Energia e Evaporação

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8.4 Questão 4
Colocando os termos constantes fora da integral:
P = FR2
∫ π
0
∫ π
0
sin2 θ sinϕdθdϕ (8.4.2)
Ambos os limites das integrais vão de 0 a π pois o a radiação só atinge um
hemisfério.
θ
n̂
F = F ŷ
z
y
Figura 16: As linhas de fluxo são paralelas ao eixo y, por isso podemos calcular sua projeção na
superf́ıcie da terra como F · n̂ = F y
r
, pois o vetor unitário normal à superf́ıcie vale n̂ = r/||r|| =
(xx̂+ yŷ + zẑ)/||r||.
Integrando primeiro com relação a ϕ, temos:
P = FR2
∫ π
0
sin2 θ [− cosϕ]
∣
∣
∣
∣
π
0
dθ
E por conseguinte,
P = 2FR2
∫ π
0
sin2 θdθ = FR2
[
1
2
(θ − sin θ cos θ)
] ∣
∣
∣
∣
π
0
A integral acima pode ser feita através da substituição sin2 x = 1
2
(1−cos 2x) ou
por partes. Assim, substituindo θ pelos valores nos limites de integração, finalmente
obtemos:
P = πFR2
Calculando a energia que incide em um dia (O valor que utilizaremos para o
raio da Terra é de R = 6371000m):
E = P∆t = πFR2∆t = π × 1360× (6371000)2 × 24× 60× 60 = 1.5× 1022J/dia
b) A energia efetiva que participará do processo de evaporação da água é E ′ =
0.23× 0.71E = 0.1633E. Deste modo, a massa de água evaporada é:
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