotgZDLAiDN +−= ( II ) Substituindo-se I em II, temos: )..100.( 2 SenZ CosZ ZSenHLAiDN +−= )..2.50.( CosZSenZHLAiDN +−= Fazendo-se: 2.SenZ.CosZ = Sen2Z, então: )2.50.( ZSenHLAiDN +−= 17.3.3. Com distância horizontal eletrônica: SenZDD '.= ( I ) e ).( CotgZDhrAiDN +−= ( II ) Substituindo-se I em II, temos: ).'.( SenZ CosZ SenZDhrAiDN +−= )'.( CosZDhrAiDN +−= 17.3.4. Com distância horizontal pelo método Trigonométrico. 12 12 CotgZCotgZ LMLM D − − = Neste caso, como na maioria das vezes calculamos a distância média, não é vantagem tentar simplificar a fórmula. Então o melhor procedimento é calcular em primeiro lugar a distância e depois calcular a diferença de nível, com a fórmula da distância direta. Assim: ).( 11 CotgZDLMAiDN +−= ou ).( 22 CotgZDLMAiDN +−= 57 Exemplo1.2 - Esse exemplo, cujos dados do levantamento foram feitos com os alunos da Geomática, serve para demonstrar o levantamento planialtimétrico de pontos com uma troca da estação. CADERNETA PARA LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO NIVELAMENTO TRIG.- DIST. MÉT. TRIGONOMÉTRICO PROPRIETÁRIO: UFSM COORD. DA EST. A: (0 ; 0 ; 100) LOCAL: PINUS AZ DO 1° ALINHAMENTO: 263°01’20” DATA: 12/11/07 ESTAÇÃO: A RESPONSÁVEL: ERNI AI DA EST. A: 1,501 m P LM1 Z1 LM2 Z2 AZIMUTE D(m) DN X Y Z 1 0,20 92°06’30” 3,90 82°25’30” 252°01’50” 21,79 0,499(+) -20,73 -6,72 100,499 2 0,10 92°00’00” 3,90 83°31’20” 294°19’40” 25,60 0,507(+) -23,32 10,54 100,507 3 0,10 91°54’50” 3,90 85°53’50” 314°50’30’ 36,14 0,193(+) -25,63 25,48 100,193 4 0,10 91°49’10” 3,90 87°26’10” 325°37’30” 49,64 0,176(-) -28,03 40,97 99,824 5 0,20 91°28’50” 3,90 88°11’40” 331°41’30” 64,49 0,366(-) -30,58 56,78 99,634 6 0,20 92°31’30” 3,90 89°01’40” 356°53’20” 60,59 1,371(-) -3,29 60,50 98,629 7 0,20 92°52’40” 3,90 88°02’50” 357°21’00” 43,86 0,904(-) -2,03 43,81 99,096 8 0,10 93°51’00” 3,90 86°28’00” 358°25’00” 29,45 0,581(-) -0,81 29,44 99,419 9 0,10 96°49’30” 3,90 82°17’20” 2°55’50” 14,90 0,382(-) 0,76 14,88 99,618 10 0,10 113°10’40” 3,30 65°25’40” 135°43’40” 3,61 0,146(-) 2,52 -2,59 99,854 11 0,10 95°17’20” 3,90 87°32’20” 86°40’20” 28,03 1,194(-) 27,99 1,63 98,806 12 0,20 94°44’30” 3,90 87/45’10” 50°56’10” 30,28 1,211(-) 23,51 19,08 98,789 13 0,10 93°57’20” 3,90 88°17’50” 31°25’40” 38,43 1,256(-) 20,04 32,79 98,744 14 0,10 93°22’30” 3,90 88°54’20” 20°03’30” 48,67 1,469(-) 16,69 45,72 98,531 15 0,10 92°54’10” 3,90 89°29’00” 11°11’40” 63,63 1,825(-) 12,35 62,42 98,175 EST. B AI DA EST B=1,505 m B 0,10 94°21’30” 3,90 87°40’10” 37°38’00” 32,50 1,076(-) 19,85 25,74 98,924 16 0,10 93°49’10” 3,90 88°48’20” 22°34’30” 43,37 1,491(-) 36,50 65,79 97,433 17 0,10 94°53’00” 3,90 87°44’20” 42°31’00” 30,42 1,194(-) 40,41 48,16 97,730 18 0,10 95°28’30” 3,90 86°59’40” 65°08’30” 25,61 1,050(-) 43,09 36,51 97,874 19 0,10 95°22’20” 3,90 87°06’00” 95°21’40” 26,26 1,065(-) 46,00 23,29 97,859 20 0,10 94°01’00” 3,90 88°02’40” 123°51’00” 36,41 1,152(-) 50,09 5,46 97,772 21 0,10 93°35’00” 3,90 89°38’50” 107°22’00” 55,25 2,055(-) 72,58 9,25 96,869 22 0,10 93°47’40” 3,90 89°24’20” 87°58’20” 49,55 1,881(-) 69,36 27,49 97,043 23 0,10 93°41’00” 3,90 89°17’00” 72°51’00” 49,43 1,777(-) 67,08 40,31 97,147 24 0,10 93°36’30” 3,90 89°24’40” 61°17’50” 51,81 1,862(-) 65,30 50,62 97,062 25 0,10 93°19’20” 3,90 89°43’20” 44°17’40” 60,42 2,102(-) 62,04 68,98 96,822 58 18. REPRESENTAÇÃO DO RELEVO O relevo do solo se representa na planta ou no plano topográfico, por diversos processos, dentre os quais o mais claro e racional, e o mais usado é o das curvas de nível, mas também são usados outros processos, tais como: pontos cotados, hachuras e perfis. 18.1 Curvas de nível Define-se curvas de nível, como sendo linhas que unem pontos de mesma cota ou altitude. A distância vertical entre dois planos horizontais sucessivos, chama-se eqüidistância real. Para obras de engenharia em geral, usa-se a eqüidistância de 1 metro, ou seja, curvas de nível de metro em metro. Para facilitar a interpretação do terreno são usadas curvas com traço reforçado, normalmente as múltiplas de 5 metros, que são denominadas curvas mestras. O desenho a seguir representa em terreno, cujo relevo está representado pelas respectivas curvas de nível. 59 18.1.1 Principais Propriedades das Curvas de Nível: ˜ Todos os pontos de uma mesma curva de nível têm a mesma cota ou altitude. ˜ Cada curva de nível fecha sobre si mesma, dentro dos limites de um plano considerado, ou fora destes limites, no segundo caso a curva ficará interrompida pela linha marginal que delimita o plano considerado. ˜ As partes superiores de uma elevação sempre serão representadas por curvas fechadas, e o mesmo ocorre para representar depressões. ˜ As curvas de nível nunca se cortam e nem se encontram, a não ser em uma escarpa vertical, ou em um corte de aterro também vertical feito pelo homem, geralmente cortes em regiões rochosas ou aterros sustentados por muros de arrimo. ˜ As curvas de nível de uma superfície plana são linhas retas paralelas. ˜ Os aclives ou declives uniformes, são representadas por curvas de nível eqüidistantes. A maior, ou menor aproximação das curvas indicam aclives ou declives mais acentuados. 19. DIVISÃO ANALÍTICA DE TERRAS Dividir uma área analiticamente, é uma atividade topográfica muito comum para quem se dedica a esta profissão. Para que possamos dividir uma área, temos que possuir as coordenadas dos pontos, e cujos piquetes ainda se encontrem no campo, a fim de nos possibilitar a sua futura demarcação. É importante, ainda, possuir uma planta da referida área, pois isso nos permite uma perfeita visualização da propriedade e, portanto, nos facilita um melhor planejamento no momento de procedermos a divisão. Trabalharemos este conteúdo através de um exemplo prático, o que facilitará a compreensão por parte do aluno, assim: ˜ 1. Planilha de cálculos analíticos Devemos ter a planilha do cálculo analítico, no qual teremos as coordenadas dos pontos. Usaremos o mesmo exemplo anterior. 60 ˜ 2. Planta da área Devemos ter a planta, mesmo que desenhada em papel milimetrado (rascunho). ˜ 3. Partes da divisão de área Devemos saber em quantas partesvamos dividir a propriedade, qual a área de cada parte, se existe algo sobre a propriedade que deva permanecer em alguma das partes divididas. Exemplo: A sede da propriedade deve pertencer ao lote n° 2, o açude ao lote n° 5, etc... ˜ 4. Acesso Outro aspecto muito importante, é que todas as partes divididas fiquem com acesso, por isso quando ele não existir, devemos criar um corredor, também, sempre que possível, devemos dar acesso de todos os lotes à água e procurar deixar a figura o mais regular possível. Diríamos que cada caso de divisão é um caso diferente, onde o bom técnico vai ter que analisá-lo para dele obter a melhor divisão, ou seja aquela que atende todos os anseios dos proprietários, sem ferir a lei. OBS.: Muitas dessas informações necessárias serão fornecidas pelo proprietário e algumas planejadas sobre a planta da propriedade. Exemplo: Da área da UFSM que mostramos nos capítulos anteriores, vamos dividir 3ha a partir de 100m do vértice 1. ˜ 5. Divisão visual da propriedade Apoiados na planta da propriedade, podemos fazer uma divisão aproximada, partindo sempre do ponto fixado pelo proprietário, ou estipulado pelo próprio técnico, com isso nos dará condições para que possamos montar a poligonal auxiliar. ˜ 6. Montagem da planilha auxiliar A planilha auxiliar possui esse nome porque ela nos dará a condição necessária para que depois, consigamos determinar o ponto exato da divisão, como veremos no exemplo. Esta planilha é montada a partir das projeções compensadas, assim: Para o nosso exemplo devemos primeiro calcular as projeções do ponto inicial chamada de 1’, assim: D1 = 192,35 m D1’2 = 92,35 m 2'11 * DSenAzPx = Px = 91,29. 2'11 * DCosAzPy = Py = 13,95. 61 Depois copiamos as projeções dos vértices 2, 3 e 4 devemos determiná-lo por diferença, já que o somatório das projeções deve dar zero em cada eixo. V Px Py AB ORD ∑x DA ∑y DA 1 91,29 13,95 0,00 0,00 91,29 1273,4955 13,95 1273,4955 2 63,28 191,94 91,29 13,95 245,86 47190,3684 219,84 13911,4752 3 - 65,37 63,00 154,57 205,89 243,77 15357,51 474,78 -31036,3686 4* - 89,20 -268,89 89,20 268,89 89,20 - 23984,988 268,89 -23984,988 0,000 0,000 335,06 488,73 670,12 39836,3859 977,46 - 39836,3859 x 2 x 2 670,12 977,46 Área = 19918,19295 m2 Veja que o valor das projeções de 4* foram determinadas por diferença, já que a soma das projeções do mesmo eixo deve ser igual a zero. Conhecida a área da planilha auxiliar, isso nos mostra se a mesma tem um valor para mais ou para menos em relação à área desejada. Área a avançar 30.000m2 - 19918,19295 = 10081,80705m2. ˜ 7. Cálculo do afastamento Vemos então que o ponto divisório estará localizado entre os vértices 4 e 5, formando assim um triângulo 1′ 44′ de área conhecida, e para que possamos calcular o afastamento 44′, devemos conhecer a distância 1′ 4, e o ângulo 1′ 44′, então: a) DISTÂNCIA: D Px Py= +2 2 D m= − − =( , ) .( , ) ,89 20 268 89 283 302 2 b) AZIMUTE: A arctg Px Py Az' ' , "= ∴ = °198 21 08 81 c) ÂNGULO INTERNO DO AFASTAMENTO: Az4 5 262 48 32 5− = ° ' , " Az4 1 198 21 08 81− = °' ' , " 62 Ai Az Az= −− −4 5 4 1' Ai = °64 27 23 75' , " d) AFASTAMENTO: A d d Ai = 2 1 2 . .sen , então: d A d Ai d m m d m2 1 2 2 2 2 210081 80705 283 30 64 27 23 75 78 8843= ∴ = ° ∴ = .sen . , , .sen ' , " , Após determinado o afastamento, montamos a planilha definitiva, para isso devemos calcular as projeções do alinhamento 44′. 24 * DSenAZPx = Px = -78,26. 24 * DCosAZPy = Py = -9,87. ˜ 8. Cálculo da área definitiva: O cálculo da área da planilha definitiva serve para verificarmos se realmente o cálculo está correto, devemos observar que pequenas diferenças são normais e não representam erro, pois todos os cálculos feitos desde o afastamento foram arredondados. V Px Py AB ORD ∑x DA ∑y DA 1’ 91,29 13,95 0,00 0,00 91,29 1273,4955 13,95 1273,4955 2 63,28 191,94 91,29 13,95 245,86 47190,3684 219,84 13911,4752 3 -65,37 63,00 154,57 205,89 243,77 15357,51 474,78 -31036,3686 4 -78,26 -9,87 89,20 268,89 100,14 -988,3818 527,91 -41314,2366 4′* -10,94 -259,02 10,94 259,02 10,94 -2833,6788 259,02 -2833,6788 0,00 0,00 346,00 747,75 692,00 59999,3133 1495,5 -59999,3133 x 2 x 2 692,00 1495,5 A = 29999,7 m2 ≈ A = 30000 m2 63 O vértice 4’* foi também determinado por diferença. Para finalizar, devemos calcular os elementos necessários para demarcação da divisa, então: 9. Elementos da linha divisória definitiva: A) DISTÂNCIA: D Px Py D D m= + ∴ = − + − ∴ =2 2 2 210 94 259 02 259 25( , ) ( , ) , B) AZIMUTE: "07'25182' '1'4 °=∴= Az Py Px arctgA C) ÂNGULO INTERNO NO VÉRTICE 4’ "00'492625'4 °=−Az Az4 1 182 25 07' ' ' "− = ° Ai Az Az= −− −4 5 4 1' ' ' (1) Ai1 80 2353' ' "= ° Ai1 180 80 23 26' ' "= °− ° Ai4 99 3657' ' "= ° (2) D) ÂNGULO INTERNO NO VÉRTICE 1′: Az1 2 81 1810' ' "− = ° Az1 4 2 25 07' ' ' "− = ° Ai Az Az= −− −1 2 1 4' ' ' Ai1 78 53 03' ' "= ° Ai1 180 78 53 26' ' "= °− ° Ai1 101 06 57' ' "= ° (1) (2) 64 Podemos ainda fazer o somatório dos ângulos internos de cada uma das novas poligonais, assim: a) 1° Poligonal. b) 2° Poligonal 1 = 90°22’40” 1’= 78°53’03’’ 1’= 101°06’57” 2 = 116°55’40’’ 4’= 80°23’53” 3 = 115°41’30’’ 5 = 88°06’30” 4 = 128°53’40’’ 4’= 99°36’07’’ Σ = 360°00’00” Σ = 540°00’00” 19.2 Divisão Analítica de Terras (Método do Prof. Dr. Enio Giotto) Este método se baseia na Geometria Analítica, e busca dividir uma área desejada a partir do conhecimento das coordenadas dos pontos que compõem a gleba toda. O método do prof. Giotto nos dá condições de determinar as coordenadas do ponto divisor, sem a necessidade do cálculo da planilha auxiliar, porém devemos informar alguns dados que passaremos a mostrar a seguir. Vale a pena ainda citar que o Software TPO do prof. Giotto, se baseia nesse método. A fundamentação do método já foi objeto de publicações em congresso. Existe uma análise completa no polígrafo do prof. Erni Milani. Portanto nesse trabalho nos limitaremos a desenvolver um exemplo prático. Fórmulas: )()(1 )(2 YpfYpiXpiXpfb XpiXpfboMA p −+− −−− = → XpbboYp 1+= 21 )1.2()2.1( XX YXYX bo − −= → 21 21 1 XX YY b − −= onde: X p= coordenada X do ponto divisor Yp= coordenada Y do ponto divisor b0= coeficiente linear da reta divisora b1= coeficiente angular da reta divisora 65 A= área a dividir M= determinante da matriz desde o ponto inicial até o ponto final Xpf= coordenada X do ponto final Xpi= coordenada X do ponto inicial Ypf= coordenada Y do ponto final Ypi= coordenada Y do ponto inicial X1= coordenada X do primeiro ponto da reta divisória Y1= coordenada Y do primeiro ponto da reta divisória X2= coordenada X do segundo ponto da reta divisória Y2= coordenada Y do segundo ponto da reta divisória. Ponto inicial: É o ponto onde iniciamos a divisão, pode coincidir com um vértice, ou estar sobre um alinhamento, e nesse caso devemos calcular suas coordenadas antes de começar a divisão. Ponto final: É o primeiro ou o segundo ponto da reta, que supomos vá conter o ponto divisor. A escolha do primeiro ou do segundo ponto depende da vontade de quem calcula, porém tem que definir porque isso vai interferir nos pontos que vão compor a matriz, aqui denominada de M. M: É a matriz que vai desde o ponto inicial, até o ponto final. O seu valor é dado pelo cálculo do determinante dessa matriz. Exemplo: Vamos dividir 3 ha a partir de 100 metros do vértice 1, da área do seu Mário de Almeida, ou seja a mesma área já dividida por Gauss. As coordenadas dos pontos de toda a área são: V X Y 1 0 0 2 190,14 29,05 3 253,42 220,99 4 188,05283,99 5 -40,77 255,12 66 19.2.1. Cálculo da área total: V X Y 1 Yn + Xn+1 0 0 Xn + Yn+1 2 0 190,14 29,05 0 3 7361,851 253,42 220,99 42019,0386 4 41557,1695 188,05 283,99 71968,7458 5 -11578,2723 -40,77 255,12 47975,316 1 0 0 0 0 ∑1 = 37340,7482 ∑2 = 161963,1004 2 12∑ ∑− =A Área= 62.311,1761 m2 19.2.2. Reconstituição da poligonal: V Px Py Dist.(m) Azimutes  internos 1 190,14 29,05 192,35 81°18’48” 90°23’34” 2 63,28 191,94 202,10 18°14’48” 116°56’00” 3 -65,37 63 90,79 313°56’32” 115°41’44” 4 -228,82 -28,87 230,63 262°48’33” 128°52’01” 5 40,77 -255,12 258,36 170°55’14” 88°06’41” 19.2.3. Cálculo das coordenadas do ponto inicial Xpi= (Sen Az1* D11’) + Xp1 ∴ Xpi= (Sen 81°18’48” . 100) + 0 = 98,85 Ypi= (Cos Az1* D11’) + Yp1 ∴ Ypi= (Cos 81°18’48” . 100) + 0 = 15,10 19.2.4. Informações para a divisão Área a dividir = 30.000 m2 Vértice inicial = 1’ Vértice final = 4 Reta divisória = 4 - 5. 67 Então: X1 = 188,05 Xpf = 188,05 X2 =-40,77 Xpi = 98,85 Y1 =283,99 Ypi = 15,10 Y2 =255,12 Ypf = 283,99 19.2.5. Cálculo dos coeficientes b0 e b1 126169041,01 )77,40(05,188 12,25599,283 1 21 21 1 2639118,2600 )77,40(05,188 )99,283677,40()12,25505,188( 0 21 )2.2()2.1( 0 =⇒ −− −= − −= =⇒ −− ×−−× = − −= bb XX YY b bb XX YXYX b 19.2.6 Cálculo do M M = 98,85 190,14 253,42 188,05 15,10 29,05 220,99 283,99 M = [(98,85 . 29,05) + (190,14 . 220,99) + (253,42 . 283,99)] - [(190,14 . 15,10) + (253,42 . 29,05) + (188,05 . 220,99)] M = 65069,2424 Xp A M b Xpf Xpi b Xpf Ypi Ypi Ypf o= − − − − + − 2 1 . .( ) .( ) ( ) Xp = − − − − + − 2 30000 65069 2424 260 2639118 188 05 98 85 0 126169041 188 05 98 85 1510 283 99 . , , .( , , ) , .( , , ) ( , , ) Xp = 109 79, XpbbYp o *1+= Yp = 260,2639118 + 0,126169041*109,79 Yp = 274,12 68 19.2.6. Análise das coordenadas do ponto divisor X4 > Xp >X5 e Y4 > Yp >Y5, portanto o ponto divisor se encontra no intervalo da reta, que indicamos como sendo a divisória. Outra análise que podemos fazer é recalcular a área dividida. Assim: V X Y 1’ Yn + Xn+1 98,85 15,10 Xn + Yn+1 2 2871,114 190,14 29,05 2871,5925 3 7361,851 253,42 220,99 42019,0386 4 41557,1695 188,05 283,99 71968,7458 4’* 31179,2621 109,79 274,12 51548,266 1’ 27096,762 98,85 15,10 1657,829 ∑1 = 110066,1586 ∑2 = 170065,4719 2 12∑ ∑− =A A = 29999,65665 ≈ A = 30000 m2 Portanto também fechou, já que a pequena diferença é problema de arredondamento. 19.2.7. Cálculo das distâncias: mDDYYXXD 25,259)10,1512,274()85,9879,109()()( 222 '1'4 2 '1'4'1'4 =∴−+−=∴−+−= mDDYYXXD 35,92)10,1505,29()85,9814,190()()( 222 '12 2 '122'1 =∴−+−=∴−+−= mDDYYXXD 88,78)99,28312,274()05,18879,109()()( 222 4'4 2 4'4'44 =∴−+−=∴−+−= mDDYYXXD 75,151)12,27412,255()79,10977,40()()( 222 '45 2 '455'4 =∴−+−−=∴−+−= 19.2.8. Cálculo do Azimute 4’1’: '4'1 '4'1' YY XX ArcTgA − − = 12,27410,15 79,10985,98 ' − −= ArcTgA AZ4’1’ = A’+180 AZ4’1’ = 182°25’07” 69 19.2.9. Cálculo do Azimute 1’4’: '1'4 '1'4' YY XX ArcTgA − − = 10,1512,274 85,9879,109 ' − −= ArcTgA AZ1’4’ = A’ AZ1’4’ = 2°25’07” 19.2.10. Cálculo dos ângulos internos: '4'11'4'11 )180( AZAZAi +−= Ai11’4’ = (180 – 81°18’48”) + 2°25’07” Ai11’4’ = 101°06’19” 4'4'15'4'1 )180( AZAZAi +−= Ai1’4’5 = (180 – 2°25’07”) + 262°48’33” Ai1’4’5 = 80°23’26” 1'1'42'1'4 )180( AZAZAi +−= Ai4’1’2 = (180 –182°25’07”) + 81°18’48” Ai1’4’5 = 78°53’41” '1'44'1'44 )180( AZAZAi +−= Ai44’1’ = (180 – 262°48’33”) + 182°25’07” Ai1’4’5 = 99°36’34” 70 19.2.11. Soma dos ângulos internos de cada poligonal: Gleba A: 1 = 90°23’34” 1’= 101°06’19” 4’= 80°23’26” 5 = 88°06’41” ∑Ai = 360° Gleba B: 1’ = 78°53’41” 2 = 116°56’00” 3 = 115°41’44” 4 = 128°52’01” 4’ = 99°36’34” ∑Ai = 540° 19.2.12. Distâncias dos lados de cada poligonal: Gleba A: 1 = 100 m 1’= 259,25 m 4’= 151,75 m 5 = 258,36 m Gleba B: 1’ = 92,35 m 2 = 202,10 m 3 = 90,79 m 4 = 78,88 m 4’ = 259,25 m 19.2.13. Memorial Descritivo da Gleba A: ˜ Objetivo: Esse memorial destina-se a descrever de forma sucinta o lote de terras, pertencentes a Alexandre de Almeida, localizada no distrito de Camobi, cidade de Santa Maria - RS. ˜ Descrição: Uma fração de terras de campos e matos, sem benfeitorias, situado no lugar denominado Camobi na cidade de Santa Maria -RS, com área superficial de 22361 m2 ou 2 ha. 23 a. 11ca. com as seguintes medidas e confrontações gerais: Ao Norte uma linha reta por cerca, 151,75 metros com terras de propriedade de João da Silva; Ao Sul uma linha reta por cerca, 100 metros com a estrada rural de São Geraldo que leva a Camobi; Ao Leste uma linha reta por cerca, 259,25 metros e lindeira com terras da Gleba B de propriedade de Rafael de Almeida e Ao Oeste uma linha reta, 258,36 metros com terras de propriedade de Manoel de Oliveira. Proprietário: Alexandre de Almeida, brasileiro, solteiro, agricultor, portador do CI n° 1853279915, residente e domiciliado em Santa Maria, Rua Silva Jardim n° 11. 71 ˜ Conclusão: Além da descrição do referido imóvel acompanha uma planta topográfica, a qual tem por finalidade auxiliar na elucidação dos detalhes acima descritos. Santa Maria, 26/01/2008 Técnico Responsável Engº florestal Erni José Milani CREA 29993 19.2.13. Memorial Descritivo da Gleba B: ˜ Objetivo: Esse memorial destina-se a descrever de forma sucinta o lote de terras, pertencentes a Rafael de Almeida, localizada no distrito de Camobi, cidade de Santa Maria -RS. ˜ Descrição: Uma fração de terras de campos e matos, sem benfeitorias, situado no lugar denominado Camobi na cidade de Santa Maria -RS, com área superficial de 30000 m2 ou 3 ha. 00 a. 00 ca. com as seguintes medidas e confrontações gerais: Ao Norte uma linha reta por cerca, 78,88 metros com terras de propriedade de João da Silva; Ao Sul uma linha reta por cerca, 92,35 metros com a estrada rural de São Geraldo que leva a Camobi; Ao Leste uma linha quebrada por cerca, sendo o primeiro segmento de 202,10 metros e o segundo de 90,79 metros e lindeira com terras de José Londero e Ao Oeste uma linha reta, 259,25 metros com terras de propriedade de Manoel de Oliveira. Proprietário: Alexandre de Almeida, brasileiro, solteiro, agricultor, portador do CI n° 2536258412, residente e domiciliado em Santa Maria, Rua Silva Jardim n° 11. ˜ Conclusão: Além da descrição do referido imóvel acompanha uma planta topográfica, a qual tem por finalidade auxiliar na elucidação dos detalhes acima descritos. Santa Maria, 26/01/2008 Técnico Responsável Engº florestal Erni José Milani CREA 29993 72 Obs.: Essa mesma divisão, poderemos fazê-la num programa P3 na Casio fx-3900 Pv, para isso precisamos oferecer os dados na seguinte seqüência. P3 Passos X1= 188,05 X2= -40,77 Y1= 283,99 Y2= 255,12 X1= 188,05 Y2= 255,12 X2= -40,77 Y1= 283,99 Ypi= 15,10 Ypf= 283,99 Xpf= 188,05 Xpi= 98,85 A=30000 M= 65069,2424 Resposta: Xp= 109,79 Yp= 274,12 portanto o mesmo resultado. 73 DIVISÃO DE UMA ÁREA COM LINHA PARALELA. Roteiro de um exemplo. Esse roteiro foi feito no acompanhamento do segundo exemplo, e é óbvio que não corresponde a todos os casos, mas serve para dar uma idéia resumida dos p0assos que devemos seguir para dividir a área em quatro partes, com linha paralela. PASSOS: Tendo as coordenadas. 1- Cálculo da Área total (Sarrus). 2- Cálculo da área a dividir 4 AT AD = 3- Reconstituição da poligonal a- Distância: 22 )()( ABAB YYXXD −+−= b- Azimutes: Py Px ArcTgAZ = para alinhamentos no primeiro quadrante; °+= 180 Py Px ArcTgAZ para alinhamentos no segundo
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