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INPUT-OUTPUT DE LEONTIEF 
Aplicações da álgebra linear 
André Fonte 
99454 | MEAer | IST-ULisboa 
12-02-2021 
Realizado no âmbito da defesa de nota do 1º semestre do 1º ano à cadeira de Álgebra Linear, 
este documento analisa o modelo input-output de Leontief aplicado à economia, focando-se na 
sua aplicação de álgebra linear. 
1/11 
 
1. Introdução 
 No mundo económico, o modelo input-output é uma forma de representação quantita-
tiva da interdependência entre os setores constituintes de uma economia. Este tipo de análise 
desenvolvida por Wassily Leontief tem por base álgebra linear, mais propriamente, matrizes e 
sistemas lineares. Neste documento será explorada essa vertente do modelo não só de forma 
geral, como também aplicando-o a exemplos práticos, numa dinâmica problema-solução. 
Nota biográfica acerca de Leontief 
Economista russo galardoado com o prémio Nobel em 1973 pelos 
desenvolvimentos na área da análise de mercados económicos livres, Le-
ontief ingressou precocemente na universidade de Leninegrado aos 15 
anos, tendo, após ser reprimido pelo regime soviético, emigrado para a 
Alemanha e, posteriormente, os EUA. Apresentou o modelo input-output 
no seu livro The Structure of the American Economy (1941). 
 Figura 1: Wassily Leontief, 1905-1999. 
2. Motivação 
 De forma a analisar os modelos económicos de Leontief, será considerado que a econo-
mia se divide em setores interdependentes. No caso geral, um setor tem como intuito lucrar 
com a venda de bens – output. No entanto, para os produzir, a indústria requer despesas em, 
por exemplo, mão de obra ou matéria-prima – input. Desta forma, forma-se um sistema econó-
mico em rede onde o input de um setor é parte do output de outros. 
 Numa economia aberta são considerados os setores económicos abertos, setores que 
consomem o output de outros setores, sem gerarem o seu. Atuam como mercado para escoa-
mento do output dos setores industriais, e estabelecem o nível de necessidade de cada produto. 
Cabe assim aos setores secundários1 determinar o nível de produção necessário para correspon-
derem às exigências dos setores abertos, se autossustentarem, e, naturalmente, lucrar. 
O modelo tem assim a vantagem de poder prever as repercussões de alterações pontu-
ais no mercado nos mais diversos setores, localizando problemas de forma eficiente e facilitando 
a sua resolução. 
3. Modelo input-output aplicado à economia 
3.1. Exemplificando 
O exemplo abaixo demonstra a utilidade e justifica o modelo de forma simples, introdu-
zindo os conceitos de forma gradual para a compreensão do modelo generalizado. 
Considere-se o seguinte quadro económico: 3 setores industriais interdependentes ocu-
pados da produção de um único tipo de produto. Sejam eles o produto A, o produto B e o pro-
duto C, produzidos pelas indústrias A, B e C, respetivamente. Para a produção de cada produto, 
 
1 Os setores económicos dividem-se de forma clássica em: 
• Primários: extração e/ou manipulação de recursos naturais, de forma a serem utilizados no setor industrial; 
• Secundários: transformação da matéria-prima proveniente do setor primário em produtos prontos a ser 
comercializados; 
• Terciários: comercialização de produtos e prestação de serviços 
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a respetiva indústria necessita de gastar não só uma certa quantidade dos outros dois produtos, 
como também parte da sua própria produção. Assim, suponha-se o seguinte cenário: 
• Para produzir 1.00€ do produto A, a respetiva indústria gasta 0.10€ do seu próprio pro-
duto, 0.40€ do produto B e 0.20€ do produto C. 
• Para produzir 1.00€ do produto B, a respetiva indústria gasta 0.20€ do seu próprio pro-
duto, 0.10€ do produto A e 0.40€ do produto C. 
• Para produzir 1€ do produto C, a respetiva indústria gasta 0.05€ do seu próprio produto, 
0.40€ do produto A e 0.10€ do produto B. 
 Input 
A B C 
Output 
A 0.10 0.10 0.40 
B 0.40 0.20 0.10 
C 0.20 0.40 0.05 
Tabela 1: síntese do fluxo de produtos na economia do exemplo. As colunas e as linhas representam respetivamente 
o valor do input e do output de um determinado setor. 
 Note-se que apesar de para o exemplo ser considerado 1€ como unidade de produção, 
poderia ser usada outra ordem de grandeza, como o 106€, ou até mesmo outra medida, como 
número de produtos fabricados. 
 Os dados expressos na tabela podem ser expressos sob a forma de uma matriz input-
output 𝐶: 
𝐶 = [
𝑐𝐴𝐴 𝑐𝐴𝐵 𝑐𝐴𝐶
𝑐𝐴𝐵 𝑐𝐵𝐵 𝑐𝐵𝐶
𝑐𝐴𝐶 𝑐𝐵𝐶 𝑐𝐶𝐶
] = [
0.10 0.10 0.40
0.40 0.20 0.10
0.20 0.40 0.05
] 
 O consumo de cada uma pode ser representado pelas colunas da matriz 𝐶: 
𝑐𝐴 = [
𝑐𝐴𝐴
𝑐𝐴𝐵
𝑐𝐴𝐶
] = [
0.10
0.40
0.20
] 
𝑐𝐵 = [
𝑐𝐵𝐴
𝑐𝐵𝐵
𝑐𝐵𝐶
] = [
0.10
0.20
0.40
] 
𝑐𝐶 = [
𝑐𝐶𝐴
𝑐𝐶𝐵
𝑐𝐶𝐶
] = [
0.40
0.10
0.05
] 
 Estas indústrias estão inseridas num cenário económico aberto, ou seja, estão sujeitas 
às exigências do mercado e a sua produção é dependente destas. Considere-se que o mercado 
pretende ser fornecido com 400€ do produto A, 200€ do produto B e 100€ do produto C. Esses 
valores são representados pelo vetor 𝑑 (do inglês demand): 
𝑑 = [
𝑑𝐴
𝑑𝐵
𝑑𝐶
] = [
400
200
100
] 
 Face à procura externa, os setores industriais vão ter de averiguar se conseguem dar 
resposta e, caso consigam, a quantidade necessária produzir para o fazer. Como as indústrias 
consomem parte do seu próprio produto para o seu funcionamento, a produção deve ser tal 
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que consiga cobrir os gastos internos e as exigências externas. A quantidade, em euros, neces-
sária produzir será representada pelo seguinte vetor: 
𝑝 = [
𝑝𝐴
𝑝𝐵
𝑝𝐶
] 
sendo as suas coordenadas o valor em euros dos produtos A, B e C (respetivamente) necessário 
produzir. Estas variáveis são calculadas com recurso à álgebra linear, como será abordado no 
tópico 4. 
É claro que a partir das coordenadas deste vetor, podem ser também previstos os gastos 
que cada setor terá de forma a corresponder à procura dos seus produtos. Por exemplo, por 
cada unidade de 𝑝𝐴, ou seja, por cada 1.00€ de produto A produzido, a indústria A irá gastar 
0.10 + 0.40 + 0.20 = 0.70€ (e ter um lucro de 0.30€, considerando que todo o produto é escoado). 
Naturalmente, o mesmo raciocínio pode ser aplicado aos restantes setores. O valor gasto pela 
indústria A pode então ser representado pelo seguinte vetor: 
𝑝𝐴 ∙ 𝑐𝐴 = 𝑝𝐴 ∙ [
0.10
0.40
0.20
] 
Aplicando o mesmo raciocínio aos restantes setores, o consumo total é dado por: 
𝑝𝐴 ∙ 𝑐𝐴 + 𝑝𝐵 ∙ 𝑐𝐵 + 𝑝𝐶 ∙ 𝑐𝐶 = 𝑝𝐴 ∙ [
0.10
0.40
0.20
] + 𝑝𝐵 ∙ [
0.10
0.20
0.40
] + 𝑝𝐶 ∙ [
0.40
0.10
0.05
]
= [
0.10 0.10 0.40
0.40 0.20 0.10
0.20 0.40 0.05
] [
𝑝𝐴
𝑝𝐵
𝑝𝐶
] = 𝐶 ∙ 𝑝 
Assim, é intuitivo concluir que a quantidade enviada para o setor aberto, 𝑑, é dada pela 
quantidade produzida, 𝑝, menos a quantidade consumida pelos setores industriais, 𝐶 ∙ 𝑝. Ou 
seja, 
𝑑 = 𝑝 − 𝐶 ∙ 𝑝 
⟹ [
400
200
100
] = [
𝑝𝐴
𝑝𝐵
𝑝𝐶
] − [
0.10 0.10 0.40
0.40 0.20 0.10
0.20 0.40 0.05
] [
𝑝𝐴
𝑝𝐵
𝑝𝐶
] 
A esta equação dá-se o nome de equação de Leontief, podendo ser reescrita na forma: 
(𝐼 − 𝐶) ∙ 𝑝 = 𝑑 
⟹ ([
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] − [
0.10 0.10 0.40
0.40 0.20 0.10
0.20 0.40 0.05
]) ∙ [
𝑝𝐴
𝑝𝐵
𝑝𝐶
] = [
400
200
100
] 
À matriz 𝐼 – 𝐶 dá-se o nome de matriz de Leontief. 
4/11 
 
3.2. Generalizando 
 
O que é equivalente a escrever: 
[
𝑑1
⋮
𝑑𝑛
] = [
𝑝1
⋮
𝑝𝑛
] − [
𝑐11 ⋯ 𝑐1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑐𝑛1 ⋯ 𝑐𝑛𝑛
] [
𝑝1
⋮
𝑝𝑛
] 
Para quaisquer 𝑖 e 𝑗 pertencentes ao intervalo [1, 𝑛], 𝑐𝑖𝑗 será o valor de produto forne-
cido pelo setor 𝑖 ao setor 𝑗, 𝑑𝑖 será o valor consumido do produto 𝑖 pelo setor terciário, e 𝑝𝑖 será 
o valor produzido pela indústria 𝑖. 
A economia é considerada fechada para um vetor 𝑑 nulo. Caso contrário, denomina-se 
aberta. Se 𝑑𝑖 = 0, o produto 𝑖 não é enviado para o setor aberto. 
A partir do teorema 1 pode ser escrita a seguinte matriz aumentada que permite deter-minar o vetor de produção 𝑝: 
(𝐼 − 𝐶) ∙ 𝑝 = 𝑑 
⟹ (
1 − 𝑐11 ⋯ −𝑐1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
−𝑐𝑛1 ⋯ 1 − 𝑐𝑛𝑛
|
𝑑1
⋮
𝑑𝑛
) 
 
Como já foi apontado, o total de consumo de uma indústria 𝑖 é determinado pela soma 
da 𝑖-ésima coluna da matriz 𝐶 𝑛 × 𝑛. Considerando que os valores da matriz correspondem ao 
valor em euros envolvidos na produção de 1.00€ de cada produto, caso a soma da 𝑖-ésima co-
luna seja inferior a 1.00€, o setor 𝑖 é considerado rentável (gasta menos do que produz). Se todos 
os 𝑛 setores que compõe o panorama económico forem rentáveis, a economia também o é. 
 
Caso a economia em causa seja fechada, 𝑑 será um vetor nulo, assim como 𝑝. 
TEOREMA 1 (equação de Leontief) 
Seja 𝐶 a matriz input-output de uma economia, 𝑑 o vetor do consumo do setor 
aberto e 𝑝 o vetor da produção dos 𝑛 setores que compõem a economia. 𝐶 ∙ 𝑝 será o vetor 
de consumo interno. O modelo económico pode ser descrito pela seguinte equação: 
𝑑 = 𝑝 − 𝐶 ∙ 𝑝 
TEOREMA 2 (economia rentável) 
Seja 𝐶 a matriz input-output de uma economia aberta. Caso a soma de cada coluna 
seja inferior a 1, a matriz 𝐼 − 𝐶 é invertível, as entradas de (𝐼 − 𝐶)−1 são não negativas, e a 
economia é rentável. 
 
TEOREMA 3 
Seja 𝐶 uma matriz input-output. Caso a matriz 𝐼 – 𝐶 seja invertível, 𝑝 existe e é 
único, sendo dado por: 
𝑝 = (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ 𝑑 
 
5/11 
 
Caso a matriz 𝐼 – 𝐶 não fosse invertível, 𝑝 tanto poderia não ter solução como poderia 
existir um número infinito delas, sendo necessário analisar a matriz input-output de forma a tirar 
conclusões. 
Matriz (𝐼 − 𝐶)−1 
Note-se que as colunas de (𝐼 − 𝐶)−1 contêm informação relevante. Informam a varia-
ção de 𝑝 com a variação de 𝑑. Como exemplo, considere-se que 𝑑 é aumentado em uma cons-
tante 𝑥𝑖 em cada linha 𝑖. Seja 𝐶 uma matriz 𝑛 × 𝑛 e 𝐼 – 𝐶 invertível. Ou seja, 𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑑𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 +
[
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
]. 
𝑝𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ 𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ (𝑑𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + [
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
])
= (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ 𝑑𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ [
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
] = 𝑝𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ [
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
]
= [
𝑝1 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) + 𝑥1 ∙ (1 − 𝑐11) + 𝑥2 ∙ (1 − 𝑐12) + ⋯+ 𝑥𝑛 ∙ (1 − 𝑐1𝑛)
⋮
𝑝𝑛 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) + 𝑥1 ∙ (1 − 𝑐𝑛1) + 𝑥2 ∙ (1 − 𝑐𝑛2) + ⋯+ 𝑥𝑛 ∙ (1 − 𝑐𝑛𝑛)
]
=
[
 
 
 
 𝑝1 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) + ∑ 𝑥𝑖 ∙ (1 − 𝑐1𝑖)
𝑛
𝑖=1
⋮
𝑝𝑛 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) + ∑ 𝑥𝑖 ∙ (1 − 𝑐𝑛𝑖)
𝑛
𝑖=1 ]
 
 
 
 
 
Assim, uma variação em 𝑑 ocasionará uma variação de 𝑝 de acordo com esta relação. 
 
Cofatores 
Definição 5: Seja 𝐴 uma matriz invertível e 𝐴𝑗𝑖 a matriz 𝐴 com a linha 𝑗 e a coluna 𝑖 re-
tiradas. É sabido que usando cofatores, a entrada (𝑖, 𝑗) de 𝐴−1 é dada por: 
𝐴−1
(𝑖,𝑗) =
(−1)𝑖+𝑗det (𝐴𝑗𝑖)
det (𝐴)
 
 Aplicando esta noção ao modelo, é possível determinar a variação de produção neces-
sária numa indústria 𝑖 caso 𝑑𝑗 seja alterado. Claro que é possível que 𝑖 = 𝑗. 
TEOREMA 4 
Seja 𝐶 uma matriz input-output 𝑛 × 𝑛 de entradas 𝑐𝑖𝑗, 𝐼 − 𝐶 uma matriz invertível 
e 𝑑 o vetor do consumo do setor aberto. Considere-se que 𝑑 é aumentado em uma cons-
tante 𝑥𝑘 em cada linha 𝑘, para 𝑘 ∈ [1, 𝑛]. A variação do vetor de produção 𝑝 é dada por: 
∆𝑝 = (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ [
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
] =
[
 
 
 
 ∑ 𝑥𝑘 ∙ (1 − 𝑐1𝑘)
𝑛
𝑘=1
⋮
∑ 𝑥𝑘 ∙ (1 − 𝑐𝑛𝑘)
𝑛
𝑘=1 ]
 
 
 
 
 
6/11 
 
 O consumo do setor 𝑗 de produtos do setor 𝑖 é indicado na entrada (𝑖, 𝑗) da matriz 𝐶. 
Para analisar a situação descrita será preciso, portanto, ter em conta a entrada (𝑖, 𝑗) da matriz 
(𝐼 − 𝐶)−1, que é calculada de acordo com a definição 5. 
 
Naturalmente, a produção terá se sofrer alterações em outras indústrias, mas desta 
forma é possível obter conclusões mais específicas. 
4. Resolução de problemas 
 Os exercícios seguintes demonstram a utilidade do modelo de Leontief, bem como da 
utilização de álgebra. 
 1) Considere-se o exemplo supracitado da economia aberta composta unicamente pelas 
indústrias A, B e C. 
1.1) OBJETIVO: determinar a quantidade a produzir por cada setor para os dados do 
exemplo. 
Pelo teorema 1: 
𝑑 = 𝑝 − 𝐶 ∙ 𝑝 ⇔ (𝐼 − 𝐶) ∙ 𝑝 = 𝑑 
𝐼 − 𝐶 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] − [
0.10 0.10 0.40
0.40 0.20 0.10
0.20 0.40 0.05
] = [
0.90 −0.10 −0.40
−0.40 0.80 −0.10
−0.20 −0.40 0.95
] 
Logo, 
[
0.90 −0.10 −0.40
−0.40 0.80 −0.10
−0.20 −0.40 0.95
] [
𝑝𝐴
𝑝𝐵
𝑝𝐶
] = [
400
200
100
] 
 Em matriz aumentada, e usando a eliminação de Gauss-Jordan (cf. Anexo 1), tem-se: 
(
0.90 −0.10 −0.40
−0.40 0.80 −0.10
−0.20 −0.40 0.95
|
400
200
100
) ⟶ (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
775.00
708.33
566.67
) 
Logo, 
 𝑝 = [
775.00
708.33
566.67
] 
arredondando a 2 casas decimais. 
TEOREMA 6 
Considere-se uma economia aberta com 𝑛 setores. Sejam 𝑖 e 𝑗 pertencentes a 
[1, 𝑛]. Se 𝑑𝑗 for incrementado em uma unidade 𝑥 vezes, a produção no setor 𝑖 será acres-
centada de 𝑥 ∙ (𝐼 − 𝐶)−1
(𝑖,𝑗)
. 
∆𝑝𝑖 = 𝑥 ∙ (𝐼 − 𝐶)−1
(𝑖,𝑗) 
 
7/11 
 
 Portanto, para 𝑑 = [
400
200
100
] os setores A, B e C devem produzir, respetivamente, 775.00€, 
708.33€ e 566.67€ dos respetivos produtos. 
 Analisando criticamente o exemplo, há que salientar que a maior parte da produção está 
a ser direcionada para setores industriais e não para o mercado, o que indica que a economia é 
pouco eficiente. O valor absoluto da quantidade gasta internamente é facilmente determinado 
através de 𝐶 ∙ 𝑝 = 𝑝 − 𝑑. 
𝑝 − 𝑑 = [
775.00
708.33
566.67
] − [
400
200
100
] = [
375.00
508.33
466.67
] 
É claro que numa economia cujos valores das entradas da matriz 𝐶 são menores, o con-
sumo interno para as mesmas exigências do setor aberto é também menor, melhorando a efici-
ência do panorama económico. 
1.2) OBJETIVO: averiguar se a matriz 𝐼 − 𝐶 é invertível. Caso seja, determinar o vetor de 
produção usando (𝐼 − 𝐶)−1. 
As colunas da matriz 𝐶 = [
0.10 0.10 0.40
0.40 0.20 0.10
0.20 0.40 0.05
] possuem entradas cuja soma é sempre 
inferior a 1.00, o que permite concluir, pelo teorema 2, que a matriz 𝐼 − 𝐶 é invertível. 
Isto pode ser igualmente verificado pelo cálculo do determinante da matriz 𝐼 − 𝐶. A par-
tir da Fórmula de Laplace, tem-se: 
det (𝐼 − 𝐶) =
12
25
≠ 0 
O que confirma que 𝐼 – 𝐶 é uma matriz invertível sendo (cf. Anexo 2): 
(𝐼 − 𝐶)−1 = [
1.5000 0.5313 0.6875
0.8333 1.6146 0.5208
0.6667 0.7917 1.4167
] 
arredondando a 4 casas decimais. A matriz 𝐼 – 𝐶 ser invertível implica, pelo teorema 3, que para 
𝑑 = [
400
200
100
] existe um único 𝑝 tal que: 
𝑝 = (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ 𝑑 = [
1.5000 0.5313 0.6875
0.8333 1.6146 0.5208
0.6667 0.7917 1.4167
] [
400
200
100
] = [
775.00
708.33
566.67
] 
arredondando as entradas a 2 casas decimais, o que está de acordo com o calculado no exercício 
1.1). 
 1.3) OBJETIVO: Considerando agora que o setor aberto consome 400€ do produto A, 
100€ do produto B e 300€ do produto C, ou seja, 𝑑 = [
400
100
300
], determinar o vetor de produção. 
𝑑 = [
400
200
100
] + [
0
−100
200
] 
8/11 
 
sendo [
400
200
100
] o vetor do consumo do setor aberto nos exercícios anteriores. 
 Pelo teorema 4, 
𝑝 = 𝑝𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + (𝐼 − 𝐶)−1 ∙ [
𝑥1
⋮
𝑥𝑛
] = [
775.00
708.33
566.67
] + [
1.5000 0.5313 0.6875
0.8333 1.6146 0.5208
0.6667 0.7917 1.4167
] [
0
−100
200
]
= [
859.37
651.03
770.84
] 
É curioso notar que apesar de 𝑑𝐴 ter sido mantido constante, 𝑝𝐴 sofreu alterações, o 
que demonstra a interdependência entre os setores. 
1.4) OBJETIVO: calcular unicamente o valor de 𝑝𝐴 para o vetor 𝑑 = [
400
100
300
], do exercício 
1.3). 
Aplicando o teorema 6, 
𝑝𝐴 = 𝑝𝐴 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙) + (−100 ∙ (𝐼 − 𝐶)−1
(1,2)) + 200 ∙ (𝐼 − 𝐶)−1
(1,3)
= 775.00 − 100 × 0.5313 + 200 × 0.6875 = 859.37 
o que está de acordo com o calculado no exercício 1.3). 
 2) Considere-se um quadro económico diferente composto pelos setores industriais X e 
Y, com 𝐶 = [
0.2 0
0 1
], 𝑑1 = [
1
2
] e 𝑑2 = [
1
0
]. 
 OBJETIVO: analisar se há algum 𝑝 possíveltal que os setores correspondam ao consumo 
do setor aberto nas duas situações (para 𝑑1 e para 𝑑2). 
 Note-se que como o seu determinante é 0, 𝐼 − 𝐶 não é invertível. 
• Para 𝑑1: O setor Y consome 1€ do seu produto para produzir também 1€. Ou seja, não 
é capaz de fornecer outros setores. Assim não existe nenhum 𝑝 que seja solução. 
• Para 𝑑2: Como o setor Y não tem de cumprir exigências por parte de nenhum setor, a 
sua produção não é determinada por nenhum fator externo. Qualquer 𝑝𝑌 real positivo 
é possível. Por outro lado, 𝑝𝑋 pode ser calculado intuitivamente da seguinte forma: 
1 = 𝑝𝑋 − 0.2𝑝𝑋 ⟺ 𝑝𝑋 = 1.25 
 Logo há infinitas soluções para 𝑝 = [
1.25
𝑝𝑌
]. 
5. Conclusão 
 O modelo input-output está longe de se tornar obsoleto e existem organizações ocupa-
das de o melhorar e atualizar, tais como a IIOA (International Input-Output Association), fundada 
em 1988. É aplicado por diversas entidades tais como o Departamento de Prospetiva e Planea-
mento e Relações Internacionais – Ministério da Agricultura, Mar, Ambiente e Ordenamento do 
Território. 
9/11 
 
 
Figura 2: Pormenor de uma matriz input-output relativa à economia portuguesa em 2008. O documento pode ser 
consultado na íntegra na ligação 18 da Webgrafia. 
Apesar de a premissa do desenvolvimento deste trabalho ter sido a aplicação de álgebra 
linear, ele permitiu muito mais do que a utilização dos conhecimentos adquiridos ao longo do 
semestre. É essencial a exploração da vertente aplicada da álgebra linear, principalmente num 
curso de Engenharia, uma vez que permite a melhor compreensão dos seus teoremas e estimula 
o seu estudo. Possibilita ainda a exploração de áreas complementares às engenharias, criando 
engenheiros mais competentes e polivalentes, algo que se torna cada vez mais importante no 
mundo profissional. 
 
 
10/11 
 
6. Anexos 
1) Resolução do sistema linear através da calculadora de matrizes do link 
https://matrixcalc.org/pt/slu.html#solve-using-Gauss-Jordan-elimination%28%7B%7B0%2e90,-
0%2e10,-0%2e40,400%7D,%7B-0%2e40,0%2e80,-0%2e10,200%7D,%7B-0%2e20,-
0%2e40,0%2e95,100%7D%7D%29 
 
2) Cálculo da matriz inversa através da calculadora de matrizes do link 
https://matrixcalc.org/pt/#%7B%7B0%2e90,-0%2e10,-0%2e40%7D,%7B-0%2e40,0%2e80,-
0%2e10%7D,%7B-0%2e20,-0%2e40,0%2e95%7D%7D%5E%28-1%29 
 
 
https://matrixcalc.org/pt/slu.html#solve-using-Gauss-Jordan-elimination%28%7B%7B0%2e90,-0%2e10,-0%2e40,400%7D,%7B-0%2e40,0%2e80,-0%2e10,200%7D,%7B-0%2e20,-0%2e40,0%2e95,100%7D%7D%29
https://matrixcalc.org/pt/slu.html#solve-using-Gauss-Jordan-elimination%28%7B%7B0%2e90,-0%2e10,-0%2e40,400%7D,%7B-0%2e40,0%2e80,-0%2e10,200%7D,%7B-0%2e20,-0%2e40,0%2e95,100%7D%7D%29
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