Fluxo Concatenado e Indutância _ Responde Aí

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17/03/2024, 15:35 Fluxo Concatenado e Indutância | Responde Aí
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Teoria
Fluxo Concatenado
De acordo com a lei de Faraday, quando o campo magnético varia no tempo produz-se um campo elétrico no
espaço:
Calma, a gente não vai precisar calcular integral, só precisamos entender o que essa equação quer dizer.
Como o �uxo é
Podemos reescrever a lei de Faraday assim:
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Essa equação determina que a integral de linha da intensidade do campo elétrico ao longo de um caminho
fechado é igual à variação de �uxo magnético no tempo que passa através desse caminho fechado.
Esse �uxo que passa através do caminho fechado é chamado de �uxo concatenado e é de�nido como
Onde é o número de espiras do enrolamento (caminho fechado ) e é o valor instantâneo de um �uxo
que varia no tempo.
Indutância
Em um circuito magnético, formado por um núcleo de material com permeabilidade constante ou que tenha
um entreferro, a relação entre o �uxo magnético e a corrente é linear e podemos de�nir a indutância 
como
Lembrando que , e , substituindo essas equações na equação acima, temos:
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Então, sabendo o número de espiras do enrolamento e a relutância total do circuito podemos determinar a
indutância. Vamos fazer um exemplo para você ver que é tranquilo 😊
No circuito magnético abaixo a área da seção reta do núcleo e a do entreferro é ,
 e . Supondo que e que a densidade magnética no núcleo é
. Encontre a indutância do enrolamento.
Passo 1
Calcular as relutâncias do circuito. Primeiro a do núcleo de material magnético:
Agora do entreferro:
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Passo 2
Como o �uxo só tem um caminho para percorrer, o circuito magnético é série. Então, as relutâncias estão
associadas em série de forma que a relutância total do circuito é
Passo 3
Agora é só aplicar a fórmula abaixo para encontrarmos a indutância:
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Então é isso: temos que analisar o circuito, determinar a sua relutância total ou relutância equivalente para
utilizarmos a fórmula e determinarmos o valor do indutor.
Indutância Própria e Indutância Mútua
Agora, temos o circuito magnético abaixo com o núcleo de comprimento médio do núcleo e área da seção
reta , que é a mesma do entreferro .
Devido aos sentidos das correntes, o �uxo produzido pelos dois enrolamentos tem o mesmo sentido. Logo a
força magnetomotriz total desse circuito será:
Normalmente a relutância do entreferro é bem maior do que a relutância do núcleo. Então podemos
desconsiderar a relutância do núcleo fazendo com que a seja:
Então, substituindo a primeira equação na segunda e isolando o �uxo, temos:
Agora, vamos decompor a equação em termos relacionados à mesma corrente:
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Pela de�nição, o �uxo concatenado gerado pela bobina pode ser escrito assim:
Como
Também podemos escrevê-la assim:
Onde é o �uxo concatenado da bobina devido à sua própria corrente e a indutância própria da
bobina , de�nida como:
Já é a indutância mútua entre as bobinas e :
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E é o �uxo concatenado da bobina devido à corrente .
Na bobina , ocorre o mesmo processo com o seu �uxo concatenado:
Ou
Onde a indutância mútua é a mesma:
E a indutância própria da bobina é
Lembrando que a relutância do entreferro é:
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Cuidado com essas fórmulas, não podemos aplica-las direto. Ela é válida para esse exemplo de núcleo com
dois enrolamentos e um entreferro. Mas, o procedimento é o mesmo para todos os exercícios.
Agora é exercitar! Partiu!
Exercício Resolvido #1
Livro Fitzgerald, p.56, Problema 1.1
Exercícios Resolvidos
Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na �gura abaixo. As dimensões do núcleo
são:
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Área da seção reta 
Comprimento médio do núcleo 
Comprimento do entreferro 
 espiras
Suponha que o núcleo tenha permeabilidade in�nita e despreze os efeitos dos campos de �uxo
disperso e os de espraiamento no entreferro.
 Calcule a relutância do núcleo e a do entreferro .
Para uma corrente de , calcule:
 O �uxo total ;
 O �uxo concatenado da bobina;
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Passo 1
Passo 2
Passo 3
 a indutância da bobina.
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo é zero:
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
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Passo 4
Passo 5
O �uxo total será dado por:
O �uxo concatenado da bobina pode ser calculado pela fórmula abaixo:
Como calculamos o �uxo concatenado e já sabemos o valor da corrente, podemos
determinar a indutância utilizando a de�nição:
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Resposta
ExercícioResolvido #2
Livro Fitzgerald, p.59, Problema 1.13
O indutor abaixo tem as seguintes dimensões:
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Passo 1
Desprezando os campos de espraiamento no entreferro e de dispersão e supondo , calcule a
indutância.
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo será:
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Passo 2
Passo 3
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Então, a relutância total desse circuito magnético:
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Passo 4
Resposta
Exercício Resolvido #3
Livro Fitzgerald, p.57, Problema 1.3 (adaptado)
A equação que relaciona a relutância com a indutância é:
Como o enrolamento tem espiras, temos:
Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na �gura abaixo. As dimensões do núcleo
são:
Área da seção reta 
Comprimento médio do núcleo 
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Passo 1
Comprimento do entreferro 
Supondo uma permeabilidade de núcleo in�nita , calcule:
 O número necessário de espiras para obter uma indutância de .
 A corrente no indutor que resultará em uma densidade de �uxo de .
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo é zero:
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Passo 2
Passo 3
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
A equação que relaciona o número de espiras com a indutância é:
A relutância total é a própria relutância do entreferro, já que a relutância do núcleo
é zero. Então, para uma indutância de , temos:
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Passo 4
Passo 5
Para uma densidade de �uxo de , o �uxo no núcleo será:
Logo, a gerada será:
Como
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Resposta
Exercício Resolvido #4
Livro Fitzgerald, p.58, Problema 1.8
A corrente pode ser calculada assim:
Um indutor com a forma da �gura abaixo tem as dimensões:
Área da seção reta 
Comprimento médio do núcleo 
 espiras
Supondo uma permeabilidade de núcleo de e desprezando os efeitos do �uxo disperso e dos
campos de espraiamento, calcule o comprimento de entreferro necessário para se obter uma indutância de
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Passo 1
.
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo será:
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Passo 2
Passo 3
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Então, a relutância total desse circuito magnético:
A equação que relaciona a relutância com a indutância é:
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Passo 4
Como o enrolamento tem espiras, para uma indutância de , temos:
Agora vamos igualar a expressão da relutância total com o valor que calculamos:
Vamos isolar na equação para determinar o comprimento do entreferro:
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Resposta
Exercício Resolvido #5
Livro Fitzgerald, p.58, Problema 1.9
O circuito magnético abaixo consiste em anéis de material magnético dispostos em uma pilha de altura . Os
anéis têm raio interno e externo . Suponha que o ferro tenha permeabilidade in�nita , e
despreze os efeitos de dispersão e de espraiamento magnéticos. Para:
Calcule:
 O comprimento médio do núcleo e a área da seção reta 
 A relutância do núcleo e a do entreferro .
Para espiras, calcule:
 a indutância .
 A corrente requerida para que se opere com uma densidade de �uxo no entreferro de .
 O �uxo concatenado correspondente a da bobina.
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Passo 1
O comprimento médio do núcleo será o comprimento da circunferência de raio
Subtraído do comprimento do entreferro, ou seja:
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Passo 2
A área da seção reta pode ser calculada dando um corte na pilha, tendo a seção reta
abaixo:
Então,
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Passo 3
Passo 4
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que , então a relutância do núcleo é zero.
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
Então, a relutância total desse circuito magnético:
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Passo 5
Passo 6
A equação que relaciona a relutância com a indutância é:
Como o enrolamento tem espiras, temos:
Para uma densidade de �uxo de no entreferro, o �uxo no núcleo será:
Logo, a gerada será:
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Passo 7
Passo 8
Como
A corrente pode ser calculada assim:
O �uxo concatenado da bobina pode ser calculado pela fórmula abaixo:
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Resposta
Exercício Resolvido #6
Livro Fitzgerald, p.61, Problema 1.17 (adaptado)
Um indutor deve ser projetado usando um núcleo magnético com a forma dada pela �gura abaixo:
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Passo 1
Passo 2
O núcleo tem seção reta uniforme de área e comprimento médio . Calcule o
comprimento do entreferro e o número de espiras tais que a indutância seja e de modo que o
indutor possa operar com corrente de pico de sem saturação. Suponha que a saturação ocorra quando a
densidade de �uxo de pico do núcleo exceda a e que, abaixo da saturação, o núcleo tenha
permeabilidade .
Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:
Como foi dito no enunciado que abaixo da saturação , então a relutância
do núcleo será:
A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:
Lembrando que :
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Passo 3
Passo 4
Então, a relutância total desse circuito magnético:
A equação que relaciona a relutância com a indutância é:
Como o queremos uma indutância de :
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Passo 5
Passo 6
Como a densidade de �uxo máxima é e a área é , podemos
calcular o �uxo que circula por esse núcleo.
Podemos calcular a pela fórmula abaixo:
Como , temos:
Como a corrente é :
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Passo 7
Temos duas equações com duas incógnitas:
Então, vamos isolar na primeira equação e substituí-lo na segunda:
Como o número de espiras não pode ser zero, temos:
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Passo 8
Resposta
Agora que temos o número de espiras, vamos substituir em uma das equações
para encontrarmos o comprimento do entreferro. Da primeira equação, temos:
Como :
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Exercício Resolvido #7
Livro Fitzgerald, p.63, Problema 1.22
Passo 1
O circuito magnético abaixo tem dois enrolamentos e dois entreferros. Pode-se supor que o núcleo tenha
permeabilidade in�nita. As dimensões do núcleo são indicadas na �gura.
 Suponha que a bobina esteja conduzindo uma corrente e a corrente na bobina seja zero, calcule
 a densidade de �uxo magnético em cada um dos entreferros, o �uxo concatenado do enrolamento 
e o �uxo concatenado do enrolamento .
 Repita a parte , supondo uma corrente zero no enrolamento e uma corrente no enrolamento .
 Repita a parte , supondo que a corrente do enrolamento seja e a corrente do enrolamento seja
.
 Encontre as indutâncias próprias dos enrolamentos e , e a indutância mútua entre os enrolamentos.
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Passo 2
Esse circuito magnético é um pouco complicado de se analisar diretamente. Então,
vamos utilizar a analogia entre circuitos magnéticos e elétricos e desenhar o
circuito associado a esse problema.
Como a permeabilidade do núcleo é in�nita, sua relutância é zero. Então, vamos
considerar apenas as relutâncias do entreferro. Além disso, devido aos dois
enrolamentos teremos duas . Portanto, desenhando o circuito temos:
Onde as relutâncias dos entreferros são:
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Na letra a bobina tem uma corrente e . Logo, , o que signi�ca que
podemos substituí-la por um curto-circuito.
Primeiro, temos que determinar a densidade de �uxo em cada entreferro. A
densidade de �uxo do primeiro entreferro pode ser calculada pela divisão entre o
�uxo que passa por ele e a área da sua seção reta :
Pela analogia entre circuitos elétricos e magnéticos, sabemos que:
Logo, o �uxo que passa pelo primeiro entreferro pode ser determinado assim:
Como
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Passo 3
Passo 4
Substituindo:
Então, substituindo o valor encontrado para o �uxo, a densidade no primeiro
entreferro será:
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Da mesma forma, no segundo entreferro teremos:
A segunda relutância está em paralelo com a primeira. Logo, nela também está
sendo aplicada a mesma .
Então, substituindo o valor encontrado para o �uxo, a densidade no segundo
entreferro será:
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Passo 5
No item , temos que determinar o �uxo concatenado do enrolamento . Pela
de�nição, o �uxo concatenado é o produto entre o número de espiras da bonina e
o �uxo que passa por essa bobina. Então, para a bobina , temos:
Analisando o nó do nosso circuito, temos que
Logo, o �uxo concatenado da primeira bobina será:
Substituindo os �uxos pelos seus valores que determinamos anteriormente:
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Passo 6
Passo 7
Da mesma forma, no item , o �uxo concatenado da bobina é
Como 
Temos:
Agora, vamos fazer a mesma análise para a letra . Para essa letra, e na
bobina circula umacorrente . Logo, podemos substituir por um curto-circuito a
fonte e analisar o circuito abaixo:
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Passo 8
Nesse caso o �uxo que passa pelo primeiro entreferro é zero, já que todo o
�uxo produzido pela passará pelo curto-circuito. Logo:
Como , a densidade de �uxo no primeiro entreferro é zero.
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No segundo entreferro teremos:
Como analisamos, podemos desconsiderar , já que não passa �uxo algum por
ela. Então, podemos reduzir nosso circuito:
Então, temos o circuito mais simples possível, com uma fonte em série com uma
relutância, e o �uxo que passa pelo segundo entreferro é
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Passo 9
Então, substituindo o valor encontrado para o �uxo, a densidade no segundo
entreferro será:
Agora, vamos fazer o item . O �uxo concatenado do enrolamento é de�nido
como:
Como , temos:
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Passo 10
Passo 11
Já no item temos que determinar o �uxo concatenado da segunda bobina.
Substituindo:
Agora, na letra , ambos os enrolamentos possuem corrente. Logo, temos que
considerar as duas .
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Como a relutância do primeiro entreferro está ligada em paralelo com , temos:
Então, substituindo o valor encontrado para o �uxo, a densidade de �uxo no
primeiro entreferro será:
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Passo 12
Da mesma forma, no segundo entreferro teremos:
Agora temos que ter cuidado ao calcular , já que não está ligada diretamente a
relutância. Então, vamos usar um método de análise que já conhecemos de
circuitos elétricos: o método da superposição.
Vamos considerar a contribuição de cada fonte para gerar o e depois soma-las.
Então:
Onde é a contribuição da fonte e é a contribuição da fonte .
Pelo método da superposição, quando queremos determinar a contribuição de
uma das fontes temos que desligar a outra. Logo, como as fontes são análogas às
fontes de tensão, desliga-las é o mesmo que substituí-las por um curto-circuito.
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Passo 13
Considerando apenas a primeira fonte temos o circuito abaixo:
Esse é o mesmo circuito que analisamos na letra , está lembrado?
Para esse circuito:
Agora vamos considerar apenas a segunda fonte:
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Esse é o mesmo circuito que utilizamos na letra . Como tínhamos analisado,
podemos desconsiderar , já que não passa �uxo algum por ela, e reduzir nosso
circuito:
Então, o �uxo que passa pelo segundo entreferro é
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Passo 14
Portanto, o �uxo total que passa pelo segundo entreferro será:
Então, substituindo o valor encontrado para o �uxo, a densidade no segundo
entreferro será:
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Passo 15
Agora, vamos fazer o item . O �uxo concatenado do enrolamento é de�nido
como:
Analisando o nó do nosso circuito, temos que
Logo:
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Passo 16
Passo 17
Já no item temos que determinar o �uxo concatenado da segunda bobina.
Substituindo:
Estamos quase terminando! Na letra temos que determinar as indutâncias
próprias dos enrolamentos e , e a indutância mútua entre os enrolamentos.
Vamos começar pelo primeiro enrolamento.
A fórmula que relaciona �uxo concatenado e indutância é essa:
Onde é a indutância própria do enrolamento e é a indutância mútua entre
os enrolamentos.
Na letra , tínhamos calculado o �uxo concatenado da primeira bobina:
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Passo 18
Comparando com
Vemos que a indutância própria do enrolamento é toda expressão que está
multiplicando a corrente e a mútua é a expressão que está multiplicando a
corrente da outra bobina.
Logo,
E
Agora vamos fazer a mesma análise para a bobina .
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Onde é a indutância mútua e é a indutância própria do segundo
enrolamento.
Na letra , tínhamos calculado o �uxo concatenado da segunda bobina:
Comparando com
Vemos que a indutância própria do enrolamento é toda expressão que está
multiplicando a corrente e a mútua é a expressão que está multiplicando a
corrente da outra bobina.
Logo,
E
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