Controle de Temperatura em Barra de Alumínio

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA 
Campus SEROPÉDICA 
 
 
 
 
 
 
Gabriela M. Chemp 
Geovani Soares da Cruz 
Isabelle S. do Nascimento 
Isabelly F. R. Ferraz 
Luan Lucas Golçaves 
Pablo S. Almeida 
 
 
 
 
 
Estudo e implementação de controladores PID para controle 
de temperatura de uma barra de alumínio: simulação e 
experimentos 
 
 
Seropédica 
2022 
 
 
 
Gabriela M. Chemp 
Geovani Soares da Cruz 
Isabelle S. do Nascimento 
Isabelly F. R. Ferraz 
Luan Lucas Golçaves 
Pablo S. Almeida 
 
 
 
ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLADORES 
PID PARA CONTROLE DE TEMPERATURA DE UMA 
BARRA DE ALUMÍNIO: SIMULAÇÃO E 
EXPERIMENTOS 
 
 
Trabalho da Disciplina de Laboratório de 
Engenharia Química II como parte dos 
requisitos exigidos para a obtenção do 
título de Engenheiro Químico. 
 
 
Orientadores: Prof. Dr. Filipe Arantes 
Furtado, Prof. Dr. Paulo Jansen de Oliveira 
e Prof(a) Ma. Beatriz Autullo Ramos 
 
Seropédica 
2022 
 
 
RESUMO 
 
Este trabalho consiste na construção de um controlador Proporcional Integrativo e 
Derivativo (PID) que será utilizado para controlar a temperatura em um ponto da barra 
de alumínio. Para desenvolver um modelo de controlador que seja satisfatoriamente 
aplicável ao sistema proposto, foi necessário identificar e descrever, na forma de um 
modelo matemático, os fenômenos envolvidos no processo de aquecimento da barra. 
Para isso, um estudo preliminar foi executado afim de estimar o coeficiente de 
condutividade térmica do alumínio (K) e a linguagem de programação utilizada foi o 
FORTRAN. Então, foram iniciados os testes na unidade experimental para avaliar o 
gradiente de temperatura ao longo da barra de alumínio presente no laboratório durante 
um intervalo de tempo definido. A barra de alumínio utilizada está isolada em sua 
extensão e o aparato experimental é composto também por oito sensores de temperatura, 
um controlador, um driver ligado a um resistor Ôhmico que está conectado a barra. Os 
resultados obtidos para as leituras de temperatura de cada sensor por intervalo de tempo 
descreveu o comportamento esperado para um processo em regime transiente, no qual 
estabeleceu-se um gradiente de temperatura partindo de valores mais altos para o sensor 
posicionado mais próximo a resistência (sensor 1) até menores valores, registrados para 
o sensor oito, fixado na última posição da barra. O valor obtido para estimativa de k foi 
de 202,45 W/mK e apresenta um erro aproximado de 15,27%. Depois de definidos os 
fenômenos de tranferência de calor envolvidos no sistema, foi possível programar o 
controlador PID com base no programa utilizado anteriormente atendo de alguns 
ajustes. Os parâmetros do PID foram ajustados pelos métodos de Zigler-Nichols e 
Tentativa e erro, e os valores utilizados para Kp, e foram de 10,62, 0,5 e 0,125 
respectivamente. 
 
Palavras-chave: Controlador PID, Controle de Temperatura, Barra de Alumínio, 
Coeficiente de Condutividade Térmica.
 
 
ABSTRACT 
 
This work consists in the implementation of an Integrative proportional control system 
and derivative (PID) that will be used to control the temperature of an aluminum bar. To 
develop a controller model that is satisfactorily applicable to the proposed system, it was 
necessary to identify and describe, in the form of a mathematical model, the phenomena 
involved in the bar heating process. For this, a preliminary study was made to achieve 
aluminum’s thermal conductivity (K) and the programming language used was 
FORTRAN. Then, an experimental test was performed to analyze the temperature 
gradient along the aluminum bar used in the laboratory, during a period of time specified. 
The experimental device used consisted of an insulated musk bar in extension, eight 
temperature sensors, a controller, a drive connected to an Ohmic resistor and this was 
connected to the bar. The results obtained for the temperature readings of each by time 
interval described the expected behavior for a transient process, in which a temperature 
gradient was established starting from higher values for the sensor positioned closer to 
the resistance (sensor 1) to lower values, recorded for sensor 8, fixed at the last position 
of the bar. The value obtained for estimating k was 202,45 W/mK and presents an 
approximate error of 15,27%. After defining the heat transfer phenomena involved in the 
system was possible to program PID controller using as foundation the program used 
before with a few adjustments. The PID’s parameters were adjusted by Ziegler-Nichols 
and Trial and Error methods, The values used for Kp, and were 10,62, 0,5 and 0,125 
respectively. 
 
Keywords: PID Controller, Temperature Control, Aluminum Bar, Computational Model 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO E CONTEXTUALIZAÇÃO .................................... 7 
1.1 OBJETIVOS ....................................................................................................7 
1.2 PROPOSTA .....................................................................................................8 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...................................................... 9 
2.1 LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO ............. Erro! Indicador não definido. 
2.2 TRANSFERENCIA DE CALOR EM BARRA ISOLADAErro! Indicador não 
definido. 
2.3 TIPOS DE CONTROLADORES ....................................................................15 
2.3.1 AÇÃO PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA (PID) ..............16 
2.4 CONTROLE DE TEMPERATURA ATRAVÉS DO CONTROLADOR PID
 .......................................................................................................................17 
2.5 MÉTODOS DE SINTONIA ............................................................................18 
2.5.1 MÉTODO DE ZIEGLER-NICHOLS ...........................................................18 
2.5.2 MÉTODO DA TENTATIVA E ERRO ........................................................19 
3. ESTRATÉGIA .......................................................................... 21 
4. METODOLOGIA ................................. Erro! Indicador não definido. 
4.1 METODOLOGIA PREVIAMENTE DEFINIDA . Erro! Indicador não 
definido. 
4.2 METODOLOGIA APLICADA............... Erro! Indicador não definido. 
4.3 MODELAGEM DO PROCESSO ........... Erro! Indicador não definido. 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................32 
5.1 Curvas de Temperatura ..........................................................32 
5.2 Valor de K experimental ....................................................... 34 
6. CONCLUSÕES .......................................................................... 40 
7. CRONOGRAMA ....................................................................... 41 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................... 43 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1- Barra de comprimento L isolada em seu entorno com área de seção transversal S. Fonte: 
MAGALHÃES (s.d.). .................................................................................................................... 13 
Figura 2 - Gráfico comparando comportamento entre controladores PI, PD e PID. Fonte: BEGA 
et al., 2006. ..................................................................................................................................... 17 
Figura 3 - Resposta ao degrau de um sistema de malha fechada com um tempo integral excessivo. 
Fonte: TAVARES (2019)............................................................................................................... 19 
Figura 4 - Resposta ao degrau de um sistema de malha fechada com um tempo derivativo 
excessivo. Fonte: TAVARES (2019). ......................................................................................... 20 
Figura 5 - Sintonia por tentativa e erro. Fonte:TANNURI (2019). .............................................. 21 
Figura 6 - Aparato experimental. Fonte: Autoria Própria. ............................................................. 23 
Figura 7 - Ordem sequencial para conexão entre o programa computacional e o Arduíno. Fonte: 
Autoria própria. .............................................................................................................................. 24 
Figura 8 9 e 10 - Interface do programa main. Fonte: Autoria Própria .......................................... 32 
Figura 11 - Gráfico das curvas de temperatura ao longo do tempo. Fonte: Autoria Própria. ........ 32 
Figura 12 - Gradiente de temperatura ao final do experimento. Fonte: Autoria Própria. .............. 33 
Figura 13 – Gráfico FO x k para setpoint 60°C ............................................................................. 35 
Figura 14 - Gráfico FO x k para setpoint 50°C .............................................................................. 35 
Figura 15 - Gráfico FO x k para setpoint 40°C .............................................................................. 35 
Figura 16 - Gráfico FO x k para setpoint 30°C .............................................................................. 35 
Figura 17 - Sintonização por Zigler-Nichols. Ajuste do ganho crítico (Kcu). Fonte: Autoria 
Própria. ........................................................................................................................................... 37 
Figura 18 - Sintonização por Zigler-Nichols. Ajuste do Período Último (Pu). Fonte: Autoria 
Própria ............................................................................................................................................ 37 
Figura 19 – Gráfico Txt com os parâmetros ajustados ................................................................... 39 
Figura 20 – Gráfico Txt com os parâmetros escolhidos aleatoraimente ........................................ 39 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1 - Parâmetros do controlador PID pelo Método da Ziegles-Nichols. ............................... 18 
Tabela 2 - : Posição dos sensores na barra de alumínio ................................................................. 23 
Tabela 3- Valores das propriedades utilizadas ............................................................................... 30 
Tabela 4 - Parâmetros do PID sintonizado utilizando o método de Ziegler-Nichols ..................... 38 
file:///C:/Users/linad/Downloads/Relatório%20Avaliação%202%20Grupo%203%20_rev%20final.docx%23_Toc102051347
file:///C:/Users/linad/Downloads/Relatório%20Avaliação%202%20Grupo%203%20_rev%20final.docx%23_Toc102051352
file:///C:/Users/linad/Downloads/Relatório%20Avaliação%202%20Grupo%203%20_rev%20final.docx%23_Toc102051353
file:///C:/Users/linad/Downloads/Relatório%20Avaliação%202%20Grupo%203%20_rev%20final.docx%23_Toc102051354
file:///C:/Users/linad/Downloads/Relatório%20Avaliação%202%20Grupo%203%20_rev%20final.docx%23_Toc102051355
file:///C:/Users/linad/Downloads/Relatório%20Avaliação%202%20Grupo%203%20_rev%20final.docx%23_Toc102051358
file:///C:/Users/linad/Downloads/Relatório%20Avaliação%202%20Grupo%203%20_rev%20final.docx%23_Toc102051359
7 
 
 
1. INTRODUÇÃO E CONTEXTUALIZAÇÃO 
As técnicas de controle têm importante papel nos processos industriais 
modernos no campo da engenharia química devido a necessidade de melhoria no 
desempenho de equipamentos e sistemas industriais. Esse controle é feito através 
do monitoramento das variáveis do sistema, o desempenho e a eficiência da 
operação dependem do modelo matemático aplicado e dos equipamentos que 
apresentem uma melhor resposta à técnica de controle a ser empregada (OGATA, 
1985). 
Sabe-se que maioria dos processos industriais compreendem sistemas que 
necessitam do controle de temperatura para obtenção do resultado desejável e que 
o controlador PID é o mais utilizado para esses casos devido seu grau de 
detalhamento nos resultados encontrados. Deste modo, torna-se interessante 
monitorar e controlar a temperatura por meio de um controle PID.(DA SILVA, 
2018). 
O presente trabalho visa a implementação de um controlador PID para o 
controle da temperatura em um ponto da barra de alumínio utilizando a linguagem 
de programação FORTRAN. Além disso, foram realizados alguns testes 
experimentais afim de coletar temperaturas com o auxílio de sensores do tipo NTC 
e um arduíno para aquisição desses dados. Assim, foi possível estimar o valor do 
coeficiente de condutividade térmica do alumínio do sistema estudado. Essa 
estimação foi feita com intuito de analisar a influência dos fenômenos de 
transferência de calor na barra do laboratório, como a convecção do ar, e também 
analisar se o modelo proposto seria o suficiente para atender a realidade do sistema 
em estudo. 
 
1.1 OBJETIVOS 
O presente trabalho pode ser subdivido em dois objetivos que se 
complementam. O primeiro é de estimação do coeficiente de condutividade 
8 
 
 
térmica da barra de alumínio utilizada nos experimentos em laboratório. 
Desenvolvendo essa primeira etapa, é possível estudar os fenômenos de 
transferência de calor nessa barra e também verificar se o modelo proposto se 
adequa a realidade do sistema. Em paralelo, a segunda parte do objetivo é traçada e 
trata-se da implementação de um controlador PID para o controle de temperatura 
em um ponto da barra através da programação em FORTRAN. 
1.2 PROPOSTA 
A proposta considerada para a realização deste trabalho consiste, inicialmente, 
na realização de alguns experimentos laboratoriais para que seja possível estimar o 
coeficiente de condutividade térmica do alumínio (K). Este primeiro ponto foi 
considerado para consolidar o conhecimento do grupo sobre modelagem na 
linguagem FORTRAN e também para identificar os fenômenos de transferência de 
calor ao longo nessa barra e verificar se o modelo proposto se adequa a realidade 
do sistema. 
A partir desta avaliação será possível realizar a modelagem mais acertiva do 
PID, ou seja, aquela que descreve as condições mais próximas à realidade do 
experimento estudado. Uma vez que as condições de contorno forem estabelecidas 
de acordo com a análise do sistema estabelecido, o controlador estará apto a 
controlar a temperatura no ponto onde o sensor do PID está localizado. 
O coeficiente condutividade térmica (k) do alumínio será estimado ao 
comparar os valores de temperatura experimentais com os valores calculados por 
meio do experimento computacional. Quanto menor for o erro entre o valor de k 
estimado e o valor de k da literatura (239 W/m.K) , mais correta estará a 
modelagem. 
De posse do valor do coeficiente de condutividade e a partir do modelo 
matemático desenvolvido, será possível programar o controlador PID. Os 
parâmetros do PID desenvolvido serão ajustados utilizando o método de Ziegle- 
Nichols e pelo método de Tentativa e Erro. 
9 
 
 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
2.1 USO DO ARDUINO PARA CONSTRUÇÃO DE UM SISTEMA DE 
MEDIÇÃO DE TEMPERATURA: ESTUDO DA TRANSFERÊNCIA DE 
CALOR POR CONDUÇÃO (PET-EQ, 2019) 
O projeto foi desenvolvido por alunos integrantes do grupo PET-EQ da UFRRJ 
em 2019 e tratava dos fenômenos de transferência de calor em uma barra metálica 
utilizando Arduíno. O estudo foi apresentado na VII Reunião Anual de Iniciação 
Científica da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro – VII RAIC. 
Os autores utilizaram um experimento prévio conduzido em banho térmico 
para calibração de sensores de temperatura em quatro temperaturas distintas 
visando atenuar o erro gerado pela diferença de temperatura medida através do 
ensaio e a temperatura do sistema. O tempo de resposta dado ao sistema variou de 
16,001 segundos para o banho de 30°C e de 51,203 segundos para o banho de 
50°C, com um desvio relativo médio igual a 0,9995. 
Através da implementação de um sistema experimental constituído por uma 
placa mega 2560 R3, um Arduíno,um display LCD, oito sensores de temperatura, 
um computador e uma barra metálica de 40 cm, os alunos verificaram que a 
utilização do Arduino para medição de temperaturas mostrou-se extremamente 
eficaz, sendo uma ferramenta de fácil manuseio e de baixo custo para 
implementação. 
Os desvios dos valores encontrados durante a realização do experimento 
conduzido em uma barra em relação a modelos teóricos foram atribuídos a perda 
de calor para o ambiente por convecção. Os dados obtidos no projeto serviram 
como base para a discussão dos principais conceitos de transferência de calor por 
condução em barras metálicas. 
Vale ressaltar que, o trabalho realizado pelo grupo PET-EQ (2019) é 
interessante pois, além de se apropriar de uma metodologia simplória para 
verificação da eficácia do uso de Arduíno para medição de temperaturas, também 
sugere, mesmo que de forma indireta, a utilização desse dispositivo para o estudo 
10 
 
 
da transferência de calor em sistemas mais complexos. 
 
2.2 ESTUDO DE CONTROLADORES PID E SUAS MODIFICAÇÕES 
PARA CONTROLE DE PROCESSOS DA ENGENHARIA QUÍMICA 
(MESQUITA ET AL, 2021) 
O trabalho possuía como objetivo definir os parâmetros de um controlador do 
tipo PID para controlar as variáveis de um processo simulado em um reator do tipo 
CSTR após uma perturbação na vazão de alimentação do sistema. 
 Para elaboração do trabalho os autores desenvolveram uma modelagem 
matemática que descrevia o processo estudado e foi programada através do 
OCTAVE. A proposta do projeto foi baseada na utilização de uma abordagem de 
controle clássico para avaliação das perturbações do tipo degrau, pulso e rampa em 
um CSTR isotérmico. 
Os integrantes do grupo analisaram e apresentaram três métodos para 
determinação de parâmetros de um controlador PID: método de Ziegler-Nichols 
(ZN), método Integral of the Time-weighted Absolute Error (ITAE) e Método da 
Tentativa e Erro. 
Após destacar as especificidades de cada um dos métodos, os resultados obtidos 
pelos métodos Integral of the Time-weighted Absolute Error (ITAE) e Ziegler-Nichols 
(ZN) em malhas fechadas foram comparados. De acordo com a análise, os autores 
concluíram que o método ITAE apresentou melhor sintonia frente ao método de 
Ziegler-Nichols pois os parâmetros do PID encontrados para este foram menores. Ou 
seja, ITAE apresenta menores efeitos proporcionais integrais derivativos quando 
comparado ao ZN. 
O método de tentativa e erro foi aplicado para determinação dos parâmetros PID 
em uma malha aberta para o caso de uma perturbação do tipo degrau em um reator 
CSTR isotérmico. Para este caso, os valores de set-point atribuídos foram os valores de 
conversões desejadas, 30 e 50% respectivamente e a conclusão obtida foi que quanto 
maior o valor de set-point aplicado, maior será as oscilações do sistema. Mesmo assim, 
11 
 
 
o grupo concluiu que é possível estabilizar o sistema. 
A análise do trabalho realizado pelos alunos da disciplina de LABEQ II em 
2021 é importante pois levantam informações relevantes sobre os controladores 
PID e os métodos de sintonias existentes, bem como suas aplicações. 
 
2.3 LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO 
A linguagem de programação FORTRAN é a mais antiga linguagem de 
programação que utiliza uma notação em letras e símbolos e não somente em 
números. O FORTRAN surgiu em 1957 e é nomeado como um programa de alto 
nível, isto é, sua linguagem é aceita em qualquer máquina fazendo poucos reparos. 
Seu nome é a combinação das palavras em inglês “Formula Translation” e permite 
a tradução quase direta das fórmulas, como sugestivo (FARRER et al., 1999). 
O vocabulário utilizado pelo FORTRAN é escrito em inglês e sua leitura é feita 
linha por linha, essas características lhe trouxeram bastante popularidade no meio 
acadêmico científico. Sendo assim, um problema pode ser codificado de maneira 
simplista ou rebuscada, à depender de sua complexidade (ANDREOLI E 
CARVALHO, 2001). 
Como mencionado anteriormente, o FORTRAN possui uma escrita fácil, 
todavia, o que dificulta é a noção lógica da linguagem (FERNANDES, 2003). Essa 
linguagem possui programas rápidos e com erros numéricos baixíssimos e, por 
isso, continua sendo fortemente utilizada no meio acadêmico. Todavia é mais 
restrita à essa área por existirem outras mais atualizadas e com maior acervo 
bibliográfico (SILVA, 2008). 
2.4 EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR E A LEI DE FOURIER 
A equação de condução de calor, derivada da Lei de Fourier e da conservação 
de energia é uma equação diferencial parcial que descreve a distribuição de calor 
em um determinado material ao longo do tempo (CONNOR, 2019). 
Através desta equação é possivel avaliar os fenomenos de condução de calor 
para qualquer substância. A solução da equação permite obter um campo de 
temperatura em função do tempo e oferece todos os parametros necessários para 
12 
 
 
avaliação e cacarterização do sistema em qualquer ponto estudado (CONNOR, 
2019). Em sua forma cartesiana, a equação de Fourier-Biot ou simplismente 
equação geral de condução de calor pode ser expressa pela equação 1: 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
 
 Onde, 
 
 
 
 
 
Em palavras, a equação demonstra que a taxa de transferencia de energia por 
condução em um volume unitário somada a taxa volumétrica de geração de energia 
térmica é igual à taxa de variação da energia térmica armazenada dentro do volume 
para qualquer ponto do meio avaliado (CONNOR, 2019). 
2.5 TRANSFERENCIA DE CALOR EM BARRAS ISOLADAS 
Um sistema que não troca matéria e energia com o ambiente externo é 
denominado sistema isolado (PLANAS, 2017). Para esse tipo de sistema, o fluxo 
de energia é dado somente a partir da variação de calor dentro do volume de 
controle e não depende das relações que ocorrem fora do objeto de estudo. 
Consideremos uma barra finita, de comprimento L, cujas superfícies laterais 
encontram-se isoladas termicamente e que possui área de seção transversal igual a S. 
Suponhamos que a homogeneidade do material que constitui a barra e o isolamento 
térmico aplicado implicam que o fluxo de calor ocorre somente na direção 
longitudinal, tornando o problema unidimensional. Para este caso, a temperatura pode 
ser considerada constante em cada seção transversal da barra, podendo variar somente 
de uma seção para outra (MAGALHÃES, s.d.). Analisando a Figura 1: 
(1) 
13 
 
 
 
Figura 1- Barra de comprimento L isolada em seu entorno com área de seção transversal S. Fonte: 
MAGALHÃES (s.d.). 
Para avaliar os fenômenos de transferência de calor em barras isoladas utiliza-
se um método de separação de variáveis para determinar uma função de duas 
variáveis u(x,t) capaz de expressar a temperatura na barra em um ponto x no tempo 
t, definida para 0 ≤ x ≤ L e t ≥ 0 (DOS SANTOS, 2018). 
A equação utilizada para avaliar esse tipo de problema é a equação de calor 
(equação 2): 
 
 
 
 
 
 (2) 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
A equação acima é capaz de descrever fenômenos difusivos de transferência de 
calor em barras unidimensionais. Todavia, por se tratar de uma equação ainda 
genérica pode possuir um número muito grande de soluções. Para avaliar este 
problema de forma direcional e especifica é preciso caracterizar a solução desejada 
14 
 
 
através da atribuição de informações que individualizem o sistema estudado. Em 
outras palavras, é preciso especificar as condições físicas que contornam o 
problema, ou seja, caracterizarde forma especifica as condições de fronteira e/ou 
contorno e as condições iniciais do problema em questão. Para o caso de barras 
isoladas, essas condições podem ser, de um modo geral, dos seguintes tipos 
(MAGALHÃES, s.d.): 
a) Extremidades isoladas termicamente: 
 Para este caso, as equações 3 e 4 representam as condições de contorno e a equação 
5 representa a condição inicial possuindo a capacidade de modelar o problema podem 
ser escritas através das expressões a seguir: 
 
{
 
 
| 
 
 
| 
 
 
 
 
| ( ) 
 
A análise das condições de contorno aplicadas permite concluir que não há 
fluxo de calor no início da extensão da barra, ou seja, no ponto x=0, do mesmo 
modo que não há fluxo de calor na extremidade de comprimento x=L (LINARER, 
2019). Deste modo, a associação destas inferências à condição inicial aplicada, 
onde U0(x) representa a distribuição inicial de temperatura ao longo da barra, 
sendo esta uma função conhecida, é possível concluir que o sistema está 
completamente caracterizado. Assim sendo, a resolução da equação do calor 
associada às condições de contorno e condição inicial aplicadas expressam 
seguramente o fenômeno de transferência de calor em barras completamente 
isoladas (MAGALHÃES, s.d.). 
 
b) Fluxo através das extremidades: 
 As condições de contorno (equações 6 e 7) e condição inicial (equação 8) capazes de 
modelar o problema podem ser escritas da seguinte maneira: 
(3) 
(4) 
(5) 
15 
 
 
 
{
 
 
| ( )
 
 
| ( )
 
 
 
 
| ( ) 
 
De modo análogo ao caso anterior, as condições aplicadas para solução deste 
problema são igualmente capazes de modelar o sistema para fluxo de calor que 
ocorre somente através das extremidades de uma barra. A resolução da equação de 
calor adaptada para um problema unidimensional associada as condições aplicadas 
expressam honestamente o fenômeno de transferência de calor em barras com 
fluxo através das extremidades (MAGALHÃES, s.d.). 
De outro modo, a inferência de fluxo de calor através das extremidades implica 
em uma condição de contorno diferente daquela aplicada anteriormente. Para este 
caso, G1(x) e G2(x) representam respectivamente: o fluxo de calor no ponto x=0, 
ou seja, no início da extensão da barra e o fluxo de calor na extremidade de 
comprimento de x=L, ao final do comprimento da barra. Já U0(x) expressa a 
distribuição inicial de temperatura ao longo da barra e se trata de uma função 
conhecida assim como G1(x) e G2(x) (MAGALHÃES, s.d.). 
2.6 TIPOS DE CONTROLADORES 
Segundo Bayer (2011), o controlador é o responsável por determinar qual ação 
será tomada baseado no erro do sistema. Bega (2011) relata que este erro é 
calculado pela diferença entre o set-poit, que é a variável desejada, e a variável do 
processo, que é enviada pelo transmissor e recebida pelo controlador. 
Conforme descreve Duraes et al. (2021), um sistema de controle é composto 
por uma série de instrumentos e mecanismos de controle que são capazes de 
comunicar por meio de sinais elétricos e que estão interligados sob a forma de 
malha de controle. 
O trabalho de Duraes et al. (2021) destaca pontos importantes dos 
controladores. Os autores têm como objetivo mostrar os tipos de controladores que 
(6) 
(7) 
(8) 
16 
 
 
ajustam o comportamento da temperatura durante os processos avaliados, a fim de 
obter o produto desejado dentro dos parâmetros adequados. Eles concluíram que o 
estudo sobre controladores é fundamental devido à importância de operar tais 
instrumetos próximo aos limites impostos pela segurança, pelo meio-ambiente e 
pelo processo. 
O controlador é capaz de aplicar uma ação corretiva no elemento final de 
controle, essa ação é chamada de ação de controle e é escolhida aquela mais 
conveniente para o problema (SENAI, 1999). 
Essas ações são classificadas em: on-off, proporcional (P), proporcional-
integral (PI), proporcional derivativa (PD) e proporcional integral-derivativa 
(PID). Elas podem ser utilizadas sozinhas ou em conjunto, à depender da resposta 
que é requerida (SENAI, 1999). Neste trabalho, utilizaremos controladores PID 
para o controle da temperatura na barra de alumínio. 
 
2.6.1 AÇÃO PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA (PID) 
O controlador PID é um importante recurso dentro da automação industrial, 
sendo muito utilizado em todo o mundo. Todo esse reconhecimento é dado, 
principalmente, pela facilidade ao ajustar parâmetros para atingir ótimos resultados de 
operação. Essa técnica de controle une a estabilidade dada pelo controle 
proporcional derivativo (PD) com as características de eliminação do erro 
oferecidas pelo controle proporcional integral (PI) (OLIVEIRA, 1999). Esses 
controladores funcionam por meio da equação 9: 
 ( ) ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
( ( ))
( )
 
 
Onde: 
 ( ) t = Tempo 
 P τ = Tempo de Integração 
 
 
(9) 
17 
 
 
 e = Erro 
 
 A figura 2 apresenta a comparação de comportamento dos controladores: 
 
Figura 2 - Gráfico comparando comportamento entre controladores PI, PD e PID. Fonte: BEGA et al., 
2006. 
Pode-se observar através do gráfico acima que a ação PID possui um maior 
número de oscilações no sistema, porém seu tempo para estabilização da variável é 
reduzido. Percebe-se que, dentro desta ação, o modo integral é utilizado para 
remover o erro estacionário causado por variações elevadas de carga. Já no 
derivativo é observado um efeito de estabilização que causa um aumento de ganho e 
o número de oscilações é reduzido, proporcionando uma velocidade maior de 
resposta se comparado a P e PI (OLIVEIRA, 1994). 
2.7 CONTROLE DE TEMPERATURA ATRAVÉS DO CONTROLADOR 
PID 
Conforme relata Kakuno et al. (2017), a temperatura é um dos principais 
parâmetros que pode ser controlado durante um processo. Deste modo, os autores 
propõem o estudo com o controlador PID a fim de realizar o controle de 
temperatura com Arduino. 
Kakuno et al. (2017), demonstra como o PID analisa constantemente a 
temperatura alvo (set-point) visando minimizar o erro do sistema, de forma a 
reduzir as oscilações que podem ocorrer durante o processo de controle. Assim, 
após um determinado tempo, estima-se que o comportamento de saída do sistema 
fique estável, de acordo com o set-point. 
18 
 
 
Bayer (2011) assume que, para a ação de controle, há diversos fatores 
envolvidos como: a precisão que se deseja, o tempo de resposta do processo, os 
sensores, os atuadores disponíveis e também a segurança e a economia do sistema. 
O eletrônico utiliza as informações fornecidas pelos sensores a fim de calcular a 
melhor ação a ser realizada para estabilizar a temperatura do sistema. 
2.8 MÉTODOS DE SINTONIA 
Sintonizar um controlador PID significa determinar os parâmetros do seu 
sistema. Esta etapa possui grande importância pois os parâmetros proporcionais, 
integrais e derivativos são os responsáveis pela realização de uma boa técnica de 
controle (JUNIOR, 2006). 
O presente trabalho se baseia em dois métodos a serem utilizados: o método 
Ziegler-Nichols, um método usado em malha fechada muito utilizado na indústria e 
o método da Tentativa e Erro. 
2.8.1 MÉTODO DE ZIEGLER-NICHOLS 
O método de Ziegler-Nichols, também conhecido como o método do ganho 
supremo, tem como base a determinação do ganho crítico (Ku) e período crítico (Pu). O 
ganho crítico é o valor de ganho que levou o sistema ao limite da estabilidade, já o 
período crítico é o tempo levado para que o ganho crítico seja encontrado (NISE, 2009). 
Esses valores serão encontrados seguindo as seguintesetapas: 
1º Etapa: Retirar as ações integral e derivativa do controlador; 
2º Etapa: Iniciar o processo com um valor baixo de ganho; 
3º Etapa: Aumentar gradativamente o ganho até que a oscilação fique constante em 
amplitude e período. 
Após isso os valores de Ku e Pu serão encontrados e os parâmetros do sistema 
serão encontrados através da tabela 1 abaixo: 
Tabela 1 - Parâmetros do controlador PID pelo Método da Ziegles-Nichols. 
Controlador Ganho (Kp) Tempo Integral Tempo Derivativo 
P Kp = 0,5Ku -- -- 
PI Kp = 0,45Ku TI = Pu/1,2 -- 
PID Kp = 0,6Ku TI = Pu/2 TD = Pu/8 
19 
 
 
 Fonte: NISE (2009). 
2.8.2 MÉTODO DA TENTATIVA E ERRO 
O método da tentativa e erro é comumente utilizado para sintonia de controladores 
PID nas indústrias. Por se tratar de um método empírico, demanda tempo e pode ser 
trabalhoso (GARCIA, 2017). Esse método consiste em alterar os parâmetros e verificar 
a alteração na saída, por isso é fundamental o conhecimento do controlador e o 
entendimento sobre os parâmetros. 
Tavares (2019) descreve o procedimento da seguinte maneira: 
1- Aumenta-se o ganho proporcional (kp) de maneira que o tempo de subida e o 
erro estacionário diminuam; 
2- Após escolhido kp, o parâmetro tempo integral (Ti) será variado de modo a 
encontrar seu menor valor. A figura 3 mostra que quanto maior esse 
parâmetro, maior o tempo de acomodação do sistema. 
 
Figura 3 - Resposta ao degrau de um sistema de malha fechada com um tempo integral excessivo. Fonte: 
TAVARES (2019). 
3- Por fim, o tempo de derivada é escolhido. Sua alteração deixa o sistema 
mais rápido e mais estável. Todavia, existe um limite de beneficiamento. 
Caso esse parâmetro seja muito alto, qualquer variação de alta 
frequência no sistema é altamente amplificada. A figura 4 apresenta a 
resposta do sistema PID cujo tempo de derivada é alto. 
20 
 
 
 
Figura 4 - Resposta ao degrau de um sistema de malha fechada com um tempo derivativo excessivo. 
Fonte: TAVARES (2019). 
Um processo mais detalhado é descrito por Tannuri (2019) que dita o seguinte 
passo-a-passo: 
1. Elimine os termos integral e derivativo escolhendo o tempo integral (TI) com 
seu valor máximo e o tempo derivativo (TD) com seu valor mínimo; 
2. Atribua ao ganho proporcional (KP) um valor baixo e coloque o controlador 
no modo automático; 
3. Aumente o ganho proporcional (KP) em pequenos passos até que ocorra uma 
oscilação mantida após uma pequena mudança no set-point ou na perturbação. O termo 
oscilação mantido deve ser entendido como uma oscilação que se mantém com 
amplitude constante; 
4. Reduza então ganho proporcional (KP) pela metade. 
5. Diminua o tempo integral (TI) em pequenos passos até observar novamente a 
ocorrência de uma oscilação continuada. Fixe, então, o TI em 3 vezes este valor. 
6. Aumente tempo derivativo (TD) também em pequenos passos até que ocorra 
novamente uma oscilação mantida. Faça então TD igual a 1/3 deste valor. O valor de KP 
que se obtém no passo 3 é chamado de ganho supremo (ultimate gain), sendo denotado 
por K PU. 
Tannuri (2019) ressalta que caso haja saturação na saída do controlador pode 
ocorrer oscilação mantida ainda que KP seja maior KPU. Portanto, é importante que isso 
não ocorra. A figura 5 abaixo representa a aplicação do procedimento descrito acima. 
21 
 
 
 
 
Figura 5 - Sintonia por tentativa e erro. Fonte: TANNURI (2019). 
O autor destaca também que o método apresenta desvantagens no que tange o 
tempo e o custo demandado para a operação. Além disso, o sistema é levado ao seu 
limite de estabilidade o que lhe torna perigoso. Aponta que alguns processos simples 
não apresentam ganho supremo. 
3. ESTRATÉGIA 
Para construção da estratégia, as atividades foram elecadas em ordem 
cronológica, de modo a atingir o objetivo proposto deste projeto: 
1. Estudo dos resultados obtidos pelos grupos anteriores desta disciplina e 
trabalhos científicos publicados a fim de consolidar o conhecimento sobre 
controlador PID entre os integrantes do grupo; 
2. Alinhamento sobre o assunto com os professores da disciplina buscando 
definir o objetivo e as propostas para a implementação de um sistema de controle 
de temperatura PID; 
3. Equacionamento do modelo de tranferência de calor em barra de alumínio e 
do modelo do controlador PID bem como suas condições iniciais e de contorno; 
4. Ambientação com a ferramenta Virtual Box e a máquina virtual para emular 
Tempo 
(a) Kc < Kcu 
Tempo 
(b) Kc = Kcu 
Tempo 
(c) Kc > Kcu (sem saturação) 
Tempo 
(d) Kc > Kcu (com saturação) 
22 
 
 
o sistema operacional LINUX; 
5. Contato com a unidade experimental e início dos testes experimentais; 
6. Utilização da linguagem de programação FORTRAN para modelagem do 
problema de tranferência de calor em barra de alumínio; 
7. Análise e tratamento das curvas de temperatura obtidas experimentalmente; 
8. Aplicação da função objetivo bem como a definição do k estimado e dos 
fenômenos envolvidos no sistema; 
9. Modelagem do controlador PID através do FORTRAN, bem como o ajuste 
dos seus parâmetros (Kp, Ki, Kd) através dos métodos de Zigler-Nichols e 
Tentativa e Erro. 
4. METODOLOGIA 
i. Estimativa de K do alumínio 
Para a realização do primeiro objetivo, o grupo compareceu ao laboratório para 
a realização de testes e o aparato experimental está descrito a seguir: 
 uma barra de alumínio isolada em seu entorno cujo comprimento desde o 
primeiro sensor até o último é de 24,61 cm; 
 um driver que permite a passagem da corrente e consegue modular o quanto de 
ddp deverá ser aplicada em uma determinada resistência; 
 8 sensores distribuídos na superfície da barra, que estão ligados a uma 
plataforma de prototipagem eletrônica, o Arduino, e um sensor que está 
conectado ao controlador. 
A figura 6 apresentada abaixo representa o aparato experimental descrito: 
23 
 
 
 
Com relação às extremidades da barra, uma está em contato com o ambiente e 
a outra está conectada à resistência. Quanto aos sensores, a Tabela 2 apresenta a 
posição que cada um deles ocupa, assim como a distância medida, assumindo o 
sensor 1 como referencial. 
Tabela 2 - : Posição dos sensores na barra de alumínio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria 
 
A coleta das temperaturas em cada sensor foi feita da seguinte forma: 
1. Inicialização dos equipamentos eletrônicos: computador e controlador; 
2. Certificação de que todos os sensores estavam posicionados e conectados de 
forma que fosse possível medir a temperatura em cada ponto avaliado; 
Sensor Posição Distância (cm) 
1 1 0,000 
2 2 3,588 
4 3 7,112 
5 4 10,558 
6 5 14,128 
7 6 17,698 
8 7 21,110 
3 8 24,610 
Figura 6 - Aparato experimental. Fonte: Autoria Própria. 
24 
 
 
3. Avaliação ampla e geral de todas as conexões entre os diferentes elementos do 
sistema: controlador, Arduino, computador, barra e sensores de temperatura; 
Após avaliação prévia, foi informado ao controlador as diferentes temperaturas 
desejadas para o processo. Os valores setados foram de 30, 40, 50, e 60 graus 
Celsius e os experimentos foram conduzidos em duplicata para cada uma dessas 
temperaturas na intenção de atenuar os erros experimentais. 
Para conectar o arduíno ao computador, é necessário seguir o passo-a-passo 
descrito abaixo: 
1. Conectar o Arduino ao computador pelocabo USB. Neste momento, uma luz 
vermelha será acessa no arduíno; 
2. Verificação da porta de conexão entre os dois equipamentos: 
A figura 7 apresentada abaixo indica como essa verificação é feita no 
computador presente no laboratório. Isto é, a ordem que deve ser seguida para 
fazer essa identificação. O último bloco contém o número da porta que o USB 
está conectado e que será inserido no programa. Nesse esquema, o x vermelho 
representa de forma genérica essa entrada. 
 
Figura 7 - Ordem sequencial para conexão entre o programa computacional e o Arduíno. Fonte: Autoriaprópria. 
Para dar continuidade à execução do experimento, com o programa aberto 
seguiu-se os passos: 
1. Através da opção Serial Port, selecionou-se a porta analog Ref override para 
indicação da voltagem de referência utilizada para o experimento: 4,67 volts; 
2. Por meio da opção File path indicou-se o caminho da seguinte forma: 
caminho/nome do arquivo.csv 
3. Clicou-se no botão RUN para iniciar o experimento. 
O programa executou a tarefa de ler as temperaturas em cada um dos sensores 
em diferentes tempos e após a conclusão da tarefa forneceu uma tabela que 
relaciona o tempo em segundos e os valores das temperaturas em graus Celsius 
PAINEL DE 
CONTROLE 
GER 
DISPOSITIVO 
PORTAS (COM e 
LP) 
USB-
SERIALCH340 
(COM X) 
25 
 
 
para cada sensor em intervalos de 0,357 segundos até o segundo 2505,911. Ao 
final do experimento foram obtidos 7.078 valores de temperaturas para cada um 
dos sensores posicionados ao longo da barra. 
Após a realização do experimentos laboratoriais, um modelo computacional foi 
desenvolvido afim de estimar o K da barra de alumínio presente no laboratório. 
Para isso, valores de K foram arbitrados no programa para obtenção das 
temperaturas calculadas. De posse desses valores de temperaturas obtidos 
computacional e experimentalmente foi possível calcular as funções objetivos 
(equação 10) para cada valor de K arbitrado. 
FO ∑ ∑ ( − )
 
 ×
 
 
 
 
1
𝑁 
 
Onde: 
N 6 × N° N ú 
T T 
T T 
Atendo dos valores de Fo calculados e K’s arbitrados, determinou-se o valor de 
K experimental. Em seguida, foi calculado o erro entre o K estimado e o K da 
literatura (239 W/m.K) por meio da equação 11: 
|
( )
 
| × 1 𝑟𝑟 (%) 
ii. Implementação do controlador PID 
O segundo objetivo do nosso projeto trata-se da implementação de um 
controlador PID que fosse responsável por manter a temperatura próxima do set-
point desejado. Para isso, utilizou-se a mesma linguagem de programação, 
FORTRAN, no auxílio da construção dos programas para a implementação. Os 
programas utilizados na primeira etapa de estimativa de k foram utilizados como 
base com algumas modificações: 
(10) 
(11) 
26 
 
 
 As Condições de Contorno foram alteradas, visto que agora seria 
necessário analisar a barra desde a extremidade com o sensor conectado 
ao controlador, responsável pelo fornecimento da energia, até a 
extremidade exposta ao ambiente, onde foi considerada o fluxo 
condutivo igual ao fluxo convectivo; 
 Foram adicionadas as variáveis apresentadas no próximo tópico de 
modelagem do PID e atualizado o valor da variável L para corresponder 
ao novo intervalo; 
 Foram adicionados os parâmetros de um controlador PID: Kc, e 
seus respectivos equacionamentos. 
4.1. MODELAGEM 
i. Modelagem da barra de alumínio 
No modelo térmico desenvolvido, analisa-se a transferência de calor em uma 
barra cilíndrica durante seu aquecimento. Este modelo considera a barra 
unidimensional e o processo de troca de calor em regime transiente. Observa-se 
que a adequação de um modelo exige a adoção de certas aproximações que 
precisam ser bem justificadas, de forma com que o modelo produzido seja 
suficientemente completo e apropriado, o que irá repercutir no momento de sua 
validação, na qual, comparam-se os resultados calculados com os valores 
empíricos (HOLMAN, 1983). Dessa forma foram realizadas as seguintes 
considerações: 
 Sistema unidimensional; 
 A extensão da barra está isolada, tornando os efeitos de convecção no seu 
entorno desconsideráveis; 
 Condutividade do alumínio é constante; 
 O comprimento da barra foi de 24,61 centímetros, que correspondia a 
distância entre o primeiro e último sensores. Sendo o sensor 1 posicionado 
em z=0 e sensor 8 posicionado em z=24,610. 
 
Inicialmente será necessário a realização do balanço de energia do sistema, pois 
27 
 
 
a partir dele seremos capazes de chegar no modelo da condução de calor 
(ÇENGEL &. YUNUS, 2012). 
A equação 12 apresentada abaixo é o balanço de energia e as equações 12.1, 
12.2, 12.3 e 12.4 representam seus termos : 
 − 
 
 
 (12) 
 (Termo de entrada) (12.1) 
 
 (Termo de saída) (12.2) 
 (Termo de geração) (12.3) 
 
 
 
 (Termo de acúmulo) (12.4) 
 
Substituindo os termos no balanço de energia (equação 12), é obtido a equação 
13: 
 
 
 
 − 
 − 
 − 
 
 
 
 
 
Utilizando expansão por Séries de Taylor, conforme apresentado nas equações 
13.1, 13.2 e 13.3, e substituindo na equação 13, tem-se a equação 14: 
 
 
 
 − 
 
 
 (13.1) 
 
 
 
 
 − 
 
 
 (13.2) 
 
 
 
 
 − 
 
 
 (13.3) 
 
 −
 
 
 
 −
 
 
 
 −
 
 
 
 
 
 
 (14) 
 
Aplicando a Lei de Fourier para cada um dos termos acima, são alcançadas as 
equações 14.1, 14.2 e 14.3 descritas abaixo: 
 
(13) 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 (14.1) 
 
 
 
 
 (14.2) 
 
 
 
 
 
 (14.3) 
 
O sistema em questão é unidimensional, portanto, as direções e 𝑟 são 
desconsideradas. Substituindo a equação 14.3 em 14 e fazendo as simplificações 
necessárias, chegou-se à equação 15 denotada abaixo: 
 
 
 
 
( 
 
 
) ̇ 
 
 
 (15) 
 
Tendo em vista a equação acima, é possível partir para o modelo da condução 
de calor (equação 16) que descreve o sistema desconsiderando o termo de geração 
de calor ( ̇): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (16) 
As condições inicial e de contorno para esse modelo são definidas pelas 
equações 17, 18 e 19: 
 ° (17) 
 1 ( 𝑟 1) 1 (18) 
 ( 𝑟 ) (19) 
Na equação 18, primeira condição de contorno, a e b são os parâmetros da 
equação da reta que descrevem o intervalo entre os sensores onde (valor de 
temperatura conhecido no sensor 1) se encontra. Já na equação 19, segunda 
condição de contorno, c e d são os parâmetros que descrevem o intervalo entre os 
sensores onde a (valor de temperatura conhecido no sensor 8) se encontra. 
A posição dos pontos é definida pela equação 20: 
 
 × 
 
 1 
Onde n refere-se ao sensor tratado, x é a posição desse sensor na barra, nbins é 
(20) 
29 
 
 
o número de discretizações da barra e L o comprimento da barra desde o primeiro 
até o último sensor. Sendo assim, o programa conta com seis equações nesse 
molde. 
Até a equação 10, a modelagem do PID segue os mesmos passos com algumas 
modificações nos valores das contantes, como o comprimento da barra, por 
exemplo. No próximo tópico, todas as considerações serão descritas. 
ii. Modelagem do controlador PID 
Para a modelagem do controlador PID, foram feitas as seguintes considerações: 
 A extensão da barra está isolada, tornando os efeitos de convecção no seu 
entorno desconsideráveis; 
 A extremidade esquerda da barra está conectada à um resistor; 
 A extremidade direita da barra está em contato com o ambiente; 
 O comprimento da barra foi 35 centímetrosque correspondia a distância 
entre o sensor do PID e o final da barra; 
 Condutividade do alumínio é constante. 
Como mencionado anteriormente, a partir de equação 16, a modelagem do PID 
se difere da modelagem da transferência de calor na barra. Suas condições inicial e 
de contorno estão descritas pelas equações 21, 22 e 23 respectivamente. 
 ° 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 − 
 
 ( 
 ⁄ )
 
 
 
 − 
 
 ( 
 ⁄ )
 
 −
 
 
 ( − 𝑟) − 
 
 
 ( − 𝑟) 
A primeira condição de contorno, em z=0, representa a posição do sensor PID e 
a segunda, em z=L, representa a extremidade da barra que está em contato com o ar. 
Cada termo da equação pode ser definido como: 
Pot: Potência aplicada; 
K: Coeficiente de condutividade térmica do alumínio (W/m.K); 
A: Área da barra (m
2
); 
(21) 
(22) 
(23) 
30 
 
 
U: Diferença de Potencial do controlador (V); 
R: Resistência do Sensor do PID (Ω); 
D: Diâmetro da barra (m); 
h: Coeficiente Convectivo do Ar (W/m
2
.K); 
Tar: Temperatura do ar. 
 
Também foi definida a Função Erro do PID e está expressa pela equação 24. 
Através da sintonia do PID pelos métodos propóstos, encontrou-se os valores do 
ganho proporcional (Kp), ganho integral (Ki) e ganho derivativo (KD) que foram 
inseridos no programa. 
 
 ( ) ∫ ( ) 
 ( )
 
 
 
 
Os valores utilizados para cada uma das propriedades estão dispostos na tabela 
3 abaixo: 
Tabela 3- Valores das propriedades utilizadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Autoria própria. 
As figuras 8, 9 e 10 apresentam a interface do programa main utilizado nessa 
etapa: 
Propriedades Valor 
K 239 W/(mK) 
ρ 2700 Kg/ 
 890 J/KgK 
Lbarra 0,35 m 
h 150 W/ 
R 650 Ω 
Tar 25°C 
Tset 50°C 
D 0,025 m 
(24) 
31 
 
 
 
 
32 
 
 
 
Figura 8 9 e 10 - Interface do programa main. Fonte: Autoria Própria 
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
5.1 Curvas de Temperatura 
Os resultados experimentais das curvas de temperatura para cada sensor ao 
longo do tempo são apresentados na Figura 11: 
 
Figura 11 - Gráfico das curvas de temperatura ao longo do tempo. Fonte: Autoria Própria. 
 
É possível observar que o gráfico apresenta um comportamento bem definido das 
temperaturas em cada sensor. A primeira curva, em vermelho, representa o sensor 1 
que encontra-se mais próximo à resistência. Sendo assim, este é o primeiro sensor a 
sentir a variação de temperatura. 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
) 
Tempo (s) 
Curvas de Temperatura dos Sensores 
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
33 
 
 
Observa-se que a cuva em vermelho oscila entre 50 e 60°C a partir de 900 
segundos, isso acontece porque o controlador não está bem ajustado. A temperatura 
setada no controlador foi de 50°C, todavia, ao atingir esse set-point, o controlador 
desliga mas a temperatura da barra continua subindo até atingir os 60°C quando 
começa a descer. Além disso, esse é o sensor mais sensível às variações de temperatura 
por ser o primeiro e estar localizado mais próximo da fonte de calor. . 
O comportamento das curvas roxa, verde, cinza e laranja, que representam os 
sensores 2, 3, 4 e 5, respectivamente, é bem parecido com o da curva 1. Porém, esses 
sensores sentem a elevação da temperatura pouco tempo depois e suas oscilações são 
bem menores devido ao aumento da distância da extremidade da barra. 
Já as últimas 3 curvas, azul, amarelo e preto, que representam os sensores 6, 7 e 8, 
respectivamente, possuem um comportamento sem muitas oscilações pois estão mais 
distantes da resistência que atua como fonte de calor . 
Vale ressaltar que o último sensor apresenta um comportamento quase linear após 
1600 segundos, quando o a sua temperatura estabiliza em 43°C. Por ser o sensor 
posicionado mais distante da resistência, ele é o último a começar a sentir a variação de 
térmica e, consequentemente, o último a estabilizar em uma temperatura. 
A figura 12 abaixo foi construído à partir das temperaturas de cada sensor no 
tempo 2512,712 s para demostrar o gradiente de temperatura que acontece na barra. 
 
Figura 12 - Gradiente de temperatura ao final do experimento. Fonte: Autoria Própria. 
Nota-se que um gradiente de temperatura bem definido ao longo de todo o 
S1 
S2 
S3 
S4 S5 S6 S7 S8 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
) 
Posição dos sensores 
Gradiente de Temperatura 
34 
 
 
comprimento da barra. É possível, portanto, perceber através do gráfico que quanto 
mais distante da extremidade onde o calor é gerado o sensor está, menor será sua 
temperatura. Sendo assim, o sensor 1 é o que apresenta maior temperatura e o sensor 8 
a menor. 
5.2 Estimativa de k experimental 
Nos resultados preliminares obtidos para a segunda avaliação de acompanhamento 
do projeto, o valor de K estimado, para uma temperatura de set-point igual a 50°C, foi 
de, aproximadamente, 150 W/m2.°C. Esse valor quando comparado com o da literatura 
(239W/ m2.°C) (J. Carvill, 1993) tinha um desvio de 37,5%. Como o desvio era alto, o 
grupo de trabalho levantou algumas hipóteses sobre o que poderia ter acarretado esse 
erro. 
Os questionamentos acerca da problemática foram: suposta perda de calor por 
convecção na parte isolada da barra provocado por um isolamento não eficiente, falta 
de robustei no teste pois havia sido realizado somente um experimento, um suposto FO 
local e também a falta de precisão da função objetivo. Na intenção de melhorar esse 
resultado, mais testes foram realizados e a função objetivo foi corrigida pela média de 
pontos. 
Então, foram realizados experimentos em duplicata para quatro temperaturas de 
set-points diferentes: 30, 40, 50 e 60°C. Feito isso, aplicou-se um modelo de 
aproximação para determinar o ponto de mínimo da curva FO x k. Os gráficos FO x k 
para cada set-point estão apresentados nas figura 13, 14, 15 e 16. 
35 
 
 
 
Analisando os gráficos acima, é possível perceber que o set-point com o ponto de 
mínimo mais próximos do k da literatura foi o de 30ºC. A partir desse gráfico, traçou-
se o método para identificar pontos mínimos em uma equação polinomial qualquer 
para determinar o valor de k a ser utilizado como comparação com o k de referência. 
Com auxílio do software Excel, encontrou-se a equação polinomial (equação 25) que 
melhor descreve a curva FO x k e que retorna um R² de 0,993851. 
 ( ) − 1 1 1 1 − 6 1 6 6 6 (25) 
 
Segundo Valle (2018), o método para encontrar o mínimo global de uma equação 
polinomial tem como primeiro passo, encontrar a ( ), ou seja a derivada da equação 
polinomial, conforme apresentado na equação 26: 
Figura 16 - Gráfico FO x k para setpoint 30°C 
 
Figura 15 - Gráfico FO x k para setpoint 40°C 
 
Figura 14 - Gráfico FO x k para setpoint 50°C 
 
Figura 13 – Gráfico FO x k para setpoint 60°C 
36 
 
 
 ( ) −6 6 1 1 − 6 1 (26) 
Na sequência, encontra-se as raízes dessa ( ), isto é, os valores que são 
responsáveis por zerá-la. Aplicando o método de Bhaskara para identificação de raízes 
de polinômios de segundo grau, foram encontradas duas raízes: x1 = 202,452435 e x2 = 
305,8307. Esses valores de x correspondem aos possíveis valores de k. Entretanto, 
ainda se fez necessário a aplicação de mais um teste para identificar qual dentre essas 
duas raízes encontradas se trata do mínimo global. 
Para tal, calculou-se f(x1) e f(x2) intencionando a obtenção dos resultados de FO 
para cada raíz encontrada. Para x1, o resultado foi de 3,7137 °C² e para x2 foi de 
3,8255 °C². Dessa forma, foi determinado que x1 = k onde foi encontrado o menor 
valor de FO através do método para determinação de pontos mínimos em equações 
polinomiais.Utilizando o k = 202,45 W/m².°C, observou-se que o erro, quando comparado com 
o k da literatura (239 kW/m².°C) (J. Carvill, 1993), foi de 15,29%, conforme mostra a 
equação 27 a seguir: 
 𝑟𝑟 
 
 
 1 1 % (27) 
Esse desvio para o set-point do controlador em 30ºC é menor que o primeiro 
encontrado para o set-point em 50ºC, que foi 37,5%, cerca de 22%de diferença. Essa 
discrepância pode ser explicada pois a temperatura escolhida no controlador é mais 
próxima da temperatura referente ao k da literatura, 25ºC. Outra ponto que deve ser 
levado em consideração é a variação na temperatura ambiente que, segundo Alves et al 
(1999), pode ser a maior causa de erros, podendo ocasionar erros de 4 a 8%, uma vez 
que a umidade do ar pode influenciar na determinação dessa propriedade. 
5.3 Sintonia do PID 
No primeiro momento, para verificar se os programas estavam adequados, foram 
utilizados os valores de 100, 1 e 0,01 para os parâmetros Kc, , respectivamente. 
Entretanto, esses são valores arbitrados aleatoriamente e não representam de forma 
adequada a função dos parâmetros que seria configurar o sinal enviado para o ajuste 
37 
 
 
mais próximo do setpoint de temperatura escolhido. 
Segundo LOPES (2019), para sintonizar métodos de malha fechada como o método 
de Ziegler-Nichols, é necessário encontrar o parâmetro Kcu, ganho úlitmo ou crítico, e 
este é encontrado executando testes de tentativa e erro com o controlador no modo 
proporcional apenas, ou seja, com os componentes integral e derivativo do PID 
desligados ou zerados. A resposta do sistema, neste ganho crítico, apresenta oscilações 
com amplitude constante, como apresentado na Figura 17. 
 
 
Figura 17 - Sintonização por Zigler-Nichols. Ajuste do ganho crítico (Kcu). Fonte: Autoria Própria. 
No método de tentativa e erro, o primeiro valor de Kcu é escolhido aleatoriamente, 
e então é ajustado com pequenas variações até alcançar o resultado desejado do 
gráfico. Para uma amplitude constante, foi considerado o critério de diferença de 
redução de até 3% entre o pico da primeira oscilação e da última, num ciclo de 50 
segundos de simulação (LOPES, 2019). Desse modo foi encontrado o Kcu de 17,7. 
Com a variação entre a amplitude inicial (47,85 ºC) e a final (48,87 ºC) de 2,11%. 
Em seguida é necessário encontrar Pu, período último, com o controlador ainda no 
modo proporcional. Para esse procedimento foi analisado o período entre os últimos 
dois picos, como mostrado na Figura 18 (LOPES, 2019). 
 
 
Figura 18 - Sintonização por Zigler-Nichols. Ajuste do Período Último (Pu). Fonte: Autoria Própria 
X: 47 
Y: 48,87 
X: 48 
Y: 45,49 
X: 47 
Y: 48,87 
X: 48 
Y: 45,49 
X: 16 
Y: 47,85 
X: 17 
Y: 43,05 
T
em
p
er
a
tu
ra
 F
o
rn
ec
id
a
 (
ºC
) 
Tempo (s) 
T
em
p
er
a
tu
ra
 F
o
rn
ec
id
a
 (
ºC
) 
Tempo (s) 
X: 49 
Y: 48,91 
X: 47 
Y: 48,87 
38 
 
 
 Pela diferença, o Pu encontrado foi de 1 s. Portanto, com os valores de Kcu e Pu 
obtidos, calculou-se os valores do ganho, tempo integral e derivativo pela utilização 
das equações do método de Ziegler-Nichols presentes na tabela 1. Os parâmetros 
encontrados estão dispostos na Tabela 4. 
Tabela 4 - Parâmetros do PID sintonizado utilizando o método de Ziegler-Nichols 
Kc = 10,62 
. = 0,5 
 = 0,125 
Fonte: Autoria Própria 
 
5.4 Controlador PID 
De posse dos valores obtidos para os parâmetros do PID através de sua sintonia, o 
programa pode ser executado novamente com os valores que melhores ajustados. A 
figura 20 representa o gráfico do sinal PID sem o ajuste dos parâmetros. Já a figura 19, 
representa o gráfico do sinal PID com os parâmetros Kc, ajustados e descritos 
na tabela. 
39 
 
 
 
 
 
É possível observar pelas figuras acima que o ajuste dos parâmetros do PID foi 
capaz de melhorar o controle da temperatura fornecido à barra de alumínio. A 
estabilidade do sinal é alcançada em um intervalo muito inferior quando comparado 
com aquele utilizado inicialmente com parâmetros escolhidos aleatoriamente (figura 
20). 
De acordo com os dados gerados, pode-se observar que o controlador PID foi uma 
escolha interessante para realização desse tipo de controle. De acordo com SMITH E 
CORRIPIO (1997) os controladores PID são indicados para processos lentos, onde 
 
Figura 20 – Gráfico Txt com os parâmetros escolhidos aleatoraimente 
 
Figura 19 – Gráfico Txt com os parâmetros ajustados 
Tempo (s) Tempo (s) 
T
em
p
er
at
u
ra
 (
ºC
) 
T
em
p
er
at
u
ra
 (
ºC
) 
40 
 
 
existem poucos ruídos como em controle de temperatura (LOPES, 2019). 
A introdução da ação derivativa, proporcionada pelo valor ajustado do parâmetro 
correspondente , é fundamental para o efeito de observação apresentado entre os 
dois gráficos, já que causa um aumento de ganho e o número de oscilação é reduzido, 
proporcionando a redução no tempo de resposta para o sistema de controle entrar em 
estabilidade (OLIVEIRA, 1994) 
Como sugestão de melhorias, podem ser realizados novas rodadas utilizando o 
método de tentativa e erro para definir um kcu com diferença percentual entre a 
primeira e última oscilação ainda menor do que o encontrado no presente trabalho. 
Ainda na sintonia dos parâmetros, podem ser analisados outros métodos de sintonia 
existentes na literatura com o intuito de montar um comparativo com a resposta obtida 
nesse trabalho utilizando o método de tentativa e erro e de Ziegler-Nichols. 
Por fim, além desses pontos de melhoria, os próximos passos englobariam uma 
atualização dos dados obtidos nesse relatório e a construção de um modelo físico do 
PID para ser implementado, ajustado e utilizado em experimentos. Pode ser feita uma 
estimativa de k mais coerente com o modelo da barra determinado, para que seja 
possível ser medido, por comparação, os resultados obtidos com o outro controlador 
utilizado nos experimentos laboratoriais desse trabalho. 
6. CONCLUSÕES 
Analisando a primeira parte do trabalho, foi possível observar um gradiente de 
temperatura ao longo da barra cilíndrica de alumínio utilizada no problema. Isto é, o 
primeiro sensor registrou os maiores valores de temperatura e o último as menores. 
Além disso, foram feitos novos experimentos para se obter o valor de k já que no 
experimento inicial foi obtido um alto desvio quando comparado ao valor de k da 
literatura (chegando a uma diferença de 37,50%). Os novos experimentos foram 
realizados em duplicata para quatro temperaturas diferentes (30, 40, 50 e 60°C), sendo 
que o melhor valor de k encontrado foi na temperatura de 30ºC onde k = 
202,45kW/m.K. 
O novo resultado encontrado é mais próximo ao k da literatura, um desvio igual a 
15,29% e pode ser explicado devido a temperatura setada de 30ºC que é mais próxima 
da temperatura do k de referência que é de 25ºC. Todavia, esse último desvio 
41 
 
 
encontrado ainda é alto e sua principal causa, segundo Alves et al (1999), pode estar 
relacionada a temperatura ambiente, onde a umidade do ar interfere consideravelmente 
no valor da propriedade. 
Já em relação a segunda parte do trabalho, a de implementação do controlador PID, 
os métodos de sintonia utilizados foram considerados eficazes para definição dos 
parâmetros do controlador. O controle da temperatura da barra de alumínio foi 
melhorado quando comparado ao controlador PID sem os parâmetros ajustados por um 
método de sintonia. 
Para os próximos passos a serem executados para a continuação desse trabalho 
sugerimos a criação de um modelo físico de um controlador PID, para ser ajustado e 
utilizado em experimentos. Além disso, é sugestivo a realização de experimentos com 
esse controlador para definição de um novo valor de k e comparar com os valores 
encontrados nesse trabalho.. 
7. CRONOGRAMA 
Tabela 5 – Cronograma de Atividades do Grupo para o projeto. 
Atividades Prazo Status 
Contato com o temae acervos 18/02 Feito 
Retirada de dúvidas com os professores da disciplina 18/02 Feito 
Definição de atividades com a volta do presencial 18/02 Feito 
1ª reunião do grupo 23/02 Feito 
Criação do 1º Cronograma de atividades 23/02 Feito 
Elaboração do início do equacionamento do problema 23/02 Feito 
Retirada de dúvidas com os professores da disciplina 25/02 Feito 
2ª reunião do grupo 01/03 Feito 
3ª reunião do grupo 02/03 Feito 
Entrega do 1° cronograma de atividades 03/03 Feito 
Retirada de dúvidas com os professores da disciplina 04/03 Feito 
4ª reunião do grupo 07/03 Feito 
Levantamento das técnicas de controladores PID 10/03 Feito 
Definição da metodologia a ser aplicada 10/03 Feito 
42 
 
 
Revisão Bibliográfica 10/03 Feito 
Entrega do 1º Relatório parcial 10/03 Feito 
Apresentação da primeira avaliação 11/03 Feito 
5ª reunião do grupo 15/03 Feito 
Montagem e reconhecimento do aparato experimental 17/03 Feito 
Início da escrita das rotinas e sub-rotinas 18/03 Feito 
Realização dos testes em laboratório 22/03 Feito 
6ª reunião do grupo 23/03 Feito 
Determinação do coeficiente de condutividade térmica 25/03 Feito 
Definição e discretização do modelo matemático 25/03 Feito 
Entrega do 2º cronograma de metas 25/03 Feito 
Instalação da máquina virtual (VIRTUAL BOX) 25/03 Feito 
7ª reunião do grupo 26/03 Feito 
8ª reunião do grupo 29/03 Feito 
Entrega do 2º Relatório parcial 31/03 Feito 
Apresentação da segunda avaliação 01/04 Feito 
9ª reunião do grupo 06/04 Feito 
Revisão e ajustes do relatório 10/04 Feito 
10ª reunião do grupo 13/04 Feito 
Elaboração das rotinas e sub-rotinas do programa do 
PID 
15/04 Feito 
11ª reunião do grupo 18/04 Feito 
Entrega do 3º cronograma de metas 22/04 Feito 
Validação do programa elaborado 23/04 Feito 
Finalização dos ajustes nas rotinas do programa 25/04 Feito 
Determinação dos parâmetros do controlador 25/04 Feito 
Definição da modelagem final para o controlador PID 25/04 Feito 
Avaliação de desempenho do programa 26/04 Feito 
Definição do grau de refino para ajuste do controlador 26/04 Feito 
Avaliação do programa construído e dos resultados 
obtidos 
26/04 Feito 
Entrega do relatório final 28/04 Em andamento 
43 
 
 
3ª Apresentação 29/04 Em andamento 
 
 
 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Civil e sua variação com a umidade e a densidade. Maringá, 1999. 
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